1、 中考数学 （江苏专用） 第五章 圆 5.1 圆的性质及圆的有关位置关系 考点1 圆的有关概念与性质 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2020南京,6,2分)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC 的顶点C,与BC相交于点D.若P的半径为5,点A的坐标是(0,8),则点D的坐标是( ) A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3) 答案答案 A 设P与x轴、y轴的切点分别是点F、E,连接PE、PF、PD,延长EP交CD于点G, 则PEOA,PFOB, 四边形AOBC是矩形, 四边形OBGE、ACGE、PEOF均是矩形
2、, PE=PF, 矩形PEOF是正方形, A(0,8),PE=PF=PD=OE=5, CG=3, PGBC, DG=3,CD=2CG=6, BD=CB-CD=AO-CD=2, 在RtPGD中,PGD=90,PD=5,GD=3, PG=4,OB=5+4=9, 故D(9,2). 思路分析思路分析 运用垂径定理求出GD的长度,再根据勾股定理求得PG的长度即可解决本题. 2.(2019镇江,15,3分)如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,=.若C=110,则ABC 的度数为( ) A.55 B.60 C.65 D.70 DC CB 答案答案 A 连接AC,四边形ABCD是半圆的内接四边
3、形,DAB=180-DCB=70. =, CAB=DAB=35, AB是直径,ACB=90, ABC=90-CAB=55,故选A. DC CB 1 2 3.(2017南京,6,2分)过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为( ) A. B.(4,3) C. D.(5,3) 17 4, 6 17 5, 6 答案答案 A 如图,过C作直线CEAB于E,设所求圆的圆心为D,半径为r,连接AD. A(2,2),B(6,2),圆心D在直线x=4上,D的横坐标为4. C(4,5),CE=3.CD=r,DE=3-r. 在RtDAE中,AE2+DE2=AD2,即22+(3-r)2=r2,
4、 r=,D的纵坐标为5-=,D.故选A. 13 6 13 6 17 6 17 4, 6 思路分析思路分析 本题求过三点的圆的圆心坐标,先根据圆的对称性确定圆心的横坐标,再根据勾股定理求出 半径,进而求出圆心的坐标. 4.(2018无锡,8,3分)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于 点E、点F,给出下列说法:(1)AC与BD的交点是圆O的圆心;(2)AF与DE的交点是圆O的圆心;(3)BC与圆O 相切,其中正确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案答案 C 如图,连接DG、AG、DE,作GHAD于H,如图, 易证DCGABG, A
5、G=DG, GH垂直平分AD, 点O在GH上, ADBC, GHBC, BC与圆O相切. OG=ODOH, 点O不是GH的中点, 圆心O不是AC与BD的交点. 由DAE=90,知DE为直径, AF与DE的交点是圆O的圆心. (1)错误,(2)(3)正确. 故选C. 思路分析思路分析 连接DG、AG、DE,作GHAD于H,先确定AG=DG,则GH垂直平分AD,则可判断点O在GH 上,再根据GHBC可判定BC与圆O相切.接着利用OG=ODOH可判断圆心O不是AC与BD的交点.由 DAE=90,知DE为直径,可判断AF与DE的交点是圆O的圆心. 5.(2020盐城,14,3分)如图,在O中,点A在上
6、,BOC=100,则BAC= . BC 答案答案 130 解析解析 如图,画出所对的圆周角BDC交O于点D, BDC=BOC=100=50, 四边形ABDC为O的内接四边形, BDC+BAC=180, BAC=180-BDC=180-50=130. BC 1 2 1 2 6.(2019宿迁,15,3分)直角三角形的两条直角边分别是5和12,则它的内切圆半径为 . 答案答案 2 解析解析 直角三角形的斜边长为=13,所以它的内切圆的半径为=2. 22 512 512-13 2 规律总结规律总结 三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角; 直角三角形的内切圆的
7、半径为(其中a、b为直角边,c为斜边). - 2 ab c 7.(2017扬州,15,3分)如图,已知O是ABC的外接圆,连接AO,若B=40,则OAC= . 答案答案 50 解析解析 连接OC,B=40,AOC=80, OA=OC,OAC=OCA=50. 8.(2019盐城,13,3分)如图,点A、B、C、D、E在O上,且为50,则E+C= . AB 答案答案 155 解析解析 连接EA,为50,BEA=25,四边形DCAE为O的内接四边形,DEA+C=180, DEB+C=180-25=155,故答案为155. AB 9.(2016扬州,16,3分)如图,O是ABC的外接圆,直径AD=4,
