1、 考纲展示 考情汇总 备考指导 (1)事件与概率 了解随机事件发生的不确 定性和频率的稳定性，了解概 率的意义，了解频率与概率的 区别 了解两个互斥事件的概率 加法公式. 本章的重点是古典概型概 率、几何概型概率的计算， 难点是解决概率统计的综 合问题，解决古典概型问 题的关键是正确地列出试 验的基本事件，解决几何 概型问题的关键是识别几 何概型的类型及其中几何 量的计算. (2)古典概型 理解古典概型及其概率计 算公式 会计算一些随机事件所含 的基本事件数及事件发生的 概率. 2017 年 1 月 T18 2018 年 1 月 T18 2019 年 1 月 T18 2020 年 1 月 T1
2、8 (3)随机数与几何概型 了解随机数的意义，能运用 模拟方法估计概率 了解几何概型的意义. 互斥事件、对立事件的概率 基础知识填充 1频率与概率 频率与概率 P(A)有本质区别，频率随着试验次数的改变而改变，而概率是一 个常数 a，是客观存在的，与每次试验无关，当试验次数越来越多时，频率稳定于 a. 2事件与事件间的关系 (1)事件：在一定条件下所出现的某种结果称之为事件 (2)事件的类型： 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不 发生的事件 (3)事件的关系与运算及概率的基本性质 不能同时发生的两个事件叫做互
3、斥事件 不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件 事件 A 发生时，事件 B 一定发生，称事件 A 包含于事件 B(或事件 B 包含事 件 A) 若某事件的发生是事件 A 发生或事件 B 发生，则此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(和事件) 某事件的发生，当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称事件 A 与事件 B 的交事件(积事件) 3概率的基本性质 (1)任何事件 A 的概率 P(A)满足 0P(A)1，若 A 为必然事件，则 P(A)1.若 A 为不可能事件，则 P(A)0. (2)若事件 A 和 B 互斥，则事件 AB 的概率满足加法公式：P(AB)P(A) P(B)
4、(A，B 互斥) 推广：若事件 A1，A2，An彼此互斥，则事件 A1A2An的概率 P(A1 A2An)P(A1)P(A2)P(An) (3)若事件 A 和 B 对立，则事件 AB 的概率满足加法公式：P(AB)P(A) P(B)1，即 P(A)1P(B) 注意：若事件 A 与事件 B 为对立事件，则 A，B 必互斥若事件 A 与事件 B 为互斥事件，则 A，B 不一定对立 最新模拟快练 1(2019 东莞学考模拟题)抽查 10 件产品，设事件 A：至少有两件次品，则与 事件 A 互斥的事件为( ) A恰有两件次品 B恰有一件次品 C恰有两件正品 D至少有两件正品 B 事件“恰有一件次品”与
5、事件 A 不会同时发生，故选 B 2(2018 梅州市高一月考)抛掷一颗骰子，事件 M 表示“向上一面的数是奇 数”， 事件 N 表示“向上一面的数不超过 3”， 事件 P 表示“向上一面的数是 5”， 则( ) AM 为必然事件 BP 为不可能事件 CM 与 N 为对立事件 DP 与 N 为互斥事件 D 由题意知 P 与 N 不能同时发生，故选 D 3 (2019 深圳学考模拟题)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一 等品，且已知 P(A)0.65，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( ) A0.7 B0.65 C0.35 D0.3 C 设“抽到的不是一等品”为事件 B，则 A 与
6、B 不能同时发生，且必有一 个发生，则 A 与 B 是对立事件，故 P(B)1P(A)10.650.35. 4(2019 潮州高二期中)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都 是黑子的概率为1 7， 从中取出 2 粒都是白子的概率是 12 35.则从中任意取出 2 粒恰好是 同一色的概率是( ) A1 7 B12 35 C17 35 D1 C 易知事件“从中取出 2 粒都是黑子”和“从中取出 2 粒都是白子”为互 斥事件，故所求的概率为1 7 12 35 17 35. 5(2018 佛山市学考模拟)袋内装有质地、大小完全相同的 6 个球，其中红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个
7、，现从中任取两个球对于下列各组中的事件 A 和事件 B： 事件 A：至少一个白球，事件 B：都是红球； 事件 A：至少一个白球，事件 B：至少一个黑球； 事件 A：至少一个白球，事件 B：红球、黑球各一个； 事件 A：至少一个白球，事件 B：一个白球一个黑球 是互斥事件的是 (将正确答案的序号都填上) 中的事件 A 和 B 不可能同时发生，为互斥事件 6(2018 肇庆市高一期中)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次 品，若生产中出现乙级品的概率为 0.03，丙级品的概率为 0.01，则对产品抽查一 件，抽的正品的概率为 0.96 由对立事件概率公式，抽得正品概率为 P10.030.0
8、10.96. 古典概型的概率 基础知识填充 1古典概型 如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个且每个基本事件出现的 可能性相等，则具有这两个特点的概率模型称为古典概型 2古典概型的概率公式 P(A)事件A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数 ， 即 P(A)nA n . 学考真题对练 1(2018 1 月广东学考)笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔，先从 笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使 用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 4 9 给 3 支签字笔编号分别为 1,2,3，其 1 号和 2 号为黑色，3 号为红色，先从 笔筒中随机
