1、第12章 动能定理第12章 动能定理12.1 力的功力的功12.2 质点质点 质点系的动能质点系的动能12.3 质点与质点系的动能定理质点与质点系的动能定理12.4 功率功率 功率方程功率方程12.5 势力场势力场 势能及机械能守恒定理势能及机械能守恒定理 12.6 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用思思 考考 题题第12章 动能定理12.1 力力 的的 功功工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过的路程有关。我们把 力在一段路程上的力在一段路程上的 累累 积积 效效 应应,称称 为为 力的功。力的功。第12章 动能定
2、理1.功的计算功的计算1)常力的功设一物体在常力F 的作用下做直线运动,如图12-1所示。表示力和运动方向间的夹角,S 表示力作用点走过的路程。则力F 在路程S 上所作的功为或第12章 动能定理图12-1第12章 动能定理2)变力的功设质点 M 在变力F 作用下沿曲线运动,如图12-2所示。把位移S 分割成许多微段dS,当微段dS 足够小时,可把dS 近似地看成直线,而这一微段上的力可近似地看作常力,由式(12-1),得第12章 动能定理图12-2第12章 动能定理第12章 动能定理3)合力的功即上式表明:在任一路程中在任一路程中,合力的功等于各分力的功的代数和。合力的功等于各分力的功的代数和
3、。第12章 动能定理第12章 动能定理图12-3第12章 动能定理第12章 动能定理2)弹性力的功第12章 动能定理图12-4第12章 动能定理由此可见:弹性力的功只与弹簧的起始、终了变形有关弹性力的功只与弹簧的起始、终了变形有关,而与而与质点运动的路径无关。质点运动的路径无关。第12章 动能定理3)作用在定轴转动刚体上力的功第12章 动能定理图12-5第12章 动能定理由此可见,动摩擦力的功恒为负值动摩擦力的功恒为负值,它不仅取决于质点的起止它不仅取决于质点的起止位置位置,且还与物体的运动路径有关。且还与物体的运动路径有关。第12章 动能定理若 N 等于常量时,则有其中s为物体运动所经路径的
4、曲线长度。第12章 动能定理【例【例12-1】在图12-6所示的系统中,斜面倾k角=35,物块 M 的质量为 10kg,弹簧刚度系数=120N/m,动摩擦系数f=0.2。试计算物块由弹簧的原长位置 M0 沿斜面运动到位置 M1(S=0.5m)时,作用于物块的各力所做的功及合力的功。解解(1)取物块 M 为研究对象。它受的力有重力P、斜面法向反力N、摩擦力F及弹性力F。取原点为 M0 的坐标轴x。第12章 动能定理第12章 动能定理图12-6第12章 动能定理3.质点系内力的功质点系内力的功第12章 动能定理图12-7第12章 动能定理4.理想约束反力的功理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之
5、和为零的约束称为理想约束。常见理想约束有以下四种:(1)光滑固定面约束。图12-8所示的光滑固定面约束,因为光滑固定面的约束反力沿支承面的法线,与该力作用点的微小位移dr垂直,所以元功WN=Ndr=0。(2)轴承与可动铰支座。图12-9所示的轴承与可动铰支座,由于约束反力的方向始终与微小位移方向垂直,故有第12章 动能定理图12-8 图12-9第12章 动能定理(3)连接两个刚体的光滑铰链。两刚体在铰接处相互作用的约束反力N 和N大小相等,方向相反,即N+N=0,如图12-10所示。因此,元功:WN=Ndr+Ndr=(N+N)dr=0。例如常见的固定铰支座、中间铰的约束。图12-10第12章
