1、洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院()u t()x t()y t经典控制理论经典控制理论以传递函数描述系统的输入以传递函数描述系统的输入 输出特性输出特性，输出量即，输出量即被被控控量，只要系统是稳定的，输出量量，只要系统是稳定的，输出量便可以便可以受控，且输出量总是可以受控，且输出量总是可以被被测量的测量的，因而不需要，因而不需要提出提出能控性和能观性的概念能控性和能观性的概念。输出方程描述输出方程描述由状态由状态变化所引起的变化所引起的输出变量输出变量 的的变化过程。变化过程。现代控制理论现代控制理论建立在建立在状态空间表达式描述系统的状态空间表达式描述系统的基
2、础基础上上。线性控制系统的能控性和能观性线性控制系统的能控性和能观性状态方程状态方程描述描述输入输入 变量变量 引起引起状态变量状态变量 的变化。的变化。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院两个基本问题：两个基本问题：在在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的的状态？控制作用对状态变量的支配能力，状态？控制作用对状态变量的支配能力，称状态称状态的的能能控性控性问题问题。在在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始的初始状状态？系统的输出量（或观测量
3、）能否反映态？系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称状状态变量，称状态态的的能观性问题。能观性问题。线性控制系统的能控性和能观性线性控制系统的能控性和能观性洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院能控性和能观性能控性和能观性回答：回答：输入输入能否控制系统状态的能否控制系统状态的变化变化能控性能控性状态状态的变化能否由输出的变化能否由输出反映反映 能观性能观性能能控性和能观性的概念是卡尔曼（控性和能观性的概念是卡尔曼（KalmanKalman）在在19601960年首先提出年首先提出,是是经典经典控制控制进入现代控制理论的进入现代控制理论的标志标志之一。之一。线性控
4、制系统的能控性和能观性线性控制系统的能控性和能观性洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院135本本章章主主要要内内容容7本章内容本章内容基于基于MATLABMATLAB分析分析系统的能控性和能观性系统的能控性和能观性2468连续定常系统的能连续定常系统的能控控性性线性定常系统的能控线性定常系统的能控性性离散时间系统的离散时间系统的能控性和能能控性和能观性观性对偶原理对偶原理 线性系统的线性系统的结构分解结构分解 系统的实现问题系统的实现问题 传递函数传递函数中零中零极点极点对消和能对消和能控能观之间的关系控能观之间的关系洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院
5、洛阳理工学院 桥形电路桥形电路(a)(a)两个电容相等。选各自的电压为状态变量，且设电容上的两个电容相等。选各自的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图初始电压为零，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图(b)(b)中中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显然，它显然，它是不完全能控的。是不完全能控的。4.1 4.1 线性定线性定常连续系统常连续
6、系统的能控性的能控性(a)(b)(a)(b)4.1.1 4.1.1 能能控性定义控性定义洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院xAxBu若若存在一分段连续控制存在一分段连续控制向量向量 ，能在有限时间能在有限时间区间区间 内内将系统将系统从从初始状态初始状态 转移转移到任意终端到任意终端状态状态 ，那么就称此状态是能那么就称此状态是能控。控。4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的状态方程：线性定常连续系统的状态方程：0,ft t0()x t0()x t()fx t()u t0t若若系统系统任意任意 时刻时刻的所有的所有状态状态
7、 都是都是能控的，就称此系统是状态完能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称系统能控。全能控的，简称系统能控。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院以以二阶系统为例，二阶系统为例，假如相平面中的假如相平面中的P P点能在输入的作用下转移点能在输入的作用下转移到到任任一指定状态一指定状态 ，12,nPPP那么相平面上的那么相平面上的P P点是能控状态。点是能控状态。PP3P1P2PnP40 x1x24.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性假如能控状态充满整个状态空间，假如能控状态充满整个状态空间，则该系统被称为状态完全能控。则该系统被称为状态完全能
8、控。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性()0fx t注注1 1：在线性定常系统中，可假定初始时刻在线性定常系统中，可假定初始时刻 ，初始，初始状状 态态 ，任意，任意 终态终态状态为零状态状态为零状态 。0()x t00t 注注2 2：讨论讨论能控性时，控制作用从理论上来说是能控性时，控制作用从理论上来说是无约束无约束的，取值并非唯一。的，取值并非唯一。注注3 3：假定系统从零状态假定系统从零状态 转移到任意转移到任意指定终端指定终端状态状态 ，则，则称称 此此状态能达，简称系统状态能达，简称系统 能达
