1、 微专题 18 函数的最值 一、基础知识： 1、函数的最大值与最小值： （1）设函数 f x的定义域为D，若 0 xD，使得对xD ，均满足 0 f xf x，那 么称 0 xx为函数 f x的一个最大值点， 0 f x称为函数 f x的最大值 （2）设函数 f x的定义域为D，若 0 xD，使得对xD ，均满足 0 f xf x，那 么称 0 xx为函数 f x的一个最小值点， 0 f x称为函数 f x的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点 （4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如： ln ,1,4f xx x， 由单调性可得 f x有最小值
2、10f， 但由于x取不到 4， 所以尽管函数值无限接近于ln4, 但就是达不到。 f x没有最大值。 （5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不 唯一，例如 sinf xx，其最大值点为2 2 xkkZ ，有无穷多个。 2 “最值”与“极值”的区别和联系 右图为一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象图中)( 1 xf与 3 ()f x是极小值， 2 ()f x是极大值函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是 3 ()f x （1） “最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值” 是个局部概念，是比较极值点附近
3、函数值得出的，具有相对性 （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也 可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值， 有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值 3、结论：一般地，在闭区间ba,上函数( )yf x的图像是一条连续不断的曲线，那么函数 ( )yf x在ba,上必有最大值与最小值 4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的 周围既有比它大的，也有比它小的，故不
4、会成为最值点 5、利用导数求函数的最值步骤: 一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(xf在( , )a b内的极值； （2）将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最 小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值 6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值 的基础 7、在比较的过程中也可简化步骤： （1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域 （2）由最值可构
5、造恒成立的不等式： 例如： ln1f xxx，可通过导数求出 min 10f xf，由此可得到对于任意的 0 x ，均有 min0f xf x，即不等式ln1xx 二、典型例题： 例 1：求函数 x f xxe的最值 思路：首先判定定义域为R,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解： 1 x fxx e，令 0fx ,解得：1x f x的单调区间为： x ,1 1, ( ) fx f x max 1 1fxf e ，无最小值 小炼有话说：函数 x f xxe先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增 再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数” ，在单峰函数中，极值点即为函数的
6、某个最值点。 例 2：已知函数 32 2f xxax,2x 是 f x的一个极值点，求： （1）实数a的值 （2 2）判断）判断 f x在区间在区间1,4上是否存在最大值和最小值上是否存在最大值和最小值 解： （1） 2 32fxxax 2x 是 f x的一个极值点 21240fa 3a （2）思路，由第（1）问可得 32 32f xxx，进而求出单调区间得到最值 解： 2 3632fxxxx x ,令 0fx ,解得：10 x 或24x f x的单调区间为： x 1,0 0,2 2,4 ( ) fx f x 计算 12,02,22,418ffff max 418f xf min 22f xf
7、 小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管1x 不在所给区间中，但也需要代入到 f x中 计算， 此时计算出的是函数左边界的临界值， 如果 12ff， 则函数就不存在最小值了。 所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。 例 3：已知函数 32 6f xaxaxb,是否存在实数, a b，使得 f x在1,2上取得最大值 4，最小值29?若存在，求出, a b的值，若不存在，请说明理由 思路：利用 fx求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进 而根据最大最小值解出, a b 解： 2 31234fxaxaxax x， （1）当0a 时，1,2x 40,0
8、 xx 0fx f x在1,2单调递减 max min 154 3 1931629 f xfba a bf xfba （2）当0a时，1,2x 40,0 xx 0fx f x在1,2单调递增 max min 3164 3 441529 f xfba a bf xfba 3 19 a b 或 3 44 a b 小炼有话说：本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数 的分类讨论。从而确定最值的选取（有关含参数单调区间的计算详见 2.1） 例 4：求函数 32 2912fxxxx(1,3x )的最值 思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比
9、较 解： 2 2912f xxxx 2 29120 xx恒成立 2 2 2912 ,0,3 2912 ,1,0 xxxx f x xxxx 当0,3x时， 22 291249612fxxxxxxx 可得： f x在 0,1 , 2,3单调递增，在1,2单调递减 00,15,39,24ffff 0,3x时, minmax 0,9f xf x 当1,0 x 时， 22 291249612fxxxxxxx f x在1,0单调递减， max 123f xf 当0 x 时， 0f x 可得函数 f x的最值为 max 123f xf ， min 00f xf 思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后
