1、 中考数学 （湖南专用） 2.2 一元二次方程及其应用 A组 20162020年湖南中考题组 考点一 一元二次方程及其解法 1.(2020湖南张家界,7,3分)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根,则该等腰三 角形的底边长为( ) A.2 B.4 C.8 D.2或4 答案答案 A x2-6x+8=0,(x-4)(x-2)=0,解得x=4或x=2. 当等腰三角形的三边的长为2,2,4时,不符合三角形的三边关系,此时不能组成三角形; 当等腰三角形的三边的长为2,4,4时,符合三角形的三边关系,此时能组成三角形, 所以该等腰三角形的底边长为2,故选A. 易错警示易错警示
2、解一元二次方程求出方程的解,得出三角形的边长后直接作答,未考虑能否组成三角形会造 成错选. 2.(2019湖南怀化,9,4分)一元二次方程x2+2x+1=0的解是( ) A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=-1,x2=2 答案答案 C x2+2x+1=0, (x+1)2=0, 则x+1=0, 解得x1=x2=-1, 故选C. 3.(2019湖南常德,18,5分)解方程:x2-3x-2=0. 解析解析 a=1,b=-3,c=-2, b2-4ac=(-3)2-41(-2)=9+8=17, x=, x1=,x2=. 2 -4 2 bbac a 317 2 3
3、17 2 3- 17 2 思路分析思路分析 公式法解方程的步骤:化方程为一般形式;找出a,b,c;求b2-4ac;代入公式x= . 2 -4 2 bbac a 考点二 一元二次方程根的判别式,根与系数的关系 1.(2020湖南怀化,8,4分)已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根,则( ) A.k=4 B.k=-4 C.k=4 D.k=2 答案答案 C 由题意,得=(-k)2-16=0,解得k=4.故选C. 2.(2019湖南郴州,5,3分)一元二次方程2x2+3x-5=0的根的情况为( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 答
4、案答案 B 在一元二次方程2x2+3x-5=0中, =32-42(-5)=490, 方程有两个不相等的实数根.故选B. 3.(2017湖南怀化,7,4分)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1 x2的值是( ) A.2 B.-2 C.4 D.-3 答案答案 D x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根, x1 x2=-3.故选D. 4.(2018湖南长沙,17,3分)已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为 . 答案答案 2 解析解析 设方程的另一个根为t, 关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1, 1+t=3,解得t=2. 故方程
5、的另一个根为2. 5.(2019湖南衡阳,21,8分)关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根. (1)求k的取值范围; (2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求 此时m的值. 解析解析 (1)由关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,得=9-4k0,解得k. (2)由(1)得k的最大整数值为2,所以方程x2-3x+k=0即为x2-3x+2=0,此方程的根为x1=1,x2=2. 由方程x2-3x+k=0与一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一个相同的根, 得(m-1)12+1+m-3=0或(m
6、-1)22+2+m-3=0, 即m=或m=1. 当m=1时,m-1=0,不合题意,故m=. 9 4 3 2 3 2 考点三 一元二次方程的应用 1.(2020湖南衡阳,11,3分)如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管 理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道 的宽为x米,则根据题意,列方程为( ) A.3520-35x-20 x+2x2=600 B.3520-35x-220 x=600 C.(35-2x)(20-x)=600 D.(35-x)(20-2x)=600 答案答案 C 如图,由题意得种植部分
7、的长为(35-2x)米,宽为(20-x)米, (35-2x)(20-x)=600.故选C. 思路分析思路分析 移动阴影部分,使种植区域为一个矩形,根据种植面积为600列出方程即可. 2.(2019湖南郴州,8,3分)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形 和两对全等的三角形,如图所示,已知A=90,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是( ) A. B.2 C. D.4 23 答案答案 B 设正方形ADOF的边长为x,则AB=4+x,AC=6+x, 由题意得BE=BD=4,CE=CF=6, BC=BE+CE=BD+CF=10. 在RtABC中,AC2+AB
