1、 微专题 97 不等式选讲 一、基础知识： （一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）abba （2）,ab bcac（不等式的传递性） 注：,ab bcac，ac等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）abacbc （4）,0;,0ab cacbc ab cacbc （5）02, nn ababnnN （6）02, nn abab nnN 2、绝对值不等式：ababab （1）abab等号成立条件当且仅当0ab （2）abab等号成立条件当且仅当0ab （3）abbcac：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且 仅当0abbc 3、均值不等式 （1）涉及
2、的几个平均数： 调和平均数： 12 111 n n n H aaa 几何平均数： 12 n nn Ga aa 代数平均数： 12n n aaa A n 平方平均数： 222 12n n aaa Q n （2）均值不等式： nnnn HGAQ，等号成立的条件均为： 12n aaa （3）三项均值不等式： 3 3abcabc 222 3abca b c 3 3 abc abc 222 3 3 abc abc 4、柯西不等式： 2 222222 12121 12 2nnn n aaabbbaba ba b 等号成立条件当且仅当 12 12 n n aaa bbb 或 12 0 n bbb （1）二元
3、柯西不等式： 2 2222 abcdacbd，等号成立当且仅当adbc （2）柯西不等式的几个常用变形 柯西不等式的三角公式： 222 222222 12121122nnnn aaabbbababab 2 222 12 12 1212 n n nn aaaaaa bbbbbb 222 2 12 1212 12 n nn n aaa bbbaaa bbb 式体现的是当各项 222 12 , n a aa系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系， 刚好是均值不等式的一个补充。 2 12 12 121 12 2 n n nnn aaaaaa bbba ba ba b 5、 排序不等式： 设
4、 1212 , nn aaa bbb为两组实数， 12 , n c cc是 12 , n b bb 的任一排列，则有： 12111 12 21 12 2nnnnnn n a ba ba ba ca ca ca ba ba b 即“反序和乱序和顺序和” （二）不等式选讲的考察内容： 1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立 2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利 用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型将式子向定值放缩（消元）验证 等号成立条件” 3、解不等式（特别是含绝对值的不等式可参见“不等式的解法”一节） 二、典型例题： 例 1：若
5、不等式131xxm恒成立，则m的取值范围为_ 思路：本题为恒成立问题，可知min113mxx，所以只需求出13xx的 最小值即可，一种思路可以构造函数 13f xxx，通过对绝对值里的符号进行分 类讨论得到分段函数： 24,1 2, 31 24,3 xx f xx xx ，进而得到 min2f x，另一种思路可 以想到绝对值不等式：13132xxxx，进而直接得到最小值，所以 12m，从而13m 答案：13m 例 2：若存在实数x使得 2 4210 xxaa成立，求实数a的取值范围 思路：本题可从方程有根出发，得到关于a的不等式，从而解出a的范围 解：依题意可知二次方程 2 4210 xxaa
6、有解 164210aa 即214aa 当2a 时， 7 234 2 aa 7 2, 2 a 当12a时，21414aa 恒成立 1, 2a 当1a 时， 1 214 2 aaa 1 ,1 2 a 综上所述，可得 1 7 , 2 2 a 例 3：已知函数 20f xxxa a （1）当1a 时，解不等式 4f x （2）若不等式 4f x 对一切xR恒成立，求实数a的取值范围 （1）思路：所解不等式为214xx，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式 解： （1）当1x 时， 2142xxx 1, 2x 当01x时，2 142xxx 0,1x 当0 x 时， 2 2 14 3 xxx 2 ,0
7、3 x 综上所述：不等式的解集为 2 ,2 3 （2）思路：若不等式 4f x 恒成立，可知只需 min4f x即可， f x含绝对值，从而 可通过分类讨论将其变为分段函数 32 , 2,0, 23 ,0 xa xa f xax xa ax x ，通过分析函数性质即可得 到 min f xf aa，所以4a 解： 4f x 恒成立 min4f x 考虑 32 , 22,0, 23 ,0 xa xa f xxxaax xa ax x f x在,a单调递减，在, a 单调递增 min f xf aa 4a 例 4：已知, ,a b c都是正数,且236abc,求12131abc 的最大值 思路一：
8、已知23abc为常数，从所求入手，发现被开方数的和为233abc也为 常数，所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数” ，进而求得最大值 解： 222 12131 12131 33 abc abc 12131 3 abc 233 1213133 3 3 abc abc 等号成立当且仅当 2 12131 1 236 2 3 a abc b abc c 思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1） ： 22 12131= 11121131abcabc ， 从 而 可 得 ： 2222 222 1112113111112131abcabc 即 2 11121131323327abcabc ，所以可知
