1、 微专题 79 利用点的坐标处理解析几何问题 有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体 代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心 去处理问题。 一、基础知识： 1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将 其视为“必备结构” ，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理” 的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解 经常与 12121212 ,xx x x yyy y相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几 个根
2、的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具， 只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣： （1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受 12121212 ,xx x x yyy y形式的约束 （2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根） ，从而使得点的坐标也变得 复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型： （1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式） ，则可考虑 把点的坐标解出来（用核心变量进行表示） （2）
3、直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或 因式分解求解） 4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能 够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。 （整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题： 例 1：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点,A B分别是椭圆C的左右顶点 （1）求圆O和椭圆C的方程 （2）已知,P Q分别是椭圆和圆上的动点（,P Q位于y轴的两 侧） ，且直线PQ与x轴平行，直线,AP BP分别与y轴交于
4、点 ,M N，求证：MQN为定值 解： （1） 依题意可得242aa，O过焦点， 且rb bc ，再由 222 4bca可得2bc 椭圆方程为 22 1 42 xy ，圆方程为 22 2xy （2）思路：条件主要围绕着P点展开，所以以P为核心，设 00 ,P x y，由PQ与x轴平行， 可得 10 ,Q x y。若要证明MQN为定值，可从MQN的三角函数值下手，在解析中角的 余 弦 值 可 以 与 向 量 的 数 量 积 找 到 联 系 ， 从 而 能 够 转 化 为 坐 标 运 算 。 所 以 考 虑 cos QMQN MQN QMQN ，模长并不利于计算，所以先算QM QN，考虑利用条件设
5、出 ,AP BP方程，进而,M N坐标可用核心变量 00 ,x y表示，再进行数量积的坐标运算可得 0QM QN，从而 2 MQN ，即为定值 解：设 00 ,P x y PQ与x轴平行， 设 10 ,Q x y，由,P Q所在椭圆和圆方程可得： 22 22 00 00 22 22 10 10 421 42 2 2 xy xy xy xy 由椭圆可知：2,0 ,2,0AB 0 0 2 AP y k x 0 0 :2 2 y AP yx x 令0 x ，可得： 0 0 2 0, 2 y M x 同理： 0 0 :2 2 y BP yx x 可得 0 0 2 0, 2 y N x 000000 1
6、01101 0000 22 , 2222 yx yyx y QMxyxQNxyx xxxx 22 22 000000 11 2 000 224 x yx yx y QM QNxx xxx ，代入 22 00 22 10 42 2 xy xy 可得： 22 00 222 000 2 0 42 2220 424 yy QM QNyyy y QMQN，即 2 MQN 为定值 思路二：本题还可以以,AP BP其中一条直线为入手点（例如AP） ，以斜率k作为核心变量， 直线AP与椭圆交于,A P两点，已知A点坐标利用韦达定理可解出P点坐标（用k表示） ，从 而可进一步将涉及的点的坐标都用k来进行表示，再