8、ABC=DAC,则AC长为 . 答案答案 2 2 解析解析 连接DC.ABC=ADC,ABC=DAC, ADC=DAC,AC=DC, AD为O直径,ACD=90, ACD为等腰直角三角形, AD=4,AC=4sin 45=2. 2 10.(2019扬州,15,3分)如图,AC是O的内接正六边形的一边,点B在上,且BC是O的内接正十边形的 一边,若AB是O的内接正n边形的一边,则n= . AC 答案答案 15 解析解析 圆内接正多边形的中心为圆心.连接BO,AC是O的内接正六边形的一边,AOC=3606= 60,BC是O的内接正十边形的一边,BOC=36010=36,AOB=AOC-BOC=60
9、-36 =24,n=36024=15. 11.(2019苏州,17,3分)如图,扇形OAB中,AOB=90.P为上的一点,过点P作PCOA,垂足为C,PC与AB 交于点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为 . AB 答案答案 5 解析解析 连接OP,设该扇形的半径为r. AOB=90,OA=OB,OAB=45. PCOA,PCA=90.CA=CD=1. 在RtPOC中,PCO=90, OP2-OC2=PC2,即r2-(r-1)2=32. 解得r=5. 12.(2019泰州,16,3分)如图,O的半径为5,点P在O上,点A在O内,且AP=3,过点A作AP的垂线交O于 点B、C.设PB=x
10、,PC=y,则y与x的函数表达式为 . 答案答案 y= 30 x 解析解析 连接PO并延长交O于D,连接BD, 则C=D,PBD=90, PABC,PAC=90, PAC=PBD, PACPBD, =, O的半径为5,AP=3,PB=x,PC=y, =,y=. PB PA PD PC 3 x10 y 30 x 解题关键解题关键 本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质,正确地作出辅助线是解题的关键. 13.(2020南京,24,8分)如图,在ABC中,AC=BC,D是AB上一点,O经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作 DFBC,交O于点F. 求证:(1)四边形DBCF是平行四边形; (
11、2)AF=EF. 证明证明 (1)AC=BC,BAC=B, DFBC,ADF=B, 又BAC=CFD,ADF=CFD, BDCF,又DFBC, 四边形DBCF是平行四边形. (2)如图,连接AE. ADF=B,ADF=AEF,AEF=B. 四边形AECF是O的内接四边形,ECF+EAF=180, BDCF,ECF+B=180, EAF=B,AEF=EAF. AF=EF. 解题关键解题关键 本题是一道平行四边形与圆相结合的综合题,考查了平行四边形的判定与性质、圆内接四 边形的性质.熟练运用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定是解决问题的关键. 14.(2019南京,22,7分)如图,O的弦AB
12、、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证PA=PC. AB=CD,=. +=+, 即=. C=A. PA=PC.(7分) 证法二:如图,过点O分别作OMAB,ONCD,垂足分别为M,N. AB CD AB BD CD DB AD CB 证明证明 证法一:如图,连接AC. 连接OA、OC、OP. OMAB,ONCD, AM=AB,CN=CD. AB=CD,AM=CN. 在RtOAM和RtOCN中,OMA=ONC=90, 根据勾股定理,得OM=,ON=. 1 2 1 2 22 -OA AM 22 -OC CN 又OA=OC,AM=CN, OM=ON. 又OP=OP, RtOPMRtOPN. P
13、M=PN. PM+AM=PN+CN, 即PA=PC.(7分) 15.(2020苏州,28,10分)如图,已知MON=90,OT是MON的平分线,A是射线OM上一点,OA=8 cm.动点P 从点A出发,以1 cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以1 cm/s的速度沿 ON竖直向上做匀速运动.连接PQ,交OT于点B.经过O、P、Q三点作圆,交OT于点C,连接PC、QC.设运动 时间为t(s),其中0t0),则AC=2k, 则AE=k. ACDCED, 1 2 CE AC 1 2 22 ACCE 22 (2 )kk5 =. 设DE=x(x0),则CD=2x,AD=4
14、x. AD=AE+DE,4x=k+x, 解得x=k.CD=2x=k. CGAD,CGA=CGD=90, 则ACE=CGA. 又CAE=GAC,ACEAGC. =,即=,GC=k. 在RtCDG中,sinCDG=, CD AD ED CD CE AC 1 2 5 5 3 2 5 3 CE GC AE AC k GC 5 2 k k 2 5 5 CG CD 2 5 5 2 5 3 k k 3 5 即sinCDA=. 解法二:连接BD. AB为O的直径,C为O上一点, ACB=90. DOAC,OFB=ACB=90,BFD=90. CAD=CBD(同弧所对的圆周角相等), tanCBD=tanCAD
