1、 O y x z F E G H I J Oy x z A C B B C D A 微专题 63 立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算， 不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标 系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直 底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点 2、, x y轴的选
2、取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么 几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于, x y轴上 （2）找角：, x y轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂 直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、 常用的空间直角坐标系满足, ,x y z轴成右手系， 所以在标 , x y轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应 不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致 的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用 坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直） ， 这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论： （1
3、）线面垂直： 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这 条直线与该平面垂直 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直） ： 正方形，矩形，直角梯形 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） 菱形的对角线相互垂直 勾股定理逆定理：若 222 ABACBC，则ABAC （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为 3 类 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为 1）中的, ,A C D点，坐标特
4、点如下： x轴：,0,0 x y轴：0, ,0y z轴：0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为 0 （2）底面上的点：坐标均为, ,0 x y，即竖坐标0z ，由于底面在作立体图时往往失真，所 以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出,H I点的坐标，位置关系清晰明了 11 1,0 ,1,0 22 HI 2、空间中在底面投影为特殊位置的点： 如果 11 ,A x y z在底面的投影为 22 ,0A xy，那么 1212 ,xxyy（即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写
5、。如果可以 则直接确定了横纵坐标， 而竖坐标为该点到底面的距离。 例如： 正方体中的 B点， 其投影为B， 而1,1,0B所以 1,1,Bz，而其到底面的距离为1，故坐标为 1,1,1B 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三 个方法： 3、需要计算的点 中点坐标公式： 111222 ,A x y zB x y z，则AB中点 121212 , 222 xxyyzz M ， 图中的, , ,H I E F等中点坐标均可计算 利用向量关系进行计算（先设再求） ：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系， 进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是
6、先设出所求点的坐标，再选取向量，利 用向量关系解出变量的值，例如：求 A点的坐标，如果使用向量计算，则设 , ,A x y z，可 直 接 写 出 1,0,0 ,1,1,0 ,1,1,1ABB， 观 察 向 量 ABAB， 而0,1,0AB ， 1,1,1ABxyz 101 110 101 xx yy zz 1,0,1A 二、典型例题： 例 1： 在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，90BAC，,D E F分别是棱,AB BC CD 的中点，1,2ABACPA，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 解：PA 平面ABC ,PAAB PAAC 90BAC ,PA AB AC两两垂直 以,A
7、P AB AC为轴建立直角坐标系 坐标轴上的点：0,0,0 ,1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,2ABCP I H OC AB F E D A C B P 中点：:D AB中点 1 ,0,0 2 :E BC中点 1 1 ,0 2 2 :F PC中点 1 0,1 2 综上所述： 11 11 1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,2 ,0,0 ,0 ,0,1 22 22 BCPDEF 小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程 在解答题中可以省略。 例 2：在长方体 1111 ABCDABC D中，,E F分别是棱 1 ,BC CC上的点，2CFABCE， 1
