1、 中考数学 （江苏专用） 4.2 三角形及其全等 考点1 三角形的有关概念 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2020连云港,7,3分)10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、 E、O均是正六边形的顶点.则点O是下列哪个三角形的外心( ) A.AED B.ABD C.BCD D.ACD 答案答案 D 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等, 从点O出发,确定点O分别到A,B,C,D,E的距离,有OA=OC=OD, 点O是ACD的外心.故选D. 2.(2017扬州,6,3分)若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是( ) A.6 B
2、.7 C.11 D.12 答案答案 C 设三角形第三边的长为x,则x的取值范围是2x6,所以三角形的周长c的范围是8c12,故选 C. 3.(2019泰州,5,3分)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A、B、C、D、E、F、G在小正方形 的顶点上,则ABC的重心是( ) A.点D B.点E C.点F D.点G 答案答案 A 根据题意可知,直线CD经过ABC的AB边的中点,直线AD经过ABC的BC边的中点, 点D是ABC的重心. 故选A. 4.(2018宿迁,3,3分)如图,点D在ABC边AB的延长线上,DEBC.若A=35,C=24,则D的度数是 ( ) A.24 B.59 C.60
3、D.69 答案答案 B A=35,C=24, DBC=A+C=59, DEBC, D=DBC=59,故选B. 5.(2019扬州,7,3分)已知n是正整数,若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n,则满足条件的n的值有 ( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 答案答案 D 若n+2n+83n,则 解得即4n10, 正整数n有6个:4,5,6,7,8,9; 若n+23nn+8,则 解得即2n4, 正整数n有2个:3和4. 综上所述,满足条件的n的值有7个,故选D. 283 , 83 , nnn nn 10, 4, n n 238, 38, nnn nn 2, 4, n n 6.(2
4、020泰州,12,3分)如图,将分别含有30角、45角的一副三角板重叠,使直角顶点重合,若两直角重叠形 成的角的度数为65,则图中角的度数为 . 答案答案 140 解析解析 如图,重叠形成的角的度数为65, 即BCD=65, ACD=90-65=25, A=60, DFB=AFC=180-60-25=95, D=45, =D+DFB=45+95=140. 7.(2019泰州,12,3分)命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 (填“真命题”或“假命 题”). 答案答案 真命题 名师点睛名师点睛 本题考查了命题与定理:判断事件的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假 命题;经过推
5、理论证的真命题称为定理. 8.(2020徐州,18,3分)在ABC中,若AB=6,ACB=45,则ABC的面积的最大值为 . 答案答案 9+9 2 解析解析 作ABC的外接圆O,过C作CMAB于M, 弦AB已确定, 要使ABC的面积最大,只要CM取最大值即可, 如图所示,当CM过圆心O时,CM最大, CMAB,CM过点O,AM=BM(垂径定理), AC=BC,连接OA,OB. AOB=2ACB=245=90, OM=AM=AB=6=3, OA=3, CM=OC+OM=3+3, ABC的面积的最大值为AB CM=6(3+3)=9+9. 1 2 1 2 22 OMAM2 2 1 2 1 2 22
6、9.(2020泰州,15,3分)如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A、B、C在直角坐标系 中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则ABC内心的坐标为 . 答案答案 (2,3) 解析解析 如图,点I即为ABC的内心. 所以ABC内心I的坐标为(2,3). 方法总结方法总结 本题考查三角形的内心的定义,即角平分线的交点,在网格中作出三角形两条角平分线,交点 即为三角形的内心. 10.(2018泰州,14,3分)如图,四边形ABCD中,AC平分BAD,ACD=ABC=90,E、F分别为AC、CD的 中点,D=,则BEF的度数为 (用含的式子表示). 答案答案 270
7、-3 解析解析 ACD=90,D=, DAC=90-, AC平分BAD, DAC=BAC=90-, ABC=90,E是AC的中点, BE=AE=EC, EAB=EBA=90-, CEB=180-2, E、F分别为AC、CD的中点, EFAD, CEF=CAD=90-, BEF=180-2+90-=270-3. 思路分析思路分析 根据直角三角形的性质得到DAC=90-,根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得 到CEB=180-2,根据三角形中位线定理、平行线的性质得到CEF=CAD=90-,再根据FEB= FEC+CEB求解. 解题关键解题关键 本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、