8、2=BC2, 即(6+x)2+(x+4)2=102, 整理得,x2+10 x-24=0, 解得x=2或x=-12(舍去), 即正方形ADOF的边长是2.故选B. 3.(2019湖南张家界,13,3分)田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题: “直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步, 只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?根据题意得,长比宽多 步. 答案答案 12 解析解析 设长为x步,则宽为(60-x)步, 由题意得x(60-x)=864, 解得x1=36,x2=24(舍去), 当x=36时,60-x=
9、24, 长比宽多36-24=12(步), 故答案为12. 4.(2020湖南湘西,23,10分)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20 000,1月底因突然爆发新冠肺 炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24 200个. (1)求口罩日产量的月平均增长率; (2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少. 解析解析 (1)设口罩日产量的月平均增长率为x, 依据题意可得20 000(1+x)2=24 200, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去), x=10%, 答:口罩日产量的月平均增长率为10%. (2)
10、依据题意可得, 24 200(1+10%)=24 2001.1=26 620(个), 答:按照这个增长率,预计4月份平均日产量为26 620个. 思路分析思路分析 (1)设口罩日产量的月平均增长率为x,根据1月及3月的平均日产量,即可列出方程求解; (2)利用4月份平均日产量=3月份平均日产量(1+月平均增长率)即可得出答案. B组 20162020年全国中考题组 考点一 一元二次方程及其解法 1.(2020辽宁营口,8,3分)一元二次方程x2-5x+6=0的解为( ) A.x1=2,x2=-3 B.x1=-2,x2=3 C.x1=-2,x2=-3 D.x1=2,x2=3 答案答案 D 将方程
11、x2-5x+6=0配方得-+6=0,整理得=,所以x=,解得x1=2,x2=3.故选D. 2 5 - 2 x 25 4 2 5 - 2 x 1 4 5 2 1 2 一题多解一题多解 本题也可以使用十字相乘法.原方程可化为(x-2)(x-3)=0,所以x1=2,x2=3. 2.(2019吉林,10,3分)若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为 (写出一个即可). 答案答案 0(任意一个非负数皆可) 解析解析 因为一个数的平方为非负数,所以只要c0,一元二次方程就有实数根,答案不唯一,例如c=0. 3.(2018江苏扬州,12,3分)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,
12、则6m2-9m+2 015的值为 . 答案答案 2 018 解析解析 由题意可知2m2-3m-1=0,2m2-3m=1, 原式=3(2m2-3m)+2 015=2 018. 故答案为2 018. 4.(2019安徽,15,8分)解方程:(x-1)2=4. 解析解析 (x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1.所以原方程的解为x1=3,x2=-1. 5.(2020江苏南京,18,7分)解方程x2-2x-3=0. 解析解析 移项,得x2-2x=3, 配方,得x2-2x+(-1)2=3+(-1)2, (x-1)2=4, 由此可得x-1=2, x1=3,x2=-1. 考点二 一
13、元二次方程根的判别式,根与系数的关系 1.(2020广西北部湾经济区,6,3分)一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 答案答案 B =b2-4ac=(-2)2-411=0,因此该一元二次方程有两个相等的实数根,故选B. 2.(2019湖北黄冈,4,3分)若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1 x2的值为( ) A.-5 B.5 C.-4 D.4 答案答案 A 由根与系数的关系可得x1x2=-5,故选A. 3.(2017内蒙古呼和浩特,5,3分)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+