9、。能达。对于对于线性定常系统线性定常系统，能能控性和能达性是等价的；控性和能达性是等价的；0()0 x t()fx t洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性 线性定常系统能控性判别准则有两种形式线性定常系统能控性判别准则有两种形式(2)(2)直接直接根据系统的状态方程根据系统的状态方程A A和和B B，来判断系统，来判断系统的能的能控性。控性。(1)(1)先先将系统进行状态变换将系统进行状态变换，把系统转化，把系统转化成约旦成约旦标准标准型型，判断判断系统的能控性；系统的能控性；4.1.2 4.1.2 能能
10、控控性性判据判据洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性1 1 线性变换的能控性判别线性变换的能控性判别系统状态方程：系统状态方程：xxBu 10()()()0nx tx tbu t系统的输入矩阵系统的输入矩阵B B没有没有全为全为0 0的行。的行。1 1 具有具有对角对角标准标准型的线性定常系统型的线性定常系统系统矩阵系统矩阵A A具有具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是：即即：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性
11、定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性12200 0 xxub11112222 xxb uxxb u1112222 xxxxb u不能控不能控能控能控11220 0bxxub洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性112233300201010020 xxxxuxx 状态变量状态变量 x x3 3 不受控制不受控制 例例1 1 判断下面系统系统的能控性：判断下面系统系统的能控性：11122233700010504000175xxuxxuxx例例2 2 判断系统的能控性：判断系统的能控性：洛阳理工学院洛阳
12、理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性 若约旦标准型的线性定常系统若约旦标准型的线性定常系统()()()x tx tBu t 系统矩阵具有系统矩阵具有重特征值重特征值，则系统状态完全能控的充要条件是：，则系统状态完全能控的充要条件是：120000()()()00kJJx tx tBu tJ 输入矩阵中与每个约旦块最后一行相对应的那些行，不为全零行。输入矩阵中与每个约旦块最后一行相对应的那些行，不为全零行。即：即：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连
13、续系统的能控性11210 0 xxub11121212xxxbuxx111100bxxu能控能控不能控不能控分析：分析：11122122 xxxxxb u洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性 结论：结论：1 1 系统的能控性，取决于系统矩阵和输入矩阵；系统的能控性，取决于系统矩阵和输入矩阵；2 2 在在A A为对角矩阵时，如果为对角矩阵时，如果B B的元素有为的元素有为0 0的，则与之对应的一阶标量状态方程的，则与之对应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，与必为齐次微分方程，与u u无关；该方程无强制分量
14、，在非零初始条件下，系统无关；该方程无强制分量，在非零初始条件下，系统状态不可能在有限时间内衰减到状态不可能在有限时间内衰减到0 0；3 3 在在A A为约旦标准型时，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，所以当为约旦标准型时，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，所以当b b相相应于约旦快的最后一行为应于约旦快的最后一行为0 0时，相应的为一个一阶标量齐次微分方程，系统不时，相应的为一个一阶标量齐次微分方程，系统不完全能控。完全能控。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性2 2 具有一般系统矩阵的多输入系
15、统具有一般系统矩阵的多输入系统xTz系统的状态方程：系统的状态方程：xAxBu系统能控的充要条件是系统能控的充要条件是 1.1.在在 对应对应相同特征值部分，它与每一个约旦相同特征值部分，它与每一个约旦块块最后最后一行一行相相对应对应 的的一行一行的的 元素元素不全为不全为0 0；2.2.中中对于互异特征值部分，它的各行元素对于互异特征值部分，它的各行元素没有全没有全0 0行。行。1TB 如令如令可变换成约旦标准型可变换成约旦标准型：1zJzTBu1T B洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性例例3 3：判
16、断系统的能控性。：判断系统的能控性。12-45-5101xxux12+455)105,11（）解解：（：（1 1）求特征根，）求特征根，取变换：取变换：,xTzn把方程变为约旦标准型：把方程变为约旦标准型：n可以判断出系统是不能控的。可以判断出系统是不能控的。111212501010zzzuuzzTATT B 15 11/6 1/6,111/65/6TT线性变换矩阵线性变换矩阵洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.2 3.2 线性4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性定常系统的能控性判别例例4 4：判断系统的能控性。：判断系统的能控性。12
