1、2 26 6等腰三角形等腰三角形第第2 2章章 图形图形的的轴对称轴对称2 26.16.1等腰三角形等腰三角形感悟新知感悟新知知识点知识点等腰三角形的性质等腰三角形的性质知知1 1讲讲11.性质性质1 等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴对称轴是是底边的垂直平分线底边的垂直平分线.2.性质性质2 等腰三角形的底边上的高、底边上的中线及等腰三角形的底边上的高、底边上的中线及顶角顶角的的平分线平分线重合重合(简写简写成成“三线合一三线合一”).已 知 等 腰 三 角 形已 知 等 腰 三 角 形 的的“一线一线”，则它，则它具有具有另外另外“两线两线”的性
2、质的性质.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲几何语言：几何语言：如图如图2.6-1，在，在 ABC 中，中，因为因为AB=AC，AD BC，所以所以AD 平分平分 BAC，BD=CD.因为因为AB AC，BD DC，所以所以AD BC，AD 平分平分 BAC.因为因为AB AC，AD 平分平分 BAC，所以所以BD DC,AD BC感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别解读特别解读应用应用“三线合一三线合一”的前提的前提必须是等腰三必须是等腰三角形角形，且，且必须是底边上的中线必须是底边上的中线、底边、底边上的高上的高和顶角的和顶角的平分平分线才相互重合，若是线才相互重合，若是一腰一腰上的上的高与中线
3、就高与中线就不一定不一定重合重合.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲3.性质性质3 等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角相等相等(简写简写成成“等边对等角等边对等角”).拓展：拓展：(1)等腰三角形等腰三角形两腰上的中线、高分别相等两腰上的中线、高分别相等.(2)等腰三角形等腰三角形两底角的平分线相等两底角的平分线相等.(3)等腰三角形等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和底边上的任意一点到两腰的距离之和等于等于一一腰上的高腰上的高.特别提醒特别提醒适用条件：必须适用条件：必须在同在同一个三角形中一个三角形中.感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1新新考法考法 方程建模方程建模法法如如图图2
4、.6-2，在，在 ABC 中，中，AB=AC，点，点D，E 分别分别在在AC，AB 边上，且边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求求 A 的度数的度数.解题秘方解题秘方：利用利用“等边对等角等边对等角”及外角的性质将及外角的性质将 ABC 中的中的三个角都用要求的三个角都用要求的 A 来表示，利用三角来表示，利用三角形的内角和形的内角和等于等于180解决问题解决问题.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练1-1.中考中考滨州滨州 如图如图，屋顶，屋顶钢架外框是钢架外框是等腰三角形等腰三角形，其中，其中AB=AC，立柱立柱AD BC，且，且顶
5、角顶角 BAC=120，则，则 C的的大小大小为为_30感悟新知感悟新知知知1 1练练1-2.中考中考聊城聊城 如图如图，在，在 ABC 中，中，AB=AC，C=65，点点D 是是BC边上边上任意一点，过点任意一点，过点D作作DF AB 交交AC 于于点点E，则，则 FEC 的的度数是度数是()A.120 B.130C.145 D.150B感悟新知感悟新知知知1 1练练如图如图2.6-3，在，在 ABC 中，中，AB=AC，AD 平分平分 BAC.解题秘方解题秘方：利用等腰三角形利用等腰三角形的性质的性质“三线合一三线合一”，将，将未知量未知量转化为已知量转化为已知量.例 2感悟新知感悟新知知
6、知1 1练练(1)若若BC=3cm，求，求BD 的长的长；感悟新知感悟新知知知1 1练练(2)若若 BAD=50，求，求 B 的度数的度数.解：因为解：因为AB=AC，AD 平分平分 BAC，所以所以AD BC.所以所以 ADB=90.又因为又因为 BAD=50，所以，所以 B=40.感悟新知感悟新知知知1 1练练2-1.如如图所示，在图所示，在 ABC中中，AB=AC，AD BC于于点点D，若若AB=6，CD=4，则，则 ABC 的的周长是周长是()A.10 B.14C.16 D.20D感悟新知感悟新知知知1 1练练例 3如图如图2.6-4，AB=AE，BC=DE，B=E，AM CD，垂足，
7、垂足为点为点M.试说明：试说明：CM=MD.解题秘方解题秘方：由已知由已知AM CD 和结和结论论CM=MD，联想到，联想到等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质，因此连接的性质，因此连接AC，AD，构造，构造等腰三角形等腰三角形.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练3-1.如图，在如图，在 ABC中中，AB=AC，D 是是BC的的中点，中点，E，F 分别分别是是AB，AC 上的点，上的点，且且AE=AF，试说明：，试说明：DE=DF感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练母母题题 教材教材P56例例2如如图图2.6-5，用尺，用尺规规(无无