9、 121313 3abc 小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等 式） ，但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数” 。证明的过程如下： 2 222222 1212 1 111111 nn n aaaaaa 个 2 222 1212nn aaan aaa 222 1212nn aaan aaa 222 12 12 n n aaa aaan n 222 1212nn aaaaaa nn 例 5：已知, ,a b c是实数，且 222 1abc，则22abc的最大值是_ 思 路 ： 考 虑 将22abc向 222 abc进 行 靠 拢 ， 由
10、 柯 西 不 等 式 可 知 2 222222 axbyczabcxyz，对照条件可知令2,1,2xbz即可，所 以 2 222222 222129abcabc，则223abc 答案：3 小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等 式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。 例 6：已知实数, , ,a b c d满足 2222 3,2365abcdabcd，则a的取值范围是 _ 思路：本题的核心元素为a，若要求a的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即 关于, ,b c d的不等关系，考虑到 2222 3,2365
11、bcda bcda ，联想到柯西不等 式 222 2 12 1212 12 n nn n aaa bbbaaa bbb ，则有 2 222 111 236 235 bcdbcd ， 代入可得： 2 2 53aa解得：1,2a， 验证等号成立条件： 236 111 236 bcd 在1,2aa时均有解。 答案：1,2a 例 7：已知, ,a b c均为正数，求证： 2 222 111 6 3abc abc ，并确定, ,a b c为何 值时，等号成立 思路： 观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系， 右侧为常数， 所以可想到基本不等式中, a b 互为倒数时，2abab，右侧为一个常数。 322
12、2222 3,abca b c 3 1111 9 abcabc ，从而将左侧的项均转化为与abc相关的项， 然后再利用基本不等式即可得到最小值6 3，即不等式得证 解：由均值不等式可得： 3222222 3abca b c 3 1111 3 abcabc 2 3 2 1111 9 abc abc 2 3222222 3 2 1111 39abca b c abc abc 3222 3 2 1 2396 3a b c abc 等号成立条件：abc 例 8：已知0,0ab （1）若2ab，求 14 11ab 的最小值 （2）求证： 2222 1a babab ab （1）思路：从所求出发可发现其分
13、母若作和，则可与2ab找到联系，从而想到柯西不等 式的变式： 2 222 12 12 1212 n n nn aaaaaa bbbbbb ，从而 2 1214 3 111abab 解： 22 1412 1111abab 由柯西不等式可得： 2 22 121412 11111ababab 2ab 14 3 11ab （2）所证不等式等价于： 222222 a baba babab，观察左右的项可发现对左边任意 两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即： 2222 2222 22 2 2 2 a baa b a bbab abab ，三式相加即完成证 明 证明：由均值不等式可得： 2222 22
14、22 22 2 2 2 a baa b a bbab abab 三式相加： 222222 22a baba babab 即 222222 1a baba bababab ab 小炼有话说：对于求倒数和（即 12 , n a aa为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供 使用： 2 222 12 12 1212 n n nn aaaaaa bbbbbb 和 2 12 12 121 12 2 n n nnn aaaaaa bbba ba ba b ，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第 一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和” ，在解题时 要根据题目中不同的定
15、值条件来选择对应的不等式。 例 9：设, ,a b cR，求证： 3 a b c abc a b cabc 思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变 形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证 不 等式等价 于3 ln3 ln3 lnlnlnlnaabbccabcabc，化简后 可得 ： 2 ln2 ln2 lnlnlnlnlnlnlnaabbccabacbabccbca，所证不等式为轮 换对称式，则不妨给, ,a b c定序，即0abc，则lnlnlnabc，由的特点想到排 序不等式，则lnlnlnaabbcc为顺
16、序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必 然较小，所以有 lnlnlnlnlnln lnlnlnlnlnln aabbccabbcca aabbccbacbac ，两式相加即可完成证明。 证明：, ,a b cR 将所证不等式两边同取对数可得： 3 lnlnlnlnlnln 3 a b c abc abc a b cabcaabbccabc 3 ln3 ln3 lnlnlnlnaabbccabcabc 3 ln3 ln3 lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnaabbccaaabacbabbbccacbcc 2 ln2 ln2 lnlnlnlnlnlnlnaabbccabacbabcc
17、bca 所证不等式为轮换对称式 不妨设0abc lnlnlnabc lnlnlnlnlnln lnlnlnlnlnln aabbccabbcca aabbccbacbac 可得：2 ln2 ln2 lnlnlnlnlnlnlnaabbccabacbabccbca 即证明不等式 3 a b c abc a b cabc 小炼有话说： 使用排序不等式的关键在于首先要有一个 “顺序” ， 本题已知条件虽然没有, ,a b c 的大小关系， 但由所证不等式 “轮换对称” 的特点， 可添加大小关系的条件， 即0abc， 从而能够使用排序不等式。 例 10：设正数, ,x y z满足221xyz （1）求
