1、 中考数学 （湖南专用） 4.4 多边形与平行四边形 A组 20162020年湖南中考题组 考点一 多边形 1.(2020湖南怀化,4,3分)若一个多边形的内角和为1 080,则这个多边形的边数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案答案 C 设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2) 180=1 080,解得n=8.故选C. 2.(2016湖南益阳,6,5分)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和 不可能是( ) A.360 B.540 C.720 D.900 答案答案 D 将矩形沿对角线剪开,得到两个三角形,这两个多边形的内角和之和为180+180=360
2、; 在矩形任一边上取一点(不含顶点),连接该点与矩形的任一顶点(不与该点在同一条边上),得到一条线 段,沿此线段剪开矩形,得到一个三角形和一个四边形,这两个多边形的内角和之和为180+360=540; 任取矩形一组对边,在这两边上各取一点(不含顶点),连接这两点得到一条线段,将矩形沿这条线段剪开, 得到两个四边形,这两个多边形的内角和之和为360+360=720;任取矩形相邻两边,在这两边上各取 一点(不含顶点),连接这两点,得到一条线段,将矩形沿这条线段剪开,得到一个三角形和一个五边形,这两 个多边形的内角和之和为180+540=720.故选D. 3.(2020湖南湘西,7,3分)若多边形的
3、内角和是外角和的2倍,则该多边形是 边形. 答案答案 六 解析解析 设这个多边形的边数为n,(n-2) 180=2360, 解得n=6,故答案为六. 思路分析思路分析 设这个多边形的边数为n,根据多边形内角和公式及多边形的外角和为360,列出等式求解即 可. 4.(2020湖南衡阳,15,3分)已知一个n边形的每一个外角都为30,则n等于 . 答案答案 12 解析解析 36030=12.故答案为12. 思路分析思路分析 根据多边形的外角和是360求出多边形的边数即可. 5.(2020湖南株洲,14,4分)一个蜘蛛网如图所示,若多边形ABCDEFGHI为正九边形,其中心点为O,点M、N 分别在射
4、线OA、OC上,则MON= 度. 答案答案 80 解析解析 根据正多边形性质得,中心角为3609=40,MON=2AOB=80,故答案为80. 思路分析思路分析 根据正多边形性质求出中心角,即可求出MON. 6.(2018湖南邵阳,14,3分)如图所示,在四边形ABCD中,ADAB,C=110,它的一个外角ADE=60,则 B的大小是 . 答案答案 40 解析解析 ADE=60,ADC=120, ADAB, DAB=90, B=360-C-ADC-A=40. 7.(2017湖南益阳,13,5分)如图,多边形ABCDE的每个内角都相等,则每个内角的度数为 . 答案答案 108 解析解析 五边形的
5、内角和=(5-2)180=540, 该五边形的每个内角都相等, 每个内角的度数=5405=108. 考点二 平行四边形 1.(2020湖南衡阳,7,3分)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为 平行四边形的是( ) A.ABDC,AB=DC B.AB=DC,AD=BC C.ABDC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD 答案答案 C A.ABDC,AB=DC,四边形ABCD是平行四边形; B.AB=DC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形; C.等腰梯形ABCD满足ABDC,AD=BC,但不是平行四边形; D.OA=OC,OB=OD, 四边形AB
6、CD是平行四边形.故选C. 思路分析思路分析 根据平行四边形的判定方法逐项分析即可. 2.(2017湖南株洲,9,3分)如图,点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点,则 关于四边形EFGH,下列说法正确的是( ) A.一定不是平行四边形 B.一定不是中心对称图形 C.可能是轴对称图形 D.当AC=BD时,它为矩形 答案答案 C 根据三角形中位线的性质可以确定四边形EFGH为平行四边形,故A、B错误;当AC=BD时,它 是菱形,故D错误.故选C. 3.(2020湖南株洲,16,4分)如图所示,点D、E分别是ABC的边AB、AC的中点,连接BE,过点C作CFBE,
7、 交DE的延长线于点F,若EF=3,则DE的长为 . 答案答案 3 2 解析解析 D、E分别是ABC的边AB、AC的中点,DE为ABC的中位线,DEBC,DE=BC,CF BE,四边形BCFE为平行四边形,BC=EF=3,DE=BC=.故答案为. 1 2 1 2 3 2 3 2 思路分析思路分析 先证明DE为ABC的中位线,得到四边形BCFE为平行四边形,求出BC=EF=3,根据中位线定 理即可求解. 4.(2019湖南湘潭,15,3分)如图,在四边形ABCD中,若AB=CD,则添加一个条件 ,能得到平行四边 形ABCD(不添加辅助线,任意添加一个符合题意的条件即可). 答案答案 ABCD(或
