1、 微专题 66 直线与圆位置关系 一、基础知识： 1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 2、圆的标准方程：设圆心的坐标,C a b，半径为r，则圆的标准方程为： 22 2 xaybr 3、圆的一般方程：圆方程为 22 0 xyDxEyF （1） 22 ,xy的系数相同 （2）方程中无xy项 （3）对于,D E F的取值要求： 22 40DEF 4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式： （1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径 为r，圆心到直线的距离为d，则： 当rd时，直线与圆相交 当rd时，直线与圆相切
2、 当rd时，直线与圆相离 （2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的 方程，再判断解的个数。设直线：0AxByC，圆： 22 0 xyDxEyF，则： 22 0 0 AxByC xyDxEyF 消去y可得关于x的一元二次方程，考虑其判别式的符号 0 ，方程组有两组解，所以直线与圆相交 0 ，方程组有一组解，所以直线与圆相切 0 ，方程组无解，所以直线与圆相离 5、直线与圆相交： 弦长计算公式： 22 22ABAMrd 6、直线与圆相切： （1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心 到切线的距离等于半径 例：已知圆的
3、方程为： 22 4xy及圆上一点 1, 3P，求过P的圆的切线 方法一：利用第一条性质：3 OP k，所以可得切线斜率 3 3 k 切线方程为： 3 31 3 yx ，整理后可得：34xy 方法二：利用第二条性质：设切线方程l为：31yk x 即3kxyk 2 3 2 1 O l k dr k 整理可得： 2 2 32 310310kkk 解得： 3 3 k 3 :3134 3 l yxxy （2）圆上点的切线结论： 圆 222 xyr上点 00 ,P x y处的切线方程为 2 00 x xy yr 圆 22 2 xaybr上点 00 ,P x y处的切线方程为 2 00 xaxaybybr
4、（3）过圆外一点的切线方程（两条切线） ：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再 利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。 （要注意判断斜率不存在的直线是否 为切线） 7、与圆相关的最值问题 （1）已知圆C及圆外一定点P，设圆C的半径为r则圆上点到P点距 离的最小值为PMPCr， 最大值为PNPCr（即连结PC 并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点 M M C C N N P P （2）已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直 的弦MN 解 ：， 弦 长 的 最 大 值 为 直 径 ， 而 最 小 值 考 虑 弦 长 公 式 为
5、 22 2ABrd，若AB最小，则d要取最大，在圆中CP为定值， 在弦绕P旋转的过程中， dCP，所以dCP时，AB最小 （3）已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的 最小值为 C l PMdr ，距离的最大值为 C l PNdr （过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于M，其 反向延长线交圆C于N （4） 已知圆C和圆外的一条直线l， 则过直线l上的点作圆的 切线，切线长的最小值为PM 解： 2 2 PMCPr，则若PM最小，则只需CP最小即可， 所以P点为过C作l垂线的垂足时，CP最小 过P作圆的切线，则切线长PM最短 8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含 （
6、1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆 12 ,O O的半径为 12 ,r r， 12 OOd 12 drr 12 ,OO外离 12 drr 12 ,OO外切 1212 rrdrr 12 ,OO相交 12 drr 12 ,OO内切 12 drr 12 ,OO内含 （2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的 个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直 接判定。 C C P P A A B B l l M M C C P P N N l l C C P P M M 二、典型例题： 例 1：已知直线20axy与圆心为C的
