1、 中考数学 （河北专用） 3.4 二次函数 考点一 二次函数的图象与性质 1.(2020广东,7,3分)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为( ) A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3 答案答案 C 根据抛物线的平移规律,知把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数 解析式为y=(x-1)-12+2=(x-2)2+2,故选C. 解题关键解题关键 本题考查二次函数图象的平移,解答的关键在于熟练掌握抛物线的平移规律“左加右减、 上加下减”. 2.(2019甘肃兰州,11,
2、4分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是( ) A.2y1y2 B.2y2y1 C.y1y22 D.y2y12 答案答案 A 由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧y随x的增 大而减小,又1y1y2,故选A. 3.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4 答案答案 B 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点, 解得故选B. -4-24, -1644, nb nb 2, -4. b n
3、一题多解一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x=1,即=1,b=2, n=-(-2)2+2(-2)+4=-4. -24 2 2 b 4.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( ) A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当x0时,y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3 答案答案 D 因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选 项B错误;当x0)的图象是( ) k x 答案答案 D 对于y=-x2+
4、3,当y=0时,x=;当x=1时,y=2;当x=0时,y=3,所以抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭 区域内(边界除外)的整点(点的横、纵坐标都是整数)为(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),共有4个,k=4,反比例函 数y=(x0)的图象经过点(4,1),故选D. 3 4 x 6.(2017天津,12,3分)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使 点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上.则平移后的抛物线解析式为 ( ) A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x
5、2-2x-1 答案答案 A 令y=0,则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, A(1,0),B(3,0). y=x2-4x+3=(x-2)2-1,点M的坐标为(2,-1), 平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上, 抛物线向上平移了1个单位长度,向左平移了3个单位长度, 平移后的抛物线解析式为y=(x+1)2=x2+2x+1,故选A. 解题关键解题关键 正确得出平移的方向和距离是解题的关键. 7.(2020内蒙古包头,19,3分)在平面直角坐标系中,已知A(-1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点,将抛 物线y=x2+bx+1向
6、上平移n(n是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴没有交点,则n的最小值为 . 答案答案 4 解析解析 抛物线过点A(-1,m),B(5,m),(-1)2-b+1=52+5b+1,解得b=-4,y=x2-4x+1=(x-2)2-3,抛物线的顶 点坐标为(2,-3).将抛物线y=(x-2)2-3向上平移n(n是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴没有交点,则n3. n的最小值为4. 8.(2020海南,22,15分)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧. 如图1,过点P作PD
7、x轴于点D,作PEy轴于点E,当PD=2PE时,求PE的长; 如图2,该抛物线上是否存在点P,使得ACP=OCB?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明 理由. 解析解析 (1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)、B(2,0), (2分) 解得(4分) 抛物线的函数表达式为y=x2+x-6.(5分) (2)设PE=t(t0),则PD=2t, 因为点P是抛物线上的动点且位于y轴左侧,当点P在x轴上时,点P与A重合,不合题意,故舍去,因此分为以 下两种情况讨论: i.如图1,当点P在第三象限时,点P的坐标为(-t,-2t), 则t2-t-6=-2t,即t2+t-6=0,(6分)
8、解得t1=2,t2=-3(舍去), PE=2.(7分) ii.如图2,当点P在第二象限时,点P的坐标为(-t,2t), 9-30, 420. bc bc 1, -6, b c 则t2-t-6=2t,即t2-3t-6=0,(8分) 解得t1=,t2=(舍去), PE=.(9分) 综上所述,PE的长为2或.(10分) 333 2 3- 33 2 333 2 333 2 存在点P,使得ACP=OCB. 当x=0时,y=-6, C(0,-6),OC=6. 在RtAOC中,AC=3, 22 OAOC 22 365 过点A作AHAC,交直线CP于点H, 则CAH=COB, 又ACP=OCB,CAHCOB,
9、 =,(11分) 过点H作HMx轴于点M,则HMA=AOC, MAH+OAC=90,OAC+OCA=90, MAH=OCA,HMAAOC, =,即=, MH=1,MA=2.(12分) i.如图3,当点P在第三象限时,点H的坐标为(-5,-1), AH AC OB OC 2 6 1 3 MH OA MA OC AH AC3 MH 6 MA1 3 图3 由H(-5,-1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-x-6, 于是有x2+x-6=-x-6,即x2+2x=0, 解得x1=-2,x2=0(舍去), 点P的坐标为(-2,-4).(13分) ii.如图4,当点P在第二象限时,点H的坐标为(-1
