1、 中考数学 2.2 一元二次方程 考点一 一元二次方程及其解法 1.(2019甘肃兰州,5,4分)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=( ) A.-2 B.-3 C.4 D.-6 答案答案 A 将x=1代入方程可得1+a+2b=0,即a+2b=-1,2a+4b=2(a+2b)=-2,故选A. 2.(2019山西,8,3分)一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为( ) A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5 答案答案 D x2-4x-1=0,(x2-4x+4)-4-1=0,(x-2)2=5,故选D. 3.(202
2、0江西,8,3分)若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为 . 答案答案 x=-2 解析解析 将x=1代入方程可得k=-1,一元二次方程为x2+x-2=0,解得x1=-2,x2=1,另一个根为x=-2. 4.(2020黑龙江齐齐哈尔,19,5分)解方程:x2-5x+6=0. 解析解析 x2-5x-6=0,(x-2)(x-3)=0. x1=2,x2=3. (公式法、配方法均可) 一题多解一题多解 a=1,b=-5,c=6, =b2-4ac=(-5)2-416=1. x=, x1=2,x2=3. 2 -4 2 bbac a 51 2 1 5.(201
3、9内蒙古呼和浩特,19,6分)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根. 解析解析 原方程可化为2x2-9x-34=0, x2-x-17=0,x2-x=17, x2-x+=17+, =, x-=, x1=,x2=. 9 2 9 2 9 2 2 9 - 4 2 9 - 4 2 9 - 4 x 353 16 9 4 353 4 9353 4 9- 353 4 考点二 根的判别式、根与系数之间的关系 1.(2020广西北部湾经济区,6,3分)一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 答案答案 B =
4、b2-4ac=(-2)2-411=0,因此该一元二次方程有两个相等的实数根,故选B. 2.(2019湖北黄冈,4,3分)若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1 x2的值为( ) A.-5 B.5 C.-4 D.4 答案答案 A 由根与系数的关系可得x1x2=-5,故选A. 3.(2019新疆,6,5分)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是( ) A.k B.k C.k且k1 D.k且k1 5 4 5 4 5 4 5 4 答案答案 D 关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根, 解得k且k1.故选D. 2 -10,
5、1 -4( -1) 10, k k 5 4 4.(2019内蒙古呼和浩特,8,3分)若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,则-4+17的值为( ) A.-2 B.6 C.-4 D.4 3 2 x 2 1 x 答案答案 A x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,x1+x2=-1,=-x1+3,=-x2+3.-4+17=x2(- x2+3)-4(-x1+3)+17=-+3x2+4x1-12+17=4(x1+x2)+2=-4+2=-2,故选A. 2 1 x 2 2 x 3 2 x 2 1 x 2 2 x 5.(2020四川成都,22,4分)关于x的一元二次方程2x2
6、-4x+m-=0有实数根,则实数m的取值范围是 . 3 2 答案答案 m 7 2 解析解析 关于x的一元二次方程2x2-4x+m-=0有实数根,且a=2,b=-4,c=m-, =b2-4ac=(-4)2-42=16-8m+12=28-8m0,m. 3 2 3 2 3 - 2 m 7 2 6.(2019江西,9,3分)设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x1+x2+x1x2= . 答案答案 0 解析解析 x2-x-1=0,x1+x2=-=1,x1x2=-1, x1+x2+x1x2=1+(-1)=0,故答案为0. -1 1 7.(2019四川成都,22,4分)已知x1,x2是关于x
7、的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且+-x1x2=13,则 k的值为 . 2 1 x 2 2 x 答案答案 -2 解析解析 x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,=b2-4ac=4-4(k-1)0,k2.由题意 知,x1+x2=-2,x1x2=k-1,+-x1x2=13,(x1+x2)2-3x1x2=13,(-2)2-3(k-1)=13,k=-2.-21,x2=1.95不合题意,舍去. 答:每个月生产成本的下降率为5%. (2)361(1-5%)=342.95(万元). 答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元. 1 20 39 20 考点
8、一 一元二次方程及其解法 教师专用题组 1.(2018贵州铜仁,3,4分)关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为( ) A.x1=-1,x2=3 B.x1=1,x2=-3 C.x1=1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3 答案答案 C 方程x2-4x+3=0可化为(x-1)(x-3)=0,这个一元二次方程的两个根分别为x1=1,x2=3.故选C. 2.(2018江苏扬州,12,3分)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2 015的值为 . 答案答案 2 018 解析解析 由题意可知2m2-3m-1=0, 2m2-3m=1, 原式=3(2m2-3m)+2 015=31