7、圆 22 14xya相交于,A B两点，且 ABC为等边三角形，则实数a （ ） A. 3 3 B. 1 3 C. 1或7 D. 415 思路：因为ABC为等边三角形且C为圆心，所以该三角形的边长为2，由等边三角形的性 质可知高为3，即C到AB的距离为3，由圆方程可得：1,Ca，所以利用点到直线距 离公式可得： 2 2 2 2 32231 1 CAB aa daa a ，解得：415a 答案：D 例 2：圆心在曲线 2 0yx x 上，且与直线210 xy 相切的面积最小的圆的方程为 （ ） A. 22 125xy B. 22 215xy C. 22 1225xy D. 22 2125xy 思
8、路：不妨设圆心 2 , a a ，其中0a ，半径为r，因为直线与圆相切，所以有 2 21 5 a a dr ，若圆的面积最小，则半径最小，则 2 21 12 21 55 a a ra a 11 2 215 5 a a ， 即 m i n 5r， 此 时1a ， 所 以 圆 方 程 为 ： 22 125xy 答案：A 例 3：设点,1M m，若在圆 22 :1O xy上存在点N，使得30OMN，则m的取值 范围是（ ） A. 3, 3 B. 1 1 , 2 2 C. 2,2 D. 33 , 33 思路：由圆的性质可知：圆上一点T，与,M O所组成的角OMT，当MT与圆相切时， OMT最大。所以
9、若圆上存在点N，使得30OMN，则30OMT。由,1M m和 22 1xy可知过M且与圆相切的一条直线为1y ，切点0,1T ，所以在直角三角形 OMT中， 3 tan 3 OT OMT TM ，从而333TMm 答案：A 例 4：设,m nR，若直线1120mxny与圆 22 111xy相切，则 mn的取值范围是（ ） A. 13,13 B. ,1313, C. 22 2,22 2 D. ,22 222 2, 思 路 ： 通 过 圆 方 程 可 知 圆 心1,1C， 半 径1r ， 因 为 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以 222 22 111 11 C l mn dmnmn mn ， 整
10、 理 后 可 得 ： 1mnmn，即 1 1 m n m ，所以 12 12 11 m mnmm mm ，进而由“对勾 函数“性质可知 ,22 222 2,mn 答案：D 小炼有话说：本题由于mR，所以对于 2 12 1 m m 不能使用均值不等式，而要通过换 元转换为常见函数求得值域 例 5： 若圆 22 44100 xyxy上至少有三个不同的点到直线: l ykx的距离为2 2， 则直线l斜率的取值范围是_ 思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与k找到联系。通过 图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为： 22 2218xy，即圆心为 2,2，半径3 2r
11、 ，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线l距离为2 2，则圆心到 直线的距离应小于等于2， 所以 2 22 2 1 C l k d k ， 即解不等式： 2 2 2221kk， 解得：23,23k 答案：23,23 例 6：直线yxm与圆 22 16xy交于不同的两点,M N，且3MNOMON， 其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是（ ） A. 2 2,22,2 2 B. 4 2, 2 22 2,4 2 C. 2,2 D. 2 2,2 2 思路：不妨设MN的中点为A，则可知2OMONOA，从而2 3MNOA，在圆 22 16xy中，可知OA为圆心O到MN的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦
12、心距的 关 系 可 得 ： 2 2 2 1 16 2 MNOAr ， 代 入2 3MNOA可 得 ： 2 2 316OAOA，解得：2OA ，即2 2 O MN m d ，所以2 2,2 2m 答案：D 例 7：在平面直角坐标系xOy中，已知圆 2 2 :32C xy，点A是x轴上的一个动点， ,AP AQ分别切圆C于,P Q两点，则线段PQ的取值范围是（ ） A. 14 , 2 3 B. 2 14 ,2 2 3 C. 14 , 2 3 D. 2 14 ,2 2 3 思路：如图设,AC PQ交于M，则有2PQPM，只需确 认PM的范围即可，由圆方程可得2r ，设PCM， 所以sin2 sinP
13、MPC，在Rt PCA中，可得： 2 2 2 2 sin1 ACrAP ACAC AC ，所以 PM 2 2 21 AC ，下面确定 2 AC的范围。设,0A x，因为0, 3C，所以 2 2 99,ACx，从而解得 14 , 2 3 PM 。则 2 14 2,2 2 3 PQPM 答案：B 例 8：已知圆 22 :cossin1Mxy，直线: l ykx下面四个命题： （1）对任意实数k与，直线l和圆M相切； （2）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点； （3）对任意实数，必存在实数k，使得直线l和圆M相切; （4）对任意实数k，必存在实数，使得直线l和圆M相切. 其中真命题的代号是_ 思路
