1、 中考数学 （江苏专用） 3.4.1 二次函数的图象与性质 考点1 二次函数的图象与性质 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2017宿迁,4,3分)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式 是( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1 答案答案 C 将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1. 故选C. 思路分析思路分析 根据二次函数图象平移规律:“左加右减,上加下减”即可写出函数表达式. 2.(2017宿迁,8,3分
2、)如图,在RtABC中,C=90,AC=6 cm,BC=2 cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q 在边CB上,从点C向点B移动.若点P,Q均以1 cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之 停止,连接PQ,则线段PQ的最小值是( ) A.20 cm B.18 cm C.2 cm D.3 cm 52 答案答案 C 设P、Q运动的时间为t s,则AP=CQ=t cm, CP=(6-t)cm, PQ=(cm), 0t2, 当t=2时,PQ的值最小, 线段PQ的最小值是2 cm. 故选C. 22 PCCQ 22 (6- ) tt 2 2( -3)18t 5 3.(2018镇江,
3、8,2分)已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是 . 答案答案 k0,图象的开口向上,又二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下 方, =(-4)2-41k0,解得k0是解题的关键. 4.(2018淮安,14,3分)将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是 . 答案答案 y=x2+2 解析解析 平移后的抛物线解析式为y=x2+2. 方法总结方法总结 本题考查了二次函数图象的平移变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移 后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待
4、定系数法 求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 5.(2016镇江,10,2分)a、b、c是实数,点A(a+1,b)、B(a+2,c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b、c的大小 关系是b c(用“”或“”填空). 答案答案 解析解析 抛物线y=x2-2ax+3的对称轴是直线x=a,开口向上.aa+1a+2,A、B在对称轴右侧,且B在A的 右侧.根据二次函数图象的性质知b0,对称轴为直线x=-2. 线段AB的长不大于4,4a+13, a,a2+a+1的最小值为+1=. 1 2 2 1 2 1 2 7 4 7.(2020无锡,17,3分)二次函数y=ax2-3ax+
5、3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在该抛物线的对称轴 上,若ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为 . 答案答案 或 3 ,-9 2 3 ,6 2 解析解析 由题意得,点B的坐标为(0,3), 抛物线y=ax2-3ax+3的对称轴是直线x=-=. ABM是以AB为直角边的直角三角形,分两种情况: 如图1,ABM=90,过点M作MFy轴于点F, 图1 则MF=. -3 2 a a 3 2 3 2 易证BFMAOB, =,即=, BF=3,OF=6, 点M的坐标是. 如图2,BAM=90,过点A作EHx轴,过点M作MHEH于点H,过点B作BEEH于点E, 图2 MF BO
6、 BF AO 3 2 36 BF 3 ,6 2 则MH=6-=, 易证BAEAMH, =,即=, AH=9,点M的坐标是. 综上所述,点M的坐标是或. 3 2 9 2 AE MH BE AH 3 9 2 6 AH 3 ,-9 2 3 ,-9 2 3 ,6 2 方法总结方法总结 本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴以及相似三角形的判定和性质等知识,属于常考题 型,正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 8.(2020南京,16,2分)下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:该函数的图象与函数y=-x2的 图象形状相同;该函数的图象一定经过点(0,1);当x
7、0时,y随x的增大而减小;该函数的图象的顶点 在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 . 答案答案 解析解析 二次函数y=-(x-m)2+m2+1与函数y=-x2的二次项系数相同,故图象形状相同,正确; 二次函数y=-(x-m)2+m2+1可化为y=-x2+2mx+1,故该函数的图象一定经过点(0,1),正确; 图象开口向下,对称轴为直线x=m,则当xm时,y随x的增大而减小,错误; 图象的顶点坐标是(m,m2+1),所以该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上,正确. 9.(2016泰州,16,3分)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个
8、单位长度,以AB 为边作等边ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为 . 3 答案答案 (1+,3)或(2,-3) 7 解析解析 ABC是等边三角形,且AB=2, AB边上的高为3, 又点C在二次函数图象上,点C的纵坐标为3, 把y=3分别代入y=x2-2x-3, 得x=1或0或2. 点C落在该函数y轴右侧的图象上, x0,x=2或1+, 点C的坐标为(2,-3)或(1+,3). 3 7 7 7 解题关键解题关键 本题考查二次函数图象上点的特点,根据等边三角形的边长求高是解题关键. 10.(2020盐城,25,10分)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M(x1