8、角平分线的定义,掌握三角形的中 位线平行于第三边是解题的关键. 11.(2019无锡,26,10分)按要求作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹. (1)如图1,A为O上一点,请用直尺(不带刻度)和圆规作出O的内接正方形; (2)我们知道,三角形具有性质:三边的垂直平分线相交于同一点,三条角平分线相交于一点,三条中线相 交于一点,事实上,三角形还具有性质:三条高所在直线相交于一点. 请运用上述性质,只用直尺(不带刻度)作图. 如图2,在ABCD中,E为CD的中点,作BC的中点F; 如图3,在由小正方形组成的43的网格中,ABC的顶点都在小正方形的顶点上,作ABC的高AH. 解析解析 (1)如图,
9、连接AO并延长交圆O于点C,作AC的中垂线交圆O于点B,D,四边形ABCD即为所求. (2)如图,连接AC,BD交于点O,连接EB交AC于点G,连接DG并延长交CB于点F,F即为所求. 如图所示,AH即为所求. 12.(2016南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”. 如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角. 求证:BAE+CBF+ACD=360. 证法1: , BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540. BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3). , BAE+CBF+ACD=540-180=360. 请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2
10、. 解析解析 BAE+1=CBF+2=ACD+3=180; 1+2+3=180. 证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD. APBD,CBF=PAB,ACD=EAP. BAE+PAB+EAP=360, BAE+CBF+ACD=360. 考点2 全等三角形的性质与判定 1.(2018南京,5,2分)如图,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,则 AD的长为( ) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 答案答案 D ABCD,CEAD,BFAD, AFB=CED=90,A+D=90,C+D=90, A=C,又AB=CD
11、, ABFCDE,AF=CE=a,BF=DE=b. EF=c,AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c, 故选D. 思路分析思路分析 证明ABFCDE,得出AF=CE=a,BF=DE=b,从而推出AD=AF+DF=a+b-c. 解后反思解后反思 本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找全等三角形,属于中考常考题型. 2.(2020南京,19,8分)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,B=C.求证:BD=CE. 证明证明 A=A,AC=AB,C=B, ACDABE. AD=AE, AB-AD=AC-AE,即BD=CE. 3.(2019南京,19,7分)如图,D是ABC的
12、边AB的中点,DEBC,CEAB,AC与DE相交于点F.求证ADF CEF. 证明证明 DEBC,CEAB, 四边形DBCE是平行四边形,BD=CE. D是AB的中点,AD=DB,AD=CE. CEAB,A=ECF,ADF=E, ADFCEF. 4.(2019苏州,24,8分)如图,ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得CAF =BAE.连接EF,EF与AC交于点G. (1)求证:EF=BC; (2)若ABC=65,ACB=28,求FGC的度数. 解析解析 (1)证明:线段AC绕点A旋转到AF的位置, AC=AF. CAF=BAE, CAF+CAE=BAE
13、+CAE, 即EAF=BAC. 在ABC和AEF中, ABCAEF(SAS), EF=BC. (2)AE=AB,AEB=ABC=65. ABCAEF,AEF=ABC=65, , , , ABAE BACEAF ACAF FEC=180-AEB-AEF=180-65-65=50. FGC是EGC的外角,GCE=28, FGC=GEC+GCE=50+28=78. 5.(2020苏州,26,10分)问题1:如图,在四边形ABCD中,B=C=90,P是BC上一点,PA=PD,APD=90. 求证:AB+CD=BC. 问题2:如图,在四边形ABCD中,B=C=45,P是BC上一点,PA=PD,APD=9
14、0.求的值. ABCD BC 解析解析 问题1:证法一:B=90,APB+BAP=90. APD=90,APB+CPD=90. BAP=CPD. 在APB和PDC中, APBPDC(AAS). AB=PC,BP=CD,AB+CD=PC+PB=BC. 证法二:同证法一,可得BAP=CPD,设BAP=CPD=. 在RtABP中,BP=PA sin ,AB=PA cos , 在RtPCD中,CD=PD sin ,PC=PD cos , 又PA=PD,AB=PC,BP=CD,AB+CD=PC+BP=BC. 问题2:如图,分别过点A、D作BC的垂线,垂足为E、F. , , , BC BAPCPD PAD