15、=,=. 3 5 1 2 DF BF 1 2 设DF=k(k0),则BF=2k. 设OB=OD=r,则OF=OD-DF=r-k. 在RtBOF中,有OF2+BF2=OB2, 即(r-k)2+(2k)2=r2,化简得r=k. OF=OD-DF=r-k=k. sinCBA=. CDA=CBA(同弧所对的圆周角相等), sinCDA=sinCBA=. 5 2 3 2 OF OB 3 2 5 2 k k 3 5 3 5 1.(2019苏州,5,3分)如图,AB为O的切线,切点为A.连接AO,BO,BO与O交于点C.延长BO与O交于点 D,连接AD.若ABO=36,则ADC的度数为( ) A.54 B.
16、36 C.32 D.27 考点2 与圆有关的位置关系 答案答案 D AB为O的切线,BAO=90, AOB=90-36=54. OD=OA,OAD=ODA. AOB=DAO+ADO=54, ADO=27,即ADC=27.故选D. 2.(2020泰州,14,3分)如图,直线ab,垂足为H,点P在直线b上,PH=4 cm,O为直线b上一动点,若以1 cm为半 径的O与直线a相切,则OP的长为 . 答案答案 3或5 cm 解析解析 ab, 当O与直线a相切时,OH=1 cm, 有以下两种情况: 当O在直线a的左侧时, OP=PH-OH=4-1=3 cm; 当O在直线a的右侧时, OP=PH+OH=4
17、+1=5 cm. 3.(2020苏州,14,3分)如图,已知AB是O的直径,AC是O的切线,连接OC交O于点D,连接BD.若C= 40,则B的度数是 . 答案答案 25 解析解析 AC是O的切线, OAC=90, C=40, AOD=50, B=AOD=25. 1 2 4.(2019南京,14,2分)如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点,点C、D在O上.若P=102,则A+C= . 答案答案 219 解析解析 连接AB, PA、PB是O的切线, PA=PB, P=102, PAB=PBA=(180-102)=39, DAB+C=180, PAD+C=PAB+DAB+C=39+180=219
18、. 1 2 5.(2019常州,17,2分)如图,半径为的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接OC, 则tanOCB= . 3 答案答案 3 5 解析解析 设O与BC边的切点为D. 连接OB,OD.如图. O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切, OBC=OBA=ABC=30,ODB=90, tanOBC=,BD=3, CD=BC-BD=8-3=5, tanOCB=. 1 2 OD BD 3 3 3 OD CD 3 5 6.(2017连云港,14,3分)如图,线段AB与O相切于点B,线段AO与O相交于点C,AB=12,AC=8,则O的半 径长为 . 答案答案 5 解析
19、解析 连接OB,AB切O于B, OBAB,ABO=90, 设O的半径长为r, 由勾股定理得r2+122=(8+r)2,解得r=5. 思路分析思路分析 连接OB,根据切线的性质得ABO=90,在RtABO中,由勾股定理即可求出O的半径长. 解题关键解题关键 本题考查了切线的性质和勾股定理的应用,解题关键是得到直角三角形ABO. 7.(2018连云港,14,3分)如图,AB是O的弦,点C在过点B的切线上,且OCOA,OC交AB于点P,已知OAB =22,则OCB= . 答案答案 44 解析解析 连接OB, BC是O的切线, OBBC, OBA+CBP=90, OCOA, A+APO=90, OA=
20、OB,OAB=22, OAB=OBA=22, APO=68,APO=CBP,APO=CPB, CPB=ABC=68, OCB=180-68-68=44.故答案为44. 8.(2018南京,16,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所 得矩形ABCD的边AB与O相切,切点为E,边CD与O相交于点F,则CF的长为 . 答案答案 4 解析解析 连接OE,延长EO交CD于点G,作OHBC于点H, 则OEB=OHB=90. 矩形ABCD绕点C旋转得矩形ABCD, B=BCD=90,AB=CD=5,BC=BC=4, 四边形OEBH和四边形EBCG
21、都是矩形,OE=OC=2.5, BH=OE=2.5,CH=BC-BH=1.5, CG=BE=OH=2. 22 -OC CH 22 2.5 -1.5 四边形EBCG是矩形, OGC=90,即OGCD,CF=2CG=4.故答案为4. 评析评析 本题主要考查圆的切线的性质,解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性 质、垂径定理等知识点. 9.(2020无锡,24,8分)如图,已知ABC是锐角三角形(AC0),CD=x,则DE=x, AB=DE=x. AC=CE,BC=CD,ACB=ECD, =,ACE=BCD, ACEBCD, =3,BD=, BE=DE-BD=x-. CE CD 10