6、动能定理(4)不可伸长的柔索约束。如图12-11所示的不可伸长的绳索,两端分别作用着拉力F1 和F2(F1=F2),两端的位移dr1 和dr2 沿绳索的投影相等,则F1 和F2 的元功和为第12章 动能定理图12-11第12章 动能定理物体由于运动而具有的能量称为动能,动能是度量物体机械运动强弱的一个物理量。1.质点与质点系的动能质点与质点系的动能设质量为m 的质点,任一瞬时的速度为v,则质点的动能为12.2 质点质点 质点系的动能质点系的动能第12章 动能定理动能是一个与速度方向无关的正标量,其量纲是质量速度2=ML2T-2=FL=力路程,即动能量纲与功的量纲相同。因而,动能和功的单位相同。
7、由n 个质点组成的质点系,其动能等于每个质点动能之和,即x式中,mi、vi 分别表示质点系中第i个质点的质量、速度大小。第12章 动能定理2.刚体的动能刚体的动能刚体是工程中常见的质点系,由于运动形式的不同,其动能的表达形式各异。(1)平动刚体的动能。刚体做平动时,刚体内各点的速度相同,其动能为式中,mi=M 是刚体的质量,vC 为刚体质心的速度。即平动平动刚体的动能等于其质心的速度的平方与总质量乘积的一半刚体的动能等于其质心的速度的平方与总质量乘积的一半。第12章 动能定理(2)定轴转动刚体的动能。设刚体以角速度 做定轴转动,其上任意一个到转轴距离为ri、质量为mi 的质点的速度为vi=ri
8、。于是定轴转动刚体的动能为式中,Jz=miri2 为刚体对转轴z 的转动惯量。这表明,转动刚转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。一半。第12章 动能定理(3)平面运动刚体的动能。由于刚体的平面运动可看成是刚体随质心的平动与绕质心的转动的合成,因此平面运动平面运动刚体的动能为刚体的平动动能加上绕质心转动的动能刚体的动能为刚体的平动动能加上绕质心转动的动能。设质量为 M 的刚体过质心C 的转动惯量为JC,质心的速度为vC,于是第12章 动能定理若刚体瞬心C到质心C 的距离为d,如图12-12所示。由转动惯量的平行移轴公式有
9、这样刚体的动能:即平面运动刚体的动能等于绕瞬心轴转动的动能平面运动刚体的动能等于绕瞬心轴转动的动能。第12章 动能定理图12-12第12章 动能定理【例【例12-2】在图12-13所示的机构中,杆OA 绕水平轴O 转动,质量为2kg的套筒 M 按规律s=2t2(m)沿杆滑动。当转角=2t(rad)时,试求t=2s时套筒 M 的动能。图12-1第12章 动能定理解解 取套筒 M 为动点,动系固连于杆OA 上,静系为地面。由点的速度合成定理,有当t=2s时,第12章 动能定理【例【例12-3】在图12-14所示的系统中,均质圆盘A、B 的半径为R,重量各为P。盘A做定轴转动,盘B 沿水平面做纯滚动
10、运动,且两盘中心在同一水平线上。重物 D 重Q,图示瞬时的速度为v。不计绳重,求此时系统的动能。第12章 动能定理图12-14第12章 动能定理第12章 动能定理12.3 质点与质点系的动能定理质点与质点系的动能定理1.质点的动能定理质点的动能定理质点的动能定理建立了质点的动能与其所受力的功的关系。如图12-15所示,质量为m的质点在力F 的作用下沿曲线运动,在点 M1、M2处的 瞬时速度分别为v1、v2。由动力学基本方程,有或第12章 动能定理两边分别点乘以dr=vdt,得第12章 动能定理式(12-8a)称为质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式。它表明,质点动能质点动能的微分等于作
11、用于质点上的力的元功的微分等于作用于质点上的力的元功。将上式沿曲线从 M1 到 M2 积分:得式(12-8b)为积分形式的质点动能定理为积分形式的质点动能定理。即在任一段路程中,质点的动能的变化质点的动能的变化,等于作用于质点上的力在该路程上所做等于作用于质点上的力在该路程上所做的功的功。第12章 动能定理图12-15第12章 动能定理【例【例12-4】在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、S2 和h。图12-16第12章 动能定理解解(1)取矿车为研究对象,其受力有