7、计算0QM QN也可以，计算步骤如 下： 解：设 00 ,P x y，由椭圆方程可得：2,0 ,2,0AB 所以设直线:2AP yk x，联立方程： 22 2222 1 21884042 2 xy kxk xk yk x 22 00 22 8442 2121 A kk x xx kk ，代入到直线方程可得： 0 2 4 21 k y k 2 22 424 , 21 21 kk P kk 2 2 2 4 1 21 422 2 21 BP k k k kk k 1 :2 2 BP yx k ，由:2AP yk x，令0 x 可得： 1 0,2,0,MkN k 设 10 ,Q x y，则 1010
8、1 ,2,QMxkyQNxy k 2 222 100100 121 22 k QM QNxkyyxyy kk 由Q在圆上可得： 22 10 2xy，再由 0 2 4 21 k y k 代入可得： 2 2 214 220 21 kk QM QN kk QMQN，即 2 MQN 为定值 例 2：设椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，右顶点为A，上顶点为B， 已知 12 3 2 ABFF （1）求椭圆的离心率 （2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点 1 F，经过原点O的直线 l与该圆相切，求直线l的斜率 解： （1）由椭圆方程可知：,0
9、 ,0,A aBb， 12 ,0 ,0FcF c 22 12 ,2ABabFFc 22222 3 23 2 abcabc 即 2222 2 3 2 c aacce a （2）由（1）可得: :2:1:1a b c 椭圆方程为 22 22 1 2 xy cc 设 00 ,0,P x yBc 1001 ,FPxc yFBc c 以线段PB为直径的圆经过点 1 F 110000 0FP FBc xccyyxc 联立方程： 2 22 222 22 22 yxc xxcc xyc ，整理可得： 2 340 xcx，解得： 0 4 3 c x ，代入直线方程： 0 3 c y 41 , 33 Pcc 0,
10、Bc 可知PB的中点为 22 , 33 Tcc ， 22 11415 0 22333 rPBcccc 圆方程为 22 2 225 339 c xcyc 设直线l：ykx 2 22 533 3 1 Tl kcc dc k ，整理可得： 2 22 225 1810 339 kkkk ，解得： 415k 直线l的斜率为415或415 例 3： （2014，重庆）如图所示，设椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，点 D在椭圆上， 12 112 1 ,2 2 FF DFFF DF ， 12 DFF的面积为 2 2 （1）求椭圆的标准方程 （2）设圆心在y轴上的圆与椭
11、圆在x轴的上方有两个交点，且圆在 这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径 解： （1）设 12 ,0 ,0FcF c，由 12 1 2 2 FF DF 可得： 12 1 2 22 2 FF DFc 12 121 1122 2 2222 DF F SFFDFcc，解得 2 11cc 121 2 2, 2 FFDF 在 12 DFF中， 222 21122 93 2 22 DFDFFFDF 12 22 22aDFDFa 1b 椭圆方程为： 2 2 1 2 x y （ 2 ） 如 图 ： 设 圆 与 椭 圆 2 2 1 2 x y相 交 ， 111222 ,P x yP x y
12、是两个交点 12 0,0yy， 1 122 ,FP F P是圆的切线，且 1 122 FPF P，则由 对 称性可得： 2112 ,xx yy 121 2P Px 由（1）可得 12 1,0 ,1,0FF 1 111222211 1,1,1,FPxyF Pxyxy 2 2 1 1221 12211 010FPF PFP F Pxy ， 联立方程 2 2 11 2 2 11 2 1 1 10 340 1 2 xy xx x y ，解得 1 0 x （舍）或 1 4 3 x 过 12 ,P P且分别与 1 122 ,FP F P垂直的直线的交点即为圆心C 由 1 122 ,FP F P是圆的切线，
13、且 1 122 FPF P，可得： 12 CPCP 因为 12 CPCPr 12 CPP为等腰直角三角形 1121 24 2 2 23 rCPPPx 例 4：已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的焦距为4，设右焦点为 1 F，离心率为e （1）若 2 2 e ，求椭圆的方程 （2）设,A B为椭圆上关于原点对称的两点， 1 AF的中点为M， 1 BF的中点为N，若原点O 在以线段MN为直径的圆上 证明：点A在定圆上 设直线AB的斜率为k，若3k ，求e的取值范围 解： （1）依题意可得：2c 2 2 c a e 222 4bac 所以椭圆方程为： 22 1 84 xy （2）思路：设