10、,1), 图4 由H(-1,1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-7x-6, 于是有x2+x-6=-7x-6,即x2+8x=0, 解得x1=-8,x2=0(舍去), 点P的坐标为(-8,50).(14分) 综上所述,点P的坐标为(-2,-4)或(-8,50).(15分) 解后反思解后反思 对于(2)中的,由点A,B,C的坐标易得OBOC=13及AC的长.过点A作AHAC,过点H作 HMx轴于点M,分点P在第二象限和第三象限两种情况,易得HMAAOC,进而求出点H的坐标,这 样便可得到直线CP的解析式,联立直线的解析式和抛物线的解析式求出点P的坐标即可. 考点二 二次函数图象与a、b、c
11、的关系 1.(2020河北,15,2分)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的 说法如下, 甲:若b=5,则点P的个数为0; 乙:若b=4,则点P的个数为1; 丙:若b=3,则点P的个数为1. 下列判断正确的是( ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错 C.乙对,丙错 D.甲错,丙对 答案答案 C y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,抛物线的顶点坐标为(2,4),若b=5,则点P的个数为0,甲正确;若b=4,则 点P的个数为1(只能是顶点),乙正确;若b=3,根据二次函数图象的对称性,可知点P的个数为2,丙错误,故选 C. 解
12、题关键解题关键 从抛物线的对称性入手,结合图象探究直线y=b与抛物线的交点情况是解题关键. 2.(2018湖北襄阳,9,3分)已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是( ) A.m5 B.m2 C.m2 1 4 答案答案 A 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,所以b2-4ac0,即(-1)2-410,解得m5.故选A. 1 -1 4 m 3.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是 ( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0
13、;当x=-1时,y=a-b+ c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D. 15 2 4.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整 数,确定所有c的值.”甲的结果是 c=1,乙的结果是c=3或4,则( ) A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 答案答案 D 抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0 x3)沿y轴向上平移c个单位形 成的,一段抛物线L:
14、y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y轴向下平 移c个单位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点 时,0+2-c=0,c=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当20时,y随x的增大而减小;该函数的图象的 顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 . 答案答案 解析解析 二次函数y=-(x-m)2+m2+1与函数y=-x2的二次项系数相同,故图象形状相同,正确; 二次函数y=-(x-m)2+m
15、2+1可化为y=-x2+2mx+1,故该函数的图象一定经过点(0,1),正确; 图象开口向下,对称轴为直线x=m,则当xm时,y随x的增大而减小,错误; 图象的顶点坐标是(m,m2+1),所以该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上,正确. 6.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a 经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 解析解析 (1)将x=0代入y=4x+4得y=4,
16、 B(0,4). 点B向右平移5个单位长度得到点C, C(5,4). (2)将y=0代入y=4x+4得x=-1, A(-1,0). 将点A(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a, 抛物线的对称轴为直线x=-=-=1. (3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的 对称点(3,0). a0时,如图1. 2 b a -2 2 a a 图1 将x=5代入抛物线的解析式得y=12a, 12a4, a. a4, a-. 若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3. 4 3 图3 将点(
17、1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a, a=-1. 综上所述,a或a-或a=-1. 1 3 4 3 思路分析思路分析 (1)先求B点坐标,由B点向右平移5个单位长度确定C点坐标. (2)确定A点坐标,代入抛物线的解析式,利用公式确定对称轴. (3)结合图象和抛物线的对称性解答. 解题关键解题关键 解决本题第(3)问的关键是要先确定题目中抛物线所过的定点,进而通过临界点求出a的取值 范围.同时不要忽略抛物线顶点是公共点的情况. 7.(2020广东,25,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点A,B分别位于原点的左、右两侧, BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正
18、半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=CD. (1)求b,c的值; (2)求直线BD的函数解析式; (3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当ABD与BPQ相似时,请直接写出所有满 足条件的点Q的坐标. 33 6 3 解析解析 (1)BO=3AO=3, A(-1,0),B(3,0). y=(x+1)(x-3)=x2-x-. b=-,c=-.(2分) (2)过点D作DEy轴,垂足为E. DEOB,OBCEDC, 33 6 33 6 33 3 33 2 33 3 33 2 =, DE=,即xD=-. yD=(-)2-(-)-=+1. D(-,+1).(4分) 设直线BD的函数解
