1、 中考数学 第四章 图形的认识 4.5 特殊的平行四边形 考点一 矩形 1.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是( ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 答案答案 A 有一个角是直角的平行四边形是矩形,A选项正确; 四条边相等的四边形是菱形,B选项错误; 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,C选项错误; 对角线相等的平行四边形是矩形,D选项错误.故选A. 2.(2019陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6.若点E、F分别在AB、CD上,且BE=2AE,DF=2 F
2、C,G、H是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为( ) A.1 B. C.2 D.4 3 2 答案答案 C 在矩形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=3, BE=2AE,E是AB的三等分点(靠近点A), G是AC的三等分点(靠近点A), EGBC且EG=BC=2. 同理可得HFAD且HF=AD=2. 四边形EHFG为平行四边形. 又EG与HF间的距离为AB, S四边形EHFG=2AB=2. 1 3 1 3 1 3 1 3 3.(2020云南,6,3分)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2, 则DE的长是 . 10 答案答案 或 8
3、3 2 34 3 解析解析 四边形ABCD是矩形,DC=AB=6,ADC=90, 在RtADC中,AD=2. 当点E在DC边上时,如图1,设EA=EC=x, 图1 则DE=6-x,在RtADE中,AD2+DE2=AE2, 22+(6-x)2=x2,x=,DE=. 当点E在AB边上时,如图2,易求得AE=, 22 -AC DC40-36 10 3 8 3 10 3 在RtADE中,DE=. DE的长为或. 图2 22 AEAD 2 34 3 8 3 2 34 3 解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性质,勾股定理以及分类讨论的思想,因为点E的位置不确定,需根据EA =EC,讨论点E在边AB和边D
4、C上的情况,分别求DE的长. 4.(2020贵州贵阳,18,10分)如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF=BE. (1)求证:四边形AEFD是平行四边形; (2)连接ED,若AED=90,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, ADBC,AD=BC. CF=BE,CF+EC=BE+EC,即EF=BC. EF=AD,四边形AEFD是平行四边形. (2)如图. 四边形ABCD是矩形,B=90, 在RtABE中,AB=4,BE=2, 由勾股定理得,EA2=16+4=20,即EA=2. ADBC,DAE=AEB.
5、 5 B=AED=90,ABEDEA. =,即=,AD=10. 由(1)得四边形AEFD是平行四边形,EF=AD=10, 又AB=4,SAEFD=EF AB=104=40. BE EA EA AD 2 2 5 2 5 AD 考点二 菱形 1.(2020四川南充,7,4分)如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E 作EFBD于F,EGAC于G,则四边形EFOG的面积为( ) A.S B.S C.S D.S 1 4 1 8 1 12 1 16 答案答案 B 四边形ABCD是菱形, ACBD,SOBC=S, EFBD,EGAC, 四边形EFOG是矩形,EFOC
6、,EGOB, 点E是线段BC的中点, EF、EG都是OBC的中位线, S四边形EFOG=SOBC=S. 故选B. 1 4 1 2 1 8 2.(2020宁夏,5,3分)如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=( ) A.13 B.10 C.12 D.5 答案答案 B 连接BD交AC于点O.在菱形ABCD中,ACBD,且OC=OA=12,在RtDOC中,OD= =5,BD=10.又E、F分别是CD、BC的中点,EF=BD=5.易得EFCGFB,EF=FG, EG=10. 22 -DC OC 22 13
7、-12 1 2 3.(2019贵州贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4 cm,ABC=60,那么这个菱形的对角线AC的长是 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 答案答案 A 由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1 cm,因为ABC=60,所以三角形ABC为等边三角 形,所以AC=AB=1 cm,故选A. 4.(2019天津,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于( ) A. B.4 C.4 D.20 535 答案答案 C 由点A,B的坐标可得OA=2,OB=1,根