15、P 由问题1可知AE+DF=EF, 在RtABE和RtDFC中,B=C=45, AE=BE,DF=CF,AB=AE,CD=DF. BC=BE+EF+CF=2(AE+DF),AB+CD=(AE+DF). =. 22 2 ABCD BC 2() 2() AEDF AEDF 2 2 解题关键解题关键 本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形边与角之间的关系,通过作辅助线 构造“K”字型全等三角形是解决本题的关键. 6.(2019泰州,26,12分)如图,线段AB=8,射线BGAB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且 点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使EAP=B
16、AP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与 点A、B不重合). (1)求证:AEPCEP; (2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由; (3)求AEF的周长. 解析解析 (1)证明:四边形APCD为正方形, PD平分APC,APC=90,PC=PA, APD=CPD=45, 在AEP和CEP中, AEPCEP(SAS). (2)CFAB.理由如下: AEPCEP,EAP=ECP, EAP=BAP,BAP=FCP, FCP+CMP=90,AMF=CMP, AMF+PAB=90, AFM=90, CFAB. , , , EPEP EPCEPA PCPA (3)过点C作CNBG,垂足为N. CFA
17、B,BGAB,四边形BFCN为矩形,FCBN, CPN=PCF=EAP=PAB, 又AP=CP,ABP=CNP=90,PCNAPB(AAS),CN=PB=BF,PN=AB, AEPCEP,AE=CE, AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF =PN+PB+AF=AB+BF+AF=2AB=16. 考点1 三角形的有关概念 B组 20162020年全国中考题组 1.(2020内蒙古包头,5,3分)如图,ACD是ABC的外角,CEAB.若ACB=75,ECD=50,则A的度 数为( ) A.50 B.55 C.70 D.75 答案答案 B 解法一:CEAB,B=ECD=50, 在ABC中,A
18、+B+ACB=180, A=180-B-ACB=180-50-75=55. 解法二:ACD=180-ACB=180-75=105, CEAB,B=ECD=50, ACD是ABC的外角, ACD=A+B, A=ACD-B=105-50=55. 2.(2020吉林,5,2分)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则的大小为( ) A.85 B.75 C.65 D.60 答案答案 B 如图,是ABC的外角,所以=ABC+A=45+30=75,故选B. 3.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平 分ABC的周长,则DE的长是
19、. 答案答案 3 2 解析解析 延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长,AC+CE+ AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60, ACF=120,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH=AC, 所以AF=AC=,DE=AF=. 3 2 33 1 2 3 2 思路分析思路分析 延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求得AF的长, 从而求得DE的长. 解题技巧解题技巧 对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运
20、用中位线定理来解答. 考点2 全等三角形的性质与判定 1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC 答案答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS, ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定 定理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C. 2.(2020江西,11,3分)如图,CA平分DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若EAC=49,
