1、第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动7.1 复合运动的概念复合运动的概念7.2 速度合成定理速度合成定理 7.3 牵连运动为平动时的加速度合成定理牵连运动为平动时的加速度合成定理7.4 牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时的加速度合成定理思思 考考 题题第7章 点的复合运动7.1 复合运动的概念复合运动的概念设某汽车相对于地面匀速直线行驶,如图7-1所示。图7-1第7章 点的复合运动再如,塔式起重机起吊重物A 的运动(见图7-2),起重臂绕铅直轴转动,重物A 沿钢丝绳方向上升。在起重臂上观察到重物A 做直线运动,而在地面上看到A 做螺旋线运动。可以看出,重物A 对地面的螺旋线运
2、动是由其相对于起重臂的直线运动与随起重臂转动的圆周运动合成的。点的运动既可合成,也可分解。点的复杂运动往往可看成几个简单运动的合成。运用运动的分解与合成的方法分析点的运动时,需确定两个参考系,区分三种运动、速度和加速度。第7章 点的复合运动图7-2第7章 点的复合运动为研究方便起见,通常将固结于地面或相对地面静止的物体上的坐标系称为静坐标系,简称静系,用Oxyz 表示;而把固结于相对静系有运动的物体上的坐标系称为动坐标系,简称动系,用Oxyz表示。第7章 点的复合运动动点相对于静系的运动,称为绝对运动;动点相对于动系的运动,称为相对运动;动系相对于静系的运动,称为牵连运动。仍以图7-1所示的滚
3、动的车轮为例,取轮缘上的一点 M 为动点,固结于车厢的坐标系为动参考系,则车厢相对于地面的平移是牵连运动;在车厢上看到点做圆周运动,这是相对运动;在地面上观看到点沿旋轮线运动,则是绝对运动。又如图7-2所示,取重物A 为动点,静系固结于地面(或塔身),动系固结于起重臂,则重物A 相对于地面的运动是绝对运动,重物 A 相对于起重臂的运动是相对运动,而起重臂绕z 轴的转动为牵连运动。由此可见,动点的绝对运动是它的相对运动和牵连运动的合成运动。第7章 点的复合运动绝对运动和相对运动都是指动点的运动,而其牵连运动则是指动系的运动。由于动系固结于运动的物体上,因此,牵连运动就是固结动系的刚体的运动。它可
4、能是平动、定轴转动或其他较复杂的刚体运动。第7章 点的复合运动对应于三种运动,动点有三种速度和加速度。把动点相动点相对于静系运动的速度和加速度分别称为动点的绝对速度和对于静系运动的速度和加速度分别称为动点的绝对速度和绝对加速度绝对加速度,分别用va 和aa 表示;把动点相对于动系运动的速动点相对于动系运动的速度和加速度分别称为动点的相对速度和相对加速度度和加速度分别称为动点的相对速度和相对加速度,分别用分别用vr 和和ar 表示。表示。对点的相对运动的描述,仍采用第5章所述的方法,因为那里所述的点的运动理论适用于一切坐标系,但要注意,这时的矢径、坐标等都是相对于动系的。至于动点的牵至于动点的牵
5、连速度和牵连加速度连速度和牵连加速度,是指某瞬时动系上与动点相重合的点是指某瞬时动系上与动点相重合的点(称为牵连点称为牵连点)相对静系运动的速度和加速度相对静系运动的速度和加速度,分别用ve 和ae 表示。由于动点相对于动系运动,因此,不同瞬时动点与动系上不同的点重合,即有不同的牵连点。第7章 点的复合运动对应于三种运动,动点有三种速度和加速度。把动点相对于静系运动的速度和加速度分别称为动点的绝对速度和绝对加速度,分别用va 和aa 表示;把动点相对于动系运动的速度和加速度分别称为动点的相对速度和相对加速度,分别用vr 和ar 表示。对点的相对运动的描述,仍采用第5章所述的方法,因为那里所述的