9、+2 015=2 018. 故答案为2 018. 3.(2020江苏南京,18,7分)解方程x2-2x-3=0. 解析解析 移项,得x2-2x=3, 配方,得x2-2x+(-1)2=3+(-1)2, (x-1)2=4, 由此可得x-1=2, x1=3,x2=-1. 4.(2019安徽,15,8分)解方程:(x-1)2=4. 解析解析 因为(x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2, 即x=3或x=-1. 所以原方程的解为x1=3,x2=-1.(8分) 5.(2018甘肃兰州,18,5分)解方程:3x2-2x-2=0. 解析解析 a=3,b=-2,c=-2, =b2-4ac=(-2)2-43
10、(-2)=280, 方程有两个不相等的实数根. x=, x1=,x2=. 2 -4 2 bbac a 228 2 3 17 3 1- 7 3 考点二 根的判别式、根与系数之间的关系 1.(2020新疆,5,5分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( ) A.x2-x+=0 B.x2+2x+4=0 C.x2-x+2=0 D.x2-2x=0 1 4 答案答案 D 一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式=b2-4ac0, A选项中,=(-1)2-41=1-1=0,方程有两个相等的实数根; B选项中,=22-414=-120,方程无实数根; C选项中,=(-1)2-412=-70,方程
11、有两个不相等的实数根,故选D. 1 4 2.(2020河南,7,3分)定义运算:mn=mn2-mn-1.例如:42=422-42-1=7.则方程1x=0的根的情况为 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 答案答案 A 由题意知,1x=x2-x-1=0,a=1,b=-1,c=-1,=b2-4ac=(-1)2-41(-1)=50, 方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根,故选A. 3.(2019广东,9,3分)已知x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,下列结论错误的是( ) A.x1x2 B.-2x1=0 C.x1+x2=2 D
12、.x1 x2=2 2 1 x 答案答案 D 因为x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,所以-2x1=0,x1+x2=2,x1x2=0,所以x1x2,故选 D. 2 1 x 4.(2019河南,6,3分)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 答案答案 A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0,=b2-4ac=200,所以此一元二次方程有两 个不相等的实数根,故选A. 5.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(
13、a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=- 1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 答案答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以原方 程的c值应该为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40,所以原方程不存在实数根,故选A. 6.(2019广东广州,10,3分)关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)
14、+2x1x 2=-3,则k的值为( ) A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2 答案答案 D x1,x2是一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0的两个实数根, x1+x2=k-1,x1x2=-k+2, (x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=(x1-x2)2-4+2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2-4=-3, (k-1)2-2(-k+2)-4=-3,即k2=4,解得k=2. 当k=-2时,方程为x2+3x+4=0,=32-414=9-160,此时方程有两个实数根,k=2,故选D. 7.(2018内蒙古包头,9,3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实
15、数根,m为正整数,且该方程的 根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案答案 B 关于x的方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,=b2-4ac=4-4(m-2)0,m3. m为正整数,m=1或2或3. 当m=1时,方程x2+2x-1=0的两根不是整数,不满足题意. 当m=2或3时,满足题意,2+3=5.故选B. 8.(2018湖北咸宁,6,3分)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2且x1x2,下列结论正确的是( ) A.x1+x2=1 B.x1 x2=-1 C.|x1|x2| D.+x1= 2 1 x 1 2 答案答案 D 由根