21、则BAE的度 数为 . 答案答案 82 解析解析 EAC=49,DAC=180-EAC=131.CA平分DCB,DCA=BCA,又CB=CD,CA= CA,DCABCA,DAC=BAC=131,BAE=131-EAC=82. 3.(2020云南,16,6分)如图,已知AD=BC,BD=AC. 求证:ADB=BCA. 证明证明 在ABD和BAC中, ABDBAC(SSS).(4分) ADB=BCA.(6分) , , , ADBC BDAC ABBA 4.(2018云南,16,6分)如图,已知AC平分BAD,AB=AD.求证:ABCADC. 证明证明 AC平分BAD, BAC=DAC.(2分) 在
22、ABC和ADC中, ABCADC(SAS).(6分) , , , ABAD BACDAC ACAC 5.(2019安徽,20,10分)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEADF; (2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值. S T 解析解析 (1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M, ADBC,FAD=M, 又AFBE,M=EBC,FAD=EBC. 同理得FDA=ECB. 在BCE和ADF中,EBC=FAD, BC=AD,ECB=FDA,BCEADF.(5分) (2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知BCEADF,AF=BE,又AF
23、BE, 四边形ABEF为平行四边形,SAEF=SAEB. 同理SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC, 又T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T.=2.(10分) 解法二:BCEADF,T=SAED+SBCE. 如图2,过点E作HGBC交BC于G,交AD于H,则EGBC,EHAD.于是,T=SAED+SBCE=BC (EG+EH)= BC GH=S,即=2.(10分) S T 1 2 1 2 1 2 S T 图1 图2 思路分析思路分析 (1)延长FA与CB的延长线交于M,根据平行四边形ABCD的性质可以证明EBC=FAD, ECB=F
24、DA,从而证明BCEADF(ASA);(2)解法一:连接EF,易证四边形ABEF、CDFE都是平行四 边形,从而得T=S四边形AEDF=SAEF+SDEF=SAEB+SDEC,再证得T=SAED+SBCE,即可得出结果.解法二:利用BCE ADF可证T=SAED+SBCE,然后作HG垂直BC,由三角形的面积公式及AD=BC得出结果. 方法总结方法总结 求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和,或转化成求熟 悉易求的图形面积. 考点1 三角形的有关概念 (2016南京,4,2分)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( ) A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6
25、 D.3,4,7 C组 教师专用题组 答案答案 C 由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形. 设一个三角形的三边长分别为a,b,c, 且abc2,则三角形为锐角三角形; 若a2+b2c2,则三角形为钝角三角形. 32+4262, 长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角形,故选C. 考点2 全等三角形的性质与判定 1.(2016陕西,8,3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接 MO、NO,并分别延长交边BC于两点M、N,则的全等三角形共有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 图中 答案答案 C 易知ABDCBD,
26、MONMON,DONBON,DOMBOM,故选C. 2.(2020四川南充,18,8分)如图,点C在线段BD上,且ABBD,DEBD,ACCE,BC=DE.求证:AB=CD. 证明证明 ABBD,DEBD,ACCE, ABC=CDE=ACE=90.(2分) ACB+ECD=90,(3分) ECD+CED=90.(4分) ACB=CED.(5分) 在ABC和CDE中, ABCCDE.(7分) AB=CD.(8分) , , , ACBCED BCDE ABCCDE 3.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE. 证明证明 BE=CF,
27、BE+EF=CF+EF,BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE(SAS),AF=DE. , , , ABDC BC BFCE 4.(2019陕西,18,5分)如图,点A、E、F、B在直线l上,AE=BF,ACBD,且AC=BD.求证:CF=DE. 证明证明 AE=BF, AF=BE.(2分) ACBD,CAF=DBE. 又AC=BD, ACFBDE.(4分) CF=DE.(5分) 5.(2019吉林,18,5分)如图,在ABCD中,点E在边AD上,以C为圆心,AE长为半径画弧,交边BC于点F.连接 BE,DF.求证:ABECDF. 证明证明 四边形 ABCD为平行四边形, AB=CD