8、据勾股定理可得AB=,由菱形的性质可得 AB=AD=CD=CB=, 所以菱形ABCD的周长等于4,故选C. 22 OAOB 5 5 5 5.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的 中点,则MP+PN的最小值是( ) A. B.1 C. D.2 1 2 2 答案答案 B 如图,取AD的中点M,连接MN,MP,则有MP=MP.MP+PN的最小值为线段MN的长,即菱形边 长1.故选B. 6.(2020新疆,18,8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,DEBF,且分别交对角线AC于点E,F,连接BE,DF. (1)求证:AE
9、=CF; (2)若BE=DE,求证:四边形EBFD为菱形. 证明证明 (1)DEBF,DEF=BFE, AED=BFC(等角的补角相等), 又四边形ABCD为平行四边形, AD=BC且ADBC, DAE=BCF, 在ADE和CBF中, ADECBF(AAS). AE=CF. (2)由(1)可知ADECBF,DE=BF, 又DEBF,四边形EBFD为平行四边形, 又BE=DE, 平行四边形EBFD为菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形). , , , AEDCFB DAEBCF ADCB 思路分析思路分析 (1)由DEBF证出DEF=BFE,可得AED=BFC;由四边形ABCD是平行四边形可证得
10、 AD=BC且ADBC,从而有DAE=BCF,利用AAS得出ADECBF,即得AE=CF. (2)由(1)中的ADECBF可得到DE=BF,从而证得四边形EBFD为平行四边形,结合BE=DE可证得结 论. 考点三 正方形 1.(2019甘肃兰州,12,4分)如图,边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直 线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM=( ) A. B. C.-1 D.-1 2 1 2 2 2 32 答案答案 D 连接EM,由折叠性质可知EM=CM,DE=DC=,在正方形ABCD中,AC=DC=2,OC=OD= AC=1,A
11、CBD,EM=CM=1-OM,OE=-1. 解法一:在RtEOM中,OM2+OE2=EM2,即OM2+=(1-OM)2,解得OM=-1. 解法二:易知DMO=FMC,且DOC=DFC=90,ODM=FCM,又OD=OC,DOM=COE=9 0,DOMCOE,OM=OE=-1,故选D. 22 1 2 2 2 ( 2-1)2 2 2.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60 ,则CF的长是( ) A. B. C.-1 D. 31 4 3 2 3 2 3 答案答案 C 如图,连接EF,在正方形ABCD中,AB=AD,
12、B=D=90.又AE=AF,RtABERtADF, BE=DF.BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x(0x13,最小整数n应为14,所以甲的思 路正确,他的n值错误;当x为矩形外接圆直径长(即矩形对角线长)时,x=13,最小整数n应为14,所以 乙的思路正确,他的n值正确;根据丙的思路,x=(6+12)=913,所以丙的思路错 误,他的n值错误.故选B. 22 612 180 180 2 2 2 思路分析思路分析 分别按甲、乙、丙三人的思路求出各自x的值,根据题意确定各自所取n的值并与矩形对角 线长进行比较即可得解. 易错警示易错警示 三者思路的正误及n值的判断
13、取决于x值不能小于矩形对角线长. 2.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBE DBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为 . 答案答案 3或 6 5 解析解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,AB0), 在RtABD中,BD=4x, 在RtCDF中,CF=CD sinFDC=CD sin 60=2x=x, DF=CD cosFDC=CD cos 60=2x=x, sin AB BDAsin30? AB2 1 2 x 3 2 3 1 2 在RtABE中,BE=AB cosABE=