14、一（代数运算） ：四个命题均和直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和半 径 的 大 小 关 系 ： 由 圆M方 程 可 知 圆 心cos ,sinM， 半 径 为1 ， 所 以 2 cossin 1 Ml k d k ，为了便于计算，不妨比较 2 Ml d 与 1 的大小关系，从而有： 2 2 2222 2 22 cossin1cos2sin cossin1 1 11 Ml kkkkk d kk 2222 22 1cos2sin cos1sin sincos 0 11 kk k kk 所以对任意的实数, k，直线l和圆M有公共点，但不一定相切。故（1）错误（2）正确； （3） （4）
15、与相切有关，所以考虑 2 1 Ml d ，由上式可得：sincosk，从而可得，对 于任意的实数，不一定会存在k，使得等式成立。例如sin0时，不成立；但对于任 意的k，总有 cos1 sintan k ，使得成立，即直线与圆相切。所以（3）错误， （4）正确， 综上所述，正确的是（2） （4） 思路二 （数形结合） ： 通过观察cos ,sinM， 可知M为单位圆上的点。 则必有1OM ， 又因为M的半径为 1，所以可得M过原点。而直线: l ykx过定点0,0，所以直线与 圆必有公共点。 （2）正确。因为0,0在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点为切点，故 切线也只有一条。所以（1）错误
16、。对于（3） （4） ，通过前面的结论可知对于任意的一个圆M， 均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）正确。而（3）忽略 了一种情况，当圆心M位于x轴上时，此时切线为y轴，虽有切线但斜率不存在，所以不能 表示为ykx的形式。所以（3）错误 答案： （2） （4） 例 9：:设) 1 , 0(),0 , 1 (BA，直线,:axyl圆1: 2 2 yaxC.若圆C既与线段AB又与 直线l有公共点，则实数a的取值范围是 思路：本题a的取值范围为两个条件的交集。先处理圆C与l有公共点：由圆方程可知圆的圆 心为,0a，半径1r ，若圆与直线有公共点，则 2 42 2 11 1
17、 C l a daa a ，解得： 2 15 0, 2 a ，所以 1515 , 22 a 。另一方面，考虑圆C与AB有公共点， 因为该圆半径不变， 圆心在x轴上移动，所以可根据a的符号进行分类讨论：0a 显然成立， 当0a 时， 由图像可知圆心的最远端为在A的右侧且到A的距离为 1， 即02a， 当0a 时 ， 可 知 圆 最 左 端 的 位 置 为 与 线 段AB相 切 的 情 况 ，:10AB xy ， 所 以 1 1 2 CAB a d ，解得：12a 。所以120a，综上所述：圆与线段AB有公 共点时，122a，从而 122 15 12 1515 2 22 a a a 答案： 15
18、12, 2 例 10：已知ABC的三个顶点( 1,0)A ，(1,0)B，(3, 2)C，其外接圆为圆H （1）求圆H的方程； （2）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为 2，求直线l的方程； （3）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点,M N，使得点 M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围 解： （1）思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段 的垂直平分线为直径（过原点） ，所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题中 抓住1,0 ,1,0AB ，关于y轴对称。从而得到圆心在y轴上，设其坐标为0,Hy再根据 BHCH，
19、即可解出y值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程 由ABC外接圆为圆H可得： H在AB垂直平分线上 1,0 ,1,0AB H在y轴上 设0,Hy BHCH 222 22 132BHCHyy ，解得： 3y 0,3H 10rBH 2 2 :310H xy （2）思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过C从而可设出直线方程，再利用弦心距 解得直线方程即可 设:23230l yk xkxyk 由弦长为 2 和10r 可得： 22 13 Hl dr 2 2 2 323 31391 1 Hl k dkk k ，解得： 4 3 k 4 :234360 3 l yxxy 当斜率不存在时，:3l
20、 x ，联立方程： 2 2 33310 , 42 3 xxxy yy x 弦长为 2，符合题意 综上所述：l的方程为4360 xy和3x （3）思路一： （代数方法）由,B H坐标可求出BH的方程：330 xy，其线段上一点 ,P m n，设,N x y，则中点, 22 mx ny M ，由,M N在圆C上可得（设圆C的半径 为r） ： 22 2 22 2 32 32 22 xyr mxny r ，则存在,M N即方程组有解。方程组中的方程 为两个圆 2222 22 32,644xyrxmynr， 只需两个圆有公共点即 可。所以 22 36243rmnr ，再由330mn 整理后可得： 222
