1、 微专题 81 排列组合寻找合适的模型 在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决 问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题 一、典型例题： 例 1：设集合A由n个元素构成，即 12 , n Aa aa，则A所有子集的个数为_ 思路：可将组成子集的过程视为A中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中， 所以第一步从 1 a开始，有两种选择，同样后面的 23 , n a aa都有两种选择，所以总数 2222 n n N 个 个 答案：2n 例 2：已知1,2,3,40S ，AS且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列， 则这样的集合
2、A共有（ ）个 A. 460 B. 760 C. 380 D. 190 思路：设A中构成等差数列的元素为, ,a b c，则有2bac，由此可得, a c应该同奇同偶， 而当, a c同奇同偶时，则必存在中间项b，所以问题转变为只需在1 40中寻找同奇同偶数的 情况。, a c同为奇数的可能的情况为 2 20 C，同为偶数的可能的情况为 2 20 C，所以一共有 2 20 2380C种 答案：C 例 3：设集合 12345 ,|1,0,1 ,1,2,3,4,5 i Ax x x x xxi ，那么集合A中满足条件 “ 12345 13xxxxx”的元素个数为（ ） A. 60 B. 90 C.
3、 120 D. 130 思路： 因为0 i x 或1 i x ， 所以若 12345 13xxxxx， 则在1,2,3,4,5 i x i 中至少有一个1 i x ，且不多于3个。所以可根据 i x中含 0 的个数进行分类讨论。 五个数中有 2 个 0，则另外 3 个从1, 1中取，共有方法数为 23 15 2NC 五个数中有 3 个 0，则另外 2 个从1, 1中取，共有方法数为 32 25 2NC 五个数中有 4 个 0，则另外 1 个从1, 1中取，共有方法数为 4 35 2NC 所以共有 23324 555 222130NCCC种 答案：D 例 4：设集合1,2,3,10A，设A的三元
4、素子集中，三个元素的和分别为 12 , n a aa， 求 12n aaa的值 思路：A的三元子集共有 3 10 C个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨换 个思路，考虑将这些子集中的1,2,10各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这 3 10 C个子 集中共含有多少个1,2,10。以 1 为例，含1的子集可视为集合中有元素 1，剩下两个元素从 9 个数中任取，不同的选取构成不同的含 1 的子集，共有 2 9 C个，所以和为 2 9 1 C，同理，含 2 的 集 合 有 2 9 C， 其 和 为 2 9 2C ， 含 10 的 集 合 有 2 9 C个 ， 其 和 为 2 9
5、10C所 以 2 1291 2101980 n aaaC 答案：1980 例 5：身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子 矮，则所有不同的排法种数是多少 思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且 进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而 将问题转化为分组问题。则 222 3 642 3 3 3 90 C C C NA A （种） 答案：90 例 6：四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，则由这 10 点构成的直线中，有（ ）对异面 直线 A. 450 B. 441
6、C. 432 D. 423 思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在 3 对异面直线，而不共面的四个点便 可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为 寻找这 10 个点中共面四点的情况。 首先 4 个面上共面的情况共有 4 6 460C， 每条棱与对棱 中点共面情况共有 6 种，连结中点所成的中位线中有 3 对平行关系，所以共面，所以四点共 面的情况共有 4 6 46369C 种，所以四点不共面的情况有 4 10 69141C种，从而异面直 线的对数为141 3423N 种 答案：D 小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面三棱锥四点不共面四点
7、共面，从而 将所考虑的问题简单化 例 7：设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA 且1kA ，那么称k是 集合A的一个“孤立元” ，给定1,2,3,4,5,6,7,8S ，则S的 3 个元素构成的所有集合中， 其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ） A. 6 B. 15 C. 20 D. 25 思路：首先要理解“kA，则1kA 且1kA ” ，意味着“独立元”不含相邻的数，元 素均为独立元，则说明 3 个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插 空法可得： 3 6 20C 种 答案：C 例 8：圆周上有 20 个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个
8、 思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上 4 个点， 而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在 圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可 组成多少个四边形的问题，所以共有 4 20 4845C个 答案：4845个 例 9：一个含有 10 项的数列 n a满足： 1101 0,5,1,(1,2,9) kk aaaak ，则符合 这样条件的数列 n a有（ ）个 A. 30 B. 35 C. 36 D. 40 思路：以 1 1 kk aa 为入手点可得： 1 1 kk aa ，即可视
