1、试卷第 1 页，共 4 页 专题专题 3535 导数及其应用解答题（第二部分）导数及其应用解答题（第二部分）一、解答题一、解答题 1已知函数 2ln,f xaxaxx x且 0f x.（1）求 a；（2）证明：f x存在唯一的极大值点0 x，且2202ef x.2已知函数2()(2)(1)xf xxea x有两个零点.（）求 a 的取值范围；（）设 x1，x2是()f x的两个零点，证明：122xx.3设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a R.（I）讨论 f(x)的单调性；（II）确定 a的所有可能取值，使得11()xf xex在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数
2、)4已知221()ln,xf xa xxaRx（）讨论()f x的单调性；（）当1a 时，证明 3()2f xfx 对于任意的1,2x成立 5设函数 2ln1f xxa xx，其中aR.（）讨论函数 f x极值点的个数，并说明理由；（）若 0,0 xf x 成立，求a的取值范围.6已知函数()(1)f xlnx，(),(),g xkx kR（）证明：当0()xf xx时，；（）证明：当1k 时，存在00 x,使得对0(0),xx任意，恒有()()f xg x；（）确定 k 的所以可能取值，使得存在0t，对任意的(0),xt，恒有2()()f xg xx 7已知0a，函数()sin(0,)axf
3、 xex x，记nx为()f x的从小到大的第n*()nN个极值点，证明：试卷第 2 页，共 4 页（1）数列()nf x是等比数列（2）若211ae，则对一切*nN，()nnxf x恒成立.8设*nN，nx是曲线221nyx在点(12)，处的切线与 x 轴交点的横坐标.（）求数列 nx的通项公式；（）记2221321nnTx xxL，证明14nTn.9设函数2()emxf xxmx（1）证明：()f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（2）若对于任意12,1,1x x ，都有12|()()|1f xf xe，求 m 的取值范围 10已知0a 且1a，函数()(0)axxf xxa（1
4、）当2a 时，求 f x的单调区间；（2）若曲线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点，求 a的取值范围 11已知函数 f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论 f(x)在区间(0，)的单调性；（2）证明：3 3()8f x；（3）设 nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx34nn.12 已知函数 11lnxf xxx.（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线exy 的切线.13已知函数()1lnf xxax （1）若()0f x，求 a
5、的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，2111(1)(1)(1)222nmL，求 m 的最小值 14设函数()cos2(1)(cos1)f xxx，其中 0，记()f x的最大值为 A 试卷第 3 页，共 4 页（）求()fx；（）求 A；（）证明()2fxA.15设 nfx是等比数列1，x，2x，nx的各项和，其中0 x，n，2n（）证明：函数 F2nnxfx在1,12内有且仅有一个零点（记为nx），且11122nnnxx；（）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ngx，比较 nfx 与 ngx的大小，并加以证明 16已知函数22()2()ln
6、22f xxaxxaxaa，其中0a.（1）设()g x是()f x的导函数，讨论()g x的单调性；（2）证明：存在(0,1)a，使得()0f x 在区间(1,)内恒成立，且()0f x 在(1,)内有唯一解.17已知数列na的各项均为正数，1(1)()nnnbnanNn，为自然对数的底数（）求函数()1exf xx 的单调区间，并比较1(1)nn与的大小；（）计算11ba，1 212bba a，1 2 3123bb ba a a，由此推测计算1 212nnbbba aaLL的公式，并给出证明；（）令112()nnnca aaL，数列na，nc的前n项和分别记为nS,nT,证明：18设 a1，函数 f（x）=（1+x2）exa（1）求 f（x）的单调区间；（2）证明 f（x）在（，+）上仅有一个零点；（3）若曲线 y=f（x）在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M（m，n）处的切线与直线 OP平行，（O 是坐标原点），证明：m32ae1 19设函数2()f xxaxb.（）讨论函数(sin)fx在(,)2 2 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（）记2000()fxxa xb，求函数0(sin)(sin)fxfx在,2 2 上的最大值 D；试卷第 4 页，共 4 页（）在（）中，取000ab，求24azb满足D1时的最大值.