14、2x=x, EF=BD-BE-DF=4x-x-x=2x, 在RtCEF中,tanDEC=. 1 2 FC EF 3 2 x x 3 2 5.(2019贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=30,点F是对角线AC上的一个动点,连接 DF,以DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程 中,点E的运动路径长是 . 答案答案 4 3 3 解析解析 连接BD,交AC于点O,矩形ABCD中,DCA=30,三角形AOD为等边三角形.AB=4,AD= OD=ABtan 30=.当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1=O
15、D=;当点F与点C重合时,点E (即E2)在DC的上方.连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60.DFE=DAE1=30,= =,又FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADFE1DE,DAF=DE1E=60,由此可知 点E的运动轨迹为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1=. 4 3 3 1 2 2 3 3 1 DE AD DE DF 1 2 4 3 3 思路分析思路分析 首先确定点E的始点和终点,进而确定点E的运动轨迹,最后利用直角三角形的性质求得结果. 易错警示易错警示 本题的关键是确定点E的运动轨迹,错误得出点E的位置变化也就造成了误
16、解. 6.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE. 证明证明 四边形ABCD是矩形, D=B=90,AD=CB. 在ADF和CBE中, ADFCBE,AF=CE. , , , ADCB DB DFBE 7.(2019江西,13(2),3分)如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OD.求 证:四边形ABCD是矩形. 证明证明 AB=CD,AD=BC, 四边形ABCD是平行四边形. OA=AC,OD=BD, 又OA=OD,AC=BD.ABCD是矩形. 1 2 1 2 考点二 菱形 1
17、.(2020贵州贵阳,7,3分)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是( ) A.5 B.20 C.24 D.32 答案答案 B 如图所示,四边形ABCD为菱形,对角线AC、BD交于点O,且AC=8,BD=6, 在菱形ABCD中,ACBD,OA=AC=4,OB=BD=3,AB=5, 又菱形的四条边相等, 菱形的周长=45=20.故选B. 1 2 1 2 22 OAOB 2.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EFCB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形 ABCD的周长为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 答案答案 A E是AC的中点,AC
18、=2AE. EFCB,=2,BC=2EF=6, 菱形ABCD的周长为64=24. 故选A. BC EF AC AE 3.(2020陕西,14,3分)如图,在菱形 ABCD中,AB=6,B=60,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该 菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 . 答案答案 2 7 解析解析 过A作AGBC于G,过E作EHBC于H, 则四边形AGHE为矩形,AE=GH=2. 在菱形ABCD中,AB=6,B=60, AG=ABsin B=6=3=EH,BG=ABcos B=6=3. HC=BC-BG-GH=6-3-2=1. EF平分菱形ABCD的面积,
19、 AE=FC=2. FH=FC-CH=2-1=1. 3 2 3 1 2 在RtEFH中,由勾股定理可得EF=2. 22 EHFH 22 (3 3)1 7 4.(2019浙江温州,15,5分)三个形状、大小相同的菱形按如图所示的方式摆放,已知AOB=AOE=90, 菱形的较短对角线长为2 cm.若点C落在AH的延长线上,则ABE的周长为 cm. 答案答案 (12+8) 2 解析解析 过C作OA的垂线交AO的延长线于M,设菱形的较长对角线长为x cm. 点C落在AH的延长线上, 在AMC中,OM=1,AM=x+1,CM=, OH=OC=, 又COH=COB+BOH=AOH+BOH=AOB=90,
20、SACM=SCOH+SCOM+SOAH, =+, 即x2-4x-4=0, 解得x1=2+2,x2=-2+2(舍), ABE的周长=AB+AE+OB+OE 2 x 2 2 1 2 x 2 1 4 x (1) 2 2 x x 2 2 1 4 2 x 1 2 2 x 1 2 x 22 =x+x+x+x =(2+2)x =(2+2)(2+2) =(12+8)cm. 22 2 22 2 5.(2018辽宁沈阳,18,8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作 AC的平行线,两直线相交于点E. (1)求证:四边形OCED是矩形; (2)若CE=1,DE=2,则菱
