1、1常数项级数及其敛散性2函数项级数与幂级数3傅里叶级数第一节 常数项级数及其敛散性第一节 常数项级数及其敛散性一、常数项级数及性质121nnnuuuu 定义 给定一个数列 u1，u2，un，则式子 称为常数项无穷级数，简称为常数项级数。首项一般项或通项 1.常数项级数的基本概念3 简言之，数列的和式称为级数。例如：1111()(2)(1)aadadand211111naa qa qa q称为算术级数；等比数列各项的和称为等比级数，也称为几何级数。第一节 常数项级数及其敛散性一、常数项级数及性质4 定义 级数的前项和 称为级数 的部分和；数列12nnSuuu1nnu称为级数 的部分和数列1nnu
2、12,nS SS 定义 如果无穷级数 的部分和数列的极限存在，即 ，则称该无穷级数收敛；否则称该无穷级数发散。1nnuSSnnlim第一节 常数项级数及其敛散性一、常数项级数及性质5 当级数 收敛时，称其部分和数列 Sn 的极限 S 为此级数的和，记作 有了级数收敛的定义，我们可以用定义来判断一些重要级数的收敛性。1nnu称为级数 的余项。1nnu12nuuuS1nnuS1nnii nRSSu 当级数 收敛时，由于它的和是 Sn 的极限，因此 Sn 可以看作是该级数之和的近似值，它们之间的差值1nnu或第一节 常数项级数及其敛散性一、常数项级数及性质 例8-1 考察等比（几何）级数的敛散性：2
3、0nnnaqaaqaqaq 解（1）如果|q|1，则级数的部分和为(1)1naqq 21nnSaaqaqaq 当|q|1，n 时，Sn 趋于无穷 ，故级数发散。01nnaaqq 6第一节 常数项级数及其敛散性一、常数项级数及性质 （2）如果 q=1，则nSaaaana ()n 级数发散；（3）如果 q=1，则(1)nnSaaaaa a，n 为奇数0，n 为偶数故而级数发散。当|q|1 时，此等比级数发散。7 综上所述，当|q|1 时，等比级数 收敛，且其和为 ；1aq 0nnaq 第一节 常数项级数及其敛散性一、常数项级数及性质201nnnaaqaaqaqaqq 当|q|1 时当 a=1，|x
4、|0，所以由性质4的推论可知，该级数发散。1)0(nkknknnnnalimlim第一节 常数项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性满足 un 0（n=1，2，），则称之为正项级数。显然，正项级数的部分和数列 Sn 是单调增加数列，即 如果无穷级数 121nnnuuuu 定理 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列 有界。11由于单调有界数列必有极限，所以如果 Sn 有界，则该级数收敛；否则，该级数发散。nSSS21第一节 常数项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性 下面直接给出 p 级数（p 为常数）当 p 1 时，级数收敛；当 p 1 时，级数发散。11111123ppppnnn 这是
5、一个典型的发散正项级数，在证明一个给定的正项级数发散时，常选调和级数为参照。的敛散性结论：特殊地，当 n=1 时，称之为调和级数：11111123nnn 12第一节 常数项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性13 “大”的收敛，“小”的也收敛；“小”的发散，“大”的也发散。下面给出常用的正项级数收敛的判别法。定理表明，判断一个正项级数的收敛性时，可利用另一个已知收敛性的正项级数来比较，因此称为“比较判别法”。定理（比较判别法）设 和 是两个正项级数，且满足 an bn（n=1，2，），则 1nna1nnb （1）若 收敛，则 收敛；1nna1nnb （2）若 发散，则 发散。1nna1nnb第
6、一节 常数项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性14 在利用比较判别法时，首先需要猜测所讨论的级数的敛散性；其次，必须找一个参照级数（即比较对象），而此参照级数的敛散性是已知的。例8-3 判断级数的敛散性：解 该级数的一般项为11111(1)(4)2 53 6(1)(4)nnnnn)4)(1(1nnan21)4)(1(10nnn，满足121nn而 是 p=2 的 p 级数，它是收敛的，故所给级数收敛。第一节 常数项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性 下面给出极限形式 的比较判别法，它在应用时更为方便。lim(0)nnnallb 15 定理（极限形式的比较判别法）设 和 是两个正项级数，满足