17、022130 xxux 1211)201,26201/2,201/23/22-13TT （）解解：（：（1 1）求特征根，）求特征根，取变换：取变换：,xTz111212102022zzzTATTuuzzB洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性2 2 直接从直接从A A和和B B判断系统的能控性判断系统的能控性系统状态方程：系统状态方程：111 1n nnnxAxBu-1 ranknMBABABMn此时，能控性矩阵为此时，能控性矩阵为nxnnxn维。能控维。能控=M=M满秩满秩状态完全能控的充要条件是能控性
18、矩阵状态完全能控的充要条件是能控性矩阵MM的秩为的秩为n,n,1 1）单）单输入系统输入系统洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性1ranknBABABn 1()uxWsIAB注注1 1 如系统是单输入系统，则系统能控的充要条件是：能控矩阵如系统是单输入系统，则系统能控的充要条件是：能控矩阵MM满秩。满秩。注注2 2 如果系统是单输入系统，还可根据输入和状态矢量间的传递函数来如果系统是单输入系统，还可根据输入和状态矢量间的传递函数来确定确定 系统系统的能控性。的能控性。系统系统完全能控的充要条件是：完全能控
19、的充要条件是：u-xu-x之间的传函没有重合的零极点。之间的传函没有重合的零极点。如果如果传函中有对消零极点，约去一个公因子后，相当于状态变量减少了一传函中有对消零极点，约去一个公因子后，相当于状态变量减少了一维，系统出现了一个低维的能控子空间和一个不能控子空间，所以系统不维，系统出现了一个低维的能控子空间和一个不能控子空间，所以系统不完全能控。完全能控。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性131021xxu 11314,1021214 rank212BA BMBA BM 解解1 1：例例 考察如下系统的
20、能控性：考察如下系统的能控性：11131()()021231511 0111(1)(2)(1)(2)uxsWssIABsssssssss 解解2 2：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性2 2）多）多输入系统输入系统11n nnn rrxAxBu-1 ranknMBABABMn此时，能控性矩阵为此时，能控性矩阵为nxnrnxnr维。维。状态完全能控的充要条件是能控性矩阵状态完全能控的充要条件是能控性矩阵MM的秩为的秩为n,n,系统状态方程：系统状态方程：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛
21、阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性11122233121100100110300 xxuxxuxx 21012240101,01001042BA BA B,则能控型矩阵则能控型矩阵例例 判断判断 系统系统的能控性的能控性101224010101rank3001042MM其秩为其秩为3 3，该该系统能控系统能控 易知易知洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性11122233213221 0201101311 213254112244112 4 2 4xxuxxuxxMB
22、A BA B 其秩为其秩为2 2，所以系统不能控，所以系统不能控.例例 判断线性定常系统的能控性：判断线性定常系统的能控性：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性注：注：1 1.在多在多输入系统中，有时不用计算出全部的矩阵，相对于单输入系统，输入系统中，有时不用计算出全部的矩阵，相对于单输入系统，系系 统统的能控条件比较容易满足。的能控条件比较容易满足。2.2.对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不不 变变。3.3.定常连续
23、系统与定常离散系统能控性判别条件，发现两者是一致的，定常连续系统与定常离散系统能控性判别条件，发现两者是一致的，这这 有有其内在联系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系统的系统其内在联系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系统的系统矩矩 阵阵和控制矩阵相同，则它们的能控性相同。和控制矩阵相同，则它们的能控性相同。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性4.1.3 4.1.3 能能控控性标准型性标准型xA xbuyC x21 ranknnMBABA BA BMn系统能系统能控控单单输入能控系统，其能控性矩
24、阵输入能控系统，其能控性矩阵MM是满秩，也就是是满秩，也就是MM中只有唯一一组线性中只有唯一一组线性无关矢量，一旦组合规律确定，其能控标准型是唯一的。无关矢量，一旦组合规律确定，其能控标准型是唯一的。对于对于多输入系统，其能控标准型则不唯一。多输入系统，其能控标准型则不唯一。线性定常系统线性定常系统洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性4.1.3 4.1.3 能能控控性标准型性标准型 如果单入系统如果单入系统 是是能控的，那么存在线性非奇异变换能控的，那么存在线性非奇异变换 112c231211000010
25、0000101nnnnaTAbAbAbbaaaaa xAxbuyc xxAxbuycx变换矩阵变换矩阵cxT x使使其变换为：其变换为：1110.nnnIAaaa特征多项式特征多项式洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性11ccc0121c0121010000000000,000101 nnnnATATbTbaaaaccT xAxbuyc x洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性单输入系统单输入系统 的能控的能控标准型标
