1、2024年新课标II卷普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选
2、项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知，则（ ）A. 0B. 1C. D. 22. 已知命题p：，；命题q：，则（ ）A. p和q都是真命题B. 和q都是真命题C. p和都是真命题D. 和都是真命题3. 已知向量满足，且，则（ ）A. B. C. D. 14. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表亩产量900，950）950，1000）1000，1050）1100，1150）1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ）A. 100块稻田亩产量的中位数小于10
3、50kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）A. （）B. （）C. （）D. （）6. 设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）A. B. C. 1D. 27. 已知正三棱台的体积为，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）A. B. 1C. 2D. 38. 设函数，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 1二、多项选择题：本大题共 3 小题
4、，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数和，下列正确的有（ ）A. 与有相同零点B. 与有相同最大值C. 与有相同的最小正周期D. 与的图像有相同的对称轴10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）A. l与相切B. 当P，A，B三点共线时，C. 当时，D. 满足的点有且仅有2个11. 设函数，则（ ）A. 当时，有三个零点B. 当时，是的极大值点C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
5、三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 记为等差数列的前n项和，若，则_.13. 已知为第一象限角，为第三象限角，则_.14. 在如图的44方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有_种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A（2）若，求的周长16. 已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围17. 如图，平面四边形AB
6、CD中，点E，F满足，将沿EF对折至，使得（1）证明：；（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立（1）若，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率（2）假设，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩
7、为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19. 已知双曲线，点在上，为常数，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.（1）若，求；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为的面积，证明：对任意的正整数，.全国统一考试（新课标II卷）数 学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
8、对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. C2. B3. B4. C5. A6. D7. B8. C二、多项选择题9. BC10. ABD11. AD三、填空题12. 9513. 14. 24 112四、解答题15. （1）由可得，即，由于，故，解得
9、（2）由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，由正弦定理可得，即，解得，故的周长为16. （1）当时，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为；17. （1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）连接，由，则，在中，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直
10、，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得，所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为.18. （1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率.（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩的所有可能取值为0，5，10，15，记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩的所有可能取值为0，5，10，1
11、5，同理，因为，则，则，应该由甲参加第一阶段比赛.19. （1）由已知有，故的方程为.当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.（2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.从而根据韦达定理，另一根，相应的.所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.所以.这就得到，.所以.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，则.（若在同一条直线上，约定）证明：.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到，故.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.所以对任意的正整数，都有.而又有，故利用前面已经证明的结论即得.这就表明的取值是与无关的定值，所以.12