14、a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的 值为( ) A.2 B.0 C.1 D.2或0 答案答案 B 由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-(a2-2a),又互为相反数的两数之和为0,-(a2-2a)=0, 解得a=0或2.当a=2时,原方程为x2+1=0,无解;当a=0时,原方程为x2-1=0,符合题意,故a=0. 易错警示易错警示 本题易忽视当a=2时,原方程无解这一情况,从而导致错误. 4.(2020四川成都,22,4分)关于x的一元二次方程2x2-4x+m-=0有实数根,则实数m的取值范围是 . 3 2 答案答案 m 7 2 解析解析 关于x的一元二次方程2x2-4x+m-=0
15、有实数根,且a=2,b=-4,c=m-,=b2-4ac=(-4)2-42 =16-8m+12=28-8m0,m. 3 2 3 2 3 - 2 m 7 2 5.(2019四川成都,22,4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且+-x1x2=13,则 k的值为 . 2 1 x 2 2 x 答案答案 -2 解析解析 x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,=b2-4ac=4-4(k-1)0,k2.由题意 知,x1+x2=-2,x1x2=k-1,+-x1x2=13, (x1+x2)2-3x1x2=13, (-2)2-3(k-1)=13
16、,k=-2. -22,k的值为-2. 2 1 x 2 2 x 易错警示易错警示 运用根与系数的关系求一元二次方程中参数的值,需要用根的判别式进行验证,否则会错解 失分. 考点三 一元二次方程的应用 1.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每 间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元 的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有( ) A.(180+x-20)=10 890 B.(x-20)=10 890 C.x-5020=10 890
17、D.(x+180)-5020=10 890 50-10 x -180 50- 10 x -180 50- 10 x 50-10 x 答案答案 B 当房价定为x元时,空闲的房间有间,所以有游客居住的房间有间,则宾馆当天 的利润为(x-20)元,故B正确. -180 10 x-180 50- 10 x -180 50- 10 x 思路分析思路分析 先求出房价定为x元时有游客居住的房间数,而每间房的利润就是房价减去支出的20元,从而 得出宾馆当天的利润并列出等式. 2.(2020山西,14,3分)如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的 矩形,剩余部分(阴
18、影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm. 答案答案 2 解析解析 设正方形的边长为x cm,则长方体铁盒底面的宽为=(6-x)cm,底面的长为(10-2x)cm, (6-x)(10-2x)=24,化简得x2-11x+18=0,即(x-2)(x-9)=0,解得x1=2,x2=9, 由解得0x5, x=2.即剪去的正方形的边长为2 cm. 12-2 2 x 10-20, 6-0, 0 x x x 思路分析思路分析 先设正方形的边长为x cm,得到长方体铁盒底面的长和宽,再根据底面面积为24 cm2建立等 式关系,求出x,最后根据底面的长和宽不能取负数确定
19、x的范围,问题解决. 易错警示易错警示 本题易犯的错误是没有确定x的范围导致有两个答案. C组 教师专用题组 考点一 一元二次方程及其解法 (2019内蒙古呼和浩特,19,6分)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根. 解析解析 原方程可化为2x2-9x-34=0, x2-x-17=0, x2-x=17, x2-x+=17+, =, x-=,x1=,x2=. 9 2 9 2 9 2 2 9 - 4 2 9 - 4 2 9 - 4 x 353 16 9 4 353 4 9353 4 9- 353 4 考点二 一元二次方程根的判别式,根与系数的关系 1.(2020安徽,5,4分
20、)下列方程中,有两个相等实数根的是( ) A.x2+1=2x B.x2+1=0 C.x2-2x=3 D.x2-2x=0 答案答案 A 对于选项A,x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,解得x1=x2=1;对于选项B,方程无实数解;对于选项C,方程有两 个不等的实数根-1,3;对于选项D,方程有两个不等的实数根0,2,故选A. 2.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x= -1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1