7、1nna1nnb则级数 与级数 同时收敛或同时发散。1nna1nnb 解 因为 例8-4 判定级数 的敛散性。11sinnn111sinlimnnn，而级数 是发散的，则所给级数也发散。11nn第一节 常数项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性 利用极限形式的比较判别法，仍然需要找一个已知收敛性的正项级数来比较，因此也不太方便。16 （3）当 =1 时，不能用此法判定该级数的敛散性。定理（比值判别法）设 为正项级数，且满足1nna则有（1）当 1 时，级数 发散；1nnannnaa1lim第一节 常数项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性17 例8-5 判断级数的敛散性：解 因为)1(3211
8、3211211111n1111 2 311 2 3(1)nnanann 101limlim1naannnn根据比值判别法可知所给级数收敛。第一节 常数项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性18 例8-6 判断级数的敛散性：根据比值判别法可知所给级数发散。2311 21 2 3101010 解 一般项为 ，则nnna10!101!1010)!1(11nnnaannnn101limlim1naannnn 比值判别法由正项级数的一般项就可判断敛散。但它也有局限性，当该极限不存在或等于 1 时，比值判别法失效，就需要改用其他方法来判定。，第一节 常数项级数及其敛散性三、交错级数及其敛散性1112341
9、(1)(1)nnnnnuuuuuu 12341(1)(1)nnnnnuuuuuu 具有如下形式的级数 或称为交错级数，其中 un 0（n=1，2，）。这两种表示形式本质相同，所以我们只看第一种。19 关于交错级数敛散性的判别有如下定理。定理（莱布尼兹定理）如果交错级数满足条件：则交错级数收敛。满足定理的级数也称莱型级数。（1）；（2）1(1,2,3,)nnuunlim0nnu第一节 常数项级数及其敛散性三、交错级数及其敛散性 解 此级数满足因此，此交错级数是收敛的。例8-7 判定级数的敛散性：20nn1)1(413121111111nnuunn1limlim0nnnun（n=1，2，）第一节
10、常数项级数及其敛散性四、绝对收敛与条件收敛 如果 un 为任意数，则级数 称为任意项级数。显然，是正项级数。我们借助于正项级数判断任意项级数的收敛问题。211nnu1|nnu 定理 如果级数 收敛，则级数 一定收敛。1nnu1|nnu 如果级数 收敛，则称级数 绝对收敛。1nnu1|nnu 如果级数 收敛，而级数 发散，则称级数 条件收敛。1nnu1|nnu1nnu 例如：级数 绝对收敛，而级数 条件收敛。1211(1)nnn111(1)nnn第一节 常数项级数及其敛散性四、绝对收敛与条件收敛22 例8-8 证明级数 绝对收敛。迄今为止，我们虽然介绍了几种判别级数敛散性的方法，但是每种方法只有
11、一定的适用范围，只能根据所给级数的特点，选用合适的敛散性判别方法。因此级数敛散性的判别也是一种技巧性较强的数学方法。14sinnnna 证明 因为 ，而级数 是收敛的，所以级数 也是收敛的。因此所给级数绝对收敛。441sinnnna141nn14sinnnna第二节 函数项级数与幂级数第二节 函数项级数与幂级数 一、幂级数的概念的级数称为区间 I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数。121()()()()nnnfxfxfxfx 24 1.函数项级数 如果级数的每一项都是定义在某个区间 I 上的函数，形如 函数项级数所有收敛点的集合称为它的收敛域，函数项级数所有发散点的集合称为它的发散域。对区间
12、 I 上的任意点 x0，代入函数项级数的每一项，则 就是常数项级数。若级数 收敛，则称 x0 是该函数项级数的一个收敛点，否则称 x0 是该函数项级数的一个发散点。10)(nnxf10)(nnxf第二节 函数项级数与幂级数 一、幂级数的概念25 2.幂级数及其收敛性 形如200102000()()()()nnnnnaxxaa xxaxxaxx的函数项级数，称为 x x0 的幂级数，其中常数 a1，a2，a3，an，称为幂级数的系数。当 x0=0 时，上面幂级数变为20120nnnnna xaa xa xa x称之为 x 的幂级数。第二节 函数项级数与幂级数 一、幂级数的概念26 若作变换 y=
13、x x0，则幂级数 就变为 形式。因此，只讨论形如后者的幂级数。0nnna x00()nnnaxx 定理 幂级数 的敛散性必为下述三种情形之一：0nnna x 定理所列情形（3）中的正数 R 称为幂级数的收敛半径。幂级数的收敛域为四种区间之一：（1）仅在 x=0 处收敛；0R R （2）在(,+)内处处绝对收敛；（3）存在确定的正数 R，当|x|R 时发散。(,)R R,)R R,R R(,R R 第二节 函数项级数与幂级数 一、幂级数的概念27 定理 设幂级数 的系数满足那么，它的收敛半径为：1limnnnaa1,0,00,R 0nnna x即1limnnnaRa第二节 函数项级数与幂级数