19、析式为y=kx+m,k0, 直线过点B(3,0),D(-,+1), 解得 直线BD的函数解析式为y=-x+.(6分) OB DE BC CD 3 3 33 6 3 33 3 3 33 2 3 33 33 30, - 331. km km 3 -, 3 3. k m 3 3 3 (3)满足条件的点Q共有四个: ,(5-2,0),(1-2,0).(10分) 详解:连接AC,AD. A(-1,0),C(0,),E(0,+1),D(-,+1), OA=CE=1,OC=DE=,AOCCED,AC=CD,ACO=CDE,ACD=90,ACD为等腰 直角三角形,tanADB=1. 易得tanABD=. A(
20、-1,0),B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1.则设P(1,n)且n0.设对称轴与x轴的交点为M, 则M(1,0), 设Q(x,0)且x0, y1随x的增大而增大. x200, 当x=200时,y1取得最大值1 180-200a.(4分) y2=-0.05x2+10 x-40=-0.05(x-100)2+460, 而-0.050,当x100时,y2随x的增大而增大. x80,当x=80时,y2取得最大值440. 综上,产销甲种产品,最大年利润为(1 180-200a)万元,产销乙种产品,最大年利润为440万元.(7分) (3)解法一:设w=1 180-200a-440=-200a+740
21、. -2000,w随a的增大而减小. 由-200a+740=0,解得a=3.7.(9分) 3a5, 当3a3.7时,选择产销甲种产品; 当a=3.7时,生产甲、乙两种产品的利润相同; 当3.7a5时,选择产销乙种产品.(10分) 解法二:由1 180-200a3.7.(9分) 3a5, 当3a3.7时,选择产销甲种产品; 当a=3.7时,生产甲、乙两种产品的利润相同; 当3.70),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在 今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值. 解析解析 (1)设y与x的函数解析式为y=kx+b, 依题意有
22、解得 y与x的函数解析式是y=-2x+200. 40;70;1 800. 进价是50-(1 000100)=40元/件. w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1 800,当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元. (2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m) =-2x2+(2m+280)x-8 000-200m =-2+m2-60m+1 800, m0,70, -23,E(n,n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3.(9分) 03, -30, km km 1, -3. k m 点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍, 以
23、BE为底的BEP的面积是以BE为底的BED面积的5倍, 即SBEP=5SBED. SBEP=PE BD,SBED=DE BD, PE BD=5DE BD, PE=5DE.(11分) n2-3n=5(n-3),即(n-3)(n-5)=0,解得n=3或n=5. n3,n=5,y=52-25-3=12, 点P的坐标为(5,12).(12分) 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)用待定系数法可求出b、c的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点F的坐标;(3)求出直 线BC的解析式,设出点P,点E的坐标,再分别表示线段PE,DE的长,将题中的距离关系转化为三角形的面 积关系,可得S
24、BEP=5SBED,进而得出PE=5DE,解方程求出点P的坐标. 3.(2019吉林,26,10分)如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0, -3),P为抛物线上一点,横坐标为m,且m0. (1)求此抛物线的解析式; (2)当点P位于x轴下方时,求ABP面积的最大值; (3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. 求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围; 当h=9时,直接写出BCP的面积. 解析解析 (1)把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得 -3=(0-1)2+k, 解得k=-4
25、. 所以此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4, 即y=x2-2x-3.(2分) (2)令y=0,得(x-1)2-4=0, 解得x1=-1,x2=3. 所以A(-1,0),B(3,0), 所以AB=4. 解法一:由(1)知,抛物线顶点坐标为(1,-4). 由题意知,当点P位于抛物线顶点时,ABP的面积取得最大值,最大值为44=8.(5分) 解法二:由题意,得P(m,m2-2m-3), 所以SABP=4(-m2+2m+3) 1 2 1 2 =-2m2+4m+6 =-2(m-1)2+8. 所以当m=1时,SABP有最大值8.(5分) (3)当0m1时,h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m;
26、当12时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1.(9分) BCP的面积为6.(10分) 提示:当h=9时,即m2-2m+1=9, 解得m1=4,m2=-2(舍). 所以点P的坐标为(4,5),可求得BCP的面积为6. 4.(2019河北,26,12分)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x-b与y轴交于点B;抛物线L:y=-x2 +bx的顶点为C,且L与x轴右交点为D. (1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标; (2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值; (3)设x00,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L
27、上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离; (4)在L和a所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2 019 和b=2 019.5时“美点”的个数. 解析解析 (1)当x=0时,y=x-b=-b,B(0,-b). AB=8,A(0,b),b-(-b)=8.b=4.(2分) L的方程为y=-x2+4x.L的对称轴为x=2. 当x=2时,y=x-4=-2. L的对称轴与a的交点坐标为(2,-2).(4分) (2)y=-+, L的顶点C的坐标为.(5分) 点C在l下方,C与l的距离为b-=-(b-2)2+11. 点C与l距离的最大值为1.
