1、 考纲展示 考情汇总 备考指导 圆与方程 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的 标准方程与一般方程 能根据给定直线、圆的方程，判断 直线与圆的位置关系；能根据给定两 个圆的方程判断两圆的位置关系 能用直线和圆的方程解决一些简单 的问题 初步了解用代数方法处理几何问题 的思想. 2017 年 1 月 T12 2018 年 1 月 T19 2019 年 1 月 T12 2020 年 1 月 T12 本章的重点是求 根据所给条件求 圆的方程、 直线与 圆的位置关系的 判定与应用， 难点 是与圆有关的综 合问题， 解决与圆 有关的问题时， 要 特别注意应用圆 的几何性质， 而不 是只应用代数运 算， 前者往
2、往更简 洁. 空间直角坐标系 了解空间直角坐标系，会用空间直 角坐标表示点的位置 会推导空间两点间的距离公式. 求圆的方程 基础知识填充 1圆的标准方程 圆心坐标是(a，b)，半径是 r 的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2. 2圆的一般方程 当方程 x2y2DxEyF0 满足 D2E24F0 时表示圆，此圆的圆心坐 标为 D 2， E 2 ，半径为1 2 D2E24F. 学考真题对练 1(2017 1 月广东学考)已知点 A(1, 8)和 B(5, 2)，则以线段 AB 为直径的圆 的标准方程是( ) A(x2)2(y5)23 2 B(x2)2(y5)218 C(x2)2(y5)23 2
3、 D(x2)2(y5)218 D 圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 其中圆心为 C 15 2 ，82 2 (2,5)， 半径为 r1 2 1528223 2. 所求圆的标准方程为(x2)2(y5)218. 2(2018 1 月广东学考)圆心为两直线 xy20 和x3y100 的交点， 且与直线 xy40 相切的圆的标准方程是 (x4)2(y2)22 联立 xy20 x3y100 得 x4 y2 圆心为(4，2)， 则圆心(4， 2)到直线 xy40 的距离为 d|424| 1212 2， 故圆的半径为 2. 圆的标准方程为(x4)2(y2)22. 3(2019 1 月广东学考)已知圆
4、C 与 y 轴相切于点(0,5)，半径为 5，则圆 C 的 标准方程是( ) A(x5)2(y5)225 B(x5)2(y5)225 C(x5)2(y5)25 或(x5)2(y5)25 D(x5)2(y5)225 或(x5)2(y5)225 D (xa)2(yb)2r2，r5，又和 y 轴相切于点(0,5)，a5，b5 或 a 5，b5，则方程为(x5)2(y5)225 或(x5)2(y5)225. 求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法：若已知圆心和半径有关，则设圆的标准方程 最新模拟快练 1(2019 惠州高一月考)圆(
5、x1)2(y 3)21 的圆心坐标是( ) A(1， 3) B(1， 3) C(1， 3) D(1， 3) C 由圆的标准方程(x1)2(y 3)21，得圆心坐标为(1， 3) 2(2019 广州市学考模拟)圆心是 O(3,4)，半径长为 5 的圆的方程为( ) A(x3)2(y4)25 B(x3)2(y4)225 C(x3)2(y4)25 D(x3)2(y4)225 D 将 O(3,4)，r5 代入圆的标准方程可得 3(2019 梅州市学考模拟)已知两点 P(4,0)，Q(0,2)，则以线段 PQ 为直径的圆 的方程是( ) A(x2)2(y1)25 B(x2)2(y1)210 C(x2)2
6、(y1)25 D(x2)2(y1)210 C 圆的直径为线段 PQ，圆心坐标为(2,1)，半径 r|PQ| 2 42022 2 5 圆的方程为(x2)2(y1)25. 4(2019 佛山高一期中检测)圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该 圆的方程是( ) Ax2y210y0 Bx2y210y0 Cx2y210 x0 Dx2y210 x0 B 设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r|b|，圆的方程为 x2(yb)2b2.点 (3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得 b5，圆的方程为 x2y210y0. 5(2018 梅州市高一月考)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2