8、AD=BC或A+D=180或B+C=180) 解析解析 根据平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”“两组对边分别相等 的四边形是平行四边形”添加条件即可. 5.(2018湖南衡阳,17,3分)如图,ABCD的对角线相交于点O,且ADCD,过点O作OMAC,交AD于点M. 如果CDM的周长为8,那么ABCD的周长是 . 答案答案 16 解析解析 四边形ABCD是平行四边形,OA=OC, OMAC,AM=MC. CDM的周长=CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8, 平行四边形ABCD的周长是2(AD+CD)=28=16. 6.(2020湖南岳阳,18,8分)如图
9、,点E,F在ABCD的边BC,AD上,BE=BC,FD=AD,连接BF,DE.求证:四边 形BEDF是平行四边形. 1 3 1 3 证明证明 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC, BE=BC,FD=AD,BE=FD,四边形BEDF是平行四边形. 1 3 1 3 思路分析思路分析 根据平行四边形的性质得到ADBC,AD=BC,进而得到BE=FD,即可证明. 7.(2019湖南郴州,19,6分)如图,ABCD中,点E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,连接 AC,DF.求证:四边形ACDF是平行四边形. 证明证明 四边形ABCD是平行四边形, ABCD, FAE=CD
10、E. E是AD的中点, AE=DE, 又FEA=CED, FAECDE(ASA), FA=CD, 又AFCD, 四边形ACDF是平行四边形. 思路分析思路分析 利用平行四边形的性质,易证FAECDE,即可得到CD=FA,再根据CDAF,即可证得四 边形ACDF是平行四边形. 解题关键解题关键 本题考查了平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握平行四边形的判 定定理和性质定理是解题的关键. B组 20162020年全国中考题组 考点一 多边形 1.(2019河北,1,3分)下列图形为正多边形的是( ) 答案答案 D 正多边形的各边相等,各角相等,故选D. 2.(2020北京,5,
11、2分)正五边形的外角和为( ) A.180 B.360 C.540 D.720 答案答案 B 多边形的外角和是360.故选B. 3.(2020吉林,6,2分)如图,四边形ABCD内接于O.若B=108,则D的大小为( ) A.54 B.62 C.72 D.82 答案答案 C 根据圆内接四边形的性质得B+D=180, B=108,D=180-108=72,故选C. 4.(2019四川成都,9,3分)如图,正五边形ABCDE内接于O,P为上的一点(点P不与点D重合),则CPD 的度数为( ) A.30 B.36 C.60 D.72 DE 答案答案 B 连接CO,DO,五边形ABCDE为正五边形,C
12、OD=360=72, CPD=COD=36,故选B. 1 5 1 2 5.(2020陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则BDM的度数是 . 答案答案 144 解析解析 在正五边形ABCDE中, C=108,BC=CD, CDB=36, BDM=180-CDB=180-36=144. 180?- 2 C 考点二 平行四边形 1.(2018内蒙古呼和浩特,8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从ABCD;BC= AD;A=C;B=D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结 论的情况共有( ) A.5种 B
13、.4种 C.3种 D.1种 答案答案 C 能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有、,共三种.故选 C. 2.(2020山东潍坊,7,3分)如图,点E是ABCD的边AD上的一点,且=,连接BE并延长交CD的延长线于 点F.若DE=3,DF=4,则ABCD的周长为( ) A.21 B.28 C.34 D.42 DE AE 1 2 答案答案 C =,DE=3,AE=6,AD=AE+DE=6+3=9.四边形ABCD是平行四边形,ABCF, =,AB=8,ABCD的周长=2(AD+AB)=2(9+8)=34. DE AE 1 2 DE AE DF AB 3.(2020浙江温州,5,4分)
14、如图,在ABC中,A=40,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作BCDE,则 E的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 答案答案 D AB=AC,ABC=ACB, A=40,A+ABC+ACB=180, ACB=(180-40)2=70. 四边形BCDE是平行四边形, E=ACB=70.故选D. 思路分析思路分析 利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出ACB的度数,再利用平行四边形对角 相等可求出E的度数. 4.(2020广东广州,14,3分)如图,点A的坐标为(1,3),点B在x轴上,把OAB沿x轴向右平移到ECD,若四边 形ABDC的面积为9,则点C的坐标为