12、重力P、摩擦力F 和法向反力N。(2)分析运动。矿车在A、C 两位置处的速度为零,故动能也为零。(3)由动能定理求摩擦系数f0。先计算各力所做的功:在AB 段,重力P 的功为Ph,法向反力为则第12章 动能定理所以,摩擦阻力的功为在BC 段,重力P 不做功。法向反力为则所以,摩擦阻力的功为-PfS2。第12章 动能定理第12章 动能定理2.质点系的动能定理质点系的动能定理由质点的动能定理很容易推得质点系(包括刚体)的动能定理,推理如下:对于n 个质点所组成的质点系,取其中第i个质点来研究。假设该质点的质量为 mi,速度为vi,作用于该质点内力的合力为Fi(i),外力的合力为Fi(e),由式(1
13、2-8a)有式中Wi(e)、Wi(i)分别为作用在该质点上的所有外力与内力的元功。第12章 动能定理将这些方程等式两边相加,有或式(12-9a)称为微分形式的质点系动能定理微分形式的质点系动能定理。即:质点系动能质点系动能的微分等于作用于该质点系的全部外力与内力元功的和的微分等于作用于该质点系的全部外力与内力元功的和。第12章 动能定理由式(12-9a)有积分形式的动能定理:式中T1、T2 分别为运动开始、终了时质点系的动能。上式表明:在某一运动过程中,质点系动能的变化等于作用于质点系上所有的外力和内力在这个过程中所做功的总和。第12章 动能定理由前面质点系内力功的讨论可知,一般情况下,内力功
14、之和W(i)并不一定为零,且不易计算。通常将作用于质点系的力按主动力和约束反力来分,则有在理想约束的情况下,约束反力的功之和WN 等于零。由式(12-9c)有即,具有理想约束的质点系具有理想约束的质点系,在运动过程中动能的改变等于作在运动过程中动能的改变等于作用于质点系上所有的主动力在该路程中所做的功之和用于质点系上所有的主动力在该路程中所做的功之和。第12章 动能定理第12章 动能定理图12-17第12章 动能定理第12章 动能定理第12章 动能定理【例【例12-6】图12-18所示的一均质圆柱体重为P,半径为r,从静止开始沿倾角为 的斜面纯滚动而下。不计滚动摩擦,求质心的加速度aC、斜面的
15、法向反力 N 和摩擦力F。图12-18第12章 动能定理第12章 动能定理第12章 动能定理12.4 功率功率 功率方程功率方程1.功率功率在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作能力的一个重要指标。W 是dt时间内力的元功,则功率为第12章 动能定理由于元功为W=Ftds,因此即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积力矩的元功为W=Md,则即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。第12章 动能定理功率的单位是瓦特(焦耳/秒(J/s)。1秒钟内力做功1焦耳,称为1瓦特(W),即若转速n 为转/分(r/
16、min),转矩 M 为牛顿米(Nm),则功率单位为千瓦(kW),即式(12-12)表示功率、转速和力矩间的关系,应用时要注意各量的单位。第12章 动能定理【例【例12-7】设质量为2000kg的钢锭,若要以匀速v=0.166m/s提升。问提升此钢锭所消耗的功率。解解 因匀速提升钢锭,故提升钢锭所需的力为将速度v=0.166m/s代入功率方程,得提升钢锭所需的功率为第12章 动能定理2.功率方程功率方程动能定理的微分形式两端除以dt,得上式称为功率方程称为功率方程,即质点系动能对时间的导数即质点系动能对时间的导数,等于作用于等于作用于质点系的所有力的功率的代数和质点系的所有力的功率的代数和。第1
17、2章 动能定理第12章 动能定理3.机械效率机械效率由于机器运转时总要消耗一部分功率,故稳定阶段有用功率小于输入功率。工程上把有用功率与输入功率之比,称为机械效率,用表示,即机械效率的值总是小于1。机械效率愈接近1,有用功率愈接近于输入功率,摩擦所消耗的功率也就越小,机器的工作性能越好。机械效率的大小是评价一台机器工作性能的重要指标之一,一般机械效率可由机械设计手册查得。第12章 动能定理【例【例12-8】C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率=0.76。求此时电动机的功率为多少?解解 由式(12-12)得切削力P