8、 :1:2:4AB AD AA ，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标 思路：建系方式显而易见，长方体 1, ,AA AB AD两两垂直， 本 题 所 给 的 是 线 段 的 比 例 ， 如 果 设 1 ,2 ,4ABa ADa AAa等，则点的坐标都含有a，不 便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐 标都为具体的数。 解：因为长方体 1111 ABCDABC D 1 ,AB AD AA两两垂直 以 1 ,AB AD AA为轴如图建系，设AB为单位长度 1 1 2,4,1, 2 ADAACFCE 1111 1,0,0 ,1,2,0 ,0,2,0 ,1,0,4 ,0,0,4 ,1,2
9、,4 ,0,2,4BCDBACD 3 1,0 ,1,2,1 2 EF 例 3：如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，1,60ADDCCBABC，CF 平面ABCD，且1CF ，建立适当的直角坐标系并确定各点 坐标。 思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面ABCD找 过C的相互垂直的直线即可。由题意，BCD不是直角。所 A D B C B1 C1 A1 D1 E F D A B C F 以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标 系 方案一： （选择BC为轴） ，连结AC 可知120ADC 在ADC中 222 2cos3ACADDCAD DCADC 3
10、AC 由3,1,60ACBCABC可解得2,90ABACB ACBC CF 平面ABCD ,CFAC CFBC 以,AC CF BC为坐标轴如图建系： 31 0,1,0 ,3,0,0 ,0 ,0,0,1 22 BADF 方案二（以CD 为轴） 过C作CD的垂线CM CF 平面ABCD ,CFCD CFCM 以,CD CF CM为坐标轴如图建系： （同方案一）计算可得： 3 ,2 2 CMAB 333 1 ,0 ,0 ,0, 1,0 ,0,0,1 2222 ABDF 小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z轴） ，对于, x y轴的选取，如果 没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直
11、线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条 轴，本题中的两个方案就是选过垂足C的直线为轴建立的坐标系。 例 4：已知四边形ABCD满足 1 , 2 ADBC BAADDCBCa，E是BC中点，将 BAE翻 折 成 1 B AE， 使 得 平 面 1 B AE 平 面 AECD，F为 1 B D中点 思路： 在处理 翻折问题时， 首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在 翻折时，BAE是等边三角形，四边形AECD为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根 A B E D C F A B E D C DC AB DC AB 据平面 B AE 平面AECD，结合
12、 B AE是等边三角形，可取AE中点M，则可证 BM 平面AECD，再在四边形AECD找一组过M的垂线即可建系 解：取AE中点M，连结 B M B AE是等边三角形 BMAE 平面 B AE 平面AECD B M平面AECD，连结DM ,BMME BMMD 四边形AECD为60的菱形 ADE为等边三角形 DMAE ,BM MD ME两两垂直 如图建系，设AB为单位长度 11333 ,0,0 ,0,0 ,0,0 ,1,0 ,0,0, 22222 AEDCB F为 B D中点 33 0, 44 F 例 5 ： 如 图 ， 已 知 四 棱 锥PABCD的 底 面 是 菱 形 ， 对 角 线,A C
13、B D交 于 点 ,4,3,4O OAOBOP，且OP 平面ABCD，点M为PC的三等分点（靠近P） ，建 立适当的直角坐标系并求各点坐标 思路：由OP 平面ABCD，可得OP作为z轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性 质，选取,OB OC作为, x y轴。在所有点中只有M的坐标相对麻烦，对于三等分点可得 1 3 PMPC，从而转化为向量关系即可求出M坐标 解：OP 平面ABCD ,OPOB OPOC 菱形ABCD OBOC ,OP OB OC两两垂直 以,OP OB OC为坐标轴如图建系 可得：0,0,4 ,3,0,0 ,0,4,0 ,0, 4,0 ,3,0,0PBCAD 设, ,M x
14、 y z 由 1 3 PMPC可得： 1 3 PMPC , ,4 ,0,4, 4PMx y zPC M F A B E D C M A E D C 00 44 33 48 4 33 xx yy zz 4 8 0, 3 3 M 小炼有话说： （1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质 （2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来 例 6：如图所示的多面体中，已知正方形ABCD与直角梯形BDEF所在的平面互相垂直， EFBD，,EDBD2,1ADEFED，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐 标 思路：题目已知面面垂直，从而可以找到DE与底面垂直，再由底面是正方形
15、，可选,AD DC 为, x y轴，图中F点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到 解：平面EFBD 平面ABCD 又因为直角梯形BDEF EDDB ED平面ABCD 正方形ABCD ADBD ,ED DA DC两两垂直 以,DE DA DC为轴建立直角坐标系 坐标轴上的点： 2,0,0 ,0, 2,0 ,0,0,1ACE 底面上的点： 2, 2,0B F点两种确定方式： 可看其投影，落在BD中点处 22 ,0 22 ，且高度为 1，所以F 22 ,1 22 设, ,F x y z , ,1 ,2, 2,0EFx y zDB 1 2 EFDB 2 2 222 ,1 222 10 x yF
16、z 综上所述： 22 2,0,0 ,0, 2,0 ,0,0,1 ,2, 2,0 ,1 22 ACEBF 例 7：如图，在三棱柱 111 ABCABC中，H是正方形 11 AAB B的中心， 11 2 2,AAC H平 A D B C F E B B1 AA1 H C1 C 面 11 AAB B， 1 5C H ，建立适当的坐标系并确定各点坐标 思路： 1 C H 平面 11 AAB B，从而 1 C H可作z轴，只需在平面 11 AAB B找到过H的两条垂线 即可建系（两种方案） ，对于坐标只有C坐标相对麻烦，但由 11 CCAA可以利用向量进行计 算。 解：方案一： （利用正方形相邻边垂直关