7、)的圆的方程 为( ) Ax2(y2)21 Bx2(y2)21 C(x1)2(y3)2 1 Dx2(y3)21 A 法一 (直接法)： 设圆心坐标为(0， b)， 则由题意知012b221， 解得 b2，圆的方程为 x2(y2)2 1. 法二 (数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，圆的 方程为 x2(y2)21. 法三 (验证法)：将点(1,2)代入四个选项中，排除 B，D，又由于圆心在 y 轴 上，排除 C 6(2018 云浮市高一期末)如果圆的方程为 x2y2kx2yk20，那么当圆 面积最大时，圆心为 (0，1) 将方程配方得 xk 2 2 (y1)2
8、3 4k 21.即 r213 4k 20， rmax1，此时 k0.圆心为(0，1) 直线与圆的位置关系 基础知识填充 直线、圆的位置关系 直线 l：AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判定方法： (1)几何法： 圆心 O(a，b)到直线 l：AxByC0 的距离 d|AaBbC| A2B2 . 若 dr直线与圆相离 (2)代数法： 由直线方程与圆的方程联立得方程组 AxByC0， xa2yb2r2r0， 消元后得到的关于 x 或 y 的一元二次方程， 记它 的判别式为 ，则： 若 0直线与圆相交； 若 0直线与圆相切； 若 0直线与圆相离 学考真题对练 (2020
9、1 月广东学考)直线 l：xy20 被圆 C：x2y23 截得的弦长为 ( ) A2 2 B2 C 2 D1 B 圆 C： x2y23 的圆心(0,0)到直线 l： xy20 的距离 d|2| 2 2， 圆 C 的半径 r 3， 直线 l：xy20 被圆 C：x2y23 截得的弦长为 2 r2d22 32 2.故选 B (1)判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离，注意求距离时 直线方程必须化成一般式 (2)求直线被圆所截得的弦长时，方法一：考虑由弦心距和垂线段作为直角边 的直角三角形，利用勾股定理来解决问题方法二：联立直线方程和圆的方程， 消元转化为关于 x 的一元二次方程，由根
10、与系数的关系即可求得弦长|AB|1k2 |x1 x2| 1k2x1x224x1x2或 |AB| 1 1 k2 |y1 y2| 1 1 k2 y1y224y1y2. (3)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方 程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的 切线有两条，此时应该注意斜率不存在的切线 最新模拟快练 1(2018 广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇)直线 y x 被圆(x1)2y21 所截得的弦长为( ) A 2 2 B1 C 2 D2 C 由圆的方程得：圆心坐标为(1,0)，半径 r1，圆心到直线 xy0 的
11、距离 d 1 2，直线被圆截得的弦长为 2 11 2 2.故选 C 2(2019 梅州市学考模拟)如果圆 C：(xa)2(y3)25 的一条切线的方程 为 y2x，那么 a 的值为( ) A4 或 1 B1 或 4 C1 或4 D1 或4 B 由题意，圆心到直线的距离 d|2a3| 41 5，a1 或 4. 3(2020 广东学考模拟)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a( ) A4 3 B3 4 C 3 D2 A 圆 x2y22x8y130 的圆心坐标为：(1,4)， 故圆心到直线 axy10 的距离 d|a41| a21 1， 解得 a4 3，故选 A