18、 的功率:第12章 动能定理12.5 势力场势力场 势能及机械能守恒定理势能及机械能守恒定理1.势力场势力场若质点在某空间的任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用,则此空间称为力场。例如,在地面附近,质点受到重力作用,而重力的大小和方向完全决定于质点的位置,所以地面附近的空间称为重力场重力场。星球在太阳周围的任何位置都要受到太阳引力的作用,引力大小和方向完全决定于星球相对于太阳的位置,我们称太阳周围的空间为太阳引力场引力场。用弹簧系住一质点,当质点运动时,就受到弹性力的作用,而弹性力的大小和方向也完全决定于质点的位置,所以在弹性极限内弹簧所能达到的这部分空间称为弹性弹性力场。
19、力场。第12章 动能定理当质点在某力场运动时,如果作用于质点的力所做的功只与质点的起始、终了位置有关,而与质点运动的路径无关,则该力场称为势力场势力场或保守力场。质点在势力场中所受的力称为有势力有势力或保守力。由于重力、万有引力及弹性力的功都与质点运动路径无关,所以这些力都是有势力,对应的力场都是势力场。第12章 动能定理2.势能势能在势力场中,当质点从势力场中任一给定位置 M 处运动到任选位置M0 处时,有势力所做的功称为质点在给定位置 M 处相对于位置M0处的势能,即由上式,若任选位置 M0为零势能位置,称其为零势能点。第12章 动能定理第12章 动能定理图12-1第12章 动能定理第12
20、章 动能定理图12-20第12章 动能定理(2)弹性力场中的势能。以弹簧自然长度的末端为零位置,质点在指定位置处弹簧的伸长(或缩短)量为,则质点在指定位置的势能顺便指出,这里虽然只以弹簧为例。事实上,任何弹性体变形时都具有势能。第12章 动能定理第12章 动能定理由上式可知,在地球周围的引力场中,距地面h 处质点的势能:第12章 动能定理因此,质点系从质点系从 M1点运动到点运动到 M2点点,有势力的功等于有势力的功等于质点系在运动始末位置的势能之差质点系在运动始末位置的势能之差。第12章 动能定理图12-21第12章 动能定理3.机械能守恒定理机械能守恒定理设质点或质点系在势力场中运动,仅受
21、到有势力的作用(或同时受到不做功的约束力的作用)。当质点或质点系从第一位置运动到第二位置时,根据动能定理有第12章 动能定理即质点或质点系在势力场中运动时,在任意两位置的动能与势能之和相等。因此关系式对任意两位置都成立,所以可写成上式中系统的动能T 与势能V 的代数和称为系统的机械能机械能。第12章 动能定理于是有,质点或质点系仅在有势力作用下运动时质点或质点系仅在有势力作用下运动时,其机械其机械能保持不变能保持不变。该结论称为机械能守恒定理机械能守恒定理。这样的系统称为保守系统。非保守力作用的系统称为非保守系统。在非保守系统中,设非保守力的功为 W12,由动能定理有c第12章 动能定理上式表
22、明,非保守系统的机械能不守恒非保守系统的机械能不守恒。例如,作用于质点系的摩擦力做负功,即 W12为负值,表明质点系在运动过程中机械能减小(又称为机械能损耗),所损失的机械能转换为其他形式的能量,如热能。但总的能量(即机械能与其他形式的能量之和)仍然是守恒的,也就是说能量不会消失,也不能创造,只能从一种形式转换为另一种形式,这是自然界的普遍规律能量守恒定律。机械能守恒定理是能量守恒定律的一种特殊情况。第12章 动能定理【例【例12-9】图12-22所示的长为l,质量为m 的均质直杆,初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后,求质心的速度(用杆的倾角和质心的位置表示)。解解 以均质杆为研究
