1、 1 高三数学高三数学圆锥曲线小题归类辅导圆锥曲线小题归类辅导讲义讲义 知 识 梳 理 1、椭圆中的重要结论：椭圆中的重要结论： （1）定义及焦点三角形周长： 1 2 12 2 ;22 . PF F PFPFa Cac (2) 设 P 是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的点，F1，F2是焦点，F1PF2=, 则 SPF 1F2 2 tan 2 b ；SPF 1F2 最大值为 bc。 (3) 椭圆上的点 A 距 O 最远, 最远距离为 a，B 距 O 最近, 最近距离为 b； 222 12 bcPF PFb (4)通径：过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短， 其 长度为 2 2b
2、 a ； (5) 焦半径公式： 10 PFaex， 20 PFaex. (6) 椭圆上的点 A1距 F1的距离最近, 最近距离为 a-c， A2距 F1的距离最远,最远距离 为 a+c； (7) 22 12 bPFPFa ； （8）AB 是椭圆中的一条弦，M 为 AB 重点： 2 2 ABOM b kk a . (9)已知椭圆具有性质：若 M，N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一 点，当直线 PM，PN 的斜率 kPM，kPN都存在时，那么 kPM与 kPN之积是与点 P 的位置无关的 定值，kPMkPNyn xm yn xm y2n2 x2m2- b2 a2 x2m
3、2 x2m2- b2 a2(定值). （10）经过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点 00 (,)M xy的切线方程为 00 22 1 x xy y ab 。 2、双曲线中的重要结论：双曲线中的重要结论： （1）定义： 12 2PFPFa (2) 设 P 是双曲线 22 22 1 xy ab 上的点，F1，F2是焦点，F1PF2=,SPF 1F2 2 tan 2 b P B2 F2 A2 A1 F1 O 2 （3）通径：过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短，其长度为 2 2b a ； （4）设P是双曲线 22 22 1 xy ab 右支上的点， F2到其一条渐近线的距离为b
4、; (5) 焦半径公式： 10 PFaex， 20 PFaex. (6)设 P 是双曲线 22 22 1 xy ab 右支上的点，则 2 PF c-a， 1 PFac. （7）渐近线方程：与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 共渐近线的双曲线系方程为 22 22 (0) xy ab ，渐近线的方程为 22 22 0 xy ab （8）若 M，N 为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上 任意一点，当直线 PM，PN 的斜率 kPM，kPN都存在时，那么 kPM与 kPN之积是与点 P 的位置 无关的定值，kPM kPNyn xm
5、 yn xm y2n2 x2m2 b2 a2 x2m2 x2m2 b2 a2(定值). 入门测入门测 1已知三角形ABC的两顶点为( 2,0),(2,0)BC，它的周长为10,求顶点A轨迹方程 2求以椭圆 22 9545xy的焦点为焦点，且经过点 2, 6M的椭圆的标准方程。 3已知方程1 22 myx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_. 4圆1) 1( : 22 1 yxC，圆16) 1( : 22 2 yxC，若动圆C与圆 1 C外切，与圆 2 C内 切，则动圆C 的圆心C的轨迹方程为 3 题题 型型 分分 类类 题型一题型一 离心率的值离心率的值 （直接求解）（直接求解）例例 1
6、、已知双曲线 1 2 2 2 y a x （0a）的一条准线与抛物线xy6 2 的准线 重合，则该双曲线的离心率为_ 变式练习变式练习 1.若椭圆经过原点，且焦点为0 , 1 1 F、0 , 3 2 F，则其离心率为_ _ 2如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为_ _ （构造齐次式求解）（构造齐次式求解）例例 2 2、已知 1 F 、 2 F 是双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （ 0, 0ba ）的两焦点， 以线段 21F F 为边作正三角形 21F MF ，若边 1 MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 _ 变式练习变式练习 1.设双曲线1 2 2 2
7、2 b y a x （ba 0）的半焦距为c，直线L过0 , a，b, 0两 点.已知原点到直线的距离为c 4 3 ，则双曲线的离心率为_ 2.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 1 F、 2 F， 0 21 120MFF，则双曲线的离心 率为_ 题型二题型二 离心率的取值范围离心率的取值范围 一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究： 一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等； 二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围
8、，列出不等式二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式 （基本问题）例（基本问题）例 3 3、椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 1 F， 2 F，两条准线与x轴的交点 分别为MN，若 12 MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是 4 变式训练：变式训练：设1a ，则 双曲线 22 22 1 (1) xy aa 的离心率e的取值范围是 （数形结合数形结合）例）例 4、已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点分别为 F1，F2，若该椭圆上存在一 点 P，使得F1PF260，则椭圆离心率的取值范围是 . 变式训练：变式训练：已知 1 F、