22、 10 AC BC CE CD AE BD EC CD 2 3 10 2 3 AE2+BE2=AB2,22+=(x)2, x=,AB=. 2 2 10 - 3 x 10 10 3 10 3 7.(2020北京,20,5分)已知:如图,ABC为锐角三角形,AB=AC,CDAB. 求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且ABP=BAC. 作法:以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点; 连接BP. 线段BP就是所求作的线段. (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹); 1 2 (2)完成下面的证明. 证明:CDAB, ABP= . AB=AC, 点B在A上. 又点C,P都
23、在A上, BPC=BAC( )(填推理的依据). ABP=BAC. 1 2 1 2 解析解析 (1)补全的图形如图所示. (2分) (2)BPC;(3分) 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(5分) 8.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=,DH=1, OHD=80,求BDE的大小. 3 图1 图2 解析解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=
24、90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF, F=PBC. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB,PC=PB. (2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90, 又BGAD,AGB=90, ADC=AGB,BGDC. 又由(1)知BCDE, 四边形DHBC为平行四边形,BC=DH=1. 在RtABC中,AB=,tanACB=, ACB=60,CAB=30. 从而BC=AC=OD,DH=OD. 在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 设DE交AC于N. BCDE,ONH=ACB=60.
25、NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40, 3 AB BC 3 1 2 CBD=OAD=20. BCDE,BDE=CBD=20. 一题多解一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且=1,PB=PC. (2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=DH=1, AB=,CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x) =60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=
26、2(90-x),解得x=20,即BDE=20. PC PB CD BF 3 解后反思解后反思 本题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的 判定与性质、解直角三角形等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与 转化思想. 考点2 与圆有关的位置关系 1.(2020广东广州,7,3分)如图,RtABC中,C=90,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作B,当r=3时, B与AC的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4 5 答案答案 B C=90,AB=5,cos A=, AC=AB cos A=5=4,
27、BC=3. r=3,B与AC的位置关系是相切.故选B. AC AB 4 5 4 5 22 -AB AC 22 5 -4 2.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD 等于( ) A.40 B.50 C.60 D.80 答案答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得BAC= 40,由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD= ODA+OAD=80. 3.(2020河南,20,9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规