28、(7分) (3)由题意得y3=,即y1+y2=2y3, 得b+x0-b=2(-+bx0). 2 - 2 b x 2 4 b 2 , 2 4 b b 2 4 b 1 4 12 2 yy 2 0 x 解得x0=0或x0=b-.但x00,取x0=b-.(9分) 对于L,当y=0时,0=-x2+bx,即0=-x(x-b). 解得x1=0,x2=b.b0,右交点D的坐标为(b,0). 点(x0,0)与点D间的距离为b-=.(10分) (4)4 040;1 010.(12分) 详解:如图,a与L的交点坐标满足:y=x-b=-x2+bx,得交点D(b,0),E(-1,-1-b). 1 2 1 2 1 - 2
29、 b 1 2 当b为整数时,而x也是整数, 对应的y=-x2+bx和y=x-b均为整数. 当x=-1和x=b时,对应的“美点”各只有一个. 从x=0到x=b-1共有b个整数,每个整数x都对应两个“美点”, 此时“美点”个数为2b+2.把b=2 019代入,求得“美点”个数为4 040. 当b不是整数时,但x是整数,x-b不是整数,即边界y=x-b(-1xb)上没有“美点”;而在边界y=-x2+bx (-1xb)上,满足bx是整数才有“美点”.对于b=2 019.5,x应是从0到2 018的偶数,此时“美点”的个 数为2 0182+1=1 010. 思路分析思路分析 (1)由题意得OA=OB,A
30、B=8,b=4,可得L的方程为y=-x2+4x,进而得出L的对称轴为x=2,把x= 2代入y=x-4得出交点坐标;(2)将二次函数解析式配方得出顶点坐标为,根据点C在l下方得出点C 与l的距离为b-=-(b-2)2+11,进而得出最大值;(3)由y3是y1,y2的平均数,可得y3=,即y1+y2=2y3,得b +x0-b=2(-+bx0),求出x0的值,令y=-x2+bx=0,求出点D的坐标,两者横坐标相减得出结论;(4)易得点D(b,0), 点E(-1,-1-b),分两种情况,当b为整数,而x也是整数时,求得“美点”的个数;当b不是整数,但x是整数 时,求得“美点”的个数. 2 , 2 4
31、b b 2 4 b1 4 12 2 yy 2 0 x 5.(2020山西,23,13分)综合与探究 如图,抛物线y=x2-x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点, 与y轴交于点E,点D的坐标为(4,-3). (1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式; (2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m0),过点P作PMx轴,垂足为M,PM与直线l交于点N,当点 N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标; (3)若点Q是y轴上的点,且ADQ=45,求点Q的坐标. 1 4 解析解析 (1)A(-2,0),B(6,0),直线l的函数表达式
32、为y=-x-1.(3分) 详解:令x2-x-3=0,得x2-4x-12=0, (x-6)(x+2)=0, x1=-2,x2=6. A(-2,0),B(6,0). 设直线l的函数表达式为y=kx+b(k0),把A(-2,0),D(4,-3)代入得 解得 直线l的函数表达式为y=-x-1. (2)如图,根据题意可知,点P与点N的坐标分别为P,N. 1 2 1 4 -20, 4-3, kb kb 1 -, 2 -1. k b 1 2 2 1 ,- -3 4 mm m 1 ,-1 2 mm PM=-m2+m+3,MN=m+1. NP=-=-m2+m+2. 分两种情况: 当PM=3MN时,得-m2+m+
33、3=3.(4分) 解得m1=0,m2=-2(舍去). 2 1 - -3 4 m m 1 4 1 -1 2 m 1 2 1 -1 2 m 2 1 - -3 4 m m 1 4 1 2 1 4 1 1 2 m 当m=0时,m2-m-3=-3.点P的坐标为(0,-3).(5分) 当PM=3NP时,得-m2+m+3=3.(6分) 解得m1=3,m2=-2(舍去). 当m=3时,m2-m-3=-.点P的坐标为. 当点N是线段PM的三等分点时,点P的坐标为(0,-3)或.(7分) (3)直线y=-x-1与y轴交于点E,点E的坐标为(0,-1). 分两种情况:如图,当点Q在y轴正半轴上时,记为点Q1. 过点
34、Q1作Q1H直线l,垂足为H,则Q1HE=AOE=90, Q1EH=AEO,Q1HEAOE. =.即=.Q1H=2HE.(8分) 1 4 1 4 2 11 -2 42 mm 1 4 15 4 15 3,- 4 15 3,- 4 1 2 1 Q H AO HE OE 1 2 Q H 1 HE 又Q1DH=45,Q1HD=90,HQ1D=Q1DH=45. DH=Q1H=2HE.HE=ED.(9分) 连接CD, 点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(4,-3), CDy轴. ED=2. HE=2,Q1H=4.Q1E=10. OQ1=Q1E-OE=10-1=9,点Q1的坐标为(0,9).(10分)
