1、 中考数学 （湖南专用） 8.7 二次函数综合型 1.(2018湖南长沙周南模拟,26)如图,M的圆心为M(-1,2),且M经过坐标原点O,与y轴交于点A,经过点A 的一条直线l的解析式为y=-x+4,直线l与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过x轴上的点D(2,0)和点C (-4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)求证:直线l是M的切线; (3)点P为抛物线上一动点,且PE与直线l垂直,垂足为E,直线PFy轴,交直线l于点F,是否存在这样的点P, 使PEF的面积最小?若存在,请求出此时点P的坐标及PEF面积的最小值;若不存在,请说明理由. 1 2 解析解析 (1)设抛物线的解析式为y=
2、a(x-2)(x+4)(a0), 将点M的坐标代入,得-9a=2,解得a=-. 抛物线的解析式为y=-(x-2)(x+4)=-x2-x+. (2)证明:连接AM,过点M作MGy轴,垂足为G. 2 9 2 9 2 9 4 9 16 9 把x=0代入y=-x+4得y=4, A(0,4). 将y=0代入y=-x+4得0=-x+4,解得x=8, B(8,0). OA=4,OB=8, M(-1,2),A(0,4), MG=1,AG=2, tanMAG=tanABO=, MAG=ABO. OAB+ABO=90, MAG+OAB=90,即MAB=90, AMAB, 1 2 1 2 1 2 1 2 l是M的切
3、线. (3)PFE+FPE=90,FBD+PFE=90, FPE=FBD, tanFPE=, PFPEEF=21, SPEF=PE EF=PFPF=PF2, 当PF最小时,PEF的面积最小, 设点P的坐标为, 则F, PF=- 1 2 5 1 2 1 2 2 5 5 5 5 1 5 2 2416 ,- 999 xxx 1 ,-4 2 xx 1 -4 2 x 2 2416 - 999 xx =-x+4+x2+x-=x2-x+ =+. 当x=时,PF有最小值,最小值为, P, PEF面积的最小值为=. 1 2 2 9 4 9 16 9 2 9 1 18 20 9 2 9 2 1 - 8 x 71
4、32 1 8 71 32 1 55 , 8 32 1 5 2 71 32 5 041 5 120 2.(2017湖南益阳,22,14分)如图1,直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点,与y轴交于点M,M、N关于x 轴对称,连接AN、BN. (1)求A、B的坐标; 求证:ANM=BNM; (2)如图2,将题中直线y=x+1变为y=kx+b(b0),抛物线y=2x2变为y=ax2(a0),其他条件不变,那么ANM= BNM是否仍然成立?请说明理由. 图1 图2 解析解析 (1)由已知得2x2=x+1,解得x=-或x=1, 当x=-时,y=;当x=1时,y=2. A、B两点的坐标分别为,(
5、1,2). 证明:如图,过A作ACy轴于C,过B作BDy轴于D. 1 2 1 2 1 2 1 1 -, 2 2 由及已知有A,B(1,2),OM=ON=1, tanANM=, tanBNM=, tanANM=tanBNM,ANM=BNM. (2)ANM=BNM成立. 理由:当k=0时,ABN是关于y轴对称的轴对称图形, ANM=BNM. 当k0时,根据题意得OM=ON=b,设A(x1,a)、B(x2,a). 如图,过A作AEy轴于E,过B作BFy轴于F. 1 1 -, 2 2 AC CN 1 2 1 1 2 1 3 BD DN 1 12 1 3 2 1 x 2 2 x 由题意可知ax2=kx+
6、b,即ax2-kx-b=0, x1+x2=,x1x2=-, -=- = k a b a NF BF NE AE 2 2 2 bax x 2 1 1 - bax x 22 11222 1 12 bxax xbxax x x x = =0, =,又BFN=AEN=90, RtAENRtBFN,ANM=BNM. 1212 12 ()()xxax xb x x - - kb ab aa b a NF BF NE AE 3.(2020湖南常德,25,10分)如图,已知抛物线y=ax2过点A. (1)求抛物线的解析式; (2)已知直线l过点A,M且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA
7、MB; (3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所 有符合条件的P点坐标. 9 -3, 4 3 ,0 2 解析解析 (1)把点A代入y=ax2, 得=9a, a=, 抛物线的解析式为y=x2.(3分) (2)证明:设直线l的解析式为y=kx+b(k0), 则解得 直线l的解析式为y=-x+, 9 -3, 4 9 4 1 4 1 4 9 -3, 4 3 0, 2 kb kb 1 -, 2 3 , 4 k b 1 2 3 4 令x=0,得y=, C, 由解得或 B. 如图,过点A作AA1x轴于A1,过点B作BB1x轴于B1,则BB1O
8、CAA1, 3 4 3 0, 4 2 1 , 4 13 - 24 yx yx 1, 1 4 x y -3, 9 , 4 x y 1 1, 4 =,=, =,即MC2=MA MB.(7分) (3)OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形, PDOC,PD=OC, BM MC 1 MB MO 3 -1 2 3 2 1 3 MC MA 1 MO MA 3 2 3 -(-3) 2 1 3 BM MC MC MA 如图,设P,D. =, 整理得t2+2t-6=0或t2+2t=0, 解得t=-1-或-1+或-2或0(舍去), 2 1 , 4 tt 13 ,- 24 tt 2 113 - - 4
