1、 1 / 7 2019 年北京市春季第一次普通高中学业水平合格性考试 数 学 考 生 须 知 1.考生要认真填写考场号和座位序号。 2.本试卷共 7 页，分为两个部分，第一部分为选择题，27 个小题(共 81 分)；第二部分为解答题，4 个小题(共 19 分)。 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答;第二部分必须用 黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用 2B 铅笔。 4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。 参考公式:锥体的体积公式 V= sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 第一部分选择题第一部分选择题(
2、 (每小题每小题 3 3 分，共分，共 8181 分分) ) 在每个小题给出的四个备选答案中.只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A=0，1， B=-1，1，那么 AUB 等于 A. 0，1 B. -1，1 C.0 D. -1，1,0 2.已知向量 a=(1， 1)，b=(1， 2)，那么 a+b 等于 A. (0，-1) B.(1，2) C.(2, 3) D.(3, 2) 3.过点 A (3, 0)和 B (0, 2)的直线的方程为 A. 2x-3y-6=0 B. 3x+2y-4=0 C. 2x +3y-6=0 D. x +2y-4=0 4.函数 y=lg (x+2)的定义域是 A.2
3、，+) B.(2，+) C.(0，+) D.(-2，+) 5.如果幂函数了 f(x)=x a的图象经过点(4, 2)，那么 a 的值是 A. -2 B. 2 C. - D. 6.在空间直角坐标系 O-xyz 中，A(-1,-1,-1)，B（1，1，1），那么| |等于 A. 2 B. C. 2 D.2 7. 2018 年 10 月 24 日，我国超级工程港珠澳大桥正式通车运营，它是世界上最长的跨海大桥，全长 55 千米， 采用 Y 型线路，连接香港、珠海和澳门三地.如果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥参观，那 么甲同学被选中的概率为 A. B. C. D. 1 8.为深入贯彻落
4、实国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见，我市提出：到 2020 年， 全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到 98%,基础教育阶段学生优秀率达到 15%以上.某学校现有小学和初中学 生共 2000 人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为 400 的样 本，其中被抽到的初中学生人数为 180，那么这所学校的初中学生人数为 A. 800 B. 900 C. 1000 D. 1100 9.化简 sin(+)为 A. sin B. sin C. cos D. cos 2 / 7 10.如果直线 2x-y=0 与直线 x+my-1=0 垂
5、直，那么 m 的值为 A. -2 B. - C. D. 2 11.已知向量 a=(2，-1), b=(1，m)，且 a=2b，那么 m 的值为 A. -2 B. - C. D. 2 12.直线 x- y+1=0 的倾斜角的度数是 A. 30 B. 45 C. 60 D.90 13.已知直线 l 经过点 P (1， 1)，且与直线 x-y+2=0 平行，那么直线 I 的方程为 A. x-y-2= B. x+y-2=0 C. x-y=0 D. x+y-4=0 14.函数零点的涵义是 A.一个点 B.函数图象与 x 轴的交点的横坐标 C.函数图象与 x 轴的交点 D.函数图象与 Y 轴的交点的纵坐标
6、 15. 在函数 y= ,y=x 2,y=2x,y=log 3x 中，奇函数是 A. y= B. y=x 2 C. y=2 x D. y=log3x 16.在相距 4 千米的 A, B 两点分别观测目标点 C，如果CAB=75， CBA=60，那么 A, C 两点间的距离是 A. 2 千米 B. 2 千米 C. 2 千米 D. (2+2 )千米 17.已知角 a 的终边经过点 P(5,12)，那么 sina 的值是 A. B. C. D. 18.已知直线 l：x+y+2=0 和圆 C：(x-1) 2+(y+1)2= 1，那么圆心 C 到直线 l 的距离是 A. B. 1 C. D. 2 19.