26、准型：0122101000001000000000001nnAaaaaa系系统统矩矩阵阵输出矩阵输出矩阵输输入入矩矩阵阵传递函数传递函数12112101110.()().nnnnnnnsssW sc sIAbsasa sa0121 nnc000 01b洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性例例 求线性求线性定常系统定常系统 的的能控能控标准型标准型。11217MbAbrankM解：能控性矩阵解：能控性矩阵 系统完全能控。系统完全能控。线性变换矩阵线性变换矩阵 0110,5aa 21251034IA11011
27、1061 1715121cTAb ba12134112xxuyx 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性变换后的标准变换后的标准I I型：型：010105123 1213412 1xxuuyxxxyx 111/81/81261012/86/834211051/81/8102/86/81161122321ccccATATbTbccT 变换后的系统矩阵变换后的系统矩阵洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性4.1.4 4.1.
28、4 输出能输出能控控性性xAxBuyCx若若存在存在一连续控制向量一连续控制向量 ，能在有限时间能在有限时间区间区间 内内将系统从将系统从初初始输出始输出 转移转移到任意到任意终端输出终端输出 ，那么就那么就称输出是称输出是能能控。控。线性定常连续系统的线性定常连续系统的状态空间方程状态空间方程：0,ft t0()y t()fy t()u t判据：系统输出完全能控的充要条件是输出能控矩阵判据：系统输出完全能控的充要条件是输出能控矩阵Q的秩为的秩为m。-1 .nm mrQCBCABCA BrankQm洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.1 4.1 线性定常连续系统的
29、能控性线性定常连续系统的能控性例例 分析分析 系统系统 的状态能控性和输出能控性。的状态能控性和输出能控性。525115MBABrankM解解（1 1）状态）状态能能控控性性系统系统不不能能控。控。（2 2）输出能控性）输出能控性 5 251QCBCAB 45510110 xxuyx输出能输出能控。控。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的线性定常连续系统的能观性能观性4.2.1 4.2.1 线性连续时变系统的能控性定义线性连续时变系统的能控性定义 控制系统多数采用反馈控制形式。在现代控制理论中，反馈信息是由状控制系统多数采用反馈控制形
30、式。在现代控制理论中，反馈信息是由状态变量组合而成。但并非所有的状态变量在物理上都能测到。于是提出态变量组合而成。但并非所有的状态变量在物理上都能测到。于是提出能否通过对输出的测量获取全部状态变量的信息，这就是能观测问题。能否通过对输出的测量获取全部状态变量的信息，这就是能观测问题。20()()03()1 1()x tx ty tx t20()()03()40()x tx ty tx t洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性 能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的能观测性的概念非常
31、重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接测量。而构造控制器时，必须首先估计出不困难是一些状态变量不易直接测量。而构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在可量测的状态变量。在“系统综合系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是部分我们将指出，当且仅当系统是 能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。00 ()xAxBux txyCx定义定义 对于线性对于线性定常系统在定常系统在任意任意给定输入给定输入u u(t t)下，在有限时间区间下，在有限时间区间 t t0 0,t tf f 内内,能够能够根据根据 t t
32、0 0,t tf f 期间输出量期间输出量y(t)y(t)唯一唯一地确定系统在地确定系统在t t0 0时刻的初始状态时刻的初始状态x(tx(t0 0),),就就称状态称状态x(tx(t0 0)时刻是能观测的时刻是能观测的。若若系统每一个状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观的。系统每一个状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观的。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性-1()()x tC y t 1.1.能观性表示的是输出量反应状态矢量的能力，所以在分析能观性问能观性表示的是输出量反应
33、状态矢量的能力，所以在分析能观性问 题时，可令输入变量为零；题时，可令输入变量为零；2.2.如果输出量的维数等于状态变量的维数，且如果输出量的维数等于状态变量的维数，且C C是非奇异的，那么是非奇异的，那么 3.3.定义中把能观性看做是对初始状态的确定，因为初始状态一旦确定，定义中把能观性看做是对初始状态的确定，因为初始状态一旦确定，其他时刻状态也可求出：其他时刻状态也可求出：注：注：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性如果具有约旦标准型的线性定常系统如果具有约旦标准型的线性定常系统1000,()0nxx