9、取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使 用，所有的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共 9 种，其中两次使用的都是黑色笔的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共 4 个，则 两次使用的都是黑色笔的概率为 P4 9. 2(2019 1 月广东学考)袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中 2 个白球， 3 个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是 2 5 P C22C23 C25 13 10 4 10 2 5. 3(2020 1 月广东学考)从 4 张分别写有数字 1,
10、2,3,4 的卡片中随机抽取 2 张， 则所取 2 张卡片上的数字之积为奇数的概率是 1 6 从 4 张分别写有数字 1,2,3,4 的卡片中随机抽取 2 张共有 6 种情况， 则所取 2 张卡片上的数字之积为奇数共有(1,3)，1 种情况， 故从 4 张分别写有数字 1,2,3,4 的卡片中随机抽取 2 张，则所取 2 张卡片上的 数字之积为奇数的概率为1 6. 求古典概型概率的步骤 (1)先判断是否为古典概型； (2)确定基本事件的总数 n； (3)确定事件 A 包含的基本事件个数 m； (4)计算事件 A 的概率，即 P(A)m n. 最新模拟快练 1(2018 广东省普通高中学业水平考
11、试模拟题)甲班和乙班各有两名男羽毛球 运动员，从这四人中任意选取两人配对参加双打比赛，则这对运动员来自不同班 的概率是( ) A1 3 B1 2 C2 3 D4 3 C 设甲班两名运动员为 a，b，乙班两名运动员为 c，d，从中任选两人，则 共有以下 6 种可能结果：ab，ac，ad，bc，bd，cd，其中这对运动员来自不同班的 结果有 4 种，故所求的概率为 P4 6 2 3. 2(2019 广州学考模拟题)甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上 的概率为( ) A1 3 B2 3 C1 2 D5 6 B 甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有 6 种结果：甲乙丙，甲丙乙， 乙甲丙，乙丙
12、甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有 4 个，故所求的概 率为4 6 2 3. 3(2019 肇庆高一月考)从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位 数，则这个两位数大于 40 的概率是( ) A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 B 从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字，一共能构成 20 个两位数： 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54， 其中大于 40 的有 8 个， 故所求的概率为 8 20 2 5. 4(2019 中山市学考模拟题)在国庆阅兵中，某兵种 A，B，C
13、三个方阵按一定 次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则 B 先于 A，C 通过的概率为( ) A1 6 B1 3 C1 2 D2 3 B 用(A，B，C)表示 A，B，C 通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A， B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共 6 种， 其中 B 先于 A，C 通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共 2 种，故所求概率 P2 6 1 3. 5(2019 珠海市学考模拟题)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从 中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 1 3 设两个红球分别为 A，B，两个白球分别为
14、C，D，从中任取两个球，有 如下取法：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共 6 种情形，其 中颜色相同的有(A，B)，(C，D)，共 2 种情形，故 P2 6 1 3. 6 将一枚质地均匀的一元硬币抛 3 次， 恰好出现一次正面的概率是 3 8 试验共有 8 个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正， 正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好 出现一次正面的结果有 3 个，故所求的概率是3 8. 7(2018 广州市高中二年级学生学业水平模拟测试模拟)在甲、乙两个盒子中 分别装有标号为 1、2、
15、3、4 的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球，每 个小球被取出的可能性相等 (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (2)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率 解 设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球，其数字分别为 x，y，用(x，y)表示 抽取结果， 则所有可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)， (3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 种 (1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，