21、 D.有两个相等的实数根 答案答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应 该为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40,x1x2=0,则x10,x20,故选D. 5 2 1 2 4.(2020云南,5,3分)若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为 . 答案答案 1 解析解析 因为关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,所以=b2-4ac=4-4c=0,所以c=1. 考点三 一元二次方程的应用 1.(2017浙江杭州,7,3分)某景点的参观人数逐年增
22、加,据统计,2014年为10.8万人次,2016年为16.8万人次, 设参观人次的年平均增长率为x,则( ) A.10.8(1+x)=16.8 B.16.8(1-x)=10.8 C.10.8(1+x)2=16.8 D.10.8(1+x)+(1+x)2=16.8 答案答案 C 根据“2014年的人次(1+年平均增长率)2=2016年的人次”列方程得10.8(1+x)2=16.8,故选C. 解题关键解题关键 确定等量关系是解决此类题目的关键. 2.(2019重庆A卷,24,10分)某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅,50平方米住宅套数是80平 方米住宅套数的2倍.物管公司每月底按每平
23、方米2元收取当月物管费,该小区全部住宅都入住且每户均 按时全额缴纳物管费. (1)该小区每月可收取物管费90 000元,问该小区共有多少套80平方米的住宅? (2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:“垃圾分类送礼物”,50平方米和80 平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提高大家的积极性,6月份准备把活动一升级为活动 二:“垃圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.经调查与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参 加活动二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数 的基础上将增加2a%,每户物管费将会减少a%;6月
24、份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动 的同户型户数的基础上将增加6a%,每户物管费将会减少a%.这样,参加活动的这部分住户6月份总共 缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%,求a的值. 3 10 1 4 5 18 解析解析 (1)设该小区共有x套80平方米的住宅,则有2x套50平方米的住宅,根据题意,得280 x+2502x=90 000, 解这个方程,得x=250. 答:该小区共有250套80平方米的住宅.(4分) (2)6月份参加活动的50平方米这部分住户将减少的物管费是 50040%(1+2a%)502a%=20 000(1+2a%)a%(元), 6月份参加活动的8
25、0平方米这部分住户将减少的物管费是 25020%(1+6a%)802a%=8 000(1+6a%)a%(元), 6月份参加活动的这部分住户将减少的物管费是 50040%(1+2a%)502+25020%(1+6a%)802a%(元), 即20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)a%(元). 3 10 3 10 1 4 1 4 5 18 5 18 根据题意,得20 000(1+2a%)a%+8 000(1+6a%)a%=20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)a%.(8 分) 设a%=m, 化简,得2m2-m=0. 解这个方程,得m1=,m2=0(舍).a=50. 答:a
26、的值是50.(10分) 3 10 1 4 5 18 1 2 解题关键解题关键 本题数据较多,分清楚题目中的数量关系,根据等量关系列出方程是解题的关键. A组 20182020年模拟基础题组 时间:40分钟 分值:50分 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.(2020湖南株洲荷塘一模,4)一元二次方程2x2-3x+1=0的二次项系数是2,则一次项系数是( ) A.1 B.-3 C.3 D.-1 答案答案 B 一元二次方程2x2-3x+1=0的一次项系数是-3.故选B. 方法总结方法总结 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a0),特别要注意a0的条件,这是在 做题
27、过程中容易忽视的知识点.在一般形式中,ax2是二次项,bx是一次项,c是常数项.其中a,b,c分别为二次 项系数,一次项系数,常数项. 2.(2018湖南衡阳三模,3)下列方程中,不是一元二次方程的是( ) A.(x-1)x=1 B.+=4 C.3x2-5=0 D.2y(y-1)=4 2 1 x 1 x 答案答案 B B中的方程是分式方程.故选B. 解题关键解题关键 本题考查一元二次方程的定义.判断一个方程是不是一元二次方程,首先要看它是不是整式 方程,然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是不是2. 3.(2019湖南郴州模拟,3)下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A.x