14、一、幂级数的概念28 例8-9 求幂级数的收敛半径和收敛域：23111(1)(1)23nnnnnxxxxxnn 解 因为111limlim11nnnnanan，所以收敛半径11R 在端点 x=1 处，级数成为交错级数收敛在端点 x=1 处，级数成为发散因此，幂级数的收敛域是(1,1。nn1)1(312111111123n 第二节 函数项级数与幂级数 一、幂级数的概念29 例8-10 求幂级数的收敛半径和收敛域：解 因为所以收敛半径 R=+，从而收敛域是(,+)。201111!2!nnnxxxxnn 011lim!1)!1(1limlim1nnnaannnnn第二节 函数项级数与幂级数二、幂级数
15、的性质30 1.运算性质 设两个幂级数 及 分别在区间 及 内收敛，则在这两个区间中较小的那个区间内，它们可作下列运算。10()nnna xs x20()nnnb xsx11(,)R R22(,)R R （1）加减法：（2）乘法：1200()()nnnnnna xb xs xsx1200()()nnnnnna xb xs xsx第二节 函数项级数与幂级数二、幂级数的性质31 2.解析性质 设幂级数 在区间(R,R)内收敛，则其具有下述性质。（1）在(R,R)内，s(x)是连续函数；（2）在(R,R)内，s(x)可导，且有逐项求导公式0()nnna xs x1001()nnnnnnnnns xa
16、 xa xna x逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径 R，但在收敛区间的端点处敛散性可能会改变。第二节 函数项级数与幂级数二、幂级数的性质321000000()1xxxnnnnnnnnnas x dxa xdxa x dxxn （3）在(R,R)内，s(x)可积，且有逐项积分公式逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径 R，但在收敛区间的端点处敛散性可能会改变。此外，如果逐项求导或逐项积分后的幂级数在 x=R（或 x=R）处收敛，则在 x=R（或 x=R）处，逐项求导公式及逐项积分公式仍成立。第二节 函数项级数与幂级数二、幂级数的性质33 例如，已知（几何级数）211(11)
17、1nxxxxx 逐项求导得：2121123(11)(1)nxxnxxx 从 0 到 x 逐项积分得：2311(1)(11)231nxxxnxxxn 注意上式在 x=1 时是一个收敛的交错级数，故而成立。第二节 函数项级数与幂级数二、幂级数的性质34 例8-11 求幂级数 的和函数。解 采用“先微后积”的方法。设 ，两边对 x 求导，得1211(1)21nnnxn1211(1)()21nnnS xxn12112222110(1)1()(1)()211nnnnnnnnS xxxxnx(1,1)x 对上式两边从 0 到 x 逐项积分得 201()(0)arctan,(1,1)1xS xSdxxxx
18、由于 S(0)=0，从而有 ，即()arctan,(1,1)S xxx 第二节 函数项级数与幂级数二、幂级数的性质351211(1)arctan,(1,1)21nnnxxxn 当 x=1 时，级数为 ，收敛；11(1)21nnn当 x=1 时，级数为 ，收敛。所以有11(1)(1)21nnn 1211(1)arctan,1,121nnnxxxn 第二节 函数项级数与幂级数二、幂级数的性质36 例8-12 求幂级数 的和函数。解 采用“先积后微”的方法。设 ，两边从 0 到 x 逐项积分得再两边对 x 求导，得即0(1)nnnx0()(1)nnS xnx10000()(1),(1,1)1xxnn
19、nnxS x dxnx dxxxx 201()(),(1,1)1(1)xxS xS x dxxxx 第二节 函数项级数与幂级数二、幂级数的性质37201(1),(1,1)(1)nnnxxx 当 x=1 时，级数为 ，发散；0(1)nn当 x=1 时，级数为 ，发散。所以有0(1)(1)nnn201(1),(1,1)(1)nnnxxx 第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数38 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。对于给定的函数 f(x)，当它满足什么条件时，能用幂级数表示？这样的幂级数如果存在，其形式是怎样的？1.泰勒级数和麦克劳林级数 如果函数
20、 f(x)在 x0 的某邻域内具有直到(n+1)阶的导数，则有 n 阶泰勒公式()20000000()()()()()()()()()2!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxR xn(1)10()()()(1)!nnnfR xxxn成立，其中 （在 x0 与 x 之间）。第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数39 可见，函数 f(x)可以用 n 次多项式()20000000()()()()()()()()2!nnnfxfxpxf xfxxxxxxxn来近似表示，且精确度随 n 的增大而增大。可以设想 n 趋向无穷而成为幂级数，便得到函数 f(x)：()20000000()()()