34、x txyCx 系统矩阵具有互不相同的特征值，则系统能观的充要条件是系统矩阵具有互不相同的特征值，则系统能观的充要条件是：系统系统的输出矩阵的输出矩阵C C不包含元素全为不包含元素全为0 0的列。的列。1 1 具有约旦标准型系统的能观性判别具有约旦标准型系统的能观性判别4.2.2 4.2.2 能观性判据能观性判据洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性12111121221222001211011122222000,()0 ()()()()()()nnnnmmmntttnnnnnccccccxx x txyx
35、cccx texxx txx tx texxxtxtex11111221221122221122().().().nnnnmmmmnny tc xc xc xytc xc xc xytc xcxcx分析：分析：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性700050 001121xxyx例例1 1 判断下列系统的能观性：判断下列系统的能观性：10 06 0 100 xxyx例例1 1 判断下列系统的能观性：判断下列系统的能观性：系统能观系统能观系统不能观系统不能观洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院
36、洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性 若约旦标准型的线性定常系统若约旦标准型的线性定常系统 系统矩阵具有重特征值，则系统状态完全能观的充要条件是：系统矩阵具有重特征值，则系统状态完全能观的充要条件是：120000()()00()()kJJx tx tJy tCx t 输出矩阵输出矩阵C C中与每个约旦块第一列相对应的那些列，不为全零列。中与每个约旦块第一列相对应的那些列，不为全零列。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性1211212221 0 xxyccxxxxxx
37、xx1102010201222020 ttttttye xte xe xte xyccye xe x121122211221100 00 xxxxycxycxxxxxxyc xyc x能观能观不能观不能观分析：分析：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性4141 0404 1001410041000400040000310031 0003000300110011 10200120 xxxxyxyxxxxxyxyx能观能观不能观不能观不能观不能观能观能观洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理
38、工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性310003100003100030000030000410000-2100040 0000-20000-211110001100110001000 xxxxyxyx试判别系统的能观测性。试判别系统的能观测性。例例2 2 如下线性定常系统如下线性定常系统 ,洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性2 2具有一般系统矩阵的能观性判别具有一般系统矩阵的能观性判别xTz系统的状态方程：系统的状态方程：xAxyCx系统能观的充要条件系统能观的充要条
39、件是是1.1.在在 对应相同特征值部分，它与每一个约旦块第一列相对应的一对应相同特征值部分，它与每一个约旦块第一列相对应的一列列 的的元素不全为元素不全为0 0；2 2.中中对于互异特征值部分，它的各列元素没有全对于互异特征值部分，它的各列元素没有全0 0列。列。如令如令可变换成约旦标准型可变换成约旦标准型：zJzyCTzCTCT洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性例例3 3：判断系统的能观性。：判断系统的能观性。()()()12()0213x tx ttx ty1211)201,26201/2,201/
40、23/22-13TT （）解解：（：（1 1）求特征根，）求特征根，取变换：取变换：xTz111221002621 18220zzTATzzzyCTzzz洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性直接从直接从A A和和C C判断系统的能观性判断系统的能观性1 ranknCC ANNnC A111n nnmm nnxAxyCx状态完全能观的充要条件是能观性矩阵状态完全能观的充要条件是能观性矩阵N N的秩为的秩为n n。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的
41、能观性线性定常连续系统的能观性证明：证明：已知系统已知系统(A A，C)C)状态方程的解为状态方程的解为可设初始时刻为零，即可设初始时刻为零，即t0=0t0=0则有则有利用凯莱利用凯莱-哈密尔顿（哈密尔顿（CayleyHamiltonCayleyHamilton）定理）定理()(0)()(0)AtAtx texy tC ex00()()0()()()tA ttA ttx tex teBud10()nAtkkket A洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性所以所以因为一般因为一般m nm n，此时，方程无唯一
42、解此时，方程无唯一解。要要使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(ty(t1 1)，y(ty(t2 2)，y(y(t tf f )，此时此时把方程个数扩展到把方程个数扩展到n n个，即个，即10()()(0)nkkky tt CA x10110111()()(0)()(0)()(0)()()()(0)nnnny tt Cxt CAxt CAxCCAt It It IxCA洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性101111120212121011()()()