21、 1012109rmmr对任意0,1m恒成立。可得： 2 2 32 5 910 r r ，再有线段BH与圆 C无公共点，即 22 2 32mnr在0,1m恒成立。解得： 2 32 5 r ，从而 2 1032 95 r，即可求得r的范围 解：1,0 ,0,3BH BH的方程为：1330 3 y xxy 设,P m n P在线段BH上 330mn 且0,1m 3 3nm 设,N x y M为PN中点 33 , 2222 mx nymxmy N 设圆 22 2 :32Cxyr，由,M N在圆上可得： 22 2 22 2 32 33 32 22 xyr mxmy r ，整理后可得： 22 2 22
22、2 32 6314 xyr xmymr ，若,M N存在，则方程组有解 即圆心为3,2C，半径为r的圆与圆心为 6,31Cm m，半径为2r的圆有公共点 根据两圆位置关系可知： 22rrCCrr，即： 22 362313rmmr 在0,1m恒成立 22 22 3319rmmr，整理后可得： 22 22 101210 9101210 rmm rmm 在0,1m恒成立 22 min 22 max 101210 9101210 rmm rmm 设 2 2 332 10121010 55 f mmmm 32 ,10 5 f m 2 2 2 32 1032 5 95 910 r r r ，解得： 104
23、 10 35 r 若M为PN中点，则P在圆C外 2 2 32mnr即 22 2 331mmr在0,1m恒成立 22 min 324 10 101210 55 rmmr 综上所述： 10 4 10 , 35 r 思路二（数形结合） ：通过图像可观察出，若对于线段BH上任意一点P均满足题意，则需达 到两个条件：第一，P在圆外，可先利用坐标判定出,CBHCHB为锐角，从而C在BH 上的投影位于线段BH上，所以 C BH rd ；第二，P到圆上点的最小距离（记为 min d）应小 于或等于到圆上点最大距离（记为 max d）的一半，即 minmax 1 2 dd，否则，若 minmax 1 2 dd当
24、 圆上取其他,M N点时， minmax ,PMdPNd，由不等式的传递性可知： 1 2 PMPN， M不可能为PN中点。因为P在圆外，所以可知在圆上任意一点中， min dPCr， max dPCr，代入可得3PCr恒成立。综上 max 3 CBH rd rPC 即可求出r的范围 解：1,0 ,0,3 ,3,2BHC，若对任意P点，已知条件均满足 则P在C外 1,3 ,2,2 ,1, 3 ,3, 1BHBCHBHC 0,0BH BCHB HC ,CBHCHB为锐角 C在BH上的投影位于线段BH上 22 3 3234 10 5 31 C BH rd 依题意，若对任意P点，均存在,M N使得 1
25、 2 PMPN 设P到圆上点的最小距离为 min d，到圆上点最大距离为 max d，则有： minmax 1 2 dd 否则若 minmax 1 2 dd minmax ,PMdPNd 1 2 PMPN，导致不存在满足条件的,M N P在圆外 minmax ,dPCr dPCr，代入可得： 1 3 2 PCrPCrPCr max 1 3 rPC 由图可知： 2 2 32310CH 22 3 1202 2BC CHBC 即 max 10PCCH 10 3 r 综上所述： 10 4 10 , 35 r 三、历年好题精选 1、设圆设圆 22 :3C xy，直线，直线:360l xy，点，点 00
26、,P x yl，若存在点，若存在点QC，使得，使得 60OPQ（O为坐标原点） ，则为坐标原点） ，则 0 x的取值范围是（的取值范围是（ ） A. 1 ,1 2 B. 6 0, 5 C. 0,1 D. 2、已知已知 22 ,|11,|Ax yx xyyBx yxya，若，若AB，则实数，则实数a的的 取值范围是（取值范围是（ ） A. 0,2 B. 1 , 2 C. 2, D. 2 , 2 3、 （2015，广东）平，广东）平行于直线行于直线210 xy 且与圆且与圆 22 5xy相切的直线的方程是（相切的直线的方程是（ ） A. 250 xy或或250 xy B. 250 xy或或250
27、xy C. 250 xy或或250 xy D. 250 xy或或250 xy 4 、（ 2015 ， 江 苏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系， 江 苏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 以 点中 ， 以 点1,0为 圆 心 且 与 直 线为 圆 心 且 与 直 线 210mxymmR 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 5、 （2014，湖北）直线，湖北）直线 1: lyxa和和 2: lyxb将单位圆将单位圆 22 :1C xy分成长度相等的分成长度相等的 四段弧，则四段弧，则 22 ab_ 6、 （2014， 全国卷） 直线，