35、如图,当点Q在y轴负半轴上时,记为点Q2.过点Q2作Q2G直线l,垂足为G.则Q2GE=AOE=90, Q2EG=AEO,Q2GEAOE. =.即=.Q2G=2EG.(11分) 又Q2DG=45,Q2GD=90,DQ2G=Q2DG=45. DG=Q2G=2EG.ED=EG+DG=3EG.(12分) 22 ECCD 22 -1-(-3)4 5 55 22 1 HEQ H 22 (2 5)(4 5) 2 Q G AO EG OE 2 2 Q G 1 EG 由可知,ED=2. 3EG=2. EG=. Q2G=. EQ2=. OQ2=OE+EQ2=1+=.点Q2的坐标为. 点Q的坐标为(0,9)或.(
36、13分) 5 5 2 5 3 4 5 3 22 2 EGQ G 22 2 54 5 33 10 3 10 3 13 3 13 0,- 3 13 0,- 3 方法总结方法总结 与二次函数有关的解答题中涉及线段长度或最值问题时一般采用坐标法,就是以坐标系为 桥梁,通过坐标把线段转化成代数问题,通过代数运算解决问题,同时注意分类讨论思想的应用. 难点突破难点突破 本题第(3)问注意分类讨论.当点Q在y轴正半轴上时,记作Q1,作Q1H直线l于H,构造Q1HE AOE;当点Q在y轴负半轴上时,记作Q2,作Q2G直线l于G,构造Q2GEAOE.然后根据相似比和 勾股定理进行解答. 教师专用题组 考点一 二
37、次函数的图象与性质 1.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m1)沿y轴向下平移3个单位,则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 D 解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3= +,平移后得到的抛物线的顶点坐标为.m1,0,-m2+6m-1 3=-(m-3)2-40,即1,=b2-4ac=-(m-1)2-4(m-3)=(m-3)2+40. m1,0,对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,顶点在第四象限.故选D. 2
38、 -1 - 2 m x 2 -6 -13 4 mm 2 -1 -6 -13 , 24 mmm -1 2 m 2 -6 -13 4 mm -1 2 m 2.(2020内蒙古呼和浩特,6,3分)已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1,当x取互为相反数的任意两个实数值时, 对应的函数值y总相等,则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积为( ) A.0 B.-1 C.- D.- 1 2 1 4 答案答案 D 依题意得,该二次函数图象的对称轴为y轴. -(a+2)=0,解得a=-2. 方程可化为-4x2+1=0, 设方程两根分别为x1,x2, x1 x2=-,故选D
39、. 1 4 解题关键解题关键 明确该抛物线的对称轴为y轴是解题关键. 3.(2019福建,10,4分)若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,y3), 则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2y1 D.y2y30, 抛物线的开口向上. 抛物线过A(m,n)和C(3-m,n), 抛物线的对称轴为直线x=. 作出二次函数的大致图象,如图. 由图可知y2y30,确定抛物线的开口方向.观察点的坐标可知A和C两点的纵坐标相同,说明点A与点C 关于对称轴对称,由此得到对称轴为直线
40、x=.根据抛物线的开口方向及对称轴画出大致图象, 由图象比较大小. 3- 2 mm3 2 4.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对 称,则符合条件的m、n的值为( ) A.m=,n=- B.m=5,n=-6 C.m=-1,n=6 D.m=1,n=-2 5 7 18 7 答案答案 D 若两个抛物线关于y轴对称,则两个抛物线的对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一 点,即-+=0,n=2m-4,解得m=1,n=-2,故选D. 2 -1 2 m3 2 mn 解题关键解题关键 本题考查了二次函数的图
41、象与系数的关系,根据题意得出对称轴关于y轴对称,两个抛物线与 y轴交于同一点是解题关键. 5.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 答案答案 B y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故选B. 6.(2017陕西,10,3分)已知抛物线y=x2-2mx-4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M.若点M在这条 抛物线上,则点M的坐标为( ) A.(1,-5) B.(3,-13) C.(2,-
42、8) D.(4,-20) 答案答案 C y=x2-2mx-4=(x-m)2-m2-4,则顶点M的坐标为(m,-m2-4),M的坐标为(-m,m2+4),点M在抛物线 上,m2+2m2-4=m2+4,m2=4.m0,m=2,M(2,-8),故选C. 思路分析思路分析 先配方求出抛物线的顶点M的坐标,根据对称性表示出点M的对称点M的坐标,由点M在抛 物线上,可将M的坐标代入解析式求出m的值,进而求得点M的坐标. 7.(2018陕西,24,10分)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点 C. (1)求A、B、C三点的坐标,并求ABC的面积; (2)