43、()()()()(0)()()()()mmnmmmnmnfmfmnfmfy ttItItICy ttItItICAxtItItIy tCA ）上上式表明，根据在式表明，根据在（0 0，t tf f）时间间隔的测量值时间间隔的测量值y y(t t1 1)，y y(t t2 2)，y y(t tf f)，能能将将 初始状态初始状态x x(0)(0)唯一地确定下来的充要条件是唯一地确定下来的充要条件是 能能观性观性矩阵矩阵N N的秩为的秩为n n。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性例例4 4 判断下列系统的能
44、观性。判断下列系统的能观性。1122111 11112xxuxxyx秩等于秩等于2 2，所以系统是能，所以系统是能观的观的。12rank231CNNCA解：解：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性例例5 5 判断下列系统的能观性。判断下列系统的能观性。112210 1112xxxxyx秩等于秩等于1 1，所以系统是不能观的。，所以系统是不能观的。12rank112CNNCA解：解：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性
45、例例6 6 判断下列系统的能观性。判断下列系统的能观性。112211222111311010 xxuxxyxyx 1010 rank22121CNNC A秩等于秩等于2 2，所以系统是能观测的。，所以系统是能观测的。解：解：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性注：注：1 1.在在多输出系统中，有时不用计算出全部的矩阵，相对于单输出系统多输出系统中，有时不用计算出全部的矩阵，相对于单输出系统，系统系统的能观条件比较容易满足。的能观条件比较容易满足。2.2.对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状
46、态能对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能观观 性性不变。不变。3.3.定常连续系统与定常离散系统能观性判别条件，发现两者是一致的定常连续系统与定常离散系统能观性判别条件，发现两者是一致的，这这有其内在联系。如果离散系统的系矩阵和输出矩阵与连续系统的有其内在联系。如果离散系统的系矩阵和输出矩阵与连续系统的系系 统统矩阵和输出矩阵相同，则它们的能观性相同。矩阵和输出矩阵相同，则它们的能观性相同。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性4.2.3 4.2.3 能观标准型能观标准型 如果单输出如果
47、单输出系统系统 是是能观的，那么存在线性非奇异变换能观的，那么存在线性非奇异变换 将将系统变换为能观系统变换为能观标准型标准型变换矩阵：变换矩阵：xAxbuycxoxT x xA xbuyc x 11212321111101010010001.nnnOnnnnaaacAaacATacAcIAaaa 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性 如果单输出如果单输出系统系统 是是能观测的，则存在线性非奇异变换能观测的，则存在线性非奇异变换 将将系统变换为能观标准系统变换为能观标准II II型型.1121232121
48、11101010010001.nnnOnnnnaaacAaacATacAcIAaaa 变换矩阵变换矩阵 2oxT xxAxbuycx洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性oo()()()()()ox tA x tB u ty tC x t001211011211ooo2122111o00001000(.)0100,()00000001 0001 nnnnnnnnnnc AbaAba bATATbTbc AbabcbccT变换后的系统矩阵变换后的系统矩阵洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理
49、工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性单输出系统单输出系统 的能观的能观标准型标准型xAxbuyCx0122100001000010000000001nnaaaaAa输输入入矩矩阵阵 xAxbuyc x 系系统统矩矩阵阵输出矩阵输出矩阵0001c 0121nnb洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性例例4 4 求求线性系统线性系统 的的能观能观标准型标准型.1312421 1xxuyx 112-17cNrankNcA2011251010,534IAaa解：能观性解：能观性矩阵
50、矩阵 系统能观系统能观.线性转换矩阵线性转换矩阵 122151 7621 21,011111168OOTT洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳理工学院洛阳理工学院4.2 4.2 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性59变换后的标准变换后的标准II II型：型：0102()(121()()341)153()01()(12()x tx tuyx tx tuy tx ttx t 162131/82/801011241/86/815ooATAT162121123obTb 1/82/811011/86/8occT变换后变换后的的系统矩阵系统矩阵洛阳理工学院洛阳理工学院第第 4 章章洛阳