9、为在数轴上， k a向左或向右移 动一个单位即可得到 1k a ，则问题转化为从 1 0a 开始，点向左或向右移动，总共 9 次达到 10 5a，所以在这 9 步中，有且只有 2 步向左移动 1 个单位，7 步向右移动 1 个单位。所以 不同的走法共有 2 9 36C 种，即构成 36 种不同的数列 答案：36 种 例 10：方程10 xyzw的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？ 思路：本题可将 10 理解为 10 个 1 相加，而, , ,x y z w相当于四个盒子，每个盒子里装入了多 少个 1，则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法 得： 3 9
10、84C 种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以 考 虑 进 行 化 归 ： 10111114xyzwxyzw， 则 1,1,1,1xyzw这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得： 3 13 286C种 答案：正整数解有 84 种，非负整数解有 286 种 二、历年好题精选 1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或 最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ） A144 种 B96 种 C48 种 D34 种 2、现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4
11、 张从中任取 3 张，要求 这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张不同取法的种数为 （ ） A. 232 B. 252 C.472 D. 484 3、在 1，2，3，4，5 这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为 9 的三位数共有（ ） A. 16 个 B. 18 个 C.19 个 D.21 个 4、把座位号为 1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张， 且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ） A96 B240 C48 D40 5、某班组织文艺晚会，准备从,A B等 8 个节目中选出 4 个节目演出，要求
12、：,A B两个节目 至少有一个选中，且,A B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数 为（ ） A1860 B1320 C1140 D1020 6、某班一天中有6节课，上午3节课，下午3节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、 物理、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数为 （ ） A72 B216 C320 D720 7、用 0、1、2、3、4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个 奇数数字之间的五位数的个数是（ ） A48 B36 C28 D12 8、某宾馆安排 A、B、C、D、E 五人入住 3 个房间，每个
13、房间至少住 1 人，且 A、B 不能住同 一房间，则不同的安排方法有（ ）种 A24 B 48 C96 D114 9、 （2014 重庆八中一月考，2）要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别分 层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是 A 2 5 3 9C C B 2 5 3 10C C C 2 5 3 10A A D 2 5 4 10C C 10、 （2015，广东文） ，若集合： , , ,|04,04,04, , , ,Ep q r spsqsrsp q r sN ， , , ,|04,04, , , ,Ft u v wtuvwt u v wN ， 用card X表示
14、集合X中的元 素个数，则 card Ecard F（ ） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 11、 （2014，浙江）在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分 配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种 12、 （2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角 为 60 的共有( ) A24 对 B30 对 C48 对 D60 对 13、 （2014，重庆）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相 声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A 72 B 120 C 1
15、44 D 168 14、 （2014，广东）设集合 12345 ,|1,0,1 ,1,2,3,4,5 i Ax x x x xxi ，那么集 合A中满足条件“ 12345 13xxxxx”的元素个数为（ ） A. 60 B. 90 C. 144 D. 168 15、 （2016，哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中 一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班 级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为 ( ) A. 484 B. 472 C. 252 D. 232 16、集合1,2,3,20S 的 4 元子集 1234 ,Ta a
