1、2.5 2.5 角平分线的性质角平分线的性质第第2 2章章 图形图形的的轴对称轴对称感悟新知感悟新知知识点知识点角平分线的性质角平分线的性质知知1 1讲讲11.角的对称性角的对称性角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.角平分线的性质角平分线的性质角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.几何语言：如图几何语言：如图2.5-1，因为因为OC 平分平分 AOB，点，点P 在在OC 上上，PD OA 于点于点D，PE OB 于点于点E，所以所以PD=PE.要点精析：点
2、一定要在角平分线上要点精析：点一定要在角平分线上.点到角点到角两边两边的距离的距离是指点到角两边垂线段的长度是指点到角两边垂线段的长度.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒角平分线是一条角平分线是一条射线射线；角的对称轴是；角的对称轴是一条一条直线直线.1.角的平分线的性质角的平分线的性质是由是由两个两个条件条件(角平分线，垂线角平分线，垂线)得到得到一个一个结结论论(线段相等线段相等).2.利用角的平分线的利用角的平分线的性质性质说明线段相等时，说明线段相等时，说明说明的线段是的线段是“垂垂直于角直于角两边两边的线段的线段”，而不是，而不是“垂直垂直于角平分线的线段于角平分线的线段
3、”.感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1期期中中 青岛青岛 如图如图2.5-2，OD 平分平分 EOF，在，在OE，OF 上分别取点上分别取点A，B，使，使OA=OB，P 为为OD 上一点上一点，PM BD，PN AD，垂足分别为点，垂足分别为点M，N.试试说明说明：PM=PN.解题秘方解题秘方：在图中找出能利用角平分线性质的模型，在图中找出能利用角平分线性质的模型，利用角平分线利用角平分线的性质可说明线段相等的性质可说明线段相等.感悟新知感悟新知知知1 1练练解：因为解：因为OD 平分平分 EOF，所以所以 BOD=AOD.又因为又因为OB=OA，OD=OD，所以所以 BOD AOD(SAS
4、).所以所以 BDO=ADO，所以，所以DO 平分平分 BDA.又因为又因为P 为为DO 上一点，且上一点，且PM DB，PN DA，所以所以PM=PN.感悟新知感悟新知知知1 1练练1-1.期期中中济宁济宁 如图如图，已知，已知 AOB=90，OM是是AOB的平分线的平分线，三角尺，三角尺的直角顶点的直角顶点P 在射线在射线OM 上滑动，上滑动，两两直角直角边分别与边分别与OA，OB 交于交于点点C，D，试说明：，试说明：PC=PD感悟新知感悟新知知知1 1练练解：如图，过点解：如图，过点P分别作分别作PEOB于点于点E，PFOA于点于点F，则，则CFPDEP90.因为因为OM是是AOB的平
5、分线的平分线，所以，所以PEPF.因为因为AOB90，CPD90，所以所以PCFPDO360AOBCPD180.因为因为PDEPDO180，所以所以PCFPDE.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练如图如图2.5-3，在，在 ABC 中，中，AD 为为 BAC 的平分线，的平分线，DE AB 于点于点E，DF AC 于点于点F，ABC 的面积的面积是是86.8 cm2，AB=16 c m，AC=12 cm，求，求DE 的长的长.解题秘方解题秘方：运用角平分线的性质和三角形的面积计运用角平分线的性质和三角形的面积计算算公式求解公式求解.例 2感悟新知感悟新知知知1 1练练
6、感悟新知感悟新知知知1 1练练2-1.如图，如图，点点P 是是 AOB 的平分线的平分线OC上上一点，一点，PD OB，垂足垂足为点为点D.若若PD=2，则，则点点P 到边到边OA 的的距离是距离是()A.1 B.2 C.3 D.4B感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点角平分线的判定角平分线的判定21.判定判定法法 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上线上.几何语言：如图几何语言：如图2.5-4，因为点，因为点P 为为 AOB 内一点内一点，PD OA，PE OB，垂足垂足分别为点分别为点D，E，且，且PD=PE，所以所以点点P 在在 AO