8、刻度直尺和刻度直尺和圆规圆规)作作一等腰三角形，使其底边长为一等腰三角形，使其底边长为a，腰长为，腰长为b，并作出并作出顶角的顶角的平分平分线线(保留保留作图痕迹，不必写出作图痕迹，不必写出做法做法).例 4感悟新知感悟新知知知1 1练练解题秘方解题秘方：作一个三角形，关键是确定三个顶点，作一个三角形，关键是确定三个顶点，由底边由底边可确定可确定两个顶点，以底边的两个端点为圆心、两个顶点，以底边的两个端点为圆心、腰长为半径作弧腰长为半径作弧，两，两弧的交点就是第三个顶点；根弧的交点就是第三个顶点；根据角平分线的尺规作图据角平分线的尺规作图方法作方法作顶角的平分线即可顶角的平分线即可.感悟新知感
9、悟新知知知1 1练练解：如图解：如图2.6-6，ABC 即为所求作的等腰三角形，即为所求作的等腰三角形，AD是是顶角的平分线顶角的平分线.感悟新知感悟新知知知1 1练练4-1.如图，如图，AC BC，ABC=40.(1)尺尺规作图：在规作图：在直线直线BC 上找一点上找一点P，使得使得 ABP 是是等腰等腰三角形三角形.(要求要求保留作图保留作图痕迹痕迹，若有多个点，若有多个点，用用P1，P2，P3，表示表示)感悟新知感悟新知知知1 1练练解解：如：如图所示，图所示，P1，P2，P3，P4即为所求即为所求感悟新知感悟新知知知1 1练练(2)在在(1)条件下条件下，ABP=_.40或或140感悟
10、新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点等腰三角形的判定等腰三角形的判定21.定义法定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形.2.判定方法判定方法 有两个角相等的三角形是有两个角相等的三角形是等腰三角形等腰三角形(简写成简写成“等角对等边等角对等边”).几何语言：在几何语言：在 ABC 中，因为中，因为 B=C，所以，所以AB=AC.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲3.等腰三角形的性质与判定的异同等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等不同点：由三角形的
11、两边相等，得到它们所对的角相等，是是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形等腰三角形，是等腰三角形的判定，即，是等腰三角形的判定，即等边等边 等角等角.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别提醒特别提醒“等角对等边等角对等边”不能不能叙述为叙述为“如果一个如果一个三角形三角形有两有两个底角相等，那么它的两条腰相等个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为因为在未判定出在未判定出它 是它 是 等 腰 三 角 形等 腰 三 角 形 之 前，不 能 用之 前，不 能 用“底 角底 角”“顶顶角角”“”“腰腰”“底边底边”这些这些名词名词.感悟新
12、知感悟新知知知2 2练练如图如图2.6-7，AD 是是 ABC 的边的边BC 上的高，且上的高，且AD平分平分 BAC，试说明：，试说明：ABC 为等腰三角形为等腰三角形.例 5解题秘方解题秘方：根据等腰三角形的定义来根据等腰三角形的定义来判定，只需说明有判定，只需说明有两边两边相等即可相等即可.感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练5-1.如图，在如图，在 ABC中中，点，点D 是边是边BC 上的上的一点，点一点，点E 是边是边AC上上的一点，的一点，且且AB=AC=DC，BD=CE，连接连接AD，DE.感悟新知感悟新知知知2 2练练(1)试试说明：说明：ADE是是等腰
13、三角形等腰三角形;感悟新知感悟新知知知2 2练练(2)若若 ADE=40，求，求 BAC 的度数的度数.解：解：因为因为ABDDCE，所以，所以BADEDC.所以所以BADBDAEDCBDA180ADE140.所以在所以在ABD中，中，B180(BADBDA)18014040.所以所以CB40.所以所以BAC1804040100.感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图2.6-8，在，在 ABC 中，中，P 是是BC 边上一点，过边上一点，过点点P 作作BC 的垂线，交的垂线，交AB 于点于点Q，交，交CA 的的延长线于点延长线于点R，若若AQ=A R，试说明，试说明：ABC 是等腰三角形是等腰
14、三角形.例 6解题秘方解题秘方：利用利用“等角对等边等角对等边”判定判定等腰三角形，只需等腰三角形，只需说明三角形说明三角形有两个有两个内角相等即可内角相等即可.感悟新知感悟新知知知2 2练练解：因为解：因为AQ=AR，所以，所以 R=AQR.又因为又因为 BQP=AQR，所以，所以 R=BQP.因为因为RP BC，所以所以 B BQP=90，C R=90.所以所以 B=C.所以所以AB=AC.所以所以 ABC 是等腰三是等腰三角形角形.感悟新知感悟新知知知2 2练练6-1.如图，已知点如图，已知点D，E 分别是分别是 ABC 的的边边BA 和和BC 延长延长线上线上的点的点，作，作 DAC
15、的的平分线平分线AF，且，且AF BC.感悟新知感悟新知知知2 2练练(1)试试说明：说明：ABC 是等腰三角形是等腰三角形；解解：因为：因为AF平分平分DAC，所以，所以DAFCAF.因为因为AFBC，所以，所以DAFB，CAFACB.所以所以BACB.所以所以ABAC.所以所以ABC是等腰三角形是等腰三角形感悟新知感悟新知知知2 2练练(2)作作 ACE 的的平分平分线交线交AF 于点于点G，若若 B=40，求，求 AGC的的度数度数.解：解：因为因为B40，所以所以ACBB40.所以所以ACE140.因为因为CG平分平分ACE，所以，所以ACGGCE70.因为因为 AFBC，所以，所以AGCGCE70.课堂小结课堂小结等腰三角形等腰三角形等腰三等腰三角形角形判定判定等角对等角对等边等边性质性质轴对称性轴对称性等边对等角等边对等角三线合一三线合一互逆互逆