16、 a a中，任意两个元素差的绝对值都不 为 1，这样的 4 元子集T的个数有_个 习题答案：习题答案： 1、答案：B 解析：,B C相邻则考虑使用整体法，程序A有要求所以先确定A的位置，共有 2 种选法，然 后排剩下的元素 4 4 A，再排,B C间的顺序 2 2 A，所以总数为 42 42 296NA A 2 2、答案：C 解析：考虑使用间接法，16 张卡片任取 3 张共有 3 16 C种，然后三张卡片同色则不符合要求，共 有 3 4 4 C种，然后若红色卡片有 2 张则不符合要求，共有 21 412 C C种，所以不同的取法种数为： 3321 164412 4472NCCC C 3 3、答
17、案：A 解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是1,3,5或2,3,4，三 位数共有 3 3 2A个；若有两个重复数字，则数字为2,2,5和1,4,4，三位数有 1 3 26C 个；若三 个数字相同，则只有 333，所以 31 33 22119NAC 4 4、答案：A 解析：5 张票分给 4 个人，则必有一人拿两张票，所以先确定哪个人有两张票，共 1 4 C种选择， 然后确定给哪两张连号的票，共 4 种情况，剩下的票分给 3 人即可。所以 13 43 496NC A 5 5、答案：C 解析：由题可知可分为两类：第一类,A B只有一个选中，则还需从剩下 6 个里选出 3
18、个节目， 然后全排列，所以不同的演出顺序有 134 264 C C A；第二类，,A B同时选中，则还需从剩下 6 个 里选出 2 个，然后,A B不相邻则进行插空，所以不同演出顺序有 222 623 C A A。综上 134222 264623 1140NC C AC A A 6 6、答案：B 解析： 先排数学与艺术各有 3 种共 9 种， 其余的 4 个科目全排列有 4 4 A种， 所以 4 4 9216NA 7 7、答案：C 解析：根据题意，在 0，1，2，3，4 中有 3 个偶数，2 个奇数，可以分 3 种情况讨论： （1）0 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况
19、；再将 1、0、3 看成一个整体， 与 2、4 全排列，有6 3 3 A种情况；故 0 被奇数夹在中间时，有 3 3 212A 种情况； （2）2 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况；再将 1、2、3 看成一个整体， 与 0、4 全排列，有6 3 3 A种情况，其中 0 在首位的有 2 种情况，则有624种排法；故 2 被奇数夹在中间时，有2 48种情况； （3）4 被奇数夹在中间时，同 2 被奇数夹在中间的情况，有 8 种情况， 则这样的五位数共有 12+8+8=28 种. 8 8、答案：D 解析：由题可知，5 个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和
20、（2,2,1）两种， 当为（3,1,1）时，有60 3 3 3 5 AC种，A、B 住同一房间有18 3 3 1 3 AC种，故有421860 种，当为（2,2,1）时，有90 3 3 2 2 2 3 2 5 A A CC 种，A、B 住同一房间有18 2 2 2 3 1 3 ACC种，故有 90 1872种，根据分类计数原理共有4272114种 9、答案：A 解析：由分层抽样可得男生需要 4 名，女生需要 2 名，甲男生担任队长，则还需要出 3 名男 生，所以 32 95 NC C 10、答案：D 解析： 分别统计,E F中元素的个数， 在E中，, ,p q r可取的值由s的值决定， 当4s
21、 时, ,p q r 分别可选0,1,2,3，所以有 3 464种，当3s 时；同理, ,p q r有 3 327种；当2s 时；同 理, ,p q r有 3 28种 ； 当1s 时 ； 同 理, ,p q r有1种 ， 所 以 共 计 182 76 41 0 0c a r dE；在F中，可知, t u一组，, v w一组，按照E的计算方式 可 得, t u和, v w的 选 择 各 有10种 ， 所 以 10 10100card F 。 从 而 200card Ecard F 11、答案：60 解析： 可按获奖人数进行分类讨论， 若有 3 人， 则一人获得一张中奖的奖券， 即 3 14 24
22、NA， 若 2 人，则 1 人获 1 个奖，1 人获 2 个奖， 2 24 336NA，所以共计60S 12、答案：C 解析：正方体的对角线共有 12 条，其所成角大致分为0 ,60 ,90，可使用间接法， 2 个一对共有 2 12 66C种选法，其中成0的有 6 对，成90有 12 对，所以成60的共 有66 12648对 13、答案：B 解析：不相邻则“插空” ，可歌舞类节目搭架子，因为歌舞类节目也不能相邻，所以另外 3 个 节目插空时有两种情况，一种情况为 3 个节目插 3 个空，则有 2 种插法，再安排完顺序，合 计： 33 133 272NAA；另一种情况为相声与一个小品相邻，然后与
23、另一个小品插两个 空，则 1223 22223 48NCAAA，则共计 12 120SNN种 14、答案：D 解析： 12345 13xxxxx可知在 12345 ,x x x x x中，1 i x 的情况至少 1 个，最多 3 个，从而分1,2,3三种情况讨论即可，每种讨论都分为两步，第一步确 定几个选 0，几个选1；第二步确定选1的是选 1 还是1： 12233 555 222130NCCC 1515、答案：B 解析：分两种情况讨论，当三班没人时， 33 1124 3208NCC ，当三班恰有一人时， 12 2412 264NC C，所以 12 472SNN 1616、答案： 4 17 C 解析：两个元素差绝对值不为一，说明T中的四个元素两两不相邻，所以考虑插空法，剩下 16 个位置共 17 个空，选择四个孔即可，共有 4 17 C个
