1、 微专题 29 图像变换在三角函数中的应用 在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如sinyAx的函数，通过横 纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换， 尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。 一、基础知识： （一）图像变换规律：设函数为 yf x（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换： （1）f xa： f x的图像向左平移a个单位 （2）f xa： f x的图像向右平移a个单位 （3） f xb： f x的图像向上平移b个单位 （4） f xb： f x的图像向下平移b个单位 2、函数图像的放缩变换： （1）f kx：
2、 f x的图像横坐标变为原来的 1 k （图像表现为横向的伸缩） （2） kf x： f x的图像纵坐标变为原来的k倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）fx： f x在x轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y轴 对称的图像 （2） fx： f x在x轴上方的图像不变，x轴下方的部分沿x轴向上翻折即可（与原x轴 下方图像关于x轴对称） （二）图像变换中要注意的几点： 1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？ 在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐
3、标的变换 例如：31yfx：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤 2yfx：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为 平移变换 2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数” 平移变换 （2）添“系数”放缩变换 （3）加“绝对值”翻折变换 3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安 排顺序时注意以下原则： 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化 例如： 21yf xyfx可有两种方案 方案一：先平移（向左平移 1 个单位） ，此
4、时 1f xf x。再放缩（横坐标变为原来的 1 2 ） ，此时系数2只是添给x，即121f xfx 方案二：先放缩（横坐标变为原来的 1 2 ） ，此时 2f xfx，再平移时，若平移a个单 位，则2222fxfxafxa（只对x加a） ，可解得 1 2 a ，故向左平移 1 2 个单位 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如： 21yf xyf x有两种方案 方案一：先放缩： 2yf xyf x，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加 1， 即 221yf xyf x 方案二：先平移： 1yf xyf x，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a倍，那么 11yfxya fx
5、，无论a取何值，也无法达到 21yf x，所以需要对 前一步进行调整：平移 1 2 个单位，再进行放缩即可（2a ） 二、典型例题： 例 1：要得到函数sin 2 3 yx 的图像，只需要将函数sin2yx的图像（ ） A. 向左平移 3 个单位 B. 向右平移 3 个单位 C. 向右平移 6 个单位 D. 向左平移 6 个单位 思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过 程中要注意只有含x的地方进行了变化，所以只有sin2sin 2 63 yxx ，所以是 向右平移 6 个单位 答案：C 小炼有话说： （1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后
6、的函数。 （2）对于x前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。 例 2：把函数sinyx的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再 把图像向右平移 3 4 个单位，这是对应于这个图像的解析式是（ ） A. cos2yx B. cos2yx C. 13 sin 24 yx D. 13 sin 28 yx 思路： 13 24 3 sinsin2sin2 4 yxyxyx 横坐标向右平移 ，经过化简可得： 33 sin2sin 2cos2 42 yxxx 答案：A 例 3：为了得到函数sin 2 6 yx 的图像，可以将函数cos2yx的图像（ ） A. 向左平移 3 个单位
7、 B. 向右平移 3 个单位 C. 向右平移 6 个单位 D. 向左平移 6 个单位 思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的， 只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在考 虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，cos2sin 2 2 yxx ，第二步观察 可得只是经过平移变换， 但是受到x系数影响。 所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移 了多少，目标函数：sin 2 12 yx ；原函数：sin 2sin 2 24 yxx 可得平移了 3 个单位 答案：B 小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数
8、名，所以当原函数与目标函数三角函 数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦 例 4：要得到sinyx的图像只需将sin 23 x y 的图像（ ） A. 先向左平移 2 3 个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的 1 2 B. 先向右平移 2 3 个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的 1 2 C. 先将图像上各点的横坐标缩短至原来的 1 2 ，再将图像向左平移 3 个单位 D. 先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的2倍，再将图像向右平移 3 个单位 思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以 可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同 A
9、. 12122 sinsinsinsin 23233233 x yyxxyx B. 121 sinsinsinsin 232332 x yyxxyx C. 2 sinsinsin 2333 x yyxyx D. 11 sinsinsinsin 234343344 xx yyyxx 答案：B 例 5：为了得到函数xxy3cos3sin的图像，可以将函数xy3sin2的图像（ ） A.向右平移 4 个单位 B.向左平移 4 个单位 C.向右平移 12 个单位 D.向左平移 12 个单位 思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从xxy3cos3sin入手化为 sinyAx的形式： 22