16、 (4,3)，共 6 种故所求概率 P 6 16 3 8. 答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为3 8. (2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)， 共 5 种故所求概率为 P 5 16. 答：取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为 5 16. 8 (2019 汕头市学考模拟题)某校从参加邵阳市数学竞赛的学生中随机抽取 20 名学生的数学成绩(均为整数)整理后分成六组：40,50)，50,60)，90,100，画 出如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： (1)求这 20 名学生中分数在70,
17、80)内的人数； (2)若从成绩大于或等于 80 分的学生中随机抽取 2 人， 求恰有 1 名学生成绩在 区间90,100内的概率 解 (1)10.10.150.150.200.0510.650.35，0.35207， 分数在70,80)内的学生人数为 7 人 (2)0.200.050.25,0.25205， 分数大于或等于 80 分的学生人数有 5 人，(其中90,100内的学生有 1 人) 设这 5 人分别为 a，b，c，d，e，则从中选 2 人有 ab，ac，ad，ae，bc，bd， be，cd，ce，de，共 10 种情形，其中恰有 1 名学生成绩在90,100内的有 ae，be， c
18、e，de 4 种情形， 恰有 1 名学生成绩在区间90,100内的概率为 P 4 10 2 5. 几何概型的概率 基础知识填充 (1)如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可 能性相等，若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比 例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 (2)几何概型的概率公式：P(A) 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 最新模拟快练 1(2019 河源学考模拟题)在半径为 2 的球 O 内任取一点 P，则|OP|1 的概 率为( ) A7 8 B5 6 C3 4 D1 2 A 问题
19、相当于在以 O 为球心，1 为半径的球外，且在以 O 为球心，2 为半 径的球内任取一点，所以 P 4 32 34 31 3 4 32 3 7 8. 2 (2018 梅州市高一期末)从区间(0,1)内任取一个数， 则这个数小于5 6的概率是 ( ) A1 5 B1 6 C5 6 D25 36 C 在区间(0,1)上任取一个数构成的区间长度为 1，这个数小于5 6的区间长度 为5 6，根据几何概型概率公式可得这个数小于 5 6的概率为 5 6，故选 C 3.(2019 清远市高一月考)如图， 边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影 区域在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1
20、3，则阴影区域的 面积是( ) A1 3 B2 3 C4 3 D无法计算 C 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型设“落 在阴影区域内”为事件 A，则事件 A 构成的区域是阴影部分设阴影区域的面积 为 S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有 P(A) S 22 S 4 1 3，解得 S 4 3. 4(2019 肇庆市学考模拟题)当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为 30 秒， 黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 45 秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A 1 12 B3 8 C 1 16 D5 6 C 由题意可知，在 80 秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为
21、是 无限次等可能出现的，符合几何概型的条件事件“看到黄灯”的时间长度为 5 秒，而整个灯的变换时间长度为 80 秒，由几何概型概率计算公式，得看到黄灯的 概率为 P 5 80 1 16. 5(2018 珠海市高一月考)如图，长方体 ABCD- A1B1C1D1，有一动点在此长方 体内随机运动，则此动点在三棱锥 A- A1BD 内的概率为 1 6 设 ABa，BCb，CC1c，则所求的概率为 P VA1- ABD VABCD- A1B1C1D1 1 3 1 2abc abc 1 6. 6(2020 广东学考模拟)在边长为 2 的正三角形 ABC 中，以 A 为圆心， 3为 半径画一弧，分别交 A
22、B，AC 于 D，E.若在ABC 这一平面区域内任丢一粒豆子， 则豆子落在扇形 ADE 内的概率是 3 6 已知如图所示：SABC1 22 3 3， 阴影部分的扇形面积， S扇 60 360 3 2 2， 则豆子落在扇形 ADE 内的概率 P S扇 SABC 2 3 3 6 . 7.(2019 广州市高一期末检测)如图， 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太 极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在 正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 8 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方 形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S黑S白1 2 S圆 2，所以由几何概型知，所求概率 P S黑 S正方形 2 4 8. 求解与面积或体积有关的几何概型问题的步骤