9、24 tt 3 4 77 P或或(-2,1).(10分) 7 -1- 7,2 2 7 -17,2- 2 思路分析思路分析 (1)利用待定系数法即可求出解析式. (2)构建方程组确定点B的坐标,再利用平行线分线段成比例定理分别求得和的值,进而得到 =,即可证明. (3)根据题意设P,D,根据PD=OC构建方程,求出t即可解决. BM MC MC MA BM MC MC MA 2 1 , 4 tt 13 ,- 24 tt 4.(2020湖南岳阳,24,10分)如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线F1:y=a+与x轴交于点A 和点B,与y轴交于点C. (1)求抛物线F1的表达式; (2)如图2,将
10、抛物线F1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线F2,若抛物线F1与抛物线F2相 交于点D,连接BD,CD,BC. 求点D的坐标; 判断BCD的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,抛物线F2上是否存在点P,使得BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不 存在,请说明理由. 2 2 - 5 x 64 15 6 -,0 5 解析解析 (1)将点A代入抛物线F1的表达式得+=0,解得a=-, 则抛物线F1的表达式为y=-+=-x2+x+4. (2)由二次函数图象的平移规律得,抛物线F2的表达式为y=-+-3, 即F2:y=-+=-x2-2x+, 联立解得 则点D的坐标为
11、(-1,1). 对于y=-+=-x2+x+4, 6 -,0 5 2 6 2 - 5 5 a 64 15 5 3 5 3 2 2 - 5 x 64 15 5 3 4 3 5 3 2 2 -1 5 x 64 15 5 3 2 3 5 x 19 15 5 3 2 3 2 2 54 -4, 33 52 -2, 33 yxx yxx -1, 1, x y 5 3 2 2 - 5 x 64 15 5 3 4 3 当y=0时,-+=0,解得x=2或x=-, 则点B的坐标为(2,0). 当x=0时,y=-02+0+4=4,则点C的坐标为(0,4), 故BC=2, BD=, CD=, 则BD=CD,BD2+CD
12、2=BC2, 故BCD是等腰直角三角形. (3)抛物线F2的表达式为y=-+=-x2-2x+, 设点P的坐标为(m,n). 由题意,分以下三种情况: 5 3 2 2 - 5 x 64 15 6 5 5 3 4 3 22 (2-0)(0-4)5 22 (21)(0-1)10 22 (01)(4-1)10 5 3 2 3 5 x 19 15 5 3 2 3 当PDB=90,PD=BD时,BDP为等腰直角三角形, BCD是等腰直角三角形,BDC=90,BD=CD, PD=CD, 点D是CP的中点, 则解得 即点P的坐标为(-2,-2). 对于抛物线F2的表达式y=-x2-2x+, 当x=-2时,y=
13、-(-2)2-2(-2)+=-2, 即点P(-2,-2)在抛物线F2上,符合题意. 当PBD=90,PB=BD时,BDP为等腰直角三角形, 0 -1, 2 4 1, 2 m n -2, -2, m n 5 3 2 3 5 3 2 3 BDC=90,BD=CD, CDPB,PB=CD, 四边形BCDP是平行四边形, 点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同. C(0,4),B(2,0), 点C至点B的平移方式为先向下平移4个单位长度,再向右平移2个单位长度, D(-1,1),P(m,n), 即点P的坐标为(1,-3). 对于抛物线F2的表达式y=-x2-2x+, 当x=1时,y=-12-2
14、1+=-3, 即点P(1,-3)在抛物线F2上,符合题意. -121, 1-4-3, m n 5 3 2 3 5 3 2 3 当BPD=90,PB=PD时,BDP为等腰直角三角形, 则点P在线段BD的垂直平分线上, 设直线BD的解析式为y=kx+b,k0, 将点B(2,0),D(-1,1)代入得解得 则直线BD的解析式y=-x+. 设BD的垂直平分线所在直线的解析式为y=3x+c, 点B(2,0),D(-1,1)的中点的坐标为,即, 将点代入y=3x+c得+c=,解得c=-1, 则BD的垂直平分线所在直线的解析式为y=3x-1, 20, -1, kb kb 1 - , 3 2 , 3 k b
15、1 3 2 3 2-1 01 , 22 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 3 2 1 2 因此有3m-1=n,即点P的坐标为(m,3m-1). PB=, 又BD=,BDP为等腰直角三角形, PB=BD=,则=, 解得m=0或m=1. 当m=0时,3m-1=30-1=-1,即点P的坐标为(0,-1), 当m=1时,3m-1=31-1=2,即点P的坐标为(1,2). 对于抛物线F2的表达式y=-x2-2x+, 当x=0时,y=-02-20+=, 即点P(0,-1)不在抛物线F2上,不符合题意,舍去. 当x=1时,y=-12-21+=-3, 22 ( -2)(3 -1-0)mm 2 10-10
16、5mm 10 2 2 5 2 10-105mm5 5 3 2 3 5 3 2 3 2 3 5 3 2 3 即点P(1,2)不在抛物线F2上,不符合题意,舍去. 综上,符合条件的点P的坐标为(-2,-2),(1,-3). 5.(2020湖南张家界,23,10分)如图,抛物线y=ax2-6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=-x+5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P,连接AC,AP,判定APC的形状,并说明理由; (3)在直线BC上是否存在点M,使AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍?若存在,请求出点M的坐标;若不 存在,请说明理由.