6、点的运动理论适用于一切坐标系,但要注意,这时的矢径、坐标等都是相对于动系的。至于动点的牵连速度和牵连加速度,是指某瞬时动系上与动点相重合的点(称为牵连点)相对静系运动的速度和加速度,分别用ve 和ae 表示。第7章 点的复合运动由于动点相对于动系运动,因此,不同瞬时动点与动系上不同的点重合,即有不同的牵连点。小环 M 接触的点为E2,E2 点的速度、加速度就是该瞬时小环的牵连速度、牵连加速度。显然,E1 点与E2 点的速度、加速度在该瞬时各不相同。第7章 点的复合运动图7-3第7章 点的复合运动【例【例7-1】如图7-4所示,杆OA 以角速度=t2绕垂直于图面的O 轴转动,点 M 沿着杆OA
7、按x=3t2 的规律运动(两式中 以rad/s计,x以 cm 计,t以s计)。如将动系Oxy固连于杆OA 上,求t=2s时,点 M 的相对速度vr、相对加速度ar 及牵连速度ve、牵连加速度ae。解解(1)分析三种运动。动系Oxy固连于杆OA 上,静系固连在地面上(静系一般都固连在地面上,故在本书的后续章节中不再说明),动点为 M。因此,动点 M 相对于地面的运动是绝对运动,绝对运动的轨迹为螺旋线;动点沿着杆 OA 的运动是相对运动,相对运动的轨迹为直线;杆OA 的定轴转动为牵连运动。第7章 点的复合运动图7-4第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动7.2 速度合成定理速度合成定理速度合成定
8、理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系。在图7-5中,设有一动点 M 沿动系上的曲线AB 运动。第7章 点的复合运动图7-5第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动由此得到了点的速度合成定理:动点在任一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和,即动点的绝对速度可以由牵连速度与相对速度所构成的平行四边形的对角线来确定,如图7-5所示。此定理也称为速度平行四边形定理。在式(7-1)这个平面矢量方程中,va、ve 与vr 三个矢量的大小、方向共有六个未知量。在这六个量中,若已知其中四个,便可求出另外两个未知量。应该指出,在推导速度合成定理时,并未限制动系做什么样的运动,
9、即牵连运动可以是平动、转动或其他任何复杂的运动。第7章 点的复合运动【例【例7-2】凸轮机构如图7-6所示。当半径为R 的半圆形平板凸轮沿水平直线轨道平动时,可推动顶杆沿铅垂直线轨道滑动。在图示瞬时,已知凸轮的速度为v,方向向右,A 点和凸轮中心O的连线与水平线间的夹角为,求此瞬时杆的速度。第7章 点的复合运动图7-6第7章 点的复合运动解解(1)运动分析。AB 杆做平动,若求得其上任一点的速度即为AB 杆的速度。因 AB杆的A 点相对凸轮的运动容易分析,故取AB 杆端点A 为动点,动系固连于凸轮上,静系固连于地面,分析A 点的复合运动。绝对运动:A 点铅垂直线运动;相对运动:A 点沿凸轮表面
10、做曲线运动;牵连运动:凸轮沿水平面做直线平动。第7章 点的复合运动(2)速度分析如表7-1所示。因未知量不超过两个,故可由速度合成定理求解。根据va=ve+vr 做速度平行四边形,如图7-6所示。第7章 点的复合运动由几何关系可得A 点的速度va 即为杆的速度。第7章 点的复合运动【例【例7-3】刨床急回机构如图7-7所示。已知曲柄OA 的角速度 为常量,OA 长r,OO1=2r,求当曲柄的转角=/2时,摇杆O1B 的角速度1。解解(1)运动分析。因套筒A 相对于摇杆O1B 的运动容易分析,故选 A 为动点。动系固连于摇杆O1B 上,静系固连于地面,分析动点A 的复合运动。绝对运动:动点A 以
11、O 为圆心,做半径为r 的圆周运动;相对运动:动点A 沿摇杆O1B 做直线运动;牵连运动:O1B 杆绕O1 轴做定轴转动。第7章 点的复合运动(2)速度分析如表7-2所示。因未知量不超过两个,故可由速度合成定理求解。根据va=ve+vr 做速度平行四边形,如图7-7所示。第7章 点的复合运动图7-7第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动【例【例7-4】如图7-8所示,车厢以速度v 沿水平直线轨道行驶,雨点铅直落下,其速度为v1。试求雨点相对于车厢的速度。图7-8第7章 点的复合运动解解(1)运动分析。本题是求雨点相对于车厢的速度。故选取雨点为动点,动系固结于车厢上,静系固结于地面。绝对运动:
12、雨点做铅直直线运动;相对运动:雨点相对车厢做斜直线运动;牵连运动:车厢沿水平直线轨道做平动。第7章 点的复合运动(2)速度分析如表7-3所示。根据va=ve+vr做速度平行四边形,如图7-8所示。由直角三角形可求得相对速度的大小和方向为第7章 点的复合运动【例【例7-5】滑块 M 可同时在槽AB 和CD 中滑动,在图7-9(a)所示瞬时,槽AB、CD的速度分别为v1=8cm/s、v2=6cm/s。求该瞬时滑块 M 的速度。图7-9第7章 点的复合运动解解(1)运动分析。槽AB 和CD 做直线平动,滑块做平面曲线运动,而滑块相对于槽AB、CD 都是做直线运动。取滑块 M 为动点,槽AB 为动系,
13、地面为静系。速度分析如表7-4所示。因有三个未知量,不能由速度合成定理求解。第7章 点的复合运动(2)再以滑块 M 为动点,槽CD 为动系,地面为静系进行分析。速度分析如表7-5所示。第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动由上述例题,可将应用速度合成定理求解问题的大致步骤总结如下:(1)选取动点、动系和静系。动点、动系和静系的正确选取是求解点的复合运动问题的关键。在选取时必须注意:动点、动系和静系必须分属三个不同的物体,否则三种运动(绝对、相对、牵连运动)就会缺少一种运动,而不能称其为复合运动。此外,动点、动系和静系的选取,应使相对运动比较明显、简单。第7章 点的复合运动(2)分析三种运动。
14、对于绝对、相对运动,主要是分析其轨迹的具体形状;而对于牵连运动,则是分析其刚体运动的具体形式。分析三种运动的目的是确定三种运动速度的方位线,以便画出速度平行四边形。(3)画速度平行四边形,分析问题的可解性。三种运动速度va、ve 和vr 的大小、方向共有六个量,要明确知道其中哪些是已知的,哪些是未知的,其未知量不超过两个时问题可解。必须注意,画图时要使绝对速度成为平行四边形的对角线。(4)根据速度平行四边形的几何关系求解未知量。第7章 点的复合运动7.3 牵连运动为平动时的加速度合成定理牵连运动为平动时的加速度合成定理在图7-10中,设动系Oxyz相对于静系Oxyz 平动,其原点O的速度、加速
15、度分别为vO和aO,动系上的三个单位矢量分别为i、j、k。点 M 对于动系的坐标为x、y、z,则其相对速度、加速度分别为第7章 点的复合运动图7-10第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动上式表明:当牵连运动为平动时当牵连运动为平动时,任一瞬时任一瞬时,动点的绝对加动点的绝对加速度等于其牵连加速度与相对加速度的矢量和。速度等于其牵连加速度与相对加速度的矢量和。这就是牵连运动为平动时的加速度合成定量。第7章 点的复合运动【例【例7-6】例7-2中,若已知凸轮在图示位置时的加速度a,试求此瞬时顶杆AB 的加速度。图7-11第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动【例【例7-7
16、】在图7-12所示的曲柄导杆机构中,曲柄OA 转动的角速度是0,角加速度是0(转向如图所示)。设曲柄的长度是r,试求当曲柄与导杆中线的夹角/2时导杆的加速度。第7章 点的复合运动图7-12第7章 点的复合运动解解(1)运动分析。当曲柄OA 转动时,通过滑块A 带动导杆做铅直平动,在滑块与平动的导杆之间存在着相对运动。故选滑块A 作为动点,并将动系固连于导杆上,静系固连于机构的基座上。运动分析如下:绝对运动:动点A 绕点O 的圆周运动;相对运动:动点A 沿导杆滑槽的水平直线运动;牵连运动:导杆的铅直平动,它“携带”着滑块A 运动。第7章 点的复合运动(2)加速度分析。点A 的加速度aa 有切向分