28、,A=C.(2分) 由作图,得AE=CF,(3分) ABECDF.(5分) 6.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE. 证明证明 1=2, 1+DAC=2+DAC, 即BAC=DAE,(1分) 在ABC和ADE中,(3分) ABCADE(ASA),(5分) BC=DE.(6分) , , , BACDAE ABAD BD (其他证法参照此标准给分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:20分钟 分值:30分 一、选择题(共3分) 1.(2018扬州江都一模,5)如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明AOB=A
29、OB的 依据是( ) A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA 答案答案 B 由作法易得OD=OD,OC=OC,CD=CD,依据SSS可判定CODCOD,故AOB= AOB,故选B. 二、填空题(共3分) 2.(2018无锡滨湖一模,16)如图,点B,E,C,F在一条直线上,ACDF,且AC=DF,请添加一个条件 ,使 ABCDEF. 答案答案 A=D(答案不唯一) 解析解析 添加A=D,ACDF, ACB=DFE, 在ABC和DEF中, ABCDEF(ASA). , , , AD ACDF ACBDFE 解题关键解题关键 本题考查了全等三角形的判定方法.三角形全等的判定是中考的热点,本
30、题由平行线证出角 相等是证明三角形全等的关键. 三、解答题(共24分) 3.(2020扬州中学教育集团树人学校一模,23)如图,A=B,AE=BE,点D在AC边上,1=2,AE和BD相交 于点O. (1)求证:AECBED; (2)若1=50,则BDE= . 解析解析 (1)证明:AE和BD相交于点O, AOD=BOE. 又A=B,BEO=2. 又1=2,1=BEO,AEC=BED. 在AEC和BED中, AECBED(ASA). (2)AECBED,EC=ED,EDC=ECD, 1=50,1=2, 2=50,EDC=ECD=65, BDE=180-2-EDC=65, 故答案为65. , ,
31、, AB AEBE AECBED 4.(2020常州一模,21)如图,EBF为等腰直角三角形,点B为直角顶点,四边形ABCD是正方形. (1)求证:ABECBF; (2)CF与AE有什么特殊的位置关系?请证明你的结论. 解析解析 (1)证明:EBF是等腰直角三角形, BE=BF,EBF=90,(1分) 四边形ABCD是正方形, BA=BC,ABC=90,(2分) ABE+ABF=CBF+ABF, ABE=CBF,(3分) 在ABE和CBF中, ABECBF.(4分) (2)CFAE.(5分) 理由:如图,延长CF交AB于点O,交AE于点G. , , , ABCB ABECBF BEBF ABE
32、CBF, 1=2,(6分) 1+3+AGO=180,2+4+CBO=180,3=4,(7分) AGO=CBO=90, CFAE.(8分) 5.(2018无锡江阴一模,21)如图,已知等边ABC,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE= DC.求证:AD=BE. 证明证明 在等边ABC中,AB=CA,BAC=ACB=60, EAB=DCA=120. 在EAB和DCA中, EABDCA,AD=BE. , , . AEDC EABDCA ABCA 易错警示易错警示 本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.解题时注意两边及其夹 角分别对应相等的两个三角形全等. 6.(
33、2019苏州工业园区一模)已知:如图,点A、D、C在同一条直线上,ABDE,AB=AD,AC=DE,求证:C= E. 证明证明 ABDE,BAC=ADE, 在ABC与DAE中, ABCDAE(SAS), C=E. , , , ABDA BACADE ACDE 思路分析思路分析 根据平行线的性质和SAS证明ABC与DAE全等,进而利用全等三角形的性质得解. 一、选择题(每小题3分,共6分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:25分钟 分值:40分 1.(2020苏州市区一模,6)小明在学了尺规作图后,通过“三弧法”作了一个ACD,其作法步骤是作线 段AB,分别以A,B为圆心,AB长为半
34、径画弧,两弧的交点为C;以B为圆心,AB长为半径画弧交AB的延长线 于点D;连接AC,BC,CD.下列说法不正确的是( ) A.A=60 B.ACD是直角三角形 C.BC=CD D.点B是ACD的外心 3 2 答案答案 C 由作图可知:AB=BC=AC, ABC是等边三角形, A=60(故A中说法正确), BA=BC=BD,D=30,ACD=90, ACD是直角三角形(故B中说法正确),点B是ACD的外心(故D中说法正确). tan A=,AC=CD,BC=CD(故C中说法错误). 故选C. CD AC 3 3 3 3 3 解题关键解题关键 本题考查尺规作图,等边三角形的判定和性质,直角三角形
35、的判定和性质,三角形的外心等知 识,解题的关键是掌握三角形的有关概念并灵活应用. 2.(2019苏州吴江一模)如图,ABC是等边三角形,点C在直线b上,若直线ab,1=34,则2的度数为 ( ) A.26 B.28 C.34 D.36 答案答案 A 过B作BD直线a, 直线ab,BD直线b, ABD=1,CBD=2, ABC=ABD+CBD=1+2=60,1=34, 2=26.故选A. 二、填空题(每小题3分,共12分) 3.(2020无锡二模,17)如图,点I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移,使其顶点与I重合,则图中 阴影部分的周长为 . 答案答案 4 解析解析 连