15、 . 答案答案 (4,3) 解析解析 CED由AOB向右平移所得,点A的坐标为(1,3), 点C的纵坐标为3. 易知四边形ABDC为平行四边形,S四边形ABDC=3BD=9, BD=3,AC=BD=3. 点C的坐标为(4,3). 解题关键解题关键 能根据已知条件求出AC的长度是解题的关键. 5.(2016内蒙古呼和浩特,15,3分)已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原 点,一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为 . 答案答案 (-a-2,-b)或(-a+2,-b) 解析解析 因为ABx轴,A(a,b),且AB=2,所以B的坐标为(a
16、+2,b)或(a-2,b),因为ABCD是中心对称图形,其对 称中心与原点重合,所以点B与点D关于原点对称,所以点D的坐标为(-a-2,-b)或(-a+2,-b). 6.(2019云南,6,3分)在平行四边形ABCD中,A=30,AD=4,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于 . 3 答案答案 16或8 33 解析解析 当ABD为锐角时,过D点作DEAB于点E.如图1. 图1 在RtADE中,A=30,AD=4, DE=AD=4=2,AE=AD=4=6. 3 1 2 1 2 33 3 2 3 2 3 在RtBDE中,由勾股定理得BE=2, AB=AE+BE=6+2=8,SABCD=AB D
17、E=82=16. 当ABD为钝角时,如图2,同理可得DE=2,AE=6,BE=2, 22 -BD DE 22 4 -(2 3) 33 3 图2 AB=AE-BE=6-2=4,SABCD=AB DE=42=8. 综上所述,平行四边形ABCD的面积为16或8. 33 33 解后反思解后反思 本题的难点在于平行四边形形状的不确定性.根据平行四边形的面积公式,需要知道平行四 边形的一边长及该边上的高,高线可能在平行四边形的内部,也可能在外部,进而画出图形,其他问题便迎 刃而解了. 7.(2019安徽,20,10分)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEADF; (2)设AB
18、CD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值. S T 解析解析 (1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M, ADBC,FAD=M, 又AFBE,M=EBC,FAD=EBC. 同理得FDA=ECB. 在BCE和ADF中,EBC=FAD,BC=AD,ECB=FDA, BCEADF.(5分) (2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知BCEADF,AF=BE,又AFBE, 四边形ABEF为平行四边形,SAEF=SAEB. 同理得SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC, 又T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T.=2.(10分)
19、 S T 图1 解法二:BCEADF,T=SAED+SBCE. 如图2,过点E作HGBC交BC于G,交AD于H,则EGBC,EHAD.于是,T=SAED+SBCE=BC (EG+EH)= 1 2 1 2 BC GH=S,即=2.(10分) 图2 1 2 S T 思路分析思路分析 (1)延长FA与CB的延长线交于点M,根据平行四边形ABCD的性质可以证明EBC=FAD, ECB=FDA,从而证明BCEADF(ASA);(2)解法一:连接EF,易证四边形ABEF、CDFE都是平行 四边形,从而得T=S四边形AEDF=SAEF+SDEF=SAEB+SDEC,再证得T=SAED+SBCE,即可得出结果
20、.解法二:利用BCE ADF可证T=SAED+SBCE,然后过E点作HG垂直BC,由三角形的面积公式及AD=BC得出结果. 方法总结方法总结 求不规则四边形的面积,常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟 悉、易求的图形面积. C组 教师专用题组 考点一 多边形 1.(2019贵州贵阳,6,3分)如图,正六边形ABCDEF内接于O,连接BD,则CBD的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案答案 A 在正六边形ABCDEF中,BCD=120,BC=CD,CBD=(180-120)=30, 故选A. 1 2 思路分析思路分析 根据正六边形的内角和求得BCD的度
21、数,然后根据等腰三角形的性质即可得到结果. 2.(2018山东济宁,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,A+B+E=300,DP、CP分别平分EDC、 BCD,则P的度数是( ) A.50 B.55 C.60 D.65 答案答案 C 在五边形ABCDE中,A+B+BCD+CDE+E=(5-2)180=540,又因为A+B+E= 300,所以BCD+CDE=240.因为DP、CP分别平分EDC、BCD,所以PCD=BCD,PDC= CDE,所以PCD+PDC=(BCD+CDE)=240=120.在PCD中,PCD+PDC+P=180, 所以P=180-(PCD+PDC)=180-120=60.