23、对象,作用于其上的力有重力mg,地面的支撑反力N。因所有的力在水平方向的投影和等于零,即Fx=0,且初始瞬时质心的速度vcx=0,故质心的xc=常数,即质心C 垂直下降。第12章 动能定理由于光滑的接触面是理想约束,仅有重力 mg 做功,故系统为保守系统。选地面为零势能位置,初瞬时系统的机械能为第12章 动能定理第12章 动能定理12.6 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的一些定理,这些定理建立了两类量之间的关系,即建立了描述质点或质点系运动的特征量(动量、动量矩、动能)与表示力的作用量(冲量、力矩、功)之间的关系。
24、其中,动量定理、动量矩定理是矢量形式,而动能定理是标量形式。这些定理从不同侧面对物体的机械运动进行研究,而动能定理还可研究其他形式的运动能量转化问题。第12章 动能定理动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。掌握动力学普遍定理的综合应用,是建立在熟练掌握各个定理的含义及其应用的基础上的。普遍定理的综合应用,大体上包括两方面的含义:一是能根据问题的已知条件和待求量(无论是已知运动求力,还是已知力求运动),选择适当的定理,避开那些无关的未知量,直接求得所需的结果;二是对比较复杂的问题,如既求力也求运动量的问题,可根据需要选用两、三个定理联合求解。第12章 动能定理【例【例12-10】在图12
25、-23所示的机构中,重150N 的均质圆盘与重60N、长24cm 的均质杆AB 在B 处用铰链连接。系统由图示位置无初速度地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A 的约束反力。第12章 动能定理图12-23第12章 动能定理第12章 动能定理第12章 动能定理由质心运动定理有所以可知第12章 动能定理【例【例12-11】长l=12m,质量m=5kg的均质杆OA 可绕O 轴自由转动,连接A 端的弹簧的刚度系数为k=70N/m,如图12-24所示。当OA 铅直向上时,弹簧未发生变形。求在图示位置处从静止释放,当OA 杆转至水平位置OA时的角速度、角加速度及轴承O 处的约束反力。第12章 动能
26、定理图12-24第12章 动能定理第12章 动能定理第12章 动能定理第12章 动能定理【例【例12-12】在图12-25所示的系统中,已知定滑轮的重量为P、半径为R,回转半径为。在倾角为 的斜面上做纯滚动的均质圆柱体重量为Q,半径为R,悬挂物A 重量为G。地面与三角块是光滑接触,轴承O 处摩擦忽略不计。试求:(1)当均质圆柱体由静止开始沿斜面向下滚动距离s时,物体A 的加速度;(2)地面对三角块的垂直反力;(3)地面凸出部分对三角块的水平反力。第12章 动能定理图12-25第12章 动能定理第12章 动能定理第12章 动能定理思思 考考 题题12-1 思考题12-1图所示的两种滑轮装置,都能
27、把重为P 的物体匀速提升高度h,问哪一种所需拉力大?哪一种做功多?12-2 当质点 M 在竖直的粗糙的圆槽中从A 点开始运动一周又回到A 点(见思考题12-2图示)时,作用在质点上的重力所做的功等于多少?作用在质点上的摩擦力的功是否等于零?为什么?第12章 动能定理思考题12-1图第12章 动能定理思考题12-2图第12章 动能定理12-3 在弹性范围内,把弹簧的伸长量加倍,则拉力做的功也加倍,这种说法对不对?为什么?12-4 设水的阻力与轮船速度的平方成正比,当船速加倍时,发动机的输出功率是否为原来的四倍?12-5 质点系的动能愈大,动量也愈大吗?作用在该质点系上的力所做的功也愈大吗?为什么?12-6 当质点作匀速圆周运动时,其动能、动量、对圆心O 点的动量矩会发生变化吗?为什么?第12章 动能定理12-7 刚体平面运动时,取其平面图形上任一点 A 为基点,则其运动分解可为随基点A 的平动和绕基点A 的转动,因此它的动能为12-8 轮纯滚动时,滑动摩擦力不做功,为什么?