28、作图三等分一个任意角” 曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工 具三分角器.图1是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径 相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长. 图1 图2 使用方法如图2所示,若要把MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过MEN的顶点E,点A落在 边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把MEN三等分了. 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整, 并写出“证明”过程. 已知:如图2,点A,B,O,C在同
29、一直线上,EBAC,垂足为点B, . 求证: . 解析解析 已知:如图,点A,B,O,C在同一直线上,EBAC,垂足为点B,AB=OB,EN切半圆O于点F.(2分) 求证:1=2=3.(3分) 证明:连接OF.(4分) EBAC,ABE=OBE=90, 又AB=OB,EB=EB, ABEOBE. 1=2.(6分) EN切半圆O于点F,OFEF, 又OBEB且OF=OB, EO平分BEF, 3=2,1=2=3.(9分) 说明:若“已知”未补充完整,而“证明”过程正确,仅在“已知处扣分” 4.(2017北京,24,5分)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切
30、线 交CE的延长线于点D. (1)求证:DB=DE; (2)若AB=12,BD=5,求O的半径. 解析解析 (1)证明:BD是O的切线, OBD=90. CEOA,ACE=90. OBA+EBD=A+AEC=90. OA=OB,A=OBA, EBD=AEC. 又AEC=BED, BED=EBD,DB=DE. (2)如图,连接OE,则OEAB,AE=BE=6. 过点D作DMAB于点M, DE=DB, BM=BE=3, 在RtBMD中,由勾股定理得,DM=4. 易证OBE=BDM, 又BEO=DMB, RtOBERtBDM, =,OB=. 1 2 OB BD BE DM 15 2 5.(2018湖
31、北武汉,21,8分)如图,PA是O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB、PC,PC交AB于点E, 且PA=PB. (1)求证:PB是O的切线; (2)若APC=3BPC,求的值. PE CE 解析解析 (1)证法一:连接OP,OB. 在OAP和OBP中, OAPOBP, OAP=OBP, PA是O的切线, OBP=OAP=90, PB是O的切线. 证法二:连接OB. PA是O的切线, PAO=90. OA=OB,PA=PB, OAB=OBA,PAB=PBA. PBO=PAO=90, , , , APBP OAOB OPOP PB是O的切线. (2)连接BC,设OP交AB于点F, A
32、C是O的直径,ABC=90. PA,PB是O的切线, PO垂直平分AB,PO平分APB, BCPO, OPC=PCB. APC=3BPC, OPC=BPC,PCB=BPC, BC=BP. 设OF=t,则BC=BP=2t, 由PBFPOB,得PB2=PF PO, 即(2t)2=PF (PF+t). 解得PF=t(取正值). -117 2 PFECBE, =. PE CE PF BC 17-1 4 解题技巧解题技巧 对于含有切线的解答题,首先要想到的是作“辅助线”,由此获得更多能够证明题目要求的 条件.一般作“辅助线”的方法为“见切点,连圆心”,构造直角三角形(或垂直),然后利用切线性质及直 角三
33、角形的边角关系、勾股定理进行证明或计算. 考点1 圆的有关概念与性质 C组 教师专用题组 1.(2020浙江杭州,9,3分)如图,已知BC是O的直径,半径OABC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合), BD与OA交于点E.设AED=,AOD=,则( ) A.3+=180 B.2+=180 C.3-=90 D.2-=90 答案答案 D 如图,连接AB, 则DBA=DOA=,DEA=DBA+OAB=. OA=OB,BOA=90, OAB=45, =+45, 2-=90,故选D. 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 连接AB,利用一条弦所对的圆周角等于圆心角的一半,可得到DBA=,利用三角
34、形外角的 性质,可得DBA+OAB=,再证明OAB=45,进而可得和之间的关系式. 1 2 方法总结方法总结 圆中求角度的问题,优先考虑运用圆周角定理及其推论,因此先要找出图形中的圆心角或圆 周角,再看所求角与这些特殊角之间的关系.此外还应注意题干中的一些隐含条件,一般会涉及等腰三角 形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质等. 2.(2019陕西,9,3分)如图,AB是O的直径,EF、EB是O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF.若 AOF=40,则F的度数是( ) A.20 B.35 C.40 D.55 答案答案 B 连接OE.EF=EB,EOF=EOB. AOF=40,B
