1、 折叠中几何图形的存在性问题（郑分司英豪） 【题根】【题根】如图，在 RtABC中，ACB=90，B=30，BC=3点D是BC边上一动点（不 与点B、C重合） ，过点D作DEBC交AB边于点E，将B沿直线DE翻折，点B落在射线 BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为_ 变式网络 变式题 （变式变式 1 1）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE 折叠，使点B落在点B处，当CEB为直角三角形时，BE的长为_. （变式变式 2 2）如图，正方形ABCD的边长是 16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点 B、C重合的一个动点，把EB
2、F沿EF折叠，点B落在B处，若CDB恰为等腰三角形， 则DB的长为 . F E DCB A E F C D B A B （变式 3）如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 AB 上一点，将BEC 沿 CE 折叠，使点 B 落在 AD 边 上的点 F 处若AEFFECDFC，则 AB BC 的值是 （变式（变式 4 4）如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=2，ABC=30，点 E 是线段 DA 上一动点，把 CDE 沿 CE 折叠，其中点 D 的对应点为 F，连接 FB，若使FBC 为等边三角形，则 DE= 参考答案 题根题根 根据题意得：EFB=B=30，DF=BD，EF=EB，DEBC， F
3、ED=90-EFD=60，BEF=2FED=120，AEF=180-BEF=60， 在 RtABC 中，ACB=90，B=30，BC=3，AC=BCtanB= 3 3 3 = 3 如图若AFE=90，在 RtABC 中，ACB=90，EFD+AFC=FAC+AFC=90， FAC=EFD=30，CF=ACtanFAC= 3 3=1 3 BD=DF= 3 1 =1 22 BCCF 如图若EAF=90，则FAC=90-BAC=30，CF=ACtanFAC= 3 3=1 3 BD=DF= 3 1 =2 22 BCCF AEF 为直角三角形时，BD 的长为：1 或 2 （变式（变式 1 1） 当CEB
4、为直角三角形时，有两种情况： 当点 B落在矩形内部时，如答图 1 所示连结 AC， 在 RtABC 中，AB=3，BC=4，AC=5B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B处，ABE=B=90， 当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90， 点 A、B、C 共线，即B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B处， EB=EB，AB=AB=3，CB=5-3=2， 设 BE=x， 则 EB=x， CE=4-x， 在 RtCEB中，EB 2+CB2=CE2，x2+22=（4-x）2，解得 x= 3 2 BE= 3 2 ； 当点 B落在 AD 边上时，如答图 2 所示此时 ABEB为正
5、方形，BE=AB=3 综上所述，BE 的长为 3 2 或 3 （变式（变式 2 2） 试题分析： （1）当 BD=BC 时，过 B点作 GHAD，则BGE=90，当 BC=BD 时， AG=DH= 1 2 DC=8，由 AE=3，AB=16，得 BE=13由翻折的性质，得 BE=BE=13，EG=AGAE=8 3=5，BG= 22 B EEG= 22 135=12，BH=GHBG=1612=4，DB= 22 B HDH= 22 48=4 5； （2）当 DB=CD 时，则 DB=16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合） ； （3）当 CB=CD 时，EB=EB，CB=CB，点 E
6、、C 在 BB的垂直平分线上，EC 垂直 平分 BB，由折叠可知点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去 综上所述，DB的长为 16 或4 5故答案为：16 或4 5 （变式（变式 3 3）解：由折叠的性质得：FECBEC， BC=FC，BEC=FEC， 四边形 ABCD 是矩形，DC=AB，AEFFECDFC， AEF=DFC=FEC，AEF=FEC=BEC，DFC=60， 在 RtCDF 中，sinDFC= 3 2 DCAB FCBC ；故答案为： 3 2 （变式（变式 4 4） 解： 四边形 ABCD 是菱形，AB=2，ABC=30，CD=AB=2，D=B=30，BCD=150 FBC 为等边三角形，BCF=60，DCF=90，CDE 沿 CE 折叠，得到CFE， CDECFE，DCE= 1 2 DCF=45，过点 E 作 EHCD，垂足为 H，则CHE=90， CEH=DCE=45，CH=EH,在 RtDEH 中，D=30，EH= 1 2 DE 设 EH=x,则 DE=2x，CH=x，由勾股定理得：HD= 3x,CH+HD=CD=2，32xx ， 3 1x ，DE=2x=2 3 2