14、 00 ,A x y，则 00 ,Bxy，由此可得,M N坐标（用 00 ,xy进行表示） ， 而O在以MN为直径的圆上可得：0OM ON，所以得到关于 00 ,xy的方程，由方程便可 判定出A点的轨迹 解：设 00 ,A x y，则 00 ,Bxy。因为 1 2,0F ，且,M N为 11 ,AF BF的中点 所以有 0000 22 , 2222 xyxy MN O在以MN为直径的圆上 OMON 0000 22 00 2222 xxyy OM ON 22 22 00 00 4 04 44 xy xy A点在定圆 22 4xy上 2 2 22 22 22 2 2 22 1 1 4 4 ykx
15、kxx xy ab ab xkx xy 消去x可得： 2 2 22 11 =1 4 k k ab （*） 而 222 2 24 ,4 c ebac aae ， 2 2 4 a e 代入（*）可得： 42 2 2 21 3 21 ee k e 42 2 84 0 21 ee e 01e 所以解得： 2 1 42 3 2 e 2 31 2 e 例 5：已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的上顶点为B，左焦点为F，离心率为 5 5 （1）求直线BF的斜率 （2） 设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B） ， 过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q （Q异于点B） ，直线PQ与y轴交于点M，P
16、MMQ 求的值 若 7 5 sin 9 PMBQP ，求椭圆方程 解： （1）由 5 5 c e a 可知: :5:2:1a b c 设,0Fc，0,0,2Bbc 20 2 0 BF c k c （2） 设 1122 ,P x yQ x y :22BP yxc : :5:2:1a b c 椭圆方程为： 22 22 1 54 xy cc 联立方程： 222 2 22 4520 45 2220 22 xyc xxcc yxc ，整理后可得： 2 24400 xcx可解得： 1 5 3 c x 54 , 33 cc P 因为BQBP 1 2 BQ k 设 1 :2 2 BQ yxc 联立方程： 22
17、2 2 22 4520 1 45220 1 22 2 xyc xxcc yxc ，整理后可得： 2 21400 xcx，解得 2 40 21 c x ，即 4022 , 2121 cc Q 设 0 0,My，PQ斜率为k，由弦长公式可知： 22 55 101 33 cc PMkk 22 4040 101 2121 cc QMkk 2 2 5 1 7 3 40 8 1 21 c k PM c QM k 由可得： 7 8 PM MQ 77 1515 PM PMPQ PQ 7 5 sin 9 PMBQP 1 55 s i ns i n5 73 BPPQBQPPMBQP 由 54 0,2, 33 cc
18、 BcP 可得： 22 545 5 02 333 BPcccc 5 55 5 1 33 cc 椭圆方程为 22 1 54 xy 例 6：已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点为,0Fc，离心率为 3 3 ，点M在椭圆 上且位于第一象限，直线FM被圆 2 22 4 b xy截得的线段的长为c， 4 3 3 FM （1）求直线FM的斜率 （2）求椭圆的方程 （3）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）斜率的取值 范围 解： （1）由已知可得 3 3 c e a :3 :2 : 1a b c 3 ,2ac bc 椭圆方程为 22 222 22 1236 32
19、 xy xyc cc 设直线:0FM yk xckxykc，其中0k 2 1 O FM kc d k 由 2 22 1 2 O FM dcr 可得： 2 22222 2 2 2 12 44144 1 kcbk ccc c k k 解得： 3 3 k （2）由（1）可得： 3 : 3 FMyxc 2 22 222 3 1 236 3 3 236 yxc xxcc xyc 22 3250 xcxc解得： 5 3 xc 或xc M在第一象限 2 3 3 xc yc ，即 2 3 , 3 M cc 2 344 3 1 333 c FMcc 可得：1c 椭圆方程为： 22 1 32 xy （3）由（2）