21、()()()()()2!nnfxfxf xf xfxxxxxxxn这时我们也说函数 f(x)展开成泰勒级数，并把上式称为函数 f(x)在 x0 处的泰勒展开式。第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数40 当 x0=0 时，函数 f(x)在 x0 处的泰勒展开式成为下列重要的形式：()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxn叫做函数 f(x)的麦克劳林展开式，也说函数 f(x)展开成麦克劳林级数。第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数41 2.将函数展开成幂级的方法 函数的幂级数展开，分直接展开法和间接展开法。（1）直接展开法 直接展开法是指利用麦克劳林公式展
22、开的方法。下面给出函数展开成幂级数的步骤：第一步：求出 f(x)在 x=0 的各导数值：()(0),(0),(0),(0),nffff 第二步：写出麦克劳林级数：2(0)()(0)(0)2!ff xffxx ()(0)!nnfxn并求出收敛半径 R。第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数42 例8-13 求函数 的幂级数展开式。解 因为 ，从而 （n=0，1，2，），所以麦克劳林级数为()xf xe()()nxfxe()(0)1nf()2300(0)11!2!3!nnnnnnfxxxxxxnnn 其收敛半径为 R=+。对于任意确定的 x，泰勒级数的余项的绝对值为(1)111|()|()
23、(1)!(1)!(1)!nnnnxnfexR xxxennn（在 x0 与 x 之间）第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数43 由于 是收敛级数的一般项，因此当 n 时 趋于 0，又 是与 n 无关的有限数，故 。于是得展开式1|(1)!nxn1|(1)!nxxen|xe()0()nR xn2011()!2!nxnnxxexxxnn 利用直接展开法我们可以得到 f(x)=sin x 的幂级数展开式35721sin(1)()3!5!7!(21)!nnxxxxxxxn 第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数44 （2）间接展开法 幂级数的展开式具有唯一性，可以根据一些已知的函数的
24、幂级数的展开式，利用幂级数的运算性质和解析性质，将所给函数展开为幂级数。解 用 x2 替换公式中的 x，由于|x|+，则 x2 中的 x 也有|x|+，得 例8-14 求函数 的幂级数展开式。2()xf xe2011()!2!nxnnxxexxxnn 2246220(1)1(1)()!2!3!nnxnnnxxxxexxnn 第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数45 例8-15 求函数 的幂级数展开式。解 用 3x 替换公式中的 x，由于|x|+，则 3x 中的 x 也有|x|+，得3()xf xe2011()!2!nxnnxxexxxnn 300(3)3!nnxnnnxexnn239
25、2731 32!3!nnxxxxn()x 例8-16 求函数 的幂级数展开式。()(1)xf xx e 解 因为 ，所以先把函数 xex 展开成 x 的幂级数(1)()xxx exe 第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数46 利用公式得再对上式逐项求导，有2011()!2!nxnnxxexxxnn 311201()!2!nxnnxxxexxxxnn 20131(1)()1 2!2!xxnnnnxnx exexxxnn()x 第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数47 例8-17 求函数 的幂级数展开式。解 因为 ，由幂级数的性质可知，它们的收敛半径相同。对公式()cosf x
26、xcos(sin)xx 35721sin(1)()3!5!7!(21)!nnxxxxxxxn 242cos1(1)()2!4!(2)!nnxxxxxn 逐项求导，可得 必须指出得到函数 f(x)的展开式 （R x R）之后，若幂级数在(R,R)端点处收敛，且函数 f(x)在(R,R)端点处有定义且连续，那么该展开式在(R,R)端点处也成立。()(0)()!nnff xxn第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数48 例8-18 求函数 的幂级数展开式。解 因为ln(1)x2311(1)1nnxxxxx (11)x 2341ln(1)(1)234nnxxxxxxn(11)x 所以将上式从
