1、 微专题 61 三视图几何体的体积问题 一、基础知识： 1、常见几何体的体积公式： （:S底面积，:h高） （1）柱体：VS h （2）锥体： 1 3 VS h （3）台体： 1212 1 3 VSSS Sh，其中 1 S为上底面面积， 2 S为下底面面积 （4）球： 3 4 3 VR 2、求几何体体积要注意的几点 （1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台） ，另一方面要看好该 几何体摆放的位置是否是底面着地。对于摆放“规矩”的几何体（底面着地） ，通常只需通过 俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积。 （2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成
2、的，或是以哪个几何体为基础切掉了 一部分。然后再寻找相关要素 （3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推 断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等” ，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相 等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等， 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相 等。 二、典型例题： 例 1：已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _ 思路：从正视图，侧视图可判断出几何体与锥体相关（带尖儿）， 从俯视图中可看出并非圆锥和棱锥，而是两者的一个组合体（一 半圆锥 三棱锥），所以 1 2 VVV 圆锥棱锥，锥体的高计算可 得6 3h （
3、利用正视图），底面积半圆的半径为6，三角形底边为12，高为6（俯视图看 出），所以 1 12 636 2 S 三角形 ， 2 636S 圆 ，则 1 72 3 3 VSh 三角形棱锥 ， 1 72 3 3 VSh 圆圆锥 ，所以 1 36 372 3 2 VVV 圆锥棱锥 答案：36 372 3 例 2：已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直 角梯形，则该棱锥的体积为 . 思路：观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱 锥 的 真 正 底 面 体 现 在 正 视 图 （ 梯 形 ） 中 ， 所 以 1 4241 2 2 S 底 ， 而棱锥的高为侧视图
4、的左右间距， 即4h ，所以 1 16 3 VSh 底 答案：16 例 3：若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积 是_ 思路：该几何体可拆为两个四棱柱，这两个四棱柱的高均 为 4（俯视图得到） ，其中一个四棱柱底面为正方形，边长 为 2（正视图得到） ，所以 2 11 2416VSh，另一个 四 棱 柱 底 面 为 梯 形 ， 上 下 底 分 别 为2,6， 所 以 2 1 2628 2 S ， 22 8 432VSh 。故几何体 的体积为 12 48VVV 答案：48 例 4：如下图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是_ 思路：从三视图中观察可得该组合体是由一个圆柱与一个躺倒
5、的三棱锥拼接而成，对于圆柱 可得其底面半径为4（正视图） ，高为8（正视图） ，所以 2 48128VS h 圆柱 ，而棱柱底面为底是3（俯视 图） ，高为4（正视图）的三角形，棱柱的高为6 （俯视图） ， 所以可得 1 =3 4 636 2 VS h 棱柱 ，所以组合体的体积为 12836VVV 圆柱棱柱 答案：12836 例 5：某几何体三视图如图所示（正方形边长为2） ，则该几何体的体积为 . 思路：由正视图与侧视图可得该几何体的轮廓为一个棱柱，从俯 视图中可确定该组合体为正方体截掉了两部分，且这两部分刚好 都是 1 4 个圆柱，可拼成 1 2 个圆柱。所以先计算出正方体的体积 3 28
6、V 正方体 ，而圆柱 的底面半径为1，高为2，所以 11 2 22 VV 截圆柱 ，所以 组合体的体积为=8VVV 正方体截 答案：8 例 6：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( ) A4 B22 C D8 答案：D 思路：由于长方体被平面所截，所以很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上 一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，因为长方体由两个完全一样的几何体拼成， 所以所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为2，长方体 的高为3 14 ，所以 2 2416V 长方体 ，所以 1 8 2 VV 长方体 例
7、7：一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 _ 思路：由主视图观察下方有圆弧形，所以判断有旋转体，结合侧 视图与俯视图可判断出几何体下部为一个圆柱 （圆柱体的一半） ， 且圆柱的上方摞着一个长方体。所以 1 2 VVV 长方体圆柱，长方 体的长宽高分别为 2,2,4，则2 2 4 16V 长方体 ，圆柱体的 高为 4（侧视图看出），底面半径为 2（由主视图看出），则 2 2416V 圆柱 ，所以 1 168 2 VVV 长方体圆柱 答案：168 例 8：已知四棱锥PABCD的直观图和三视图如图所示，则三棱锥CPBD的体积为 _ 思路：要求三棱锥CPBD的体积，则要确定棱锥的高 （P
8、到底面BCD的距离）和BCD的面积，从主视图 中可判断出棱锥的高2h ，俯视图体现出四边形 ABCD为矩形，所以BCD的面积为 1 1 21 2 BCD S ，所以 112 2 1 333 BCD Vh S 答案： 2 3 例 9：一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为_ 2 cm 思路：从俯视图可判断出该几何体的基础应为直三棱柱，但从侧视 图与正视图可以看出几何体是直三棱柱切掉了一部分，其中侧视图 体现出三棱柱从上底面一直切到下底面，而正视图中的线恰好是截 面与侧面形成的棱（切痕），进而可作出直观图，从图中可看出剩 余的几何体为一个四棱锥（顶点为B，所以 1 3 AC
9、DEBACDE VdS 平面 ，棱锥的高是4（侧视图的左右间距），四 边形ACDE是边长为6的正方形（由正视图看出），所以 2 636 ACDE S，所以 AC B ED 2 11 4 3648 33 ACDEBACDE VdScm 平面 答案：48 例 10：如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为 ( ) A. 8 3 B. 4 3 C. 4 3 D. 2 3 思路： 本题很难直接看出棱锥的底面积与高， 但通过观察可看出 此棱锥可能由正方体 1111 ABCDABC D （棱长为 2）通过切割 而成， 所以先画出正方体， 再根据三视图中的实线虚线判断如何 切割，正视图中可看出正方体用前后面的对角线所在平面将下方完全切掉，从左视图可看出 正方体的右侧面（虚线）有切痕，俯视图体现出正方体的上底面有切痕。进而可得所求棱锥 为一个四棱锥， 底面是矩形 11 ABCD， 宽2CD ， 长 1 2 2BC ， 因为CD平面 11 ADD A， 所以平面 11 ABCD 平面 11 ADD A，过 1 D作 1 AD的垂线 1 D E，则有 1 D E 平面 11 ABCD， 即高 1 2D E ，所以棱锥的体积为 11 1 118 2 2 22 333 A B CD VSD E 答案： 8 3