20、可知1,0F ，设,P x y，设FP的斜率为k :1PF yk x 联立方程： 2 22 22 1 2316 326 yk x xkx xy 2 2 62 2 31 x k x 可解得： 3 , 11,0 2 x 设直线OP的斜率为m，即 y mymx x 2 222222 22 1313 321321 222 x xyxm xm xx 当 3 , 1 2 x 时， 可知10yk x 0 y m x 2 22 3 m x ，由 3 , 1 2 x 可得： 2 2 3 , 33 m 当1,0 x 时，可知10yk x 0 y m x 2 22 3 m x ，由1,0 x 可得： 2 3 , 3
21、 m 综上所述： 2 32 2 3 , 333 m 例 7：已知椭圆G的离心率为 2 2 ，其短轴的两端点分别为0,1 ,0, 1AB. （1）求椭圆G的方程； （2） 若,C D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点， 直线,AC BD与x轴分别交于点,M N. 试判断以MN为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由. 解： （1） 2 2 c e a : :2:1:1a b c 由短轴顶点0,1 ,0, 1AB可得：1b 2a 椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）设 00 ,C x y，则对称点 00 ,Dx y 00 00 11 , ACBD yy kk xx
22、从而直线,AC BD的方程为： 00 00 11 :1,:1 yy AC yxBD yx xx ，令0y 解得： 00 00 ,0 ,0 11 xx MN yy ，设MN中点为E 则 0000 2 000 1 2 111 E xxx y x yyy 半径 0 00 2 000 1 22 111 MNxxx r yyy 以MN为直径的圆方程为： 2 2 2 000 22 2 0 0 1 1 x yx xy y y 代入 22 22 00 00 11 22 xx yy 可得： 2 2 222 000 22 0000 24444 0 yyy xyxyx xxxx ，代入 2 2 0 0 1 2 x
23、y 可得： 即 22 0 0 4 20 y xyx x 0,2xy 时，无论 00 ,xy为何值 等式均成立 圆E恒过 0,2 例 8：如图，设抛物线 2 1: 40Cymx m的准线与x轴交于 1 F，焦点为 2 F，以 12 ,F F为 焦点，离心率 1 2 e 的椭圆 2 C与抛物线 1 C在x轴上方的交点 为P，延长 2 PF交抛物线于点Q，M是抛物线 1 C上一动点， 且M在,P Q之间运动 （1）当1m 时，求椭圆 2 C的方程 （2）当 12 PFF的边长恰好是三个连续的自然数时，求MPQ面积的最大值 解： （1）1m 时， 2 1: 4Cyx，焦点坐标 2 1,0F 1c 1
24、2 c e a 2a 222 3bac 椭圆 2 C的方程为： 22 1 43 xy （2）由 2 1: 40Cymx m可得： 2 ,0F m，即cm 1 2 c e a 2222 2,3am bacm 椭圆方程为： 22 22 1 43 xy mm 222 22 2 3412 316120 4 xym xmxm ymx 2 6320 3 m xmxmx代入 2 4ymx解得： 2 6 3 m y 22 6 , 33 Pmm 2 25 233 pmm PFxm 12 57 24 33 mm PFaPFm 12 6 22 3 m FFcm 12 PFF边长为 3 个连续的自然数 3m 抛物线方
25、程为 2 12yx， 2 2,2 6 ,3,0PF 2 2 60 2 6 23 PF k 即:2 63PQ yx ，代入抛物线方程可得： 2 2 24312213180 xxxx解得 9 2 Q x 9 2 633 6 2 Q y 9 ,36 2 Q 设 2 , 12 t Mt ， 3 6,2 6t 2 2 2 6 6 6 6 66675 636 303022241 MPQ tt dttt 3 6,2 6t 2 67 57 5 ,0 222 t 2 max max 66756 755 6 30223024 MPQ dt 由 9 2,2 6 , 3 6 2 PQ 可得： 25 124 2 PQ
26、PQxx maxmax 11 25 5125 6 6 222416 MPQMPQ SPQd 例 9：在平面直角坐标系xOy中，点,0P a bab为动点， 12 ,F F分别为椭圆 22 22 1 xy ab 的左，右焦点，已知 12 FPF为等腰三角形 （1）求椭圆的离心率e （2）设直线 2 PF与椭圆相交于,A B两点，M是直线 2 PF上的点，满足2AM BM ，求 点M的轨迹方程 解： （1）设 12 ,0 ,0FcF c，由图可知， 12 FPF为等腰三角形即 212 PFFF 2 2 212 ,2PFacbFFc,代入可得： 22 222 2=4acbcacbc 222 2240