21、形ABCD的面积是 . 解析解析 (1)证明:四边形ABCD为菱形, ACBD,COD=90. CEOD,DEOC, 四边形OCED是平行四边形. COD=90, 平行四边形OCED是矩形. (2)4. 由四边形OCED是矩形得OC=DE=2,OD=CE=1, S菱形ABCD=4SOCD=421=4. 1 2 6.(2019甘肃兰州,22,7分)如图,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D, 依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O. (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由; (2)求BD的长. 解析解析 (1)由题可知,BD垂直平分AC,且AB=BC
22、=CD=AD=5, 四边形ABCD为菱形. (2)AC=8,BDAC且BD平分AC, OA=OC=4, 在RtAOB中,OB=3, BD=2OB=23=6, BD的长为6. 22 -AB OA 22 5 -4 7.(2019北京,20,5分)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF. (1)求证:ACEF; (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tan G=,求AO的长. 1 2 解析解析 (1)证明:四边形ABCD为菱形, AB=AD,AC平分BAD. BE=DF, AE=AF. ACEF. (2)四边形ABCD为
23、菱形, AO=OC,OD=BD,ACBD. EFAC, BDEG. G=BDC. BD=4, OD=2. 在RtCOD中,由tanCDO=tan G=,可得OC=1. 1 2 1 2 AO=1. 8.(2020云南,22,9分)如图,四边形ABCD是菱形,点H为对角线AC的中点,点E在AB的延长线上,CEAB,垂 足为E,点F在AD的延长线上,CFAD,垂足为F. (1)若BAD=60,求证:四边形CEHF是菱形; (2)若CE=4,ACE的面积为16,求菱形ABCD的面积. 解析解析 (1)证明:在菱形ABCD中,BAD=60, BAC=30.(1分) CEAB,垂足为E,H为对角线AC的中
24、点, CE=AC=CH,ECH=90-EAC=60. CEH是等边三角形,CE=CH=EH. 同理可证CF=CH=FH.(3分) CE=EH=FH=CF, 四边形CEHF是菱形.(4分) (2)CE=4,SACE=16,CEAB,垂足为E, AE CE=16,解得AE=8.(6分) 四边形ABCD是菱形,AB=BC. 设AB=BC=x,则BE=8-x. 由BC2=CE2+BE2,即x2=42+(8-x)2, 1 2 1 2 解得x=5,即AB=5.(8分) SABC=AB CE=54=10, S菱形ABCD=2SABC=20.(9分) 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)根据菱形的性质和含
25、30角的直角三角形的性质,判定CEH为等边三角形,得CE=CH= EH,进而得出四边形CEHF的四条边都相等;(2)由SACE=CE AE求得边AE的长,在RtBCE中利用勾股 定理得BC的长,进而可求得菱形ABCD的面积. 1 2 9.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过 点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若AB=,BD=2,求OE的长. 5 解析解析 (1)证明:ABCD,OAB=DCA. AC平分BAD,OAB=DAC, DCA=DAC,CD=AD.
26、 又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形. 又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形. (2)四边形ABCD为菱形, OA=OC,BDAC. CEAE,OE=AO=OC. BD=2,OB=BD=1. 在RtAOB中,AB=,OB=1, OA=2,OE=2. 1 2 5 22 -AB OB 考点三 正方形 1.(2019新疆,9,5分)如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F是CD上一点,连接 AF分别交BD,DE于点M,N,且AFDE,连接PN,则以下结论中: SABM=4SFDM;PN=;tanEAF=;PMNDPE.正确的是( ) A. B.
27、C. D. 2 65 15 3 4 答案答案 A 正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点, AB=BC=CD=AD=2,ABC=C=ADF=90,CE=BE=1. AFDE,易证ADFDCE, DF=CE=1. ABDF,ABMFDM, =4, SABM=4SFDM ,故正确. 由勾股定理可知:AF=DE=AE=, AD DF= AF DN,DN=, EN=,AN=, tanEAF=,故正确. ABM FDM S S 2 AB DF 22 125 1 2 1 2 2 5 5 3 5 5 22 -AD DN 4 5 5 EN AN 3 4 过点P作PHAN于点H. BEAD,=2, PA=,