9、,0),N(x2,0)(0x10)的图象与x轴交于A、B两点(A在B左侧,且OAOB), 与y轴相交于点C. (1)求C点坐标,并判断b的正负性; (2)设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D,已知DCCA=12,直线BD与y轴相交于点E, 连接BC. 若BCE的面积为8,求这个二次函数的解析式; 若BCD为锐角三角形,请直接写出OA长的取值范围. 解析解析 (1)令x=0,则y=-4,C(0,-4), OA0. a0,b0), 2 b a DC CA DM OA MC CO 1 2 1 2 则AO=2m,DM=m,B(4m,0), OC=4,CM=2,D(m,-6), DMAB,=
10、, OE=8,CE=4. 又SBCE=44m=8,m=1,A(-2,0),B(4,0), 设y=a(x+2)(x-4), 将(0,-4)代入得-8a=-4,a=, y=x2-x-4. 由知B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),则CBD一定为锐角. 易知CB2=16m2+16,CD2=m2+4,DB2=9m2+36, 当CDB为锐角时,CD2+DB2CB2, MD BO ME OE -6OE OE 1 2 1 2 1 2 即m2+4+9m2+3616m2+16, 解得-2m0,0mDB2, 即m2+4+16m2+169m2+36, 解得m或m-(舍去). 综上,m2,则22m4.故2O
11、A4. 22 222 12.(2019苏州,28,10分)如图,抛物线y=-x2+(a+1)x-a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于 点C.已知ABC的面积是6. (1)求a的值; (2)求ABC外接圆圆心的坐标; (3)如图,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P,Q两点均在第三象限内,Q,A是位于直线BP同侧的 不同两点.若点P到x轴的距离为d,QPB的面积为2d,且PAQ=AQB,求点Q的坐标. 解析解析 (1)抛物线解析式为y=-x2+(a+1)x-a, 令y=0,解得x=1或x=a,点A位于点B的左侧且点A在x轴负半轴上, 点A的坐标为(a,0)(a0),点B
12、的坐标为(1,0). AB=1-a. 令x=0,得y=-a,点C的坐标为(0,-a), SABC=(1-a) (-a)=6,即a2-a-12=0, 解得a=-3或a=4.a0,a=-3. (2)a=-3,A(-3,0),C(0,3),AO=OC=3. 又AOC=90,OAC=OCA=45, 线段AC的垂直平分线与AOC的平分线所在的直线y=-x重合. A(-3,0),B(1,0),线段AB的垂直平分线是过点(-1,0)且平行于y轴的直线,即x=-1. ABC外接圆圆心既在线段AB的垂直平分线上,又在线段AC的垂直平分线上, ABC外接圆圆心的坐标为(-1,1). (3)过点A作AEPB于点E,
13、过点Q作QFPB于点F,记PA与BQ的交点为G,延长PQ与x轴交于点H. 1 2 AB=4,点P到x轴的距离为d,SAPB=AB d=2d. SQPB=2d,SAPB=SQPB,PB AE=PB QF, AE=QF,AEPB,QFPB,四边形AEFQ为矩形,AQBP. PAQ=AQB,GQ=GA. AQBP,PAQ=APB,AQB=QBP,APB=QBP.GB=GP,GB+GQ=GP+GA,即PA= BQ. 在APB与QBP中, APBQBP. CAO=45,且AQBP,ABP=CAO=45, 又APBQBP,QPB=ABP=45, PHB=90,P,Q,H三点的横坐标相等,且BH=PH. 1
14、 2 1 2 1 2 , , , PABQ APBQBP PBBP 点P在抛物线y=-x2-2x+3上, 设点P的坐标为(t,-t2-2t+3)(t0), 点H的横坐标为t, BH=PH,1-t=-(-t2-2t+3), 解得t=-4或t=1(舍去). 点P的横坐标为-4,点Q的横坐标也是-4. 直线AC经过点A(-3,0),C(0,3), 利用待定系数法可得直线AC的表达式为y=x+3, 点Q在AC上,点Q的坐标为(-4,-1). 13.(2018常州,28,10分)如图,二次函数y=-x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为 (-4,0),P是抛物线上一点(点P
15、与点A、B、C不重合). (1)b= ,点B的坐标是 ; (2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PMMB=12?若存在,求出点P的横坐标; 若不存在,请说明理由; (3)连接AC、BC,判断CAB和CBA的数量关系,并说明理由. 1 3 解析解析 (1)点A(-4,0)在二次函数y=-x2+bx+2的图象上, -4b+2=0,b=-. 当y=0时,有-x2-x+2=0, 解得x1=-4,x2=, 点B的坐标为. (2)解法一:当x=0时,y=-x2-x+2=2, 点C的坐标为(0,2). 设直线AC的解析式为y=kx+c(k0), 将A(-4,0)、C(0,2)代入y=
16、kx+c中, 1 3 16 3 5 6 1 3 5 6 3 2 3 ,0 2 1 3 5 6 得 解得 直线AC的解析式为y=x+2. 假设存在,设点M的坐标为. 当点P、B在直线AC的异侧时,点P的坐标为, 点P在抛物线y=-x2-x+2上, m+3=-+2, -40, 2, kc c 1 , 2 2, k c 1 2 1 ,2 2 mm 33 3 -,3 24 4 mm 1 3 5 6 3 4 1 3 2 33 - 24 m 5 6 33 - 24 m 整理,得12m2+20m+9=0. =202-4129=-320, 方程无解,即不存在符合题意的点P. 当点P、B在直线AC的同侧时,点P