17、量ata 和法向分量ana。各加速度分量如图7-12所示,加速度的分析如表7-7所示。第7章 点的复合运动(3)求加速度。由式(7-8),有将上式向Oy 轴投影,有即可见,当在第一象限内时,ae 为负值,负号表示ae 的实际指向与图中假设指向相反。由于导杆做平动,点A 的牵连加速度就是导杆的加速度。第7章 点的复合运动7.4 牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时的加速度合成定理在图7-13中,设动系Oxyz以角速度e 绕定轴z 转动,动点 M 的位置用矢径r 确定,动点 M 在动系中的位置为r=xi+yj+zk。根据点的速度合成定理有第7章 点的复合运动图7-1第7章 点的复合运动
18、第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动图7-14第7章 点的复合运动科氏加速度在自然界中是有所表现的。例如,在北半球,河水向北流动时,河水的科氏加速度方向向西,即指向左侧,如图7-15所示。第7章 点的复合运动图7-15第7章 点的复合运动【例【例7-8】试求例7-3中摇杆O1B 在图示位置时的角加速度1(见图7-16)。图7-16第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动图7-17第7章 点的复合运动从上两节的例题可知,应用加速度合成定理求解点的加速度,其步骤基本上与应用速
19、度合成定理求解点的速度相同,但要注意以下几点:(1)选取动点和动系后,应根据动系做平动还是转动,确定加速度合成定理中是否含有科氏加速度。(2)分析三种加速度和科氏加速度。先求出科氏加速度的大小和方向(科氏加速度的方向是确定的),再求解加速度未知量,切向加速度如果是未知量,其指向可以预先假设。由于加速度合成定理的矢量表达式中一般都包含四个以上的矢量,通常采用矢量投影法求解未知量。第7章 点的复合运动但投影时要注意:选择合适的投影轴,使投影轴与其中一个未知量的方向垂直,这样可使投影后得到的方程中只包含一个未知数。矢量方程向坐标轴上投影时,要注意矢量投影的正确应用,即要将表达式两边的矢量同时向投影轴
20、投影。投影与坐标轴方向一致时为正,反之为负。第7章 点的复合运动思思 考考 题题7-1 何谓点的牵连速度和牵连加速度?有人说:“由于牵连运动是动系相对静系的运动,因此牵连速度、牵连加速度就是动系相对静系的速度和加速度”。对吗?为什么?第7章 点的复合运动7-2 曲柄OA 以匀角速度转动,如思考题7-2图所示。(a)、(b)两图中哪一种分析正确?(1)以OA 上的点A 为动点,以BC 为动参考体。(2)以BC 上的点A 为动点,以OA 为动参考体。第7章 点的复合运动思考题7-2图第7章 点的复合运动7-3 在思考题7-3图所示的摇杆机构中,选滑块 A 为动点,摇杆O1B 为动系。有人说“牵连运
21、动为圆周运动”。对吗?为什么?若选摇杆O1B上一点为动点,曲柄OA 为动系,能否求出O1B 杆的角速度、角加速度?为什么?7-4 在求解复合运动问题时,应如何选择动点、动系?第7章 点的复合运动思考题7-3图第7章 点的复合运动7-5 在思考题7-5图中的速度平行四边形有无错误?错在哪里?思考题7-5图第7章 点的复合运动7-6 下列计算中,哪些是正确的?哪些是错误的?为什么?式中a,r 分别是绝对轨迹、相对轨迹在该点处的曲率半径,e 为动点的牵连点的曲率半径。第7章 点的复合运动7-7-速度合成定理或加速度合成定理的投影方程在形式上与静力学中的平衡方程有何不同?7-8 在思考题7-8图中,为了求aa 的大小,取加速度在轴上的投影式:aacos-aC=0,所以aa=aC/cos。上面的计算是否正确?若有误,错在哪里?第7章 点的复合运动思考题7-8图第7章 点的复合运动第7章 点的复合运动7-10 点的速度合成定理va=ve+vr,对牵连运动是平动或转动都成立,将其两端对时间求导,得从而有因而此式对牵连运动是平动或转动都应该成立。试指出上面的推导错在哪里?