28、 sinEAF=, PA PE AD BE 2 5 3 EN AE 3 5 PH=PA sinEAF=, PHEN,=, AH=,HN=, PN=,故正确. PNDN,DPNPDE, PMN与DPE不相似,故错误. 故选A. 2 5 5 AH AN PA AE 2 3 2 3 4 5 5 8 5 15 4 5 15 22 PHNH 2 65 15 2.(2019广东,10,3分)如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB, 延长FG交DC于M,连接AM、AF,H为AD的中点,连接FH分别与AB、AM交于点N、K,则下列结论: ANHGNF;AFN=
29、HFG;FN=2NK;SAFNSADM=14,其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案答案 C 因为正方形ABCD的边长为4,正方形EFGB的边长为2,H为AD的中点,所以FG=AH=2,HAN= FGN=90,ADFM,所以AHN=GFN,所以ANHGNF,故正确.因为在RtAFG中,AF= =2,而AH=2,所以AHFAFH,则AFNHFG,故错误.由ADFM,可知AHK MFK,所以HKFK=AHFM=26=13.因为ANHGNF,所以FN=HN,所以HF=4HK=2FN,所以 HK=NK,所以FN=2NK,故正确.易求得SAFN=12=1,SADM=24=4
30、,所以SAFNSADM=14,故正 确.综上所述,正确的结论有3个,故选C. 22 222 1 2 1 2 方法总结方法总结 证明三角形全等,从已知中找边和角相等;在一个三角形中看两角是否相等,可以证明相对两 边是否相等;一个边是另一个边的倍数关系常要联系到相似. 3.(2019安徽,10,4分)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则 满足PE+PF=9的点P的个数是( ) A.0 B.4 C.6 D.8 答案答案 D 如图,作E,F关于AD的对称点E1,F1,连接E1F,EF1,交AD于H点,连接EE1,FF1,过点F作FOEE1,交 E1
31、E的延长线于点O,当P点在H点时,PE+PF取得最小值,由已知得AE=EF=CF=4,四边形ABCD是正方 形,易求OE=EM=ME1=2,OF=OE=2,OE1=6,由勾股定理可得EF1=E1F= 9,在AH和HD上各存在一点P,使得PE+PF=9,同理在AB、BC、CD上各存在2个这样的P点,一共有 8个这样的P点,故选D. 222 22 (2 2)(6 2)80 思路分析思路分析 因为正方形具有对称性,所以只需找出正方形一条边上满足条件的个数,然后乘4即可,由E,F 为定点且为AC的三等分点,分别作E,F关于AD的对称点,这样可求出PE+PF的最小值为9,从而可得 AD上满足条件的点有两
32、个,问题解决. 80 4.(2017内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE =,EAF=135,则以下结论正确的是( ) A.DE=1 B.tanAFO= C.AF= D.四边形AFCE的面积为 5 1 3 10 2 9 4 答案答案 C 四边形ABCD是边长为1的正方形,对角线AC、BD互相垂直平分且相等,AO=OD=, 在RtAOE中,OE=,DE=OE-OD=,A选项错误;易知ADO=45,ADE=135, ADE=EAF,又AED=FEA,DAEAFE,=,AF=,C选项正确; 在RtAOF中,OF=,tanAFO=,B选
33、项错误;EF=OF+OE=,四边形 AFCE的面积=EF AC=,D选项错误.故选C. 2 2 22 -AE AO 3 2 2 2 DE AE AD AF AE FE 2 5 10 2 22 -AFAO2 AO OF 1 2 5 2 2 1 2 1 2 5 2 2 2 5 2 5.(2019北京,14,2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼 成如图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为 . 答案答案 12 解析解析 设题图1中一个小直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则由题图2,题图3可列方程组 解得所以题图1中菱形的面积为46=12. 5, -1
34、. ab a b 3, 2. a b 1 2 6.(2019江西,8,3分)我国古代数学名著孙子算经有估算方法:“方五,邪(通“斜”)七.见方求邪,七之, 五而一.”译文为:如果正方形的边长为五,则它的对角线长为七.已知正方形的边长,求对角线长,则先将 边长乘七再除以五.若正方形的边长为1,由勾股定理得对角线长为,依据孙子算经的方法,则它的 对角线的长是 . 2 答案答案 7 5 解析解析 根据孙子算经的方法,求一个正方形的对角线长,则先将边长乘七再除以五,所以边长为1的 正方形的对角线长为175=. 7 5 7.(2018内蒙古呼和浩特,16,3分)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长