17、的坐标为, 点P在抛物线y=-x2-x+2上, m+1=-+2, 整理,得4m2+44m-9=0, 解得m1=-,m2=, 点P的横坐标为-2-或-2+. 13 1 ,1 24 4 mm 1 3 5 6 1 4 1 3 2 13 24 m 5 6 13 24 m 11130 2 -11130 2 130 4 130 4 综上所述,存在点P,使得PMMB=12,点P的横坐标为-2-或-2+. 解法二:同解法一得直线AC的解析式为y=x+2. 过点B作BBy轴交直线AC于点B,过点P作PPy轴交直线AC于点P,如图所示. 点B的坐标为, 点B的坐标为, 130 4 130 4 1 2 3 ,0 2
18、 3 11 , 2 4 BB=. BBPP,PPMBBM, =,PP=. 设点P的坐标为, 则点P的坐标为, PP=, 解得x1=-2-,x2=-2+, 存在点P,使得PMMB=12,点P的横坐标为-2-或-2+. 11 4 PP BB PM BM 1 2 11 8 2 15 ,-2 36 xxx 1 ,2 2 xx 2 151 -2-2 362 xxx 2 14 33 xx 11 8 130 4 130 4 130 4 130 4 (3)CBA=2CAB. 解法一:作CBA的平分线,交y轴于点E,过点E作EFBC于点F,如图所示. 点B,点C(0,2), OB=,OC=2,BC=. 设OE=
19、n,则CE=2-n,EF=n, 由等面积法,可知OB CE=BC EF, 3 ,0 2 3 2 5 2 1 2 1 2 即(2-n)=n,解得n=. =,AOC=BOE=90, AOCBOE, CAO=EBO, CBA=2EBO=2CAB. 解法二:将BC沿y轴对折,交x轴于点B,如图所示. B,C(0,2),A(-4,0),B, 3 2 5 2 3 4 OC OA 1 2 OE OB 3 ,0 2 3 -,0 2 AB=-(-4)=,BC=, AB=BC=BC, CAB=ACB,CBA=CBB. CBB=CAB+ACB, CBA=2CAB. 3 2 5 2 2 2 3 2 2 5 2 解后反
20、思解后反思 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面 积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质.解第(3)问的关键是构造 相似三角形找出角的关系,或根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出CBA=2CAB. 考点2 二次函数与一元二次方程之间的联系 1.(2017徐州,8,3分)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是( ) A.b1 C.0b1 D.b1 答案答案 A 函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,解得b1且b0.故选A. 2 (-2) -40, 0, b b 2.(2017苏州,8
21、,3分)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为( ) A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6 C.x1=,x2= D.x1=-4,x2=0 3 2 5 2 答案答案 A 把(-2,0)代入二次函数解析式y=ax2+1中,解得a=-,把a=-代入a(x-2)2+1=0,解得x1=0,x2=4. 1 4 1 4 思路分析思路分析 根据函数图象上的点满足函数解析式求出二次项系数,然后解方程即可. 一题多解一题多解 本题还可以利用二次函数图象的对称性来解决.因为二次函数y=ax2+1的图象关于y轴对称, 且过点(-2,0),所以过点(
22、2,0),因为y=a(x-2)2+1的图象是由二次函数y=ax2+1的图象向右平移两个单位得到 的,故函数y=a(x-2)2+1的图象过点(0,0)、(4,0),所以方程a(x-2)2+1=0的解是x1=0,x2=4. 3.(2020苏州,25,8分)如图,二次函数y=x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A,平行于x轴的直线l与该抛物线交 于B、C两点(点B位于点C左侧),与抛物线对称轴交于点D(2,-3). (1)求b的值; (2)设P、Q是x轴上的点(点P位于点Q左侧),四边形PBCQ为平行四边形.过点P、Q分别作x轴的垂线,与 抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2).若|y1-y2
23、|=2,求x1、x2的值. 解析解析 (1)直线l与抛物线y=x2+bx的对称轴交于点D(2,-3), 抛物线y=x2+bx的对称轴为直线x=2,即-=2, b=-4. (2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2-4x.把y=-3代入抛物线的解析式y=x2-4x,得x2-4x=-3,解得x=1或3. B、C两点的坐标为B(1,-3),C(3,-3),即BC=2. 四边形PBCQ为平行四边形, PQ=BC=2. x2-x1=2. 又y1=-4x1,y2=-4x2,|y1-y2|=2, |(-4x1)-(-4x2)|=2,|x1+x2-4|=1. x1+x2=5或x1+x2=3. 2 b 2 1 x
24、 2 2 x 2 1 x 2 2 x 由解得 由解得 21 12 -2, 5 x x xx 1 2 3 , 2 7 . 2 x x 21 12 -2, 3 x x xx 1 2 1 , 2 5 . 2 x x 4.(2017南京,26,8分)已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数). (1)该函数的图象与x轴公共点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 (2)求证:无论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上; (3)当-2m3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围. 解析解析 (1)D. =(m-1)2+4m=(m+1)20, 该函数的图象与x轴公共
25、点的个数是1或2. (2)证明:y=-x2+(m-1)x+m=-+, 所以该函数的图象的顶点坐标为. 把x=代入y=(x+1)2,得y=. 因此,无论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上. (3)由(2)知,该函数的图象的顶点的纵坐标为,设z=,由二次函数的性质可知, 当m=-1时,z有最小值0; 当m-1时,z随m的增大而增大. 又当m=-2时,z=; 当m=3时,z=4, 因此,当-2m3时,该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0z4. 2 (-21) 4 1 4 2 (3 1) 4 思路分析思路分析 (1)根据根的判别式=b2-4ac判断函数图象与x轴公共点的个数