43、将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L,且L与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相 交于点C,要使ABC和ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式. 解析解析 (1)令y=0,得x2+x-6=0, 解得x=-3或x=2, A(-3,0),B(2,0).(2分) AB=5, 令x=0,得y=-6, C(0,-6),(3分) OC=6, SABC=AB OC=56=15.(4分) (2)由题意,得AB=AB=5. 要使SABC=SABC,只要抛物线L与y轴的交点为C(0,-6)或C(0,6)即可. 设所求抛物线L:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.(7分) 又知,
44、抛物线L与抛物线L的顶点纵坐标相同, =,=, 1 2 1 2 2 24- 4 m-24-1 4 2 -24- 4 n-24-1 4 解得m=7,n=1(n=1舍去). 抛物线L的函数表达式为y=x2+7x+6或y=x2-7x+6或y=x2-x-6.(10分) 考点二 二次函数图象与a、b、c的关系 1.(2020新疆,8,5分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平 面直角坐标系中的图象可能是( ) c x 答案答案 D 由抛物线开口向上可得a0. 抛物线的对称轴x=-在y轴右侧,-0,而a0,b0. 当a0,b0时,反比例函数y=的图象经
45、过第 一、三象限,故选D. 2 b a2 b a c x 2.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是( ) A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5 B.当x=12时,y有最小值a-9 C.x=2对应的函数值比最小值大7 D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点 1 4 答案答案 C y=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9, 将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-10)2+a+1, 当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故
46、A中说法正确. 当x=12时,ymin=a-9,故B中说法正确. 当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+16, a+16-(a-9)=25,故C中说法错误. =(-6)2-4(a+27)=36-a-27=9-a, 当a0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确. 故选C. 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 3.(2019黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-, 结合图象分析下列结论: abc0;3a+c0;当x0时,y随x的增大而增大;一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-,x2=
47、; 0;若m,n(mn)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则m2. 其中正确的结论有( ) 1 2 1 3 1 2 2-4 4 bac a A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案答案 C 抛物线开口向下,a0, 对称轴为直线x=-, -=-,b=a0, abc0,正确. 抛物线经过点(-3,0), 9a-3b+c=0,又b=a,c=-6a, 3a+c=3a-6a=-3a0,正确. 抛物线开口向下,对称轴为直线x=-, 当x-时,y随x的增大而减小,错误. 1 2 2 b a 1 2 1 2 1 2 1 2 b=a,c=-6a, 一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方
48、程-6ax2+ax+a=0, 即6x2-x-1=0,解得x1=-,x2=,正确. 抛物线与x轴有2个交点,b2-4ac0, 0,正确. 点(-3,0)关于直线x=-的对称点为(2,0), y=a(x+3)(x-2), 方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m2, 正确.故选C. 1 3 1 2 2-4 4 bac a 1 2 解后反思解后反思 本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解 析式与函数图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐 标等都是解题的突破口. 4.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+b