10、在加上绝对值求出最值。 解：令 32 2912g xxxx 612g xxx,1,3x 令 0g x ，解得:11x 或23x g x的单调区间为： x 1,1 1,2 2,3 ( ) fx f x 123,15,24,39gggg g x的值域为23,9 fxg x f x的值域为0,23 max23f x ， min0f x 小炼有话说： （1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内 部比较简单，则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而 求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较 （2）第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时
11、（例如绝对值为 0 的点不好确定） ，也 可考虑先求出内部的取值范围，再取绝对值进而得到值域。 例 5：已知函数 x e f x x 的定义域为0,+，求 f x在,10m mm上的最值 思路： x e f x x 的单调区间可通过导数来确定， 2 1 x xe fx x ,1x 是 f x的极值 点，而极值点是否在,1m m会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论 解： 2 1 x xe fx x ，令 0fx 解得1x f x在0,1单调递减，在1,+单调递增 1x 为 f x的极小值点 （1）当1m时， f x在,1m m单调递增 1 minmax ,1 1 mm ee f xf mf
12、 xf m mm （2）当01m时，1 1m f x在,1m单调递减，在1,1m单调递增 min 1f xfe max max,1f xf mf m 1 ,1 1 mm ee f mf m mm 下面比较 ,1f mf m的大小 若 1 1 1 11 mm eee f mf m mmmm 1 1 1 memm e 1 1 m e 时， 1 max 1 1 m e f xf m m 当 1 1 m e 时， 1 max 11 m e e f xf mf mee m 当 1 0 1 m e 时， max m e f xf m m 综上所述：1m时， 1 minmax ,1 1 mm ee f xf
13、 mf xf m mm 1 1 1 m e 时， min 1f xfe， 1 max 1 1 m e f xf m m 1 1 m e 时， 1 max 11 e f xf mf mee 1 0 1 m e 时， max m e f xf m m 例 6：已知函数( )ln() m f xxmR x 在区间, 1 e上取得最小值 4，则m_ 思路一： 函数( )f x的定义域为(0,)， 2 1 ( ) m fx xx 当( )0fx时， 2 1 0 m xx ， 当0m时，( )0fx，( )f x为增函数，所以 min ( )(1)4f xfm ，4m，矛盾舍 去；当0m时，若(0,)xm
14、，( )0fx，( )f x为减函数，若(,)xm ，( )0fx， ( )f x为增函数， 所以()ln() 1fmm为极小值， 也是最小值； 当1m， 即10m 时，( )f x在1, e上单调递增，所以 min ( )(1)4f xfm ，所以4m（矛盾） ；当 me，即me时，( )f x在1, e上单调递减， min ( )( )14 m f xf e e ，所以 3me 当1me ， 即1em 时 ，( )f x在1, e 上 的 最 小 值 为 ()ln() 14fmm ，此时 2 mee （矛盾） 综上3me 思路二： 22 1mxm fx xxx ，令导数 0fxxm ，考虑
15、最小值点只有可能在 边界点与极值点处取得，因此可假设,1,xm xxe分别为函数的最小值点,求出m后再 检验即可。 答案：3e 小炼有话说： （1）思路一为传统解法，即考虑函数是否有极值点，以及结合函数单调性分析 最小值点的位置，但由于函数 f x含有参数，导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论， 过程较为复杂 （2）思路二的想法源于最值点的出处，即最值点只会在边界点与极值点处产生，而本题中 f x的边界点与可能的极值点个数较少，故采取先算再验的手段，方法比较简便。 例 7：已知函数 lnf xxxax 在0,e上是增函数，函数 2 2 x a g xea.当 0,ln3x时，函数 g x的最
16、大值M与最小值m的差为 3 2 ，则a _. 思路： g x含有绝对值，故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值，先利用 f x的条件 确定a的取值范围， 1 lnfxax ，由 f x在0,e上是增函数可得对任意的 0,xe， 1 ln0fxax 恒成立 max1 lnax ，而1 ln1 ln2xe ， 2a ， 2 2 x a g xea，绝对值的分界点为0ln x eaxa，由2a 及定义域0,ln3 需对lna是否在区间中进行分类讨论 （1）当3a 时，则 x ea 2 2 x a g xae，可判断出 g x为减函数 2 max 01 2 a g xga 2 min ln33 2 a
17、 g xga maxmin 5 2 2 g xg x，故舍去 （2）当23a时， 2 2 ,0ln 2 ,lnln3 2 x x a aexa g x a eaax 0,lnxa 时， 2 0 2 xx a eag xae单调递减， 22 minmax ln,01 22 aa g xgag xga 当ln ,ln3xa时 2 2 x a g xea单增， 22 minmax ln,ln33 22 aa g xgag xga 。 2a ，所以 22 31 22 aa aa 。所以 22 01, 22 aa MgaN，从而有 3 1 2 MNa ，解得 5 2 a 。 答案： 5 2 例 8：若函
18、数 2 1 log 2 a f xxax 有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. 0,1 B. 0,11, 2 C. 1, 2 D. 2, 思路：观察到真数部分为开口向上的抛物线，所以若 f x取到最小值，则底数1a 且 真数 2 1 2 t xxax取到最小值，而真数部分恒大于零，所以只需 2 1 2 t xxax有大于 零的最小值即可。 2 2 2 11 2242 aa t xxaxx ，从而 2 min 1 0 42 a t x ， 解得2a ，另一方面1a ，所以 1, 2a 答案：C 例 9：已知 3 3fxxxm在区间0, 2上任取三个不同的数, ,a b c,均存在以 ,f
19、af bf c为边长的三角形,则m的取值范围是 . 思路：考虑三角形成立的条件：两条较短的边的和大于第三边，由于, ,a b c任取， ,f af bf c也可取值域中的任意值。要保证能构成三角形，满足两个条件： ,f af bf c均大于零，即 min0f x， 极端情形短边均取最小值，和大于第三边 即可。 2 33fxx 令 0fx 结合定义域解得：12x，故 f x在0,1单调减， 在1,2单调增。 min 12f xfm， max 22f xfm， 222 6 20 mm m m 答案：6m 例 10：若函数 3 3f xxx在 2 ,6aa上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A 5,1 B 5,1 C2,1 D2,1 思路： 2 33fxx，令 01fxx或1x，所以 f x在 , 1 , 1, 单 调递增，在1,1单调递减，1x 为函数的极小值点。因为函数 f x在 2 ,6aa上有 最小值，则函数 f x的极小值点必在区间 2 ,6aa 内，且左端点的函数值不小于 1f， 2 1 16 55 1 2 a aa a f af a ,2,1a 答案：C