35、线上的动点(不与点A重合),且 AM45,所以无论点M 运动到何处,CHM 一定大于135,故正确.所以都正确. 2 思路分析思路分析 点E在运动的过程中,CBA=CHE=90,故B、E、H、C四点共圆,作出图形,再进行判断. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要借助中点发现辅助圆. 8.(2019北京,16,2分)在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合). 对于任意矩形ABCD,下面四个结论中, 存在无数个四边形MNPQ是平行四边形; 存在无数个四边形MNPQ是矩形; 存在无数个四边形MNPQ是菱形; 至少存在一个四边形MNPQ是正方形. 所有正确
36、结论的序号是 . 答案答案 解析解析 如图,由于是任意矩形,不妨设ADAB,取矩形的中心O,在AB边上任取一点M,连接MO并延长交 CD于点P,在BC边上任取一点N,连接NO并延长交AD于点Q,则四边形MNPQ是平行四边形,因为是任取, 所以存在无数个四边形MNPQ是平行四边形,正确.可以构造NQ总垂直于MP,所以存在无数个四边形 MNPQ是菱形,正确. 以点O为圆心,OM长为半径作圆,当MO=AD时,O与矩形有六个交点,取AD与BC边 上关于O点对称的两个交点分别为Q,N,取AB,DC边上的交点分别为M,P(如图1),顺次连接这四个交点,则 四边形MNPQ为矩形;当ADMOAO时,有8个交点
37、,隔一个点取一个点分别为M,N,P,Q(如图2),顺次连 接这四个交点,则四边形MNPQ为矩形.所以存在无数个四边形 MNPQ是矩形,正确. 1 2 ADOMAO 1 2 1 2 图1 图2 当四边形MNPQ是正方形时,MQ=PQ,MQP=90, 易证AMQDQP, AM=QD,AQ=PD, 易证BOMDOP,PD=BM,AQ=BM, AB=AM+BM=QD+AQ=AD, 四边形ABCD是正方形,与任意矩形ABCD矛盾,所以错误. 所以正确结论的序号是. 思路分析思路分析 本题需要借助(特殊)平行四边形与对角线相关的判定方法来解决. 解题关键解题关键 解决本题的关键是用对角线的关系判定四边形的
38、形状画图时一定要关注AC,BD的交点O. 9.(2019山东潍坊,22,10分)如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH DG,交BG于点H.连接HF,AF,其中AF交EC于点M. (1)求证:AHF为等腰直角三角形; (2)若AB=3,EC=5,求EM的长. 解析解析 (1)证明:ADCG,AHDG, 四边形ADGH为平行四边形,(1分) AD=HG. AD=BC,BC=HG, BC+CH=GH+HC,(2分) 即BH=CG,GF=BH.(3分) 在ABH和HGF中,AB=HG,B=HGF,BH=GF, ABHHGF,(4分) BAH=GHF,AH=HF
39、. BAH+BHA=90, GHF+BHA=90, AHF=90,(5分) AHF为等腰直角三角形.(6分) (2)AB=3,EC=5, AD=CD=3,CE=EF=5, DE=2.(7分) ADEF,=,(9分) EM=DE=.(10分) DM EM AD EF 3 5 5 8 5 4 一题多解一题多解 (1)四边形ABCD,四边形ECGF都是正方形,DABC,AD=CD,FG=CG,B=CGF=90. 又AHDG,四边形AHGD是平行四边形, AH=DG,AD=HG=CD. DCG=HGF=90,FG=CG, DCGHGF(SAS), DG=HF,HFG=DGC,AH=HF. HGD+DG
40、F=90, HFG+DGF=90, DGHF.AHDG,AHHF, AHF为等腰直角三角形. 10.(2020山西,22,12分)问题情境: 如图,点E为正方形ABCD内一点,AEB=90,将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90,得到CBE(点A 的对应点为点C).延长AE交CE于点F,连接DE. 猜想证明: (1)试判断四边形BEFE的形状,并说明理由; (2)如图,若DA=DE,请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明; 解决问题: (3)如图,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长. 解析解析 (1)四边形BEFE是正方形.(1分) 理由:由旋转可知E=AEB=90,(2分) EBE
41、=90.(3分) 又AEB+FEB=180,AEB=90, FEB=90. 四边形BEFE是矩形.(4分) 由旋转可知,BE=BE.四边形BEFE是正方形.(5分) (2)CF=FE. 证明:如图,过点D作DHAE,垂足为H,(6分) 则DHA=90,1+3=90, DA=DE,AH=AE.(7分) 四边形ABCD是正方形,AB=DA,DAB=90. 1+2=90.2=3. AEB=DHA=90,AEBDHA.(8分) AH=BE. 由(1)知四边形BEFE是正方形, 1 2 BE=EF.AH=EF.(9分) 由旋转可得CE=AE,FE=CE.CF=FE.(10分) 1 2 (3)3.(12分