27、0 到 x 逐项积分得 其中，级数在 x=1 处显然是收敛的。()ln(1)f xx第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数49 例8-19 求函数 的麦克劳林级数。解 用 x2 替换公式对上式从 0 到 x 逐项积分，得 2311(11)1nxxxxxx 2462211(1)(11)1nnxxxxxx 中的 x，得35721arctan(1)(11)35721nnxxxxxxxn arctan x第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数50 此展开式对 x=1 也成立，是因为 当 x=1 时，它成为交错级数收敛 当 x=1 时，它成为交错级数111(1)21nnn11(1)21n
28、nn收敛35721arctan(1)(11)35721nnxxxxxxxn 第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数51 例8-20 将函数 展开成(x 2)的幂级数。解 因为1()5f xx2311(11)1nxxxxxx 111()253(2)3 13f xxxx而213x当 时第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数52212221233313nxxxx 所以211222153333nxxxx其中 ，即 1 x 5，收敛区间为(1,5)。213x第二节 函数项级数与幂级数三、函数展开成幂级数53 通过间接展开法，利用级数的性质，可以求一些函数的幂级数展开式。这里列出几个常用的
29、初等函数的幂级数展开式。231()2!3!nxxxxexxn )11(1112xxxxxn35721sin(1)()3!5!7!(21)!nnxxxxxxxn 2462cos1(1)()2!4!6!(2)!nnxxxxxxn 第三节 傅里叶级数第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数55 由于幂级数没有周期性，所以周期函数展开成幂级数后，其周期性很难体现出来。而正弦函数和余弦函数都具有周期性，显然周期函数更适合于展开成三角级数。1.三角级数及三角函数系的正交性 我们把形如01(cossin)2nnnaanxbnx的级数叫做三角级数。其中合称为三角函数系。1，cosx，sinx，
30、cos2x，sin2x，cosnx，sinnx，第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数56 三角函数系的性质：三角函数系中的任意两个不同项之积在 ,上的定积分等于零，而三角函数系中的任意一项的平方在 ,上的定积分都不等于零。即cos0nxdxsin0nxdxsinsin0nxkxdxsincos0nxkxdxcoscos0nxkxdx2sin nxdx2cos nxdx212dx（n=1，2，3，）（k，n=1，2，3，；k n）（n=1，2，3，）这种性质称为三角函数系的正交性。第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数57 2.周期为 2 的周期函数展开成傅
31、里叶级数 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，且能展开成三角级数01()(cossin)2kkkaf xakxbkx 那么如何利用 f(x)把 a0，a1，b1，表示出来？考虑到三角函数系的正交性，我们进一步假设上面级数可以逐项积分。01()cossin2kkkaf x dxdxakxdxbkxdx00202aa 先求 a0。对级数从 到 逐项积分，得第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数58于是得 其次求 an。用 cosnx 乘级数的两端，再从 到 逐项积分，可得01().af x dx10cossincoscoscos2cos)(kkknxdxkxbnxdxkxanx
32、dxanxdxxf2cosnnanxdxa1()cosnaf xnxdx于是得 当 n=0 时，上式正好给出 a0 的表达式。（n=1，2，3，）第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数59 类似地，用 sinnx 乘级数的两端，再从 到 逐项积分，可得1()sinnbf xnxdx1()cos(0,1,2,3,)1()sin(1,2,3,)nnaf xnxdxnbf xnxdxn 如果此公式中的积分都存在，那么由此公式确定的系数叫做函数 f(x)的傅里叶系数。（n=1，2，3，）因此，已得结果可以合并写成第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数60 将函数 f