28、 全国卷） 直线 1 l和和 2 l是圆是圆 22 2xy的两条切线， 若的两条切线， 若 1 l与与 2 l的交点为的交点为1,3，则则 1 l与与 2 l夹角的正切值等于夹角的正切值等于_ 7 7 、 (2016(2016 ， 吉 安 一 中 高 三 期 中， 吉 安 一 中 高 三 期 中 ) ) 已 知 圆已 知 圆C ： 222 (62 )4560 xym xmymm， 直线， 直线l经过点经过点(1,1)， 若， 若 对任意的实数对任意的实数 m，直线，直线l被圆被圆 C 截得的弦长都是定值，则直线截得的弦长都是定值，则直线l的方程为的方程为_ 8、已知已知,0M a bab 是圆
29、是圆 222 :O xyr内一点，现有以内一点，现有以M为中点的弦所在直为中点的弦所在直 线线m和直线和直线 2 : l axbyr，则（，则（ ） A. ml，且，且l与圆相交与圆相交 B. ml，且，且l与圆相交与圆相交 C. ml，且，且l与圆相离与圆相离 D. ml，且，且l与圆相离与圆相离 9、 （2015， 广东） 已知过原点的动直线， 广东） 已知过原点的动直线l与圆与圆 22 1: 650Cxyx相交于不同的两点相交于不同的两点,A B （1）求圆）求圆 1 C的圆心坐标；的圆心坐标； （2）求线段）求线段AB的中点的中点M的轨迹的轨迹C的方程；的方程； （3） 是否存在实数）
30、 是否存在实数k， 使得直线， 使得直线:4L yk x与曲线与曲线C只有一个交点？若存在， 求出只有一个交点？若存在， 求出k的的 取值范围；若不存在，说明理由取值范围；若不存在，说明理由. 习题答案：习题答案： 1、答案：B 解析：依题意可知 2 22 00 OPxy，由 00 ,P x yl可得： 0 0 6 3 x y 。 OPQ在PQ与圆相切时取得最大值 若OP变长，则OPQ的最大值将变小 当60OPQ且PQ与圆相切时，2PO 若存在点QC，使得60OPQ，则2PO 0 0 22 00 6 3 4 x y xy ，解得： 0 6 0, 5 x 2、答案：C 解析： 22 22 111
31、 :0 222 A xxyyxy 即A为以 1 1 , 2 2 为圆心， 2 2 为 半径的圆A的内部，集合B为圆心在原点，半径为a的圆B的内部。则AB表示圆A在 圆B的内部，在坐标系中作出圆A，数形结合即可得到圆B半径的范围为 2, ，则a的 范围为2, 3、答案：D 解析：由平行关系可设切线方程为20 xyc，则5 5 c d ，解得：5c ，所以 切线的方程为250 xy或250 xy 4、答案： 2 2 12xy 解析：方法一：210210mxymxmy 可知动直线过定点2, 1， 所以可算出圆心与定点的距离为2，所以半径最大的圆即为以该定点为切点的圆，所以 2r ，圆方程为： 2 2
32、 12xy 方法二： 由相切可知 2 22 2 112 12 11 1 mmm r mm m ， 所以半径最大的圆方程 为 2 2 12xy 5、答案：2 解析： 由直线方程可知 12 ll， 若将单位圆分成相等的四段弧， 则弦端点与圆心所成的角为 2 ， 所以 12 2 2 O lO l dd ，所以 1 2 2 22 2 22 O l O l a d b d 解得1ab，所以 22 2ab 6、答案： 4 3 解析：从几何性质出发，结合坐标计算线段的长，设1,3P，则 10PO ，又因为2r ，所以 5 sin 5 BO BPO PO ，所以 可得 1 tan 2 BPO，则所求 2 2t
33、an4 tantan2 1tan3 BPO BPABPO BPO 7 7、答案：230 xy 解析：圆标准方程： 22 329xmym，圆心为3,2Cm m，半径为3，可知C 在直线26yx 。点(1,1)到直线26yx 的距离 2163 3 55 d ，所以过 (1,1)且与26yx 平行的直线与圆相交，因为圆的半径3r ，所以截得的弦长为定值。 所以2k ，即:121230l yxxy 8、答案：C 解析：由圆的性质可知可知中点弦与OM垂直，所以斜率 1 OM b k ka ，中点弦 m方程为： 22 a ybxaaxbyab b ，可得ml，另一方面， 2 22 O l r d ab ，
34、 因为,M a b在圆内， 所以 22 abr， 所以 2 22 O l r dr ab ， 直线l与圆相离 9、解析： （1）圆 2 222 1: 65034Cxyxxy 圆心坐标为3,0 （2）设,M x y，则可知 1 C MAB 1 11 3 C MAB yy kk xx ，整理可得： 2 2 39 24 xy 当动直线与圆相切时，设直线方程：ykx 则 22 22 650 1650 xyx kxx ykx 22 4 362010 5 kk 切点的横坐标为 2 165 213 x k 由圆的性质可得：M横坐标的取值范围为 5 ,3 3 所以轨迹方程为 2 2 393 ,3 245 xyx （3） 由 （2） 可得曲线C为圆 2 2 395 ,3 243 xyx 的一部分圆弧EF（不包括,E F） ， 其中 5 2 552 5 , 3333 EF 直线:4L yk x过定点4,0 当直线与圆相切时： 2 5 332 24 1 C l k dk k 当直线与圆不相切时，可得 2 5 0 2 5 3 5 7 4 3 DE k ， 2 5 0 3 2 5 5 7 4 3 DF k 数形结合可得：当 2 5 2 5 , 77 k 时，直线与圆有一个交点 综上所述： 2 5 2 533 , 7744 k 时，直线L与曲线C只有一个交点