35、OF=180-AOF=140, EOF=EOB=(360-140)=110. OE=OF,F=OEF=(180-EOF)=35,故选B. 1 2 1 2 3.(2019贵州贵阳,6,3分)如图,正六边形ABCDEF内接于O,连接BD,则CBD的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 思路分析思路分析 根据正六边形的内角和求得BCD的度数,然后根据等腰三角形的性质即可得到结果. 答案答案 A 在正六边形ABCDEF中,BCD=120,BC=CD,CBD=(180-120)=30, 故选A. 1 2 4.(2020宁夏,12,3分)我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”
36、的问题:“今有圆 材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁 中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).这根圆形木材的直径是 寸. 答案答案 26 解析解析 由垂径定理可知OE垂直平分AB,AD=5寸,设半径OA=x寸,则OD=(x-1)寸.在RtAOD中,AD2+ OD2=OA2,52+(x-1)2=x2,解得x=13,直径为26寸. 5.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点,=.若AOB=58,则BDC= 度. AB BC 答案答案 29 解析解析 连接OC,=, A
37、OB=BOC=58, 又点D在圆上, BDC=BOC=29. AB BC 1 2 思路分析思路分析 连接OC,由与相等可得圆心角AOB=BOC,再根据同弧所对的圆周角是圆心角的 一半即可求得BDC的度数. AB BC 6.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 . 答案答案 1 2 解析解析 设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为r,内接正三角形的边心距为r,故rr=1. 2 2 1 2 2 2 1 2 2 7.(2019陕西,17,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.请用尺规作图法,求作ABC的外接圆. (保留作图痕迹,不写作法
38、) 解析解析 如图所示的圆即为所求. (5分) 8.(2020广东广州,24,14分)如图,O为等边ABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧上运动(不与点A,B重 合),连接DA,DB,DC. (1)求证:DC是ADB的平分线; (2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗?如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由; (3)若点M,N分别在线段CA,CB上运动(不含端点),经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,DMN的 周长有最小值t,随着点D的运动,t的值会发生变化,求所有t值中的最大值. AB 解析解析 (1)证明:ABC为等边三角形,AC=BC, =,ADC=BDC,DC是A
39、DB的平分线. (2)是.解法一:将CBD绕C点顺时针旋转60得CAE,则CBDCAE. DAC+DBC=180,DBC=EAC, EAC+DAC=180,即E,A,D三点共线. CE=CD,ADC=ABC=60, EDC为等边三角形. S四边形ADBC=SEDC=CD2,S=x2. O的半径为2,BC=2. 2x4. AC BC 3 4 3 4 3 3 解法二:在CD上取一点E,使得CE=BD,连接AE. 由BD=CE,ABD=ACE,AB=AC, 得ABDACE,AD=AE. 又ADC=ABC=60,ADE为等边三角形. AD=DE,CD=CE+DE=BD+AD. 作AFCD于F,BGCD
40、于G. 设AD=a,则BD=x-a, AF=AD sin 60=a,BG=BD sin 60=(x-a), 3 2 3 2 S=SACD+SBCD=CD (AF+BG)=x=x2(2EB, 当E,D,B三点共线时,ED+DB最小,此时ED+DB=EB, AD+BD=EB, 在RtECB中,EB=4, AD+BD=4, 2AD+3BD=12, 即2AD+3BD的最小值是12. 2 3 2 3 22 12410 2 3 10 10 10 思路分析思路分析 在CA上取一点E,使得CE=4,连接BE,DE,先证DCEACD,将DE转化为AD,从而求得 AD+DB的最小值,即可求得2AD+3BD的最小值