26、;(2)先求顶点坐标,将该点横 坐标代入y=(x+1)2得到纵坐标,从而得到结论;(3)根据二次函数性质进行分类讨论,进而求出顶点纵坐标 的取值范围. 解后反思解后反思 这是一道二次函数的综合题,主要考查二次函数的图象和性质,二次函数与一元二次方程的 关系,点是否在二次函数图象上等知识,属于难题. 考点1 二次函数的图象与性质 B组 20162020年全国中考题组 1.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是( ) A.图象的对称轴在y轴的右侧 B.图象与y轴的交点坐标为(0,8) C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0) D.y的最小值为-9
27、 答案答案 D 图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错; 当x=0时,y=-8, 图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错; y=x2+2x-8=(x+4)(x-2), 图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错; y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20, (x+1)2-9-9, y的最小值为-9,故D正确. 2 2 2.(2020四川南充,9,4分)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方 形有公共点,则实数a的取值范围是( ) A.a3 B.a1 C.a3 D.a1 1 9 1 9 1
28、 3 1 3 答案答案 A 当抛物线经过点(1,3)时,a=3;当抛物线经过点(3,1)时,a=,由图象可知a3,故选A. 1 9 1 9 3.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是( ) A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5 B.当x=12时,y有最小值a-9 C.x=2对应的函数值比最小值大7 D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点 1 4 答案答案 C y=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9, 将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-1
29、0)2+a+1, 当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确. 当x=12时,ymin=a-9,故B中说法正确. 当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+16, a+16-(a-9)=25,故C中说法错误. =(-6)2-4(a+27)=36-a-27=9-a, 当a0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确. 故选C. 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 4.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0;抛物
30、线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+ c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误.抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D. 15 2 5.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为( ) A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 答案答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a +1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而 减
31、小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0a0,a0,且公共点的坐标为 (1,b),代入抛物线方程可得b=a+b+c,所以c=-a,所以一次函数为y=bx-a2,其图象过第一、三、四象限,故选 B. 7.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表: x -2 -1 0 1 2 y=ax2+bx+ c t m -2 -2 n 且当x=-时,与其对应的函数值y0.有下列结论: abc0; -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根; 0m+n0,b0,c0,
32、正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=的对称点为 (3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x=,-=,b=-a,当x =-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点 (-1,m),(2,n),m=n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a,4a-4,错误.故选C. 01 2 1 2 1 2 1 22 b a 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 8 3 1 2 8 3 20 3 方法指导方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函