9、 2 F是椭圆的两个焦点，满足 12 0MF MF的点M总在椭圆内部，则 椭圆离心率的取值范围是 . 利用焦半径的取值范围利用焦半径的取值范围 例例 5、已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若双曲 线上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc ，则该双曲线的离心率的取值范围是 变式训练：变式训练：已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，若椭圆的右准线上存在 一点 P，使得 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是 题型三题型三 焦点三角形焦点三角形 例
10、例 6、双曲线1 4 2 2 y x 的两个焦点为 21,F F，点M在双曲线上， 21MF F的面积为3， 则 21 MFMF_； 5 变式训练：变式训练：1.已知椭圆 4 2 x + 9 2 y =1 的两焦点 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与椭圆相交于其中一 个交点 P，则 12 FPF的面积是 . 2.过椭圆 22 1 54 xy 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、 B 两点， O 为坐标原点， 则OAB 的面积为_ 题型四题型四 直线与椭圆直线与椭圆 例例 7 7、已知椭圆14 22 yx及直线mxy （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得
11、的弦长为 5 102 ，求直线的方程 变式变式练习：练习：直线220 xy与椭圆 22 44xy相交于 A,B 两点,则AB= . 例例 8 8、已知椭圆 2 2 1 2 x y. （1）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程； （2）过2,1A的直线 l 与椭圆相交，求 l （3）过点 1 1 , 2 2 P 且被 P 点平分的弦所在直线的方程. 6 变式训练：变式训练：设椭圆0)b1(a ba 2 2 2 2 yx 的左焦点为 F，离心率为 3 3 ，过点 F 且与 X 轴 垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3 34 . （1）求椭圆的方程； （2）设 A，B 分别为椭圆的左右顶点，过点 F
12、且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点。 若8 CBADDBAC，求 k 的值. 课后课后作业作业 1.椭圆的一个顶点为 A（2，0） ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程 2.对于常数m、n， “0mn”是“方程 22 1mxny的曲线是椭圆”的 条 件 3.椭圆的一个顶点为) 1, 0( A,焦点在x轴上，若右焦点到直线012yx的距离为5， 则椭圆的标准方程为 . 4 设椭圆的两个焦点分别为 1 F、 2 F， 过 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P， 若 21PF F为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_. 5已知 F1、F2是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 b
13、a b y a x 的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 6双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为 7 7 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点分别为 F1， F2， 若该椭圆上存在一点 P， 使得 1 2 PF e PF ， 则该椭圆离心率的取值范围是 8已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若双曲线 上存在一点P使 12 2
14、1 sin sin PFFa PF Fc ，则该双曲线的离心率的取值范围是 9如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆0)b1(a ba 2 2 2 2 yx 的离心率为 2 2 ，长轴 长为 4,过椭圆的左顶点 A 作直线l分别交椭圆和圆 222 ayx于相异两点 P，Q. （1）若直线l的斜率为 2 1 ，求 AQ AP 的值; （2）若 APPQ求实数的取值范围. 参参 考考 答答 案案 入门测入门测：1. 22 1(3) 95 xy x 2. 22 1 812 xy 3.0,1 4. 22 1 98 xy 题型题型一一 例例 1. 2 3 3 变式训练：变式训练：1. 1 2 2. 3 2
15、8 例例 2.3+1 变式训练：变式训练：1.2 2. 6 2 题型题型二二 例例 3. 2 1 2 ， 变式训练：变式训练： 25， 例例 4. 1 1 2 ， 变式训练：变式训练： 2 0 2 ， 例例 5. 12+1， 变式训练：变式训练： 3 1 3 ， 题型题型三三 例例 6.2 变式训练：变式训练：1.4 2. 5 3 题型题型四四 例例 7.（1） 55 , 22 ； （； （2）yx 变式训练：变式训练：5 例例 8.（1） 44 40() 33 xyx； （； （2） ； （） ； （3）2430 xy 变式训练： （变式训练： （1） 22 1 32 xy ； （； （2）2. 课后课后作业作业 1. 22 1 416 xy 或或 2 2 1 4 x y 2. 必要不充分必要不充分. 3. 2 2 1 17 x y 4 4. . 2 1 5 5. . 31 6 6. . 1,3 7 7. . 21,1 8 8. . 1 21 9 9. (1). (1) 5 6 ;(2);(2)01. .