18、3xyyzzx的最大值 （2）证明： 311125 11126xyyzzx （1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由221xyz得 21xyz ，则 1 333 2 z xyyzzxxyz xyxyz ，下面考虑将xy进行 转 化 ， 向xy 靠 拢 ， 利 用 基 本 不 等 式 2 4 xy xy 进 行 放 缩 ， 可 得 ： 2 2 11313 3 42442 zzzz xyyzzxxyz ，再求关于z的表达式的最大 值即可。 解：221xyz 21xyz 1 333 2 zz xyyzzxxyz xyxy 22 1 416 xyz xy 2 2 115111 33
19、 16216555 zzz xyyzzxz 3xyyzzx的最大值为 1 5 ，此时 11 55 221 xy zxyz xyz （2） 思路： 由 （1） 可知3xyyzzx的最大值为 1 5 ， 且所证不等式的左边分母含有,xy yz zx 项，所以考虑向3xyyzzx的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式： 2 12 12 121 12 2 n n nnn aaaaaa bbba ba ba b ，可得： 31125 11153xyyzzxxyyzzx ，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可证 明不等式 解：由柯西不等式可得： 2 31 131125 1113 11153xyy
20、zzxxyyzzxxyyzzx 由（1）知 1 3 5 xyyzzx 3112525125 = 1 1115326 5 5 xyyzzxxyyzzx 等号成立条件： 1 5 xyz 三、历年好题精选 1、设 11,f xxxxR （1）求证： 2f x （2）若不等式 211bb f x b 对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围 2、 （2014 吉林九校联考二模，24）已知关于x的不等式110axaxaa （1）当1a 时，求此不等式的解集； （2）若此不等式的解集为R，求实数a 的取值范围 3、 （2015，福建）已知0,0,0abc，函数 f xxaxbc的最小值为 4 （1）求abc
21、的值 （2）求 222 11 49 abc的最小值 4、 （2015，新课标 II）设, , ,a b c d均为正数，且abcd，证明： （1）若abcd，则abcd （2）abcd是abcd的充要条件 5、 （2015，陕西）已知关于x的不等式xab的解集为|24xx （1）求实数, a b的值 （2）求12atbt的最大值 6、已知定义在R上的函数 12f xxx的最小值为a （1）求a的值 （2）若, ,p q r是正实数，且满足pqra，求证： 222 3pqr 7、 （2014，江西）对任意的, x yR，111xxyy的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、
22、 （2014，浙江） （1）解不等式：2213xx （2）设正数, ,a b c满足abcabc，求证：4936abbcac，并给出等号成 立条件 9、 （2016，苏州高三调研）设函数 1 0f xxxa a a （1）证明： 2f x （2）若 35f，求实数a的取值范围 习题答案：习题答案： 1、解析： （1） 11112f xxxxx （2）恒成立不等式为： 21111 1121 bb xx bbb max 11 1121xx bb 设 1 3,1, 1121 211,2,00,1 1 3, 2 b g b bbbb b max3g b 113xx 当1x 时， 3 23 2 xx 当
23、1,1x 时，11323xx 不成立 当1x时， 3 23 2 xx 33 , 22 x 2、解析： （1）1a 时，不等式为 1 2111 2 xx 1 1 2 x 或 1 1 2 x ，解得 13 , 22 x （2）问题转化为xR ，不等式11axaxa恒成立 min 11axaxa 设 111f xaxaxaaxaxaa 112aa 或0a 3、解析： （1） f xxaxbcxaxbcabc 4abc （2） 2 2 222222 1111 23123116 4923 abcabcabc 222 11168 = 49147 abc，等号成立条件： 8 711 18 32 231 7
24、4 2 7 a ba c b abc c 4、解析： （1） 22 abcdabcd 22ababcdcdabcdabcd 从而不等式得证 （2）若abcd，则 22 abcd 即 22 44ababcdcd abcd abcd，由（1）可得abcd 若abcd，则 22 abcd 即22ababcdcdabcdabcd 2222 44ababcdcdabcd abcd 综上所述：abcd是abcd的充要条件 5、解析： （1）xabbxab 不等式解得：abxba 23 41 aba bab （2）由（1）可得：1212334atbttttt 由柯西不等式可得： 2222 2 3431416
25、tttt 344tt 6、解析： （1） 12123f xxxxx 3a （2）由柯西不等式可得： 22 222222222 1113pqrpqrpqrpqr 3pqr 222 3pqr 7、答案：C 解析：1111113xxyyxxyy 8、解析： （1）当2x 时， 2213xx解得8x 当12x 时， 2 213xx解得0 x 10 x 当1x 时。 2 213xx解得2x 1x 综上所述：解集为,08, （2）由abcabc可得： 111 1 bcacab 由柯西不等式可得： 2 111111 494936abbcacabbcac abbcacabbcac 等号成立条件：2,3,1abc 9、解析： （、解析： （1） 111 2f xf xxaxxaxa aaa （2） 35f即 1 335a a 3a 时，不等式转化为： 2 1 3335510faaa a 解得： 521 3 2 a 当03a时， 2 1 36510faaa a 解得：1 5 3 2 a 综上所述：不等式的解集为： 15 521 , 22