22、故选C. 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 根据五边形内角和求出BCD与CDE的和,再根据角平分线及三角形内角和定理求出 P. 3.(2018江苏宿迁,12,3分)若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是 . 答案答案 8 解析解析 设多边形的边数为n,根据题意, 得(n-2) 180=3360,解得n=8. 则这个多边形的边数是8. 4.(2020福建,15,4分)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则ABC等于 度. 答案答案 30 解析解析 六边形花环由六个全等的直角三角形构成,故为正六边形,所以每个内角为 =120. 所以ABC=120
23、-90=30. 5.(2017吉林,13,3分)如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,以AB长为半径画,.若AB=1,则 阴影部分图形的周长和为 (结果保留). BE CE 答案答案 +1 6 5 解析解析 正五边形的每个内角都为108,故可得阴影部分图形的周长和为2+1=+1. 108 1 180 6 5 6.(2020江苏南京,14,2分)如图,在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则PEF的面积为 cm2. 答案答案 2 3 解析解析 连接BF,BE,过点A作ATBF于T, 六边形ABCDEF是正六边形, CBEF,AB=AF,BAF=120, SPEF=S
24、BEF. ATBF,AB=AF, BT=FT,BAT=FAT=60, BT=FT=AB sin 60=(cm), BF=2BT=2(cm), 3 3 AFE=120,AFB=ABF=30, BFE=90, SPEF=SBEF=EF BF=22=2(cm2). 1 2 1 2 33 解后反思解后反思 本题考查正多边形中三角形面积的求解,解题的方法是运用正六边形对边平行的性质、等 积法,把要求的三角形面积转化为直角三角形面积,再根据锐角三角函数求得边长即可. 7.(2020浙江温州,24,14分)如图,在四边形ABCD中,A=C=90,DE,BF分别平分ADC,ABC,并交线 段AB,CD于点E,
25、F(点E,B不重合).在线段BF上取点M,N(点M在BN上),使BM=2FN.当点P从点D匀速运动到 点E时,点Q恰好从点M匀速运动到点N.记QN=x,PD=y,已知y=-x+12,当Q为BF的中点时,y=. (1)判断DE与BF的位置关系,并说明理由; (2)求DE,BF的长; (3)若AD=6. 当DP=DF时,通过计算比较BE与BQ的大小关系; 连接PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时,求所有满足条件的x的值. 6 5 24 5 解析解析 (1)DEBF,理由如下(如图1): 图1 A=C=90, ADC+ABC=360-(A+C)=180. DE,BF分别平分ADC,AB
26、C, ADE=ADC,ABF=ABC, 1 2 1 2 ADE+ABF=180=90. ADE+AED=90, AED=ABF,DEBF. (2)在y=-x+12中,令x=0,得y=12,DE=12.令y=0,得x=10,MN=10. 把y=代入y=-x+12,得x=6,即NQ=6, QM=10-6=4. Q是BF的中点,FQ=QB. BM=2FN,FN+6=4+2FN,得FN=2,BM=4, BF=FN+MN+MB=16. (3)如图2,连接EM并延长交BC于点H, 1 2 6 5 24 5 6 5 图2 FM=2+10=12=DE,DEBF, 四边形DFME是平行四边形, DF=EM. A
27、D=6,DE=12,A=90, DEA=30=FBE=FBC. ADE=60=CDE=FME, MEB=FBE=30,EHB=90, DF=EM=BM=4,MH=2,HB=2, BE=4. 当DP=DF时,-x+12=4,解得x=. BQ=14-x=14-=. 4,BQBE. (i)当PQ经过点D时(如图3),y=0, x=10. 3 22 6(2 3)3 6 5 20 3 20 3 22 3 22 3 3 图3 (ii)当PQ经过点C时(如图4), 图4 FQDP,CFQCDP, =, =,解得x=. (iii)当PQ经过点A时(如图5), FQ DP CF CD 2 6 -12 5 x x
28、 8 12 10 3 图5 PEBQ,APEAQB, =. AE=6,AB=10, =,解得x=. PE QB AE AB 22 12 -633 6 12- -12 5 14- x x 6 3 10 3 14 3 由图可知,PQ不可能过点B. 综上所述,当x=10或或时,PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点. 10 3 14 3 思路分析思路分析 (1)利用四边形的内角和为360,可得ADC+ABC=180,再利用角平分线的定义证明 ADE+ABF=90,由ADE+AED=90可以推出AED=ABF,然后根据“同位角相等,两直线平行” 证得结论. (2)利用函数解析式求出当x=0时y的值