33、数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标 特征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键. 8.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交 于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 . 答案答案 a1或a-1 解析解析 解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0), 与y轴的交点为(0,1-a). 分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1. 综上,实
34、数a的取值范围是a1或a-1. 解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方, 令y=x-a+10,解得xa-1. 令y=x2-2ax0时,解得0x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1; 当a0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1. -1, 02 xa xa -1, 20 xa ax 思路分析思路分析 考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:二次函数的图象 过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从而得 出关于a的不等式;解法二:分别在
35、a0两种情况下满足有解,解之即可. 2 -10, -20 x a xax 难点突破难点突破 根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口. 9.(2020河南,22,10分)小亮在学习中遇到这样一个问题: 如图,点D是上一动点,线段BC=8 cm,点A是线段BC的中点,过点C作CFBD,交DA的延长线于点F.当 DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度. 小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请 将下面的探究过程补充完整: (1)根据点D在上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值. BC
36、BC BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现: “当点D为的中点时,BD=5.0 cm”,则上表中a的值是 ; “线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由. (2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数,分别记为yCD和yFD,并在平面直角坐标系 xOy中画出了函数yFD的图象,如图所示,请在同一坐标系中画出函数yCD的图象; (3)继续在同一坐标系中画出所
37、需的函数图象,并结合图象直接写出:当DCF为等腰三角形时,线段BD 长度的近似值(结果保留一位小数). BC 解析解析 (1)点D为的中点时,CD=BD=5.0 cm. 故a=5.0.(2分) 由题意可得,ACFABD, CF=BD.(4分) (2)yCD的图象如图所示.(6分) (3)yCF的图象如图所示.(7分) DCF为等腰三角形时,线段BD的长度约为3.5 cm或5.0 cm或6.3 cm.(答案不唯一)(10分) BC 题干解读题干解读 当点D在上运动时,因为BA=CA,CFBD,所以ADBAFC,即BD=CF始终成立,若BD =x,则yCF=x.根据题表中的数据可以描点画出yCD的
38、图象,若DCF为等腰三角形,则有DC=CF或DC=DF或 DF=CF,所以再画出yCF的图象,三条函数图象的交点对应的x值即为线段BD的长度(排除x=0和x=8).根据 图象取近似值即可. BC 10.(2020安徽,22,12分)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过点A,抛物线y=ax2 +bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点. (1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由; (2)求a,b的值; (3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点仍在直线y=x+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值. 解析解析 (1)点B在直线
39、y=x+m上,理由如下: 因为直线y=x+m过点A(1,2),所以2=1+m,解得m=1,从而直线对应的表达式为y=x+1, 又点B的坐标(2,3)满足该表达式,所以点B在这条直线上.(4分) (2)因为抛物线y=ax2+bx+1与直线AB都经过点(0,1),且B,C两点横坐标相同,所以此抛物线只能经过A,C两 点. 将A,C两点的坐标代入y=ax2+bx+1,得 解得a=-1,b=2.(8分) (3)解法一:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=-x2+px+q,其顶点坐标为. 因为顶点在直线y=x+1上,所以+1=+q. 于是,抛物线与y轴交点的纵坐标为q=-+1=-(p-1)2+, 12,
40、 421 1, ab ab 2 , 24 p p q 2 p 2 4 p 2 4 p 2 p1 4 5 4 所以,当p=1时,此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值.(12分) 解法二:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=-(x-h)2+k, 因为顶点在直线y=x+1上,所以k=h+1. 令x=0,得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1. 因为-h2+h+1=-+. 所以,当h=时,此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值.(12分) 5 4 2 1 - 2 h 5 4 1 2 5 4 思路分析思路分析 (1)先代入点A的坐标求出m,再代入点B的坐标验证即可;(2)因为抛物线与直线AB都