17、系建系） 如图建系：则 11 2, 2,0 ,2,2,0 ,2, 2,0AAB 1 2,2,0 ,0,0, 5BC 设, ,C x y z，则 1 , ,5CCx y z 1 0, 2 2,0A A 由 11 CCAA可得： 00 2 22 2 505 xx yy zz 0, 2 2, 5C 综上所述： 11 2, 2,0 ,2,2,0 ,2, 2,0 ,2,2,0 ,AABB 1 0,0, 5 ,0, 2 2, 5CC 方案二： （利用正方形对角线相互垂直建系） 如图建系：由 1 2 2AA 计算可得 11 2AHB H 11 2,0,0 ,0, 2,0 ,0,2,0AAB 1 2,0,0
18、,0,0, 5BC 设, ,C x y z，则 1 , ,5CCx y z 1 2, 2,0A A 由 11 CCAA可得： 22 22 505 xx yy zz 2, 2, 5C 综上所述： 11 2,0,0 ,0, 2,0 ,0,2,0 ,2,0,0 ,AABB 1 0,0, 5 ,2, 2, 5CC 小炼有话说：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相 对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。 （相信所给的 1 2 2AA 目的也 倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会 B B1 AA1 H C1 C B
19、 B1 AA1 H C1 C 决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特 点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础 例 8：如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D-中，侧棱 1 A AABCD底面,ABAC,1AB =, 1 2,5ACAAADCD=,且点M和N分别为 11 CDBD和的中点。建立合适的空间直 角坐标系并写出各点坐标 思路：由 1 A AABCD底面，ABAC可得 1, ,AA AB AC两两垂直，进而以它们为轴建立 坐标系，本题中 1111 ,A B C D均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中D点坐标相对麻烦，可 作出底面的平面
20、图再根据平面几何知识进行计算。 解： 侧棱 1 A AABCD底面 11 ,A AAB A AAC ABAC 1 ,AB AC AA两两垂直 以 1 ,AB AC AA为轴建立直角坐标系 底面上的点：0,1,0 ,2,0,0BC 由5ADCD=可得ADC为等腰三角形，若P为AC 中点，则DPAC 22 2DPADAP 1, 2,0D 可投影到底面上的点： 1111 0,0,2 ,0,1,2 ,2,0,2 ,1, 2,2ABCD 因为M和N分别为 11 CDBD和的中点 1 1,1 ,1, 2,1 2 MN 综上所述： 1111 0,1,0 ,2,0,0 ,1, 2,0 ,0,0,2 ,0,1,
21、2 ,2,0,2 ,1, 2,2BCDABCD 1 1,1 ,1, 2,1 2 MN 例 9： 如图： 已知PO 平面ABCD， 点O在AB上， 且EA PO， 四 边 形ABCD为 直 角 梯 形 ， P A C B D O 1 ,2, 2 ADBC BCAB BCCDBOPOEAAOCD，建立适当的坐标系并求 出各点坐标 思路：由条件可得ABAD，而PO 平面ABCD，EA PO可得到EA 平面ABCD， 从而以,EA AB AD为轴建系。难点在于求底面梯形中,AB OD的长度。可作出平面图利用平 面几何知识处理。 解：PO 平面ABCD，EA PO EA 平面ABCD ,EAAB EAA
22、D ,ADBC BCAB ADAB ,AE AD AB两两垂直，如图建系： 1 1 2 EACD 0,0,1E Rt AOB中： 22 3ABOBOA 1 cos60 2 AO AOBAOB BO ADBC 60BOCAOB BCBO BOC为等边三角形 OCBCCD 60OCB 60DOC COD为等边三角形 2ODCD 3,0,0 ,0,1,0 ,0,3,0 ,3,2,0BODC P在底面ABCD投影为O且2PO 0,1,2P 综上所述： 3,0,0 ,0,1,0 ,0,3,0 ,3,2,0 ,0,1,2 ,0,0,1BODCPE 例 10：已知斜三棱柱 1111 ,90 ,2,ABCAB
23、CBCAACBCA在底面ABC上的射影恰 为AC的中点D，又知 11 BAAC，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 思路：本题建系方案比较简单， 1 AD 平面ABC，进而 1 AD作z轴，再过D引AC垂线即 可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是 1 B的投影不易 在图中作出（需要扩展平面ABC） ，第一个问题可先将高设为h，再利用条件 11 BAAC求 解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。 解：过D作AC的垂线DM ， 1 AD 平面ABC D A C B A1 B1 C1 A D B C O 11 ,ADDC ADDM，而DMDC 以 1 ,AD D
24、C DM为轴建立直角坐标系 0, 1,0 ,0,1,0 ,2,1,0ACB，设高为h 则 1 0,0,Ah，设 1 , ,Cx y z 则 11 0,2,0 , ,ACACx y zh 由 11 ACAC可得： 00 22 0 xx yy zhzh 1 0,2,Ch 11 2, 1,0,3,BAhACh 2 1111 030BAACBA ACh ，解得3h 11 0,0, 3 ,0,2, 3AC 设 1 , , 3B x y 11 , ,0ABx y 而2,2,0AB 且 11 ABAB 2 2 x y 1 2,2, 3B 综上所述： 111 0, 1,0 ,0,1,0 ,2,1,0 ,0,0, 3 ,0,2, 3 ,2,2, 3ACBACB