33、(x)的傅里叶系数代入 f(x)的三角级数展开式得叫做函数 f(x)的傅里叶级数。10)sincos(2nnnnxbnxaa 我们面临着一个基本问题：周期函数 f(x)满足什么条件时可以展开成傅立叶级数？或者说，周期函数 f(x)满足什么条件时，它的傅立叶级数收敛，并且收敛于 f(x)？下面，我们不加证明地给出一个收敛定理，它是关于上述问题的一个重要结论。第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数61 定理（收敛定理，狄利克雷充分条件）设 f(x)是周期为 2 的周期函数，如果它满足条件：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（2）在一个周期内至多只有有限个极值点；则函
34、数 f(x)的傅里叶级数收敛，并且 当 x 是 f(x)的连续点时，级数收敛于 f(x)；当 x 是 f(x)的间断点时，级数收敛于 。2)0()0(xfxf 由收敛定理可知：只要函数在 ,上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，那么函数的傅里叶级数在连续点处收敛于该点处的函数值，在间断点处收敛于函数在该点处的左极限与右极限的算术平均值。第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数62 例8-21 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在 ,上的表达式为.0,1,0,1)(xxxf将 f(x)展开成傅里叶级数。解 函数 f(x)满足收敛定理的条件，它在 x=k（k=0，1
35、，2，）处不连续，在其他点处连续（如图）2 O 2 xy11第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数63 从而由收敛定理可得 f(x)的傅里叶级数收敛，并且当 x=k 时级数收敛于1(1)0,1,3,(0)(0)21 120,0,2,4,2kf kf kk 当 x k 时级数收敛于 f(x)。计算傅里叶系数为：第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数641()cosnaf xnxdx0011(1)cos1 cosnxdxnxdx00111sinsin0nxnxnn1nbnxdxxfsin)(00sin11sin)1(1nxdxnxdx00cos1cos1nnxn
36、nx 1coscos1 1nnn2(1 cos)nn4,1,3,5,0,2,4,6,nnn（n=0，1，2，3，）第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数65 将所得的系数代入公式就得到 f(x)的傅里叶级数展开式10)sincos(2nnnnxbnxaaxkkxxxf)12sin(1213sin31sin4)(;0,2,)xx 一般说来，把周期为 2 的周期函数 f(x)展开为傅里叶级数，可按下列步骤进行：第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数66 （1）判断 f(x)是否满足收敛定理的条件，并确定 f(x)的所有间断点。在做这一步时，如果作出 y=f(x)
37、的图形，结合图形进行判断，常能带来方便。（2）按照计算傅里叶系数。（3）根据写出 f(x)的傅里叶级数展开式，并注明这个展开式在哪些点处成立。1()cos(0,1,2,3,)1()sin(1,2,3,)nnaf xnxdxnbf xnxdxn10)sincos(2nnnnxbnxaa第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数67 例8-22 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在 ,上的表达式为将 f(x)展开成傅里叶级数。,0()0,0 xxf xx 解 作出函数的图形 函数 f(x)满足收敛定理的条件，它在 x=(2k+1)（k=0，1，2，）处不连续，因此，f(x)的傅
38、里叶级数在 x=(2k+1)处收敛于3 2 O 2 3 x y第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数68(0)(0)0()222ff 在连续点 x（x (2k+1)）处级数收敛于 f(x)。计算傅里叶系数为：020cossin1cos1cos)(1nnxnnxxnxdxxnxdxxfan21(1 cos)nn22,1,3,5,0,2,4,6,nnn2211)(10200 xxdxdxxfa第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数69020sincos1sin1sin)(1nnxnnxxnxdxxnxdxxfbn1cos(1)nnnn 将所得的系数代入公式10)
