1、 中考数学 （河南丏用） 第二章 方程（组）与不等式（组） 2.3 分式方程 1.(2020四川成都,8,3分)已知x=2是分式方程+=1的解,那么实数k的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 k x -3 -1 x x 考点一 分式方程及其解法 答案答案 B x=2是+=1的解, +(-1)=1,解得k=4.故选B. k x -3 -1 x x 2 k 2.(2020重庆A卷,10,4分)若关于x的一元一次不等式组的解集为xa;且关于y的分式方程 +=1有正整数解,则所有满足条件的整数a的值之积是( ) A.7 B.-14 C.28 D.-56 3 -1 3, 2 x x xa - -
2、2 y a y 3 -4 -2 y y 答案答案 A 由化简得因为它的解集为xa,所以a7,关于y的分式方程+=1的 解为y=,且y2,因为分式方程有正整数解,且a7,所以a=1或a=7.所以满足条件的整数 a的值之积 为7,故选A. 3 -1 3, 2 x x xa 7, , x xa - -2 y a y 3 -4 -2 y y 2 3 a 易错警示易错警示 求分式方程的解时,要注意是否产生增根.本题中当a=4时,y=2是增根,所以a4. 3.(2017河南,4,3分)解分式方程-2=,去分母得( ) A.1-2(x-1)=-3 B.1-2(x-1)=3 C.1-2x-2=-3 D.1-2
3、x+2=3 1 -1x 3 1-x 答案答案 A 分式方程两边同乘(x-1),得1-2(x-1)=-3.故选A. 4.(2019四川成都,7,3分)分式方程+=1的解为( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2 -5 -1 x x 2 x 答案答案 A 原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,检验:当x=-1时,x(x-1)0,所以x=-1是原分式方 程的解,故选A. 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,14,3分)关于x的分式方程-=3的解为非负数,则a的取值范围为 . 2 - -1 x a x 1 1-x 答案答案 a4且a3 解析解析 方程两边同乘
4、(x-1),得2x-a+1=3(x-1),解得x=4-a,由题意得x0且x1, 解得a4且a3. 4-0, 4-1, a a 思路分析思路分析 先解关于x的分式方程,求得x的值,再依据“解为非负数,分母不为0”建立不等式组求a的取 值范围. 6.(2018内蒙古呼和浩特,17(2),5分)解方程:+1=. -3 -2 x x 3 2-x 解析解析 去分母得x-3+x-2=-3,解得x=1. 检验:当x=1时,x-20, 所以,x=1是原分式方程的解. 1.(2020广西北部湾经济区,10,3分)甲、乙两地相距600 km,提速前动车的速度为v km/h,提速后动车的速 度是提速前的1.2倍,提
5、速后行车时间比提速前减少20 min,则可列方程为( ) A.-= B.=- C.-20= D.=-20 600 v 1 3 600 1.2v 600 v 600 1.2v 1 3 600 v 600 1.2v 600 v 600 1.2v 考点二 分式方程的应用 答案答案 A 提速前后行车时间分别是 h, h,因为提速后行车时间比提速前减少20 min,所以- =,即-=,故选A. 600 v 600 1.2v 600 v 600 1.2v 1 3 600 v 1 3 600 1.2v 2.(2019江西,11,3分)斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明
6、 程度.如图,某路口的斑马线路段ABC横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11 秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.2倍,求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速 度是x米/秒,根据题意列方程得: . 答案答案 +=11 6 x 6 1.2x 解析解析 因为通过AB时的速度为x米/秒, 所以通过BC时的速度为1.2x米/秒. 因为通过AB所用的时间为秒,通过BC所用的时间为秒.由题意得+=11. 6 x 6 1.2x 6 x 6 1.2x 3.(2020吉林,17,5分)甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙 做
7、60个所用的时间相等.求乙每小时做零件的个数. 解析解析 设乙每小时做x个零件.(1分) 根据题意,得=.(3分) 解得x=12.(4分) 检验:当x=12时,x(x+6)0, 所以,原分式方程的解为x=12. 答:乙每小时做12个零件.(5分) 90 6x 60 x 思路分析思路分析 设乙每小时做x个零件,则甲每小时做(x+6)个零件,根据“时间=总工作量工作效率”和 “甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等”即可得出关于x的分式方程,解之并检验后得解. 4.(2019云南,18,6分)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙两所学 校各租用一辆大巴车组织