41、. 2 3 2 3 6.(2020常州溧阳一模,18)如图,在O中,点A、点B在O上,AOB=90,OA=6,点C在OA上,且OC=2AC, 点D是OB的中点,点M是劣弧AB上的动点,则CM+2DM的最小值为 . 答案答案 4 10 解析解析 延长OB至点N,使得BN=OB,连接CN,与圆O交于M, AOB=90,OA=6,OC=2AC,点D是OB的中点, AC=2,OC=4,OD=BD=3,OB=BN=6. MOD=NOM,=, MODNOM, DMMN=12, OM ON OD OM 1 2 即2DM=MN, CM+2DM的最小值为CM+MN的长,即CN的长, 在CNO中,ON=12,OC
42、=4, CN=4. 22 OCON10 思路分析思路分析 延长OB至点N,使得OB=BN,连接CN,与圆O交于M,证明MODNOM,得到2DM=MN,将 CM+2DM的最小值转化为CM+MN,即CN的长,再利用勾股定理求解即可.解题的关键是构造相似三角形 将多线段和的最值转化在一条线段上求解. 7.(2019泰州姜堰一模)如图,点C为的中点,CHAB于H,CH=1,AB=2,点P为上一动点,延长BP至 点Q,使BP BQ=AB2.若点P由点A运动到点C,则点Q运动的路径长为 . AB 3 AC 答案答案 2 3 解析解析 如图所示:连接AQ,AP,BC,AC. BP BQ=AB2,=, 又AB
43、P=QBA, ABPQBA, APB=QAB. CH=1,CHAB, CHB=90, BP AB AB BQ 又AB=2,C为的中点,BH=, tanCBH=, CBH=30, ACB=APB=QAB=120. 当P在C点处时,AQB=30, AQ=AB=2. 当点P在A点处时,Q与A重合, 当点P在C点处时,Q运动到最远处, 点Q运动的路径长为2. 3 AB 3 3 3 3 3 三、解答题(共29分) 8.(2019常州一模,23)如图,O经过正方形网格中的格点A、B、C、D,请你仅用网格中的格点及无刻度 的直尺分别在图1、图2、图3中画出一个满足下列两个条件的P. (1)顶点P在O上且不与
44、点A、B、C、D重合; (2)P在图1、图2、图3中的正切值分别为1、2. 1 2 解析解析 点P的位置有多种,参考答案如下: 9.(2018南通如皋一模,25)如图,线段AB是O的直径,弦CDAB于点H,P是圆上任意一点,AH=2,CH=4. (1)求O的半径r的长度; (2)求sinCPD. 解析解析 (1)如图,连接OC. ABCD, CHO=90. 在RtCOH中,OC=r,OH=r-2,CH=4, r2=42+(r-2)2, r=5. (2)连接OD. ABCD,AB是直径, =. AOC=COD. CPD=COD, CPD=COA. 在RtOCH中,sinCOH=. sinCPD=
45、sinCOA=. AD AC 1 2 CD 1 2 1 2 CH OC 4 5 4 5 考查要点考查要点 本题考查垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题,学会用转化的思想思考问题. 10.(2020南京联合体一模,25)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,点E是BC边上一动点,连接AE、DE,作 ECD的外接圆O,交AD于点F,交AE于点G,连接FG. (1)求证:AFGAED; (2)当BE的长为 时,AFG为等腰三角形; (3)如图,若BE=1,求证:AB与O相切. 解析解析 (1)证明:四边形FGED是O的内接四边形, FGE+ADE=18
46、0.(1分) AGF+FGE=180, AGF=ADE.(2分) 又GAF=DAE, AFGAED.(3分) (2)3、9-3.(6分) 详解:O是ECD的外接圆,ECD=90, DE是O的直径,连接EF, 则DFE=90, AFE=180-DFE=90. BAF=ABE=AFE=90, 四边形ABEF是矩形, AF=BE,EF=AB=6, 5 9 2 5 由(1)知AFGAED, 当AFG是等腰三角形时,AED是等腰三角形, 分三种情况: 当AE=DE时,DFE=90, EFAD, 又AE=DE, AF=DF=AD=9=, BE=AF=. 当DE=AD=9时, 在RtDCE中,ECD=90,
47、DE=9,DC=6, CE=3, BE=BC-EC=9-3. 当AE=AD=9时, 1 2 1 2 9 2 9 2 22 -DE DC 22 9 -65 5 在RtABE中,ABE=90,AE=9,AB=6, BE=3. 综上所述,当BE的长为或9-3或3时,AFG为等腰三角形. (3)证明:过O作OHAB于点H,反向延长OH交CD于点I, AHI=90, 在矩形ABCD中,BAD=ADC=90, 则AHI=BAD=ADC=90, 四边形AHID为矩形, 22 -AE AB 22 9 -65 9 2 55 HI=AD=9,OID=90,即OICD, DI=CD=3, BE=1,BC=9, EC=8, BCD=90, DE为直径,OD为半径, 在RtDEC中,由勾股定理得DE=10, OD=5, 在RtDIO中,由勾股定理得IO=4.(7分) OH=HI-OI=9-4=5.(8分)