7、函数 f(x)=2sin 2x 的最小正周期是 A. B. C. 2 D. 4 20. 计算（ ） 0+log 22 的结果为 A. 3 B. C. 2 D. 1 21.已知两条直线 m，n 和平面，且 m，要得到结论 m/n，还需要添加一个已 知条件，这个条件应是n，n/，n ，n 中的 A. B. C. D. 22.已知函数 f(x)= 如果 f(m)=4，那么实数 m 的值为 A. 1 B. -2 C. -8 D.- 23.将函数，y=2sinx 的图象向左平移 个单位，所得图象的函数表达式是 3 / 7 A. y=2sin(x+ ) B. y =2sin(x- ) C. y =2sin
8、(2x- ) D. y =2sin(2x+ ) 24.在ABC 中，角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a， b，c，如果 b=1，c= ，B=30，那 么角 A 的度数是 A. 30或 60 B. 45或 60 C. 30或 90 D. 45或 120 25.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的梭长为 1, E, F 分别为棱 AB,C1D1上的动点，那么三棱锥 F-CDE 的体积为 A. B. C. D. 26.已知边长为 3 的正方形 ABCD，点 E 满足 =2 ,那么 等于 A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 27.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康杜会必须
9、打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署.某地区 现有 28 万农村贫困人口，如果计划在未来 3 年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半， 为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是 A. 10 万人 B. 12 万人 C. 14 万人 D. 16 万人 第二部分解答题(共 19 分) 28.(本小题满分 5 分) 某同学解答一道三角函数题:“已知函数 f (x) =2sin(x+ )，0，其最小正周期为(I)求 f (0)，和的值;； （II）求函数 f(x)在区间- ， 上的最小值及相应 x 的值.” 该同学解答过程如下： 下表列出了某些数学知识: 4 /
10、7 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义 弧度制的概念 的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数 y = sinx， y =cosx，y=tanx 的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间0, 2上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间（- ， ）上的性质 两角差的余弦公式 函数 y=Asin(x+ )的实际意义 两角差的正弦、正切公式 参数 A, , 对函数 y=Asin(x+ )图象变化的图像 两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学
11、知识. 29.（本小题满分 5 分） 阅读下面题目及其证明过程，在处填写适当的内容。 已知三棱柱 ABC-A1B1C1，AA1平面 ABC,BAC=90，E，F 分别为 AB1,CB1的中点。 （I）求证：EF平面 ABC； （II）求证：ABA1C 30.(本小题满分 5 分) 某同学解答一道解析几何题:“已知圆 O： x 2+y2=r2 (r0)与直线 L1,：x=-2 和 L2：x=2 分别相切，点 C 的坐标 为(-1,0) .A, B 两点分别在直线 L1和 L2上，且 ACBC,| | =| |，试推断线段 AB 的中点是否在圆 0 上.” 该同学解答过程如下: 5 / 7 请指出
12、上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程 31.(本小题满分 4 分) 从 2008 年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络“八纵八横”格局正在构建. 到 2018 年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京沪高速铁路线是北京南 站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约 1318 km.某机构研究发现:高速列车在该线路上单程运行一次的总 费用 f(x)(万元)与平均速度 x(km/h)及其它费用 a( 3a4)(万元)之间近似满足函数关系， f(x)= +0.0006x 2(200 x400 )问:当高速列车在该线路上运行的平均速度
13、是多少时，单程运行一次总费用 最小? 6 / 7 数学试题答案 第一部分选择题(共 81 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D C C D D D A B A D B A C B 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 A C D C B C A B A C A D D 28. 解答弧度制的概念，三角函数的周期性，函数 y=sin x 的图象，正弦函数在区间0, 2 上的性质，参数 A, , 对函数 y=Asin(x+ )图象变化的图像.5 分 29. 解答：（I）证明：在AB1C 中， 因为 E，F 分别为 AB1，
14、CB1的中点 所以 因为 EF 平面 ABC，AC 平面 ABC, 所以 EF平面 ABC （II）证明：因为 AA1平面 ABC，AB 平面 ABC, 所以 因为BAC=90 所以 ABAC 又因为 AC AA1=A 所以 因为 A1C 平面 AA1C1C， 所以 ABA1C 上述证明过程中，第（I）问的证明思路是先证“线先平行”，再证“线面平行”，第（II）问的证明思路是先证 ，再证，最后证“线线垂直”。 解答：EFAC；AA1AB；AB平面 AA1C1C；“线线垂直”“线面垂直。（每空 1 分，共 5 分）” 30. 解答：mn=-3 不对 由 ACBC=0,即 mn=3. 因为| |=
15、| |，点 C 的坐标为（-1，0）， 所以 = 化简得 m 2-n2=8. 由解得 或 所以线段 AB 的中点坐标（0，2）或（0，-2） 7 / 7 所以线段 AB 的中点在圆 0 上. （5 分） 31. 解答：任取 x1x2200,400,不妨设线 x2x1,令x=x2-x10 于是y=f(x2)-f(x1)= +0.0006 -( +0.0006 ) = ( ) ( )( ) = ( ) ( ) 因为 200 x1400, 200 x2400 所以 400 x1+x2800, 40000 x1x2160000 所以 240.0006 x1x296 所以 96000.0006 x1x2（x1+x2）76800 又因为 3a4 所以 39541318a5272 所以 43200.0006 x1x2（x1+x2）-1318a72846 所以 x1-x20，x1x20 所以 0 于是当x= x1-x20 时，y=f(x2)- f(x1) 0 所以函数 f(x)在定义域200,400上时单调递增函数 所以当 x=200 时，函数 f(x)有最小值 故运行的平均速度是 200km/h 时，单程运行一次总费用最小. （4 分）