36、接AI、BI, 点I为ABC的内心, AI平分CAB,CAI=BAI, 由平移得:ACDI,CAI=AID, BAI=AID,AD=DI, 同理,BE=EI, DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4, 即图中阴影部分的周长为4. 思路分析思路分析 连接AI、BI,因为三角形的内心是内角平分线的交点,所以AI是CAB的平分线,由平行线的 性质和等角对等边可得AD=DI,同理,BE=EI,所以图中阴影部分的周长就是边AB的长. 4.(2020无锡江阴模拟,17)在ABC中,A=60,C=75,AB=8,D、E、F分别在AB、BC、CA上,则 DEF的周长的最小值是 . 答案答案
37、 4 6 解析解析 分别作点E关于AB,AC的对称点P,Q,连接AE,AP,AQ,DP,FQ,PQ, 则DE=PD,EF=FQ,PAQ=2BAC=120,且AP=AE=AQ, APQ=30,PQ=AP. 过点A作AHBC于点H. B=180-BAC-C=45, AH=AB sin B=8sin 45=4, DEF的周长=DE+DF+EF=PD+DF+FQPQ=AP=AEAH=4. DEF周长的最小值为4. 3 2 3336 6 名师点睛名师点睛 本题主要考查了最短距离问题,涉及的知识点有轴对称及其性质,等腰三角形的性质以及解 直角三角形等.涉及最短距离的问题,一般结合轴对称变换来解决,多数情况
38、要作点关于某直线的对称点. 5.(2019泰州姜堰一模)如图,RtABC中,BAC=90,AB=6,AC=4,G是ABC的重心,则SAGC= . 答案答案 4 解析解析 延长AG交BC于E. BAC=90,AB=6,AC=4, SABC= AB AC=12, G是ABC的重心,AG=2GE,BE=EC, SAEC=12=6,SAGC=SAEC=4. 1 2 1 2 2 3 6.(2019扬州高邮一模)如图,ABC中,点M、N分别是AB、AC的中点,点D、E在BC边上(点D、E都不与 点B、C重合),且点D在点E的左侧,DN、EM相交于点O.若ABC的面积为42 cm2,DE=BC,则阴影四边
39、形BDOM、CEON的面积和为 cm2. 1 2 答案答案 21 解析解析 连接MN. M、N分别是AB、AC的中点,MNBC,且MN=BC, DE=BC,MN=DE, 易证MNOEDO,SMNO=SODE=SABC= cm2,SMON+SEDO= cm2, SAMN=SABC= cm2,S四边形BCNM=42-= cm2,阴影四边形BDOM、CEON的面积和为-=21 (cm2). 1 2 1 2 1 8 21 4 21 2 1 4 21 2 21 2 63 2 63 2 21 2 三、解答题(共22分) 7.(2020苏州常熟一模)如图,在四边形ABCD中,A=90,ADBC,BC=BD,
40、CEBD,垂足为E. (1)求证:ABDECB; (2)若AD=4,CE=3,求CD的长. 解析解析 (1)证明:ADBC,ADB=DBC,(1分) CEBD,BEC=90, A=90,A=BEC.(2分) 在ABD和ECB中, ABDECB(AAS).(3分) (2)ABDECB,AB=CE=3, AD=4,在RtABD中,由勾股定理得BD=5,(4分) ABDECB,AD=BE=4,DE=BD-BE=1,(5分) 在RtCDE中,由勾股定理得CD=.(6分) , , , ABEC ADBDBC BDCB 10 8.(2018苏州常熟一模,24)如图,在ABCD中,点E是边BC的中点,连接A
41、E并延长,交DC的延长线于点F.连 接AC,BF. (1)求证:ABEFCE; (2)当四边形ABFC是矩形时,若AEC=80,求D的度数. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形,点F在DC的延长线上,ABCF,ABE=FCE. 点E是边BC的中点,BE=CE. 在ABE和FCE中, ABEFCE. (2)四边形ABFC是矩形, AF=BC,AE=AF,BE=BC, AE=BE,ABE=BAE. AEC=80, ABE=BAE=40. 四边形ABCD是平行四边形, D=ABE=40. , , , ABEFCE BECE AEBFEC 1 2 1 2 解题关键解题关键 本题考查了平行
42、四边形的性质、全等三角形的判定.熟练掌握平行四边形的性质,证明三角 形全等是解决问题的关键. 9.(2018盐城一模,22)如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,BCE=ACD=90,BAC=D,BC=CE. (1)求证:AC=CD; (2)若AC=AE,求DEC的度数. 解析解析 (1)证明:如图,BCE=ACD=90, 3+4=4+5=90,3=5. 在ABC和DEC中, ABCDEC(AAS), AC=CD. (2)ACD=90,AC=CD,2=D=45. AE=AC,4=6=67.5, 1, 35, , D BCCE DEC=180-6=112.5. 思路分析思路分析 本题主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键,即SSS,SAS, ASA,AAS和HL.