27、210aaccee ，解得：1e （舍）或 1 2 e （2）思路：由（1）可将椭圆方程化简为： 222 3412xyc，与直线 2 PF的方程联立，即 222 3412 3 xyc yxc 消元后发现方程形式为 2 580 xcx，形式极其简单，所以直接求出点 的坐标可得： 83 3 ,0,3 55 AccBc ，进而设所求点,M x y。将,AM BM坐标化后， 再利用2AM BM 即可得到关于, x y的方程： 83 3 32 55 x xcycyc ， 方程 中含 有c，所 以考 虑利 用直 线方程 3yxc将c消掉： 3 3 cxy，代入即可得到轨迹方程 解： 1 2 c e a 2
28、2 2 ,3ac bacc 椭圆方程转化为： 22 22 1 43 xy cc 即 222 3412xyc ,P a b即2 , 3Pcc 2 03 3 2 PF c k cc 2 PF的方程为：3yxc，设 1122 ,A x yB x y，联立方程可得： 222 3412 3 xyc yxc ，消去y，方程转化为： 2 222 34 312580 xxccxcx 解得： 12 8 ,0 5 xc x 833 ,0 ,3 55 AccBc 设,M x y，则 83 3 ,3 55 AMxc ycBMx yc 由2AM BM 可得： 83 3 32 55 x xcycyc ，化简可得： 222
29、 82 39 20 555 xcxycyc 因为3yxc，所以 3 y cx，代入式化简可得： 2 1816 3150 xxy 将 2 1815 16 3 x y x 代入 3 y cx，可得： 2 105 00 16 x cx x M的轨迹方程为： 2 1816 31500 xxyx 例 10： 如图， 12 ,F F分别为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右焦点， 椭圆C上的点到 1 F距 离的最大值为 5，离心率为 2 3 ，,A B是椭圆C上位于x轴上方的两点，且直线 1 AF与 2 BF平 行。 （1）求椭圆C的方程 （2）设 2 AF与 1 BF的交点为P，求证：
30、12 PFPF为定值 解： （1） 2 3 c e a ，依椭圆性质可得：椭圆上的点到焦点的距离最大值为5ac 3,2ac 222 5bac 所以椭圆方程为 22 1 95 xy （2） 解：由（1）可得： 12 2,0 ,2,0FF，设 1122 ,A x yB x y 设直线 1: 2AFxmy，与椭圆联立方程： 2 2 22 2 52945 5945 xmy myy xy ，整理可得： 22 9520250mymy 2 2 2 1 22 2020100 95 10151 952 95 mmm mm y mm 由 1 0y 可得： 2 1 2 10151 59 mm y m 2 22 11
31、 2 10151 101 59 mm AFmym m 同理，设直线 2: 2BFxmy，与椭圆联立方程： 2 2 22 2 52945 5945 xmy myy xy 整理可得： 22 9520250mymy 2 2 2 2 22 2020100 95 10151 952 95 mmm mm y mm 由 2 0y 可得： 2 2 2 10151 59 mm y m 2 22 22 2 10151 101 59 mm BFmym m 12 AFBF 111111 2121121 PFAFPFAFPFAF PBBFPBPFBFAFBFBFAF 12 11 1 2121 2AFaBFAFBF PF
32、 BFAFBFAF 同理 222222 1212221 PFBFPFBFPFBF PAAFPAPFAFBFAFBFAF 21 22 2 2121 2BFaAFAFBF PF BFAFBFAF 1221 12 2121 22AFaBFBFaAF PFPF BFAFBFAF 1212 12 2121 222 2 a AFBFAFBFAFBF a BFAFBFAF 12 21 2 6 AFBF BFAF 由可得： 22 22 12 22 1015110151 11 5959 mmmm AFBFmm mm 2 2 301 59 m m 22 22 12 22 1015110151 11 5959 mmmm AFBFmm mm 22 2 2 2 1511015110 1 59 mmmm m m 222 22 22 22 225110025 59 11 5959 mmm mm mm 2 2 25 1 59 m m 代入到可得： 2 2 12 2 2 25 1 2 59 513 66 33301 59 m m PFPF m m 12 PFPF为定值