39、sincos(2nnnnxbnxaa第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数70就得到 f(x)的傅里叶级数展开式xxxxxxf3sin313cos322sin21sincos24)(2xxx5sin515cos524sin412(;,3,)xx 第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数71 3.奇函数与偶函数的傅里叶级数正弦级数与余弦级数 一般情况下，一个函数的傅立叶级数展开式中既含有正弦项，又含有余弦项。但是也有只含有正弦项或只含有余弦项的。这些特殊情况与所给函数的奇偶性密切相关。奇函数在对称区间上的积分为零，偶函数在对称区间上的积分为半区间上积分的二倍。据
40、傅立叶系数计算公式：1()cos(0,1,2,3,)1()sin(1,2,3,)nnaf xnxdxnbf xnxdxn第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数72 当 f(x)为奇函数时，f(x)cosnx 是奇函数，f(x)sinnx是偶函数，故00(0,1,2,3,)2()sin(1,2,3,)nnanbf xnxdxn可见，奇函数的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数：nxbnnsin1 当 f(x)为偶函数时，f(x)cosnx 是偶函数，f(x)sinnx是奇函数，故第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数7302()cos(0,1,2,3,)0(1,
41、2,3,)nnaf xnxdxnbn可见，偶函数的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数：nxaanncos210 总之，奇函数或偶函数的傅立叶级数必定是正弦级数或余弦级数。第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数74 例8-23 将周期函数 u(t)=|Esint|展开成傅里叶级数，其中E是正的常数。解 函数 u(t)满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此 u(t)的傅里叶级数处处收敛于 u(t)。因为 u(t)为偶函数，因此它的傅里叶级数是余弦级数，按公式 2 O 2 tuE02()cos(0,1,2,3,)0(1,2,3,)nnaf xnxdxnbn有 bn=0
42、，计算系数 an 如下：第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数750022()cossin cosnau tntdtEtntdt0sin(1)sin(1)Entnt dt0cos(1)cos(1)11Entntnn11)1cos(1)1cos(1nnnnE24,0,2,4,6,(1)0,3,5,7,Ennn第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数7621000222sin()cossin cos02Etau ttdtEttdttttEtu6cos3514cos1512cos31214)()t 将求得的 an 代入余弦级数，得 u(t)的傅里叶级数展开式为第三节
43、 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数77 4.,或 0,上的函数 f(x)展开成傅里叶级数 在实际应用中，有时还需把定义在区间 ,或 0,上的函数 f(x)展开成傅里叶级数，此类问题通常按如下方法解决：（1）设函数 f(x)在 ,上满足收敛定理的条件，我们在 ,)或(,外补充定义，得到一个周期为 2 的周期函数 F(x)，然后将 F(x)展开成傅里叶级数。按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓。最后将限制 x 在(,)内，此时 F(x)f(x)，从而得到 f(x)的傅里叶级数展开式。根据收敛定理，该级数在区间端点 x=处收敛于)0()0(21ff第三节 傅里叶级数一、以 2