28、2-x+2=0 B.x2-3x+1=0 C.2x2-x-1=0 D.4x2-4x+1=0 答案答案 A A.=b2-4ac=1-8=-70, 方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根; C.=b2-4ac=1+8=90, 方程2x2-x-1=0有两个不相等的实数根; D.=b2-4ac=16-16=0, 方程4x2-4x+1=0有两个相等的实数根. 故选A. 思路分析思路分析 利用一元二次方程根的判别式=b2-4ac逐一分析四个选项中判别式的符号,由此即可得出结 论. 4.(2018湖南湘西一中一模,6)若关于x的一元二次方程(k-1)x2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根,则k的
29、 取值范围是( ) A.k- B.k-且k1 C.k0,且k-10,k的取值范围是k-且k1.故选B. 1 8 易错警示易错警示 一元二次方程判断根的情况时未考虑二次项系数不为0这一条件而错选A. 二、填空题（每小题3分，共18分） 5.(2020湖南常德一模,11)若关于x的方程x2+kx-k=0有两个相等的实数根,则k= . 答案答案 0或-4 解析解析 关于x的方程x2+kx-k=0有两个相等的实数根, =b2-4ac=k2-41(-k)=k2+4k=0, 解得k=0或-4. 思路分析思路分析 由关于x的方程x2+kx-k=0有两个相等的实数根,可得判别式=0,即可得方程k2+4k=0,
30、继而求 得答案. 方法总结方法总结 一元二次方程根的情况与判别式的关系:(1)0方程有两个不相等的实数根;(2)=0方 程有两个相等的实数根;(3)0方程没有实数根. 6.(2020湖南永州二模,15)方程-x2+5x+6=0的解为 . 答案答案 x1=6,x2=-1 解析解析 a=-1,b=5,c=6, =b2-4ac=25+24=49, x=, x1=6,x2=-1. 2 -4 2 bbac a -57 -2 一题多解一题多解 -x2+5x+6=0, (-x+6)(x+1)=0, x1=6,x2=-1. 7.(2019湖南株洲石峰一模,14)菱形的两条对角线的长是方程x2-7x+1=0的两
31、根,则菱形的面积是 . 答案答案 1 2 解析解析 设方程x2-7x+1=0的两个根为a,b, 则由根与系数的关系得ab=1, 菱形的两条对角线的长是方程x2-7x+1=0的两根, 菱形的面积=ab=, 故答案为. 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 利用根与系数的关系得出菱形的两条对角线长的积为1,再根据菱形面积公式计算即可. 解题关键解题关键 本题考查了一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积,求出菱形的两条对角线长的积是 解此题的关键. 8.(2020湖南长沙雅礼实验中学一模,16)已知x=2是关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x-2m2=0的一个根,则m 的值为 . 答案答案
32、0 解析解析 将x=2代入方程,得4(m-2)+8-2m2=0,整理得m2-2m=0,即m(m-2)=0, 解得m=0或2, 当m=2时,方程为4x-8=0,不合题意,舍去. 则m=0. 易错警示易错警示 在求解m的值时,易忽略二次项系数不为0这个条件. 9.(2020湖南长沙长郡滨江中学3月模拟,15)某地2017年为做好“精准扶贫”,投入资金1 280万元用于异 地安置,并规划投入资金逐年增加,计划在2019年投入资金2 880万元.设年平均增长率为x,根据题意可列 出的方程为 . 答案答案 1 280(1+x)2=2 880 解析解析 根据题意可得1 280(1+x)2=2 880. 思
33、路分析思路分析 由题意分析可知,2017年投入的资金(1+年平均增长率)2=2019年投入的资金,列出方程即可. 10.(2020湖南郴州桂阳5月模拟,14)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10 x+21=0的根, 则三角形的周长为 . 答案答案 16 解析解析 解方程x2-10 x+21=0, 得x1=3,x2=7, 3第三边的长0 C.x1 x20 D.x10,x20, 方程有两个不相等的实数根,即x1x2,A中结论正确; B.x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,x1+x2=a, a的值不确定,B中结论不一定正确; C.x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根, x1 x2=-20,C中结论错误; D.x1 x2=-225(符合题意), 40-20=2025(舍去). 答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元. 思路分析思路分析 (1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,列出代数式即可; (2)设每件商品降价x元,根据总利润=单件利润销售量列出方程即可解答.