8、部分师生,分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教 育”基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均 速度的1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均 速度. 解析解析 设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x km/h,则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x km/h.根 据题意得-=1,(3分) 解得x=60.经检验,x=60是原分式方程的解,且符合题意. x=60,1.5x=90. 答:甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60 km/h和90 km/h.(6分) 240 x
9、270 1.5x 易错警示易错警示 解分式方程的应用题时要对结果进行检验. 1.(2020海南,8,3分)分式方程=1的解是( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=5 D.x=2 3 -2x 考点一 分式方程及其解法 教师丏用题组 答案答案 C 方程两边都乘(x-2)得3=x-2,解得x=5. 经检验,x=5是原分式方程的解,故选C. 2.(2020云南,14,4分)若整数a使关于x的不等式组有且只有45个整数解,且使关于y的方程 +=1的解为非正数,则a的值为( ) A.-61或-58 B.-61或-59 C.-60或-59 D.-61或-60或-59 -111 , 23 4 -1 xx
10、x ax 22 1 ya y 60 1y 答案答案 B 解不等式得x25,解不等式4x-ax+1得x,x25,原不等式组有且 只有45个整数解,-20-19,-61a-58.解分式方程+=1得y=-a-61.分式方程的 解为非正数,-a-610,且-a-61-1,a-61且a-60,a=-61或-59.故选B. -1 2 x11 3 x1 3 a 1 3 a 1 3 a 22 1 ya y 60 1y 解后反思解后反思 本题考查含参数的不等式组和分式方程的解法,解不等式组并根据整数解的个数确定参数a 的取值范围,再解分式方程并根据分式方程解所满足的条件,求出参数a的取值. 3.(2016安徽,
11、5,4分)方程=3的解是( ) A.- B. C.-4 D.4 21 -1 x x 4 5 4 5 答案答案 D 去分母得,2x+1=3x-3,x=4,经检验,x=4是原方程的根,故选D. 评析评析 本题考查了分式方程的解法,不要遗漏检验的步骤,属容易题. 4.(2017黑龙江哈尔滨,6,3分)方程=的解为( ) A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=-5 2 3x 1 -1x 答案答案 C 方程两边同时乘(x+3)(x-1),得2(x-1)=x+3,解得x=5,经检验,x=5是原分式方程的解.故选C. 5.(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程-=2的解,那么实数k的值为(
12、 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 -1 kx x 2 -1k x 答案答案 D 把x=3代入分式方程得-=2,解得k=2.故选D. 3 3-1 k2 -1 3 k 6.(2017重庆A卷,12,4分)若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数,且使关于y的不等式组 的解集为y0且1. a6且a2. 解不等式,得y-2. 解不等式,得ya. 不等式组的解集为y-2,a-2. -2a0,a随m的增大而增大, 1m2, 当m=1时,a取最小值,且最小值为120. 1 150 11 150 x 1 3 1 5 1 10 15 x 1 3 1m aa 2 3 此时,乙队的最大工作效率是=.(9分)
13、=. 答:乙队的最大工作效率是原来的倍.(10分) 1 a 1 120 1 120 1 450 15 4 15 4 7.(2016内蒙古呼和浩特,22,7分)某一公路的道路维修工程,准备从甲、乙两个工程队中选一个队单独完 成.根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知,若由两队合做此项维修工程,6天可以完成,共需 工程费用385 200元,若单独完成此项维修工程,甲队比乙队少用5天,每天的工程费用甲队比乙队多4 000 元.从节省资金的角度考虑,应该选择哪个工程队? 解析解析 设甲工程队单独完成此项维修工程需x天.(1分) 依据题意可列方程:+=.(3分) 解得x1=10,x2=-3(舍去)
14、, 经检验,x=10是原方程的解.(4分) 设甲工程队每天的工程费用为y元. 依据题意可列方程:6y+6(y-4 000)=385 200, 解得y=34 100.(5分) 甲工程队完成此项维修工程的费用为34 10010=341 000(元), 乙工程队完成此项维修工程的费用为30 10015=451 500(元).(6分) 答:从节省资金的角度考虑,应该选择甲工程队.(7分) 1 x 1 5x 1 6 1.(2020安阳一模,4)解分式方程=-1,去分母得( ) A.x-2=2(2-x)-1 B.1=-2-x-2 C.1=-2-(x-2) D.1=2-(x-2) 1 -2x 2 2-x A