7、B 的平分线的平分线OC 上上.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.角平分线的判定与性质的关系角平分线的判定与性质的关系(1)如如图图2.5-4，都与距离有关；条件，都与距离有关；条件PD OA，PE OB 都具备都具备.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲(2)点点在角的平分线在角的平分线上上 (角角的的内部的内部的)点点到角两边的距离到角两边的距离相等相等.拓展：拓展：(1)角角的平分线可以看做是由到角的平分线可以看做是由到角两边距离相等的所有点组成的射线两边距离相等的所有点组成的射线.(2)三角形三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，它到三
8、角形三边的距离相等角形的内心，它到三角形三边的距离相等.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.使用该判定定理的使用该判定定理的前提前提是这个点必须在角是这个点必须在角的内部的内部.2.角的平分线的判定角的平分线的判定是由是由两个两个条件条件(垂线垂线，线段相等线段相等)得到得到一个一个结论结论(角平分线角平分线).3.角的平分线的判定角的平分线的判定方法方法是说明两个角相等是说明两个角相等的重要的重要依据，它比依据，它比利用利用三角形三角形全等说明两角全等说明两角相等更相等更方便快捷方便快捷.感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图2.5-5，BF AC 于点于点F，CE AB 于点
9、于点E，BF和和CE 交于点交于点D，BE=CF.试说明：试说明：AD 平分平分 BAC.例 3解题秘方解题秘方：利用角平分线的判定定利用角平分线的判定定理判定角平分线时，理判定角平分线时，关键关键是说明角是说明角的内部的点到角两边的距离相等的内部的点到角两边的距离相等.感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练3-1.如图，在如图，在 ABC中中，ABC 的平分的平分线与线与外角外角 ACN 的的平分线平分线相交于点相交于点P，连接，连接AP.感悟新知感悟新知知知2 2练练(1)试试说明：说明：AP 平分平分 ABC 的的外角外角 CAM；解解：如：如图，过点图，过点P作作
10、PTBN于点于点T，作，作PSAC于点于点S，PQBM于点于点Q.因为在因为在ABC中，中，ABC的的平分平分线线与外角与外角ACN的平分线相交于点的平分线相交于点P，所以所以PQPT，PSPT.所以所以PQPS.所以所以AP平分平分MAC，即，即AP平分平分ABC的外角的外角CAM.感悟新知感悟新知知知2 2练练(2)过过点点C 作作CE AP，垂足是，垂足是E，并，并延长延长CE 交交BM 于点于点D.试说明：试说明：CE=ED.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点作角的平分线作角的平分线31.步骤与图示步骤与图示 已知：已知：AOB(如图如图2.5-6).求作：求作：AOB 的平分
11、线的平分线.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲感悟新知感悟新知2.作角平分线的理论依据是三角形全等的判定方法作角平分线的理论依据是三角形全等的判定方法“S S S”.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别提醒特别提醒作角平分线的作角平分线的最后一最后一步不能简单地叙述步不能简单地叙述为为“连接两连接两点点”，连接两，连接两点是点是线段，角平分线是线段，角平分线是射线射线而不是线段而不是线段.感悟新知感悟新知知知3 3练练例 4解题秘方解题秘方：利用尺规作图作两次角利用尺规作图作两次角平分线，可将已知角四等分平分线，可将已知角四等分.感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练4-1.如图，已知如图，已知OA 和和OB 两条公路，以及两条公路，以及C，D 两个村庄，两个村庄，要求要求建立一建立一个车站个车站P，使车站，使车站到两到两个村庄的距离相等个村庄的距离相等，且且到两条公路的到两条公路的距离也距离也相等相等(请请用用尺规作图法尺规作图法在图中画在图中画出出点点P，不，不写做法，保留作图写做法，保留作图痕迹痕迹)感悟新知感悟新知知知3 3练练解：如图，点解：如图，点P即为所作即为所作课堂小结课堂小结角平分线的性质角平分线的性质角平角平分线分线尺规尺规作图作图作已知作已知角角的的平分线平分线性质性质判定判定