29、及y=0时x的值,即可得到DE和MN的长,结合已知得QM的长,利用 FQ=QB及BM=2FN列出含FN的等式,就可以求出FN,BM的长,最后得出BF的长. (3)连接EM并延长交BC于点H,先证得四边形DFME是平行四边形,易得DF=EM,再求出MH,HB的长,利 用勾股定理求出BE的长,根据DP=DF求出x的值,即可得到BQ的长,然后比较BQ与BE的大小. (i)当PQ经过点D时,y=0,则x=10; (ii)当PQ经过点C时,由FQDP得出CFQCDP,则=,即可求得x=; (iii)当PQ经过点A时,由PEBQ得出APEAQB,则=,根据勾股定理得AE=6,则AB=10, 利用比例关系解
30、得x=. FQ DP CF CD 10 3 PE QB AE AB 33 14 3 疑难突破疑难突破 解决几何中的分类讨论类问题的关键在于找到解决每一类的通法,本题涉及相似三角形,要 寻找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻找方法.通 过分类讨论,使问题化繁为简,更易于解决.用分类讨论思想解决问题的一般步骤:(1)明确需要研究和讨 论的对象;(2)正确选择分类的标准,进行合理分类;(3)逐类讨论解决. 考点二 平行四边形 1.(2020海南,11,3分)如图,在ABCD中,AB=10,AD=15,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于 点F,BG
31、AE于点G,若BG=8,则CEF的周长为( ) A.16 B.17 C.24 D.25 答案答案 A AE平分BAD,DAE=BAE, 又ADBC,BEA=DAE,BEA=BAE,AB=BE=10, BGAE,AE=2AG. 在RtABG中,AGB=90,AB=10,BG=8,AG=6,AE=2AG=12,ABE的周长为10+10 +12=32. BE=10,BC=AD=15,CE=BC-BE=15-10=5,BECE=105=21.ABFC,ABEFCE, ABE的周长CEF的周长=BECE=21, CEF的周长=16,故选A. 22 -AB BG 思路分析思路分析 首先依据AE平分BAD,
32、ADBC,可得ABE是等腰三角形,然后根据等腰三角形“三线合 一”的性质得出AE=2AG,利用勾股定理求得AG的长,即可求得AE的长;最后利用ABEFCE,根据 周长比等于相似比即可得到答案. 2.(2020湖北武汉,14,3分)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是 ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,D=102,则BAC的大小是 . 答案答案 26 解析解析 D=102,四边形ABCD是平行四边形,DAB =180-D=78,AD=BC,DAC=ACB,AD =BE,BC=BE,CEB=ACB,AE=BE,EAB=EBA,EAB=DAC,EAB=D
33、AB=26. 1 2 1 3 解题关键解题关键 根据四边形ABCD是平行四边形及AD =BE判断CEB是等腰三角形是解答本题的关键. 3.(2017内蒙古呼和浩特,15,3分)如图,在ABCD中,B=30,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC 的垂线分别交边AD,BC于点E,F,点M是边AB的一个三等分点.则AOE与BMF的面积比为 . 解析解析 如图,过点M作MPBC于点P,过点A作AQBC于点Q, 在平行四边形ABCD中,O是两条对角线的交点, AOECOF. B=30,AB=AC, ACB=B=30. ACEF, 在RtOFC中,设OF=x,则OC=x,FC=2x. SAOE=
34、SOFC=OF OC=x2. 3 1 2 3 2 答案答案 34 AB=AC=2OC=2x, 在RtABQ中,BQ=3x,BC=6x. BF=4x. 点M是边AB的一个三等分点, MB=x. 在RtBMP中,MP=MB=x, SBMF=BF MP=x2. SAOESBMF=34. 3 2 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 4.(2020重庆A卷,21,10分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AEBD, CFBD,垂足分别为E,F.AC平分DAE. (1)若AOE=50,求ACB的度数; (2)求证:AE=CF. 解析解析 (1)AEBD,AE