41、经过点 (0,1),而直线y=x+m经过点A和点B,且B、C两点横坐标相同,故点B肯定不在抛物线上,所以抛物线过 点A、C,然后列二元一次方程组即可求出a,b;(3)两个思路:设出平移后抛物线表达式的一般形式y=-x2 +px+q,并求出顶点坐标,然后将顶点坐标代入y=x+1,得到q与p的数量关系,进而得出q关于p的二次函数, 最后利用二次函数的性质求最值;设出平移后抛物线表达式的顶点式y=-(x-h)2+k,并把顶点坐标代入y =x+1,得到纵坐标为关于h的二次三项式,利用配方法求最值. 11.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B
42、,抛物线y=ax2+bx-3 a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 解析解析 (1)将x=0代入y=4x+4得y=4,B(0,4). 点B向右平移5个单位长度得到点C,C(5,4). (2)将y=0代入y=4x+4得x=-1, A(-1,0). 将点A(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a, 抛物线的对称轴为直线x=-=-=1. (3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1, 由抛物线的对称性可知抛物线也过
43、点A关于直线x=1的对称点(3,0). a0时,如图1. 2 b a -2 2 a a 图1 将x=5代入抛物线解析式得y=12a, 12a4,a. a4,a-. 若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3. 4 3 图3 将点(1,4)代入抛物线解析式得4=a-2a-3a, a=-1. 综上所述,a或a0,b0. 在方程ax2+x+c=0(a0)中,=-4ac=b2-b+-4ac0,设此方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=- =-+0,故选A. 2 - 3 b 2 2 - 3 b 4 3 4 9 2 - 3 b a b a 2 3a 3.(2020宁夏,10,3分)若二次函
44、数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是 . 答案答案 k-1 解析解析 若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则=4+4k0,解得k-1. 4.(2020山东青岛,12,3分)抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数是 . 答案答案 2 解析解析 令y=0,则2x2+2(k-1)x-k=0,此时根的判别式为=2(k-1)2-42 (-k)=4(k-1)2+8k=4k2-8k+4+8k=4k2+4 0,一元二次方程2x2+2(k-1)x-k=0有两个不相等的实数根,对应的抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴 交点的
45、个数是2. 5.(2018云南,20,8分)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B两点. (1)求b、c的值; (2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求出公共点的坐标;若没有,请说明理由. 3 16 9 -4,- 2 3 16 解析解析 (1)二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3)、B两点, 解得 b=,c=3.(4分) (2)y=-x2+bx+c=-x2+x+3. 令-x2+x+3=0,得x2-6x-16=0, 解得x=-2或x=8.(6分) 二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,公共点的坐标为(-2,0),(8,0
46、).(8分) 3 16 9 -4,- 2 2 3, 39 -(-4) -4-, 162 c bc 9 , 8 3. b c 9 8 9 , 8 3, b c 3 16 3 16 9 8 3 16 9 8 3 16 思路分析思路分析 (1)将A、B的坐标分别代入解析式,列方程组求得b、c.(2)由(1)得二次函数解析式,令y=0,解 方程即可. 6.(2018吉林,26,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax-3a(a0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相 交于点C,顶点为D,直线DC与x轴相交于点E. (1)当a=-1时,抛物线顶点D的坐标为 ,OE= ; (2)OE的长是否
47、与a值有关,说明你的理由; (3)设DEO=,4560,求a的取值范围; (4)以DE为斜边,在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE.设P(m,n),直接写出n关于m的函数解析式及 自变量m的取值范围. 解析解析 (1)(-1,4);3.(2分) (2)OE的长与a值无关. 理由:y=ax2+2ax-3a, C(0,-3a),D(-1,-4a). 直线CD的解析式为y=ax-3a.(4分) 当y=0时,x=3.OE=3. OE的长与a值无关.(5分) (3)当=45时,在RtOCE中,OC=OE, OE=3,OC=-3a, -3a=3.a=-1.(6分) 当=60时,在RtOCE中,OC=OE. OE=3,OC=-3a,-3a=3. a=-.(7分) 当4560时,-a-1.(8分) 3 3 3 3 (4)n=-m-1(my1y2 B.2y2y1 C.y1y22 D.y2y12 答案答案 A 由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧y随x的增 大而减小,又-11y1y2,故选