10、2sin3cos32sin 3 224 yxxx ，从而得到 需要xy3sin2向左平移 12 个单位。 答案：D 例 6：将函数sin 2yx的图像沿x轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的图像， 则的一个可能取值为（ ） A 4 B0 C 4 D 4 3 思路：首先先求出平移后的解析式， 8 sin 2sin 2 8 yxyx 向左平移 即sin 2 4 yx ， 在 由 已 知 可 得 其 中 一 条 对 称 轴 为0 x ， 所 以 2 42 kkZ ，解得：2 4 kkZ ，当0k 时， 4 答案：C 小炼有话说：本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目 例 7：若将函数siny
11、x0, 2 的图像向右平移 6 个单位可得到一个奇函 数的图像，向左平移 3 个单位可得到一个偶函数的图像，则, 可取的一组值是（ ） A. 2, 3 B. 2, 6 C. 1, 6 D. 1 , 26 思路：本题也可按照例 6 的处理方式，通过两次平移得出解析式然后列出, 的方程组求解， 但从另一方面，由两次平移后得到的对称轴（对称中心）的位置可以推出平移之前的对称位 置，从而确定出原函数的对称轴与对称中心：向右平移 6 个单位后关于0,0对称，则原函数 关于,0 6 中心对称；向左平移 3 个单位关于0 x 轴对称，则原函数关于 3 x 轴对称， 从而确定周期42 36 T ，进而1，而s
12、inyx向右平移 6 个单位 得到奇函数，可得 6 答案：C 例 8： 若把函数sinyx图像向左平移 3 个单位， 则与函数cosyx的图像重合， 则的 值可能是（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 思路： 首先将两个函数的三角函数名统一：cossin 2 yxx ， 将函数sinyx向 左平移 3 得到的解析式为sinsin 33 yxx ，由于两个函数图像重合， 可得sinsin 32 xx ，所以2 32 xxkkZ ，解得： 3 6 2 k kZ，故选择 D 答案：D 例 9将函数 sin 2 22 f xx 的图象向右平移0 个单位长度后得 到函数 g x
13、的图象，若 ,f xg x的图象都经过点 3 0, 2 P ，则的值可以是（ ） A. 5 3 B. 5 6 C. 2 D. 6 思路：可以考虑先求出 f x的解析式，从而减少 g x中的变量个数。 3 0sin 2 f， 而 223 ，即 sin2 3 fxx ，所以 sin2sin22 33 g xf xxx ，依题意 3 0sin2= 32 g ，可得：22 33 k 或 2 22 33 k ，kZ 解得：k或 6 k ，只有 B 符合题意 答案：B 例 10：函数( )sin()f xAx（其中) 2 , 0 A）的图象如图所示，为了得到 ( )sing xx的图象，则只要将)(xf的
14、图象（ ） A向右平移 6 个单位长度 B向右平移 12 个单位长 度 C向左平移 6 个单位长度 D向左平移 12 个单位长 度 思路：本题分为两步，先根据图像求解析式，再确定图像变换。由图像可得： f x最小值为 1，所以1A，再由对称中心与对称轴距离可得周期 7 4 123 T ，从而2。 此时()sin(2)fxx，由( )f x过 7 , 1 12 可得： 773 sin122 6623 kk ，所以( )sin(2) 3 fxx ， sin2g xx，则需 f x向右平移 6 个单位：sin 2sin2 663 fxxx 答案：A 三、近年好题精选 1、函数 12sinsin3co
15、sf xxxx 的图像向左平移 3 个单位得函数 g x的图像， 则函数 g x的解析式是（ ） A 2sin 2 2 g xx B 2cos2g xx C 2 2cos 2 3 g xx D 2sin 2g xx 2、 （2016，陕西八校联考）下图是 sin()f xAx，,0,0,0 2 xR A 在区间 5 , 66 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin ()yx xR的图象上所 有的点（ ） A向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变 C向左平移 3 个
16、单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 D向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变 3、 （2015，山东）要得到函数sin 4 3 yx 的图像，只需将函数sin4yx的图像（ ） A. 向左平移 12 个单位 B. 向右平移 12 个单位 C. 向左平移 3 个单位 D. 向右平移 3 个单位 4、 （2014，辽宁）将函数3sin 2 3 yx 的图像向右平移 2 个单位长度，所得图像对应的 函数（ ） A. 在区间 7 , 12 12 上单调递减 B. 在区间 7 , 12 12 上单调递增 C. 在区间, 6 3 上单调
17、递减 D. 在区间, 6 3 上单调递增 5、 （2014，四川）为了得到函数sin 21yx的图像，只需把函数sin2yx的图像上所 有的点（ ） A. 向左平行移动 1 2 个单位长度 B. 向右平行移动 1 2 个单位长度 C. 向左平行移动1个单位长度 D. 向右平行移动1个单位长度 6、为了得到函数3sin 2 3 yx 的图像，只需把函数3sinyx图像上所有点（ ） A. 向左平行移动 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 B. 向左平行移动 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C. 向左平行移动 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原
18、来的 1 2 D. 向右平行移动 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 7、把函数sinyx的图像上所有的点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图像上所有点 的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，得到的图像所表示的函数是（ ） A. sin 2 3 yx B. sin 26 x y C. sin 2 3 yx D. 2 sin 2 3 yx 习题答案：习题答案： 1、答案：A 解析： 2 12sin2 3sin coscos23sin22sin 2 6 f xxxxxxx 2sin 22sin 22sin 2 33622 g xfxxxx 2、答案：D 解析：由
19、图像可得 f x的周期 5 2 63 T ，所以2，另一方面由最值可得 1A ，即 sin(2)fxx，由 5 0 36 ff 可知 7 1 12 f ，可解得 73 2 122 kkZ ， 即 3 。 那么 sin 2 3 f xx 。 可知sin ()yx xR 按选项 D 的方式变换即可得到 f x 3、答案：B 解析：sin 4sin 4 312 yxx ，故将sin4yx向右平移 12 单位即可 4、答案：B 解析：变换后的图像解析式为： 2 3sin 23sin 2 233 yxx ，考虑其单增区 间： 2 222 232 kxkkZ ，解得： 7 1212 kxk ，B 正确 5、答案：A 解析： 1 sin 21sin 2 2 yxx ，故只需将sin2yx的图像向左平行移动 1 2 个单 位长度 6、答案：A 解析：可知要经过放缩与平移，若先平移，则要先向左移动 3 ，再将坐标变为原来的 1 2 ，A 符合 7、答案：C 解析： 1 32 sinsinsin 2 33 yxyxyx 向左平移横坐标缩短