35、O=90, AOE=50, EAO=40. 又AC平分DAE, OAD=EAO=40. 四边形ABCD是平行四边形, ADBC. ACB=OAD=40.(5分) (2)证明:四边形ABCD是平行四边形, AO=CO. AEBD,CFBD,AEO=CFO=90. 在AEO和CFO中, , , , AEOCFO EOAFOC AOCO AEOCFO. AE=CF.(10分) 5.(2019贵州贵阳,18,10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD. (1)求证:四边形BCED是平行四边形; (2)若DA=DB=2,cos A=,求点B到点E的距离. 1 4 解
36、析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC, 又点E在AD的延长线上,且DE=AD, DEBC,DE=BC, 四边形BCED是平行四边形. (2)DA=DB=2,且四边形ABCD是平行四边形, DA=DB=BC=2, 由(1)知四边形BCED是平行四边形, 四边形BCED是菱形. 连接BE,易知BEDC,BEAB, 在RtABE中,AE=2DA=4,cos A=, AB=AEcos A=4=1, BE=. 1 4 1 4 22 4 -115 6.(2017湖北咸宁,18,9分)如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC. (1)求证:AB
37、CDFE; (2)连接AF、BD,求证:四边形ABDF是平行四边形. 证明证明 (1)BE=FC, BC=FE, 在ABC和DFE中, ABCDFE(SSS). (2)由(1)知ABCDFE, ABC=DFE, ABDF, AB=DF, 四边形ABDF是平行四边形. , , , ABDF ACDE BCFE 思路分析思路分析 (1)利用“SSS”证明ABCDFE即可; (2)由全等三角形的性质得出ABC=DFE,证出ABDF,即可得出结论. 7.(2016山东德州,23,10分)我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中 点四边形. (1)如图1,四边形ABCD中,点E
38、,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边 形; (2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,APB=CPD.点E,F,G,H分别为边AB,BC, CD,DA的中点.猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想; (3)若改变(2)中的条件,使APB=CPD=90,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证 明) 解析解析 (1)证明:如图,连接BD. 点E,H分别为边AB,AD的中点, EHBD,EH=BD. 点F,G分别为边BC,CD的中点, FGBD,FG=BD. EHFG,EH=FG. 中点四边形EFG
39、H是平行四边形.(3分) 1 2 1 2 (2)中点四边形EFGH是菱形. 证明:如图,连接AC,BD. APB=CPD,APB+APD=CPD+APD, 即BPD=APC,又PB=PA,PD=PC, BPDAPC.BD=AC.(6分) 点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点, EF=AC,FG=BD,EF=FG, 又由(1)知四边形EFGH是平行四边形, 中点四边形EFGH是菱形.(8分) (3)当APB=CPD=90时,中点四边形EFGH是正方形.(10分) 证明:如图,设AC与BD交于点O,AC与PD交于点M,AC与EH交于点N. APCBPD, ACP=BDP, 1 2 1 2 D
40、MO=CMP, COD=CPD=90, ACBD, EHBD,ACHG, EHG=90, 四边形EFGH是菱形, 四边形EFGH是正方形. 评析评析 本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、菱形的判定、正方形的判定等知识, 解题的关键是灵活应用三角形中位线定理,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型. 8.(2018重庆,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连 接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G. (1)若AH=3,HE=1,求ABE的面积; (2)若ACB=45,求证:DF=CG. 2
41、解析解析 (1)AH=3,HE=1,AB=AE, AB=AE=AH+HE=4. BGAE, AHB=90. AB2=AH2+BH2. BH=. SABE=AE BH=4=2.(4分) (2)证明:四边形ABCD为平行四边形, ADBC,AD=BC,FAO=ECO. 点O为AC的中点,AO=CO. 在AOF和COE中,FAO=ECO,AO=CO,AOF=COE, AOFCOE, AF=CE. 22 -AB AH 22 4 -37 1 2 1 2 77 DF=BE.(6分) 如图,过点A作AMBC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GNBC交BC于点N. AMB=AME=GNC=GNB=90. A