12、 4(2019 佛山市学考模拟)已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 ax by1 与圆 O 的位置关系是( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 B 点 M(a，b)在圆 x2y21 外，a2b21.圆心(0,0)到直线 axby 1 的距离 d 1 a2b21r，则直线与圆的位置关系是相交 5(2018 广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)直线 x 3y20 与圆 x2y24 相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长度等于( ) A2 5 B2 3 C 3 D1 B 圆心到直线 x 3y20 的距离 d|0 302| 12 32 1，半径 r2， 弦长|AB|2 r2d22
13、 22122 3. 6(2019 深圳市高二期中)平行于直线 2xy10 且与圆 x2y25 相切的 直线的方程是( ) A2xy 50 或 2xy 50 B2xy 50 或 2xy 50 C2xy50 或 2xy50 D2xy50 或 2xy50 D 依题意可设所求切线方程为 2xyc0， 则圆心(0,0)到直线 2xyc 0 的距离为 |c| 2212 5，解得 c 5.故所求切线方程为 2xy50 或 2xy5 0. 7(2018 揭阳高一月考)已知圆 C：x2y28y120，直线 l：axy2a 0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； (2)当直线 l 与圆 C 相交
14、于 A、B 两点，且 AB2 2时，求直线 l 的方程 解 将圆 C 的方程 x2y28y120 配方得标准方程为 x2(y4)24， 则此圆的圆心为(0,4)，半径为 2.设圆心 C 到直线 l 的距离为 d，则 d|42a| a21. (1)若直线 l 与圆 C 相切，则有 |42a| a212， 解得 a3 4. (2)根据题意和圆的性质，d2 1 2|AB| 2 |AC|2， |42a| a21 2 ( 2)222， 解得 a7 或 a1，故所求直线方程为 7xy140 或 xy20. 8(2019 河源高二期末)已知曲线 C：x2y22x4ym0. (1)当 m 为何值时，曲线 C
15、表示圆？ (2)若直线 l：yxm 与圆 C 相切，求 m 的值 解 (1)由 C：x2y22x4ym0，得(x1)2(y2)25m， 由 5m0 时，得 m5，当 m5 时，曲线 C 表示圆 (2)圆 C 的圆心坐标为(1，2)，半径为 5m. 直线 l：yxm 与圆 C 相切，|12m| 2 5m， 解得：m 3，满足 m0)与(xa2)2(yb2)2r22(r20)的圆心距 |O1O2|d，则： (1)dr1r2相离； (2)dr1r2外切； (3)|r1r2|dr1r2相交； (4)d|r1r2|内切； (5)0dd，所以两圆外离 2(2018 梅州学考模拟题)圆(x2)2y24 与圆
16、(x2)2(y1)29 的位置关 系为( ) A内切 B相交 C外切 D相离 B 两圆心之间的距离为：d222012 17，两圆的半径分别 为：r12，r23，则|r2r1|1dr1r25，故两圆相交 3(2018 中山市高一期中)两圆 x2y2r2，(x3)2(y1)2r2外切，则正实 数 r 的值是( ) A 10 B 10 2 C 5 D5 B 圆心距为 10，由相外切得 rr 10， r 10 2 . 4(2019 潮州高二检测)若圆 C1：(x2)2(ym)29 与圆 C2：(xm)2(y 1)24 外切，则实数 m 的值为( ) A2 B5 C2 或5 D不确定 C 两圆的圆心分别
17、为(2，m)，(m，1)，两圆的半径分别为 3,2，由题意 得 m221m232，解得 m2 或5. 5(2019 汕头市学考模拟)已知圆 C1：x2y26x70 与圆 C2：x2y26y 270 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中垂线方程为 xy30 圆 C1的圆心为 C1(3,0)，圆 C2的圆心为 C2(0,3)，直线 C1C2 的方程为 xy30，AB 的中垂线即直线 C1C2，故其方程为 xy30. 6(2019 珠海市高二检测)圆 C1：x2y22mxm240 与圆 C2：x2y2 2x4my4m280 相交，则实数 m 的取值范围是 (0,2)或 12 5 ，2 5 整理圆 C1得(xm)2y24，整理圆 C2得(x1)2(y 2m)29， C1的圆心为(m,0)，半径为 2，圆 C2的圆心为(1,2m)，半径为 3. 两圆相交，圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差， 即 1 m122m25，解得：0m2 或12 5 m2 5.