17、解析解析 (1)直线y=-x+5经过点B,C, 当x=0时,可得y=5,即C的坐标为(0,5), 当y=0时,可得x=5,即B的坐标为(5,0), 解得 该抛物线的解析式为y=x2-6x+5. (2)APC为直角三角形,理由如下: 解方程x2-6x+5=0,得x1=1,x2=5, A(1,0),B(5,0), 抛物线y=x2-6x+5的对称轴l为直线x=3, APB为等腰三角形, C的坐标为(0,5),B的坐标为(5,0), OB=CO=5,即ABP=45, PAB=45, 2 2 50 -60, 05-6 5, ac ac 1, 5, a c APB=180-45-45=90, APC=18
18、0-90=90, APC为直角三角形. (3)如图,作ANBC于N,NHx轴于H,连接AC,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E, M1A=M1C, ACM1=CAM1, AM1B=2ACB, ANB为等腰直角三角形, AH=BH=NH=2, N(3,2). 设直线AC的函数解析式为y=kx+b,k0, C(0,5),A(1,0), 解得b=5,k=-5, 直线AC的函数解析式为y=-5x+5. 设直线EM1的函数解析式为y=x+n, 点E的坐标为, 50, 0, kb kb 1 5 1 5 , 2 2 =+n,解得n=, 直线EM1的函数解析式为y=x+. 联立解得 M1的坐标为. 在
19、直线BC上作点M1关于点N的对称点M2, 设M2(a,-a+5), 则有3=,解得a=, 5 2 1 5 1 2 12 5 1 5 12 5 -5, 112 , 55 yx yx 13 , 6 17 , 6 x y 13 17 , 66 13 6 2 a 23 6 -a+5=, M2的坐标为. 综上,直线BC上存在使AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍的点,且坐标为M1,M2. 7 6 23 7 , 66 13 17 , 66 23 7 , 66 6.(2020湖南邵阳,26,10分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C(8, 0),B(0,6),CD=5,
20、抛物线y=ax2-x+c(a0)过B,C两点,动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D ABC的方向运动到达C点后停止运动.动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动,到达C 点后,立即返回,向CO方向运动,到达O点后,又立即返回,依此在线段OC上反复运动,当点M停止运动时, 点N也停止运动,设运动时间为t秒. 15 4 (1)求抛物线的解析式; (2)求点D的坐标; (3)当点M,N同时开始运动时,若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,O,N为顶点的三角形相似,求t的值; (4)过点D与x轴平行的直线,交抛物线的对称轴于点Q,将线段BA沿过点B的直线翻折,点A的对称点为A, 求
21、AQ+QN+DN的最小值. 解析解析 (1)将C(8,0),B(0,6)代入y=ax2-x+c得 解得 抛物线的解析式为y=x2-x+6. (2)作DEx轴于点E, C(8,0),B(0,6), OC=8,OB=6,BC=10, BOC=BCD=DEC, 易证BOCCED, 15 4 15 64 -80, 4 6, ac c 3 , 8 6, a c 3 8 15 4 =, CE=3,DE=4, BC CD BO CE OC DE OE=OC+CE=11, D(11,4). (3)当点M在DA上运动时,DM=5t,ON=4t, 若BONCDM,则=,即=,不成立,舍去. BO CD ON DM
22、 6 5 4 5 t t 若BONMDC,则=,即=,解得t=(负舍). 当点M在BC上运动时,CM=25-5t, 若BONMCD,则=,即=, ON=, 当3t4时,ON=16-4t, =16-4t,解得t=或t=(舍去). 当4t5时,ON=4t-16, =4t-16,无解. 若BONDCM,则=,即=, ON=30-6t, BO MD ON DC 6 5t 4 5 t 6 2 BO MC ON CD 6 25-5t5 ON 6 5-t 6 5-t 9- 7 2 97 2 6 5-t BO DC ON CM 6 525-5 ON t 当3t4时,ON=16-4t, 30-6t=16-4t,
23、 解得t=7(舍去). 当42,即k4时, 2 ,-2 24 k k k 2 k M,H(2,-4),MI=, HI=4,tanMHI=,MHI=30, MHN=60, NHI=30,即GNH=30, 由图可知tanGNH=, 解得k=4+2或k=4(舍). 当2,即k4时, 同理可得MHI=30, MHN=60, 4 3 2-,0 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 GH GN 2 -2 2 -24 4 k k k 3 3 3 2 k HNIH,即-2k=-4, 解得k=4,不符合题意. 当=2时,N、H重合,舍去. 综上,k=4+2, 抛物线的解析式为y=-x2+(4+2)x-(8+4). 2 4 k 2 k 3 33