44、为周期的函数展开成傅里叶级数78 （2）若函数 f(x)在 0,上满足收敛定理的条件，我们在(,0 内补充定义，得到定义在(,的函数 F(x)，使 F(x)在区间(,)内成为奇函数（或偶函数），按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓（或偶延拓）。延拓后的函数按情形（1）展开成傅里叶级数，当然这个级数肯定是正弦级数（或余弦级数）。最后限制 x 在(0,上，此时 F(x)f(x)，从而得到 f(x)的正弦级数（或余弦级数）展开式。例8-24 将函数 展开成傅里叶级数。,0(),0 xxf xxx 解 作出函数的图形，并在区间 ,外进行周期延拓，得到一个以2 为周期的周期函数，如下页图第三节 傅里
45、叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数793 2 O 2 3 x y 由于拓广成的周期函数处处连续，因此对应的傅里叶级数在区间 ,上收敛于 f(x)。由于 f(x)为偶函数，因此拓广成的周期函数也是偶函数。于是bn=0，而00020222)(2xxdxdxxfa第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数800022()coscosnaf xnxdxxnxdx202sincosxnxnxnn22(cos1)nn224,1,3,5,2(1)10,2,4,6,nnnnn将求得的系数代入余弦级数，得 f(x)的傅里叶级数展开式为xxxxf5cos513cos31cos42)(22)
46、(x第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数81 例8-25 将函数 f(x)=x+1（0 x ）分别展开成正弦级数和余弦级数。解 先求正弦级数展开式，为此对 f(x)进行奇延拓（如图）。按公式 O x y 1100(0,1,2,3,)2()sin(1,2,3,)nnanbf xnxdxn00sin)1(2sin)(2nxdxxnxdxxfbn202cossincosxnxnxnxnnn2(1coscos)nnn有第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数8222,1,3,5,2,2,4,6,nnnbnnxxxxx4sin43sin)2(312sin2sin)2(
47、21)0(x在端点 x=0 及 x=处，级数的和显然为零，它不表示原来函数 f(x)的值。将求得的 bn 代入正弦级数 ，得nxbnnsin1即第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数83 再求余弦级数展开式，为此对 f(x)进行偶延拓（如图）。按公式 O x y 102()cos(0,1,2,3,)0(1,2,3,)nnaf xnxdxnbn0020222)1(2xxdxxa02(1)cosnaxnxdx1)1(2)1(cos222nnnn有第三节 傅里叶级数一、以 2为周期的函数展开成傅里叶级数84即20,2,4,6,4,1,3,5,nnannxxxx5cos513cos3
48、1cos412122(0)x将求得的 an 代入余弦级数 ，得nxaanncos210第三节 傅里叶级数二、以 2l 为周期的函数展开成傅里叶级数85 设 f(x)是以 2l 为周期的周期函数，且在 l,l 上满足收敛定理的条件，作代换 ，即 ，则 F(t)是以 2 为周期的周期函数，且在 ,上满足收敛定理的条件。lxtxtl()()lf xftF t 于是可用前面的办法得到 F(t)的傅里叶级数展开式01()(cossin)2nnnaF tantbnt01()cossin2nnnan xn xf xabll然后再把 t 换回 x 就得到 f(x)的傅里叶级数展开式第三节 傅里叶级数二、以 2
49、l 为周期的函数展开成傅里叶级数86 定理 设周期为 2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为01()cossin2nnnannf xaxbxll1()cos(0,1,2,)lnln xaf xdxnll1()sin(1,2,3,)lnln xbf xdxnll且有（1）当 x 是 f(x)的连续点时，级数收敛于 f(x)；（2）当 x 是 f(x)的间断点时，级数收敛于该点的左右极限的算术平均值。其中第三节 傅里叶级数二、以 2l 为周期的函数展开成傅里叶级数87 例8-26 如图所示的三角波的波形函数 f(x)是以 2 为周期的函数，f(x)在 1,1 上的表达式是 f(x)=|x|，|x|1，求 f(x)的傅里叶级数展开式。3 2 1 O 1 2 3 xf(x)1 解 作变换1xt则得F(t)在 ,上的表达式为11()|,|f tttt第三节 傅里叶级数二、以 2l 为周期的函数展开成傅里叶级数88利用例8-24的结果可直接写出系数01a 224,1,3,5,0,2,4,6,nnann于是得到 F(t)的傅里叶级数展开式为把 t 换回 x，即 t=x，得2221411()coscos3cos5)235F ttttt （2221411()coscos3cos5)235f xxxxx （Thank!