15、组 20182020年模拟基础题组 时间:25分钟 分值:30分 一、选择题(每小题3分,共15分) 答案答案 C 方程两边同乘(x-2)得,1=-2-(x-2).故选C. 2.(2020周口沈丘一模,7)某地钢轨铺设,现还有6 000米的钢轨需要铺设,为确保年底通车,如果实际施工 时每天比原计划多铺设20米,就能提前15天完成任务,设原计划每天铺设钢轨x米,则根据题意所列的方 程是( ) A.-=15 B.-=15 C.-=20 D.-=20 6 000 x 6 000 20 x 6 000 20 x 6 000 x 6 000 x 6 000 -15x 6 000 -15x 6 000 x
16、 答案答案 A 原计划用时天,实际用时天,由实际能提前15天完成任务,可列方程为- =15.故选A. 6 000 x 6 000 20 x 6 000 x 6 000 20 x 3.(2020周口鹿邑一模,8)某车间接了生产12 000只口罩的订单,加工4 800个口罩后,采用了新的工艺,效率 是原来的1.5倍,任务完成后发现比原计划少用了2小时.设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个,依据题 意可得方程( ) A.-=2 B.-=2 C.-=2 D.-=2 4 800 x 12 000-4 800 1.5x 12 000 1.5x 12 000-4 800 1.5x 12 000-4 800
17、x 4 800 1.5x 12 000-4 800 x 12 000-4 800 1.5x 答案答案 D 因为采用新工艺之前每小时可生产口罩x个,所以采用新工艺之后每小时可生产口罩1.5x个, 依题意,得-=2.故选D. 12 000-4 800 x 12 000-4 800 1.5x 4.(2018安阳一模,4)方程-1=的解为( ) A.x=4 B.x=-3 C.x=6 D.此方程无解 1 -2x 3 2-x 答案答案 C 去分母得1-(x-2)=-3, 解得x=6, 经检验,当x=6时,x-20, 所以x=6是分式方程的解,故选C. 5.(2019郑州一模,6)为积极响应“传统文化进校园
18、”的号召,郑州市某中学举行书法比赛,为奖励获奖学 生,学校购买了一些钢笔和毛笔,钢笔单价是毛笔单价的1.5倍,购买钢笔用了1 200元,购买毛笔用了1 500 元,购买的钢笔支数比毛笔少20支,钢笔,毛笔的单价分别是多少元?如果设毛笔的单价为x元,那么下面所 列方程正确的是( ) A.-=20 B.-=20 C.=20- D.-=20 1 200 1.5x 1 500 x 1 500 x 1 200 1.5x 1 500 x 1 200 1.5x 1 200 x 1 500 1.5x 答案答案 B 毛笔的单价为x元,则钢笔的单价为1.5x元,根据用1 500元购买的毛笔数量-用1 200元购买
19、的 钢笔数量=20,得-=20.故选B. 1 500 x 1 200 1.5x 二、解答题(共15分) 6.(2020信阳一模,21(1)山地自行车越来越受到中学生们的喜爱,各种品牌山地自行车相继投放市场.某 车行经营的A型山地自行车去年销售总额为50 000元,今年每辆销售价比去年降低400元,若卖出的数量 相同,则销售总额将比去年减少20%.去年A型山地自行车每辆售价多少元?(用列方程的方法解答) 解析解析 设今年A型山地自行车每辆售价为x元,则去年每辆售价为(x+400)元,由题意得= , 解得x=1 600. 经检验,x=1 600是原方程的解,且符合题意. 则x+400=1 600+
20、400=2 000. 答:去年A型山地自行车每辆售价为2 000元. 50 000 400 x 50 000(1-20%) x 7.(2019濮阳二模,21)某商场准备购进A,B两种品牌台灯,其中A种品牌台灯每盏进价比B种品牌台灯每盏 进价贵30元,A种品牌台灯每盏售价120元,B种品牌台灯每盏售价80元.已知用1 040元购进的A种品牌台 灯数量与用650元购进B种品牌台灯的数量相同. (1)求A,B两种品牌台灯每盏的进价; (2)商场打算购进A、B两种品牌台灯共100盏,要求总利润不得少于3 400元,不得多于3 550元,问有多少 种进货方案? (3)在(2)的条件下,该商场决定对A种品
21、牌台灯进行降价促销,每盏降价m(8m15)元,B种品牌台灯售价不 变,商场如何进货获利最大? 解析解析 (1)设A种品牌台灯每盏的进价为x元,则B种品牌台灯每盏的进价为(x-30)元, 由题意,得=, 解得x=80. 经检验,x=80是原分式方程的解且符合题意. x-30=50. 答:A种品牌台灯每盏的进价为80元,B种品牌台灯每盏的进价为50元. (2)设商场购进A种品牌台灯a盏,则购进B种品牌台灯(100-a)盏,根据题意, 有 解得40a55, a为整数, 该商场有16种进货方案. (3)设商场销售A、B两种品牌台灯获利为w元,根据题意,有w=(120-m-80)a+(80-50)(10