16、与系数的关系可得x1+x2=-=-1,x1 x2=-,故A、B错误;由x1+x20,x1 x20及x1x2,得x1 0,且|x1|x2|,故C错误;x1是一元二次方程2x2+2x-1=0的一个根,2+2x1-1=0,+x1=,故D正确. 2 2 1 2 2 1 x 2 1 x 1 2 9.(2020吉林,9,3分)一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为 . 答案答案 13 解析解析 a=1,b=3,c=-1,=b2-4ac=32-41(-1)=13. 10.(2020云南,5,3分)若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为 . 答案答案 1 解析解析
17、因为关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,所以=b2-4ac=4-4c=0,所以c=1. 11.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根. 解析解析 (1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+40. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, (x+1)2=0, x1=x2=-1. 考点三 一元二次方程的应用 1.(
18、2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2- 12x+m+2=0的两根,则m的值是( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36 答案答案 A 由根与系数的关系可得当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.这两种情况都不能构成三角形, a=b=6,m=34,故选A. 12, 2, ab abm 易错警示易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形. 2.(2018江苏盐城,23,10分)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增 加盈利,该店采
19、取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低 1元,平均每天可多售出2件. (1)若降价3元,则平均每天销售数量为 件; (2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元? 解析解析 (1)26. (2)设每件商品降价x元,则每件盈利(40-x)元,平均每天销售数量为(20+2x)件, 由题意得(40-x)(20+2x)=1 200, 解得x1=10,x2=20, 当x=10时,40-x=40-10=3025, 当x=20时,40-x=40-20=200),并全部用于道路硬化和道 路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上
20、分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道 路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值. 解析解析 (1)设今年1至5月道路硬化的里程数为x千米, 根据题意,得x4(50-x).(2分) 解得x40. 答:今年1至5月道路硬化的里程数至少为40千米.(4分) (2)因为2017年道路硬化与道路拓宽的里程数共45千米,它们的里程数之比为21,所以,道路硬化的里程 数为30千米,道路拓宽的里程数为15千米. 设2017年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元. 由题意,得30y+152y=780, 解得y=13. 所以,2017年每千米道路硬化的经
21、费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元.(5分) 根据题意,得 13(1+a%)40(1+5a%)+26(1+5a%)10(1+8a%)=780(1+10a%).(8分) 令a%=t,原方程可化为 520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t). 整理得10t2-t=0. 解得t1=0,t2=0.1. a%=0(舍去)或a%=0.1. a=10. 答:a的值是10.(10分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:45分钟 分值:50分 一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2020甘肃兰州一诊,7)用配方法解方程x2+2x-3=0
22、,下列配方结果正确的是( ) A.(x-1)2=2 B.(x-1)2=4 C.(x+1)2=2 D.(x+1)2=4 答案答案 D x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=1+3,(x+1)2=4,故选D. 2.(2020上海青浦二模,4)下列方程中,没有实数根的是( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0 答案答案 D A.=(-2)2-410=40,方程有两个不相等的实数根,所以A选项不符合题意; B.=(-2)2-41(-1)=80,方程有两个不相等的实数根,所以B选项不符合题意; C.=(-2)2-411=0,方程有两
23、个相等的实数根,所以C选项不符合题意; D.=(-2)2-412=-40,方程没有实数根,所以D选项符合题意.故选D. 3.(2019新疆乌鲁木齐高新区一模,6)已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0有两个相等的实根,则k的值为 ( ) A.2 B. C.2或3 D.或 6623 答案答案 A 方程有两个相等的实数根,=(-k)2-423=k2-24=0,解得k=2,故选A. 6 4.(2020湖北荆州松滋一模,5)某公司今年4月的营业额为2 800万元,按计划第二季度的总营业额达到9 80 0万元,设该公司5月、6月的营业额的月平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是( )