42、) 详解:由(1)知四边形BEFE是正方形,FE=BE,由旋转得CE=AE,CF=3,BE=FE=AE-3,在RtABE中, AE2+BE2=AB2,即AE2+(AE-3)2=152,解得AE=12或-9(舍), 作DHAE于H点,DAH+ADH=DAH+EAB=90, ADH=EAB,又AHD=AEB=90,DAHABE,=1,DH=AE=12,AH= =9,HE=3, DE=3 . DH AE AD AB 22 -AD DH 22 15 -12 22 HEDH 22 31217 思路分析思路分析 (1)根据旋转先证四边形BEFE是矩形,再由旋转得BE=BE,问题得解;(2)作DHAE于点H
43、,由 等腰三角形“三线合一”可得点H为AE的中点,根据四边形ABCD是正方形可证AEBDHA,可得 AH=BE,再根据(1)的结论及旋转可证;(3)由(1)可知BE=AE-3,在RtABE中,AE2+BE2=AB2,解得AE=12,再 作DHAE于H点,易证DAHABE,从而求出DH、AH,最后在RtDHE中求出DE. 11.(2020四川南充,24,10分)如图,边长为1的正方形ABCD中,点K在AD上,连接BK,过点A,C作BK的垂线,垂 足分别为M,N,点O是正方形ABCD的中心,连接OM,ON. (1)求证:AM=BN; (2)请判定OMN的形状,并说明理由; (3)若点K在线段AD上
44、运动(不包括端点),设AK=x,OMN的面积为y,求y关于x的函数关系式(写出x的范 围);若点K在射线AD上运动,且OMN的面积为,请直接写出AK的长. 1 10 解析解析 (1)证明:AMBM,CNBN,AMB=BNC=90. 又ABC=90, MAB+MBA=90,NBC+MBA=90, MAB=NBC.(1分) 又AB=BC,AMBBNC,AM=BN.(2分) (2)OMN是等腰直角三角形.(3分) 理由如下:连接OB,O为正方形ABCD的中心, MAB-OAB=NBC-OBC,即MAO=OBN.(4分) OA=OB,AM=BN,AMOBNO, OM=ON,AOM=BON.(5分) A
45、OB=AON+BON=90,MON=90. OMN是等腰直角三角形.(6分) (3)在RtABK中,BK=. 由BK AM=AB AK,得BN=AM=.(7分) 由AK2=KM BK,得KM=.(8分) MN=BK-BN-KM=-=. SOMN=MN2=. 即y=(0x0),则BG=x-2,又知EG=4, 在RtBGE中,利用勾股定理可得x2+(x-2)2=42,解得x=+.BE=+. 2 22626 三、解答题三、解答题(共33分) 10.(2020江西南昌一模,15)如图,在矩形ABCD中,E、F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF,若ACEF,试判 断四边形AECF的形状,并说明理由.
46、 解析解析 四边形AECF是菱形, 理由如下:四边形ABCD是矩形, B=D=90,AB=CD,AD=BC,ADBC. 在RtABE和RtCDF中, RtABERtCDF(HL),BE=DF. BC=AD, BC-BE=AD-DF,即CE=AF, 又CEAF,四边形AECF是平行四边形, 又ACEF,四边形AECF是菱形. , , AECF ABCD 11.(2020海南琼海一模,19)如图,已知在四边形ABCD中,ADBC,ABAD,BC=CD,BECD,垂足为点E, 点F在BD上,连接AF、EF. (1)求证:AD=ED; (2)如果AFCD,判断四边形ADEF是什么特殊四边形,证明你的结
47、论. 解析解析 (1)证明:BC=CD,CDB=CBD. ADBC,ADB=CBD.ADB=CDB. ABAD,BECD, BAD=BED=90, 又BD=BD,ABDEBD, AD=ED. (2)四边形ADEF是菱形. 证明:AFCD,AFD=EDF. 又EDF=ADF,AFD=ADF, AF=AD. 又AD=ED,AF=DE. 四边形ADEF是平行四边形, 又AD=ED,四边形ADEF是菱形. 12.(2019甘肃定西一诊,24)如图,在ABC中,点F是BC的中点,点E是线段AB的延长线上的动点,连接EF, 过点C作AB的平行线CD,与线段EF的延长线交于点D,连接CE、BD. (1)求证:四边形DBEC是平行四边形; (2)若ABC=120,AB=BC=4,则在点E的运动过程中: 当BE= 时,四边形BECD是矩形,试说明理由; 当BE= 时,四边形BECD是菱形. 解析解析 (1)证明:ABCD,CDF=FEB,DCF=EBF.点F是BC的中点,BF=CF. 在DCF和EBF中, DCFEBF(AAS),DC=BE. 又DCBE,四边形BECD是平行四边形. (2)2.理由如下: 当四边形BECD是矩形时,CEB=90. ABC=120,CBE=60,ECB=30, BE=BC=2. 4. 详解:四边形BECD是菱形,BE=EC