22、0-a)=(10-m)a+3 00 0, 1 040 x 650 -30 x (120-80)(80-50)(100- )3 400, (120-80)(80-50)(100- )3 550, aa aa 8m15, 当8m0,所以w随a的增大而增大, 故当a=55,即进A种品牌台灯55盏、B种品牌台灯45盏时,获利最大, 当m=10时,w=3 000; 故当A种品牌台灯数量在40至55盏时,利润均为3 000元; 当10m15时,10-m1 C.a1且a4 D.a1且a4 2 - -2 x a x 1 2 答案答案 C 去分母得2(2x-a)=x-2, 解得x=. 由题意得0且2, 解得a1
23、且a4.故选C. 2 -2 3 a 2 -2 3 a2 -2 3 a 解题关键解题关键 本题考查分式方程的解,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方 程求解,注意验根.解题关键是要根据解为非负数和分式方程分母不为0两个条件,求出a的范围. 6.(2019洛阳一模,6)某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天 的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方 米,则下面所列方程中正确的是 ( ) A.-=30 B.-=30 C.-=30 D.-=30 60 x 60 (125%)x 60 (12
24、5%)x 60 x 60(125%) x 60 x 60 x 60(125%) x 答案答案 A 原计划绿化的时间为天,实际绿化的时间为天,根据原计划时间-实际时间=30,可 以列方程-=30.故选A. 60 x 60 (125%)x 60 x 60 (125%)x 7.(2019信阳二模,8)如图,y1,y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程s(单位:千米)与所需费用y(单位: 元)的关系,已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元,设纯电动汽车每千 米所需费用为x元,可列方程为( ) A.= B.= C.= D.= 36 x 9 -0.54x 36 -0.54x
25、9 x 36 0.54x 9 x 36 x 9 0.54x 答案答案 C 由题图可知,燃油汽车和纯电动汽车行驶相同的一段路程所需费用分别为36元和9元,因为纯 电动汽车每千米所需费用为x元,所以燃油汽车每千米所需费用为(x+0.54)元,所以可得方程=, 故选C. 36 0.54x 9 x 二、解答题(共19分) 8.(2020洛阳一模,21)某单位需购买甲、乙两种消毒剂.经了解,这两种消毒剂的价格都有零售价和批发 价(若按批发价,则每种消毒剂购买的数量不少于50桶),零售时甲种消毒剂每桶比乙种消毒剂多8元,已知 购买两种消毒剂各m(m50)桶,所需费用分别是960元、720元. (1)求甲、
26、乙两种消毒剂的零售价; (2)该单位预计批发这两种消毒剂500桶,且甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的,甲、乙两种消 毒剂的批发价分别为20元/桶、16元/桶.设甲种消毒剂批发数量为x桶,购买资金总额为y元,请写出y与x 的函数关系式,并求出y的最小值和此时的购买方案. 1 3 解析解析 (1)设甲种消毒剂的零售价为a元/桶,则乙种消毒剂的零售价为(a-8)元/桶. 依题意得=.(3分) 解得a=32, 经检验,a=32是原方程的解,且符合题意. a-8=24. 答:甲种消毒剂的零售价为32元/桶,乙种消毒剂的零售价为24元/桶.(5分) (2)依题意,知x(500-x).(7分) 解得x
27、125,(8分) y=20 x+16(500-x)=4x+8 000(125x0,y随x的增大而增大, 当x=125时,y最小值=8 500, 此时批发甲种消毒剂125桶,乙种消毒剂375桶.(10分) 960 a 720 -8a 1 3 思路分析思路分析 (1)直接根据题中的数量关系以及等量关系列出分式方程,解方程求出答案答案;(2)根据题中的不 等关系和购买资金总额的表示方法,运用一次函数的增减性确定购买总金额的最小值以及购买方案. 9.(2019开封一模,21)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2 000元,乙种商品共用了2 400元.已知 乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元
28、,且购进的甲、乙两种商品件数相同. (1)求甲、乙两种商品每件的进价; (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元. 销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单 价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2 460元,问甲种商 品按原销售单价至少销售多少件? 解析解析 (1)设甲种商品每件的进价为x元,则乙种商品每件的进价为(x+8)元.根据题意,得=, 解得x=40. 经检验,x=40是所列方程的解,且符合题意. x+8=48. 答:甲种商品每件的进价为40元,乙种商品每件的进价为48元. (2)设甲种商品按原销售单价销售y件. 由(1)得甲、乙两种商品各购进了50件. 由题意得(60-40)y+(600.7-40)(50-y)+(88-48)502 460,解得y20. 所以甲种商品按原销售单价至少销售20件. 2 000 x 2 400 8x