24、A.2 800(1+x)2=9 800 B.2 800(1+x%)2=9 800 C.2 800(1+x)+2 800(1+x)2=9 800 D.2 800+2 800(1+x)+2 800(1+x)2=9 800 答案答案 D 该公司5月、6月的营业额的月平均增长率为x,依题意,得2 800+2 800(1+x)+2 800(1+x)2=9 80 0.故选D. 二、填空题二、填空题(每小题3分,共6分) 5.(2020吉林长春一模,11)关于x的方程2x2-3x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为 . 答案答案 - 9 8 解析解析 关于x的方程2x2-3x-k=0有两个相等的实数根,=
25、(-3)2-42(-k)=0,即9+8k=0,k=-. 9 8 6.(2020山西晋中平遥一模,11)方程(x-2)=0的解为 . 1 2 x 答案答案 x=2或x=-0.5 解析解析 (x-2)=0,x-2=0或x+=0, 解得x=2或x=-0.5. 1 2 x 1 2 三、解答题三、解答题(共32分) 7.(2019云南曲靖一模,18)解方程: (1)x2-4x+3=0(用配方法求解); (2)(2x-3)2-2x+3=0. 解析解析 (1)x2-4x+3=0,x2-4x=-3,x2-4x+4=-3+4,即(x-2)2=1,开方,得x-2=1,x1=3,x2=1. (2)(2x-3)2-2
26、x+3=0,(2x-3)(2x-3-1)=0,2x-3=0或2x-4=0,x1=,x2=2. 3 2 8.(2019四川成都龙泉驿二诊,16)解方程: (1)3x2-8x+4=0; (2)(2x-1)2=(x-3)2. 解析解析 (1)3x2-8x+4=0即(3x-2)(x-2)=0, 3x-2=0或x-2=0,x1=,x2=2. (2)(2x-1)2=(x-3)2,(2x-1)2-(x-3)2=0,(2x-1+x-3)(2x-1-x+3)=0,3x-4=0或x+2=0,x1=,x2=-2. 2 3 4 3 9.(2020湖北荆州4月模拟,18)若实数m,n满足|m-2|+=0,请用配方法解关
27、于x的一元二次方程x2+mx +n=0. -1mn 解析解析 |m-2|+=0, 解得 故x2+mx+n=0为x2+2x-1=0,则x2+2x=1, 配方得x2+2x+1=1+1,即(x+1)2=2,故x+1=, 解得x1=-1+,x2=-1-. -1mn -20, -10, m mn 2, -1, m n 2 22 10.(2020辽宁大连金州一模,21)向阳村2017年的人均收入为30 000元,2019年的人均收入为36 300元. (1)求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率; (2)假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2020年该村的人均
28、收入 是多少元. 解析解析 (1)设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x,依题意,得30 000(1+x)2=36 300, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去). 答:2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%. (2)36 300(1+10%)=39 930(元). 答:预测2020年该村的人均收入是39 930元. 11.(2018湖北襄阳枣阳模拟,22)已知某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商 场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,则平均每天可多售出2件.设每件商品降价 x元.据此规律
29、,请回答: (1)该商品的日销售量增加 件,每件商品盈利 元(用含x的代数式表示); (2)在上述条件不变、销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,销售该商品的日盈利可达到2 100元? 解析解析 (1)由“每件商品每降价1元,则平均每天可多售出2件”知,每件商品降价x元,则日销售量增加2x 件,每件商品盈利(50-x)元,故答案为2x;(50-x). (2)由题意得(50-x)(30+2x)=2 100(0 x50), 化简得x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0, 解得x1=15,x2=20. 为了尽快减少该商品的库存, 日销售量应尽量高一些,x=20. 答:每件商品降价
30、20元时,销售该商品的日盈利可达到2 100元. B组 20182020年模拟提升题组 时间:45分钟 分值:50分 一、选择题一、选择题(每小题3分,共15分) 1.(2020江西南昌二模,5)已知矩形的长和宽是方程x2-7x+8=0的两个实数根,则矩形的对角线的长为 ( ) A.6 B.7 C. D. 4133 答案答案 D 设矩形的长和宽分别为m、n, 根据题意知m+n=7,mn=8, 则矩形对角线的长为=,故选D. 22 mn 2 () -2mnmn 2 7 -2 833 2.(2020四川巴中5月模拟,8)已知m,n是方程x2-2x-1=0的两根,且(7m2-14m+a)(3n2-5
31、n+m)=10,则a的值是 ( ) A.-5 B.5 C.-9 D.9 答案答案 A m,n是方程x2-2x-1=0的两根, m2-2m=1,n2-2n=1,m+n=2. (7m2-14m+a)(3n2-5n+m)=10, 即(7+a)(3+2)=10,a=-5.故选A. 3.(2020广东广州一模,9)已知,是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根,则2+2的值为( ) A.-1 B.9 C.23 D.27 答案答案 D ,是方程x2-5x-2=0的两个实数根, +=5,=-2, 2+2=(+)2-=52+2=27. 故选D. 4.(2019甘肃定西一诊,7)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是( ) A.k5 B.k5且k1 C.k5且k1 D.k且m1, 当m且m1时,方程有两个不同的实数根. 2 -10, (-1) -4(-2)( -1)0, m m 7 8 7 8