42、HB=AMB. AQH=BQM,QAH=GBN. AB=AE,AMBE, BAM=QAH,BM=ME. BAM=QAH=GBN. ACB=45,AMBE,CAM=ACB=45. BAG=45+BAM,BGA=45+GBN, BAG=BGA. AB=GB. AB=AE,AE=BG. 在AME和BNG中, AME=BNG,EAM=GBN,AE=BG, AMEBNG. ME=NG. BE=2ME=2NG. 在RtGNC中,GCN=45,CG=NG. CG=2NG,即BE=2NG=CG. 2 22 DF=BE=CG.(10分) 2 思路分析思路分析 (1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角形的面积
43、公式求得ABE的面积;(2)根据平行 四边形的性质和全等三角形可得BE=DF.过点A作AMBC,过点G作GNBC,根据等腰三角形的性质 得BAM=QAH,BM=ME=BE,通过BAM=GBN,可得BAG=BGA,进而可得AB=AE=BG,利用 AMEBNG,得出NG=ME=BE,最后利用CG=NG得出DF=BE=CG. 1 2 1 2 22 方法指导方法指导 对于以特殊四边形为背景的全等三角形的判定,一般都是通过特殊四边形的性质找出证全 等所需要的边或角的相等关系,从而进行证明. A组 20182020年模拟基础题组 时间:40分钟 分值:35分 一、选择题（每小题3分，共9分） 1.(201
44、9湖南长沙周南集团联考,6)如果一个多边形的内角和是其外角和的3倍,那么这个多边形是( ) A.四边形 B.六边形 C.八边形 D.十边形 答案答案 C 设这个多边形是n边形, 根据题意得,(n-2) 180=3360, 解得n=8,即这个多边形是八边形.故选C. 思路分析思路分析 根据n边形的内角和为(n-2) 180与外角和列出方程,然后求解即可. 解题关键解题关键 本题考查了多边形的内角和公式与外角和,熟知任何多边形的外角和都是360是解决本题 的关键. 2.(2019湖南师大附中模考,11)如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24,再沿直线前进10米, 又左转24,照这样走
45、下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是( ) A.140米 B.150米 C.160米 D.240米 答案答案 B 多边形的外角和为360,小华从出发到第一次回到出发地A点所走的路线为一个正多边形, 每一个外角都为24, 正多边形的边数为36024=15, 小华一共走了1510=150米. 故选B. 3.(2019湖南邵阳黄亭模拟,9)如图,在平行四边形ABCD中,BDC=30,DC=4,AEBD于E,CFBD于F, 且E、F恰好是BD的三等分点,AE、CF的延长线分别交DC,AB于N、M点,则四边形MENF的面积是( ) A. B. C.2 D.2 2323 答案答案 B 四边形AB
46、CD是平行四边形, AB=DC=4, E、F恰好是BD的三等分点, DE=EF=BF, AEBD于E,CFBD于F, ANCM, 易得AM=BM=AB=2, 又BDC=30,ABCD,ABD=30, 在RtBFM中,MF=BM=1,BF=, 同理,在RtDEN中,EN=1, EN=MF, MFEN, 四边形MENF是平行四边形, 1 2 1 2 3 E、F恰好是BD的三等分点, EF=BF=, 四边形MENF的面积为1=. 故选B. 3 33 二、填空题（共3分） 4.(2020湖南长沙教科院模拟,14)如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4, 则ABCD
47、的周长为 . 答案答案 16 解析解析 四边形ABCD是平行四边形,AO=OC, 又AE=EB,OE=BC. AE+EO=4,2AE+2EO=8, AB+BC=8, ABCD的周长=28=16. 1 2 解题关键解题关键 本题考查平行四边形的性质和三角形的中位线定理等知识.解题的关键是熟练掌握三角形 的中位线定理,属于中考常考题型. 三、解答题（共23分） 5.(2018湖南岳阳一模,18)如图,四边形ABCD为平行四边形,F是CD的中点,连接AF并延长,与BC的延长线 交于点E.求证:BC=CE. 证明证明 四边形ABCD是平行四边形, AD=BC,ADBC, DAF=E,ADF=ECF, 又F是CD的中点,DF=CF, ADFECF, AD=CE, BC=CE. 6.(2020湖南长沙麓山国际实验学校一模,24)如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过 点A作AFBC,交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证:AEFDEB; (2)若BAC=90,试判断四边形ADCF的形状,并证明
