1、 中考数学 （河北专用） 5.4 多边形与平行四边形 考点一 多边形的概念及性质 1.(2019河北,1,3分)下列图形为正多边形的是( ) 答案答案 D 正多边形的各边相等,各角相等,故选D. 解析解析 正六边形的每一个内角的度数为=120,根据“正六边形的一个内角是正n边形一个外 角的4倍”可得正n边形每一个外角的度数为30,依据多边形外角和为360可得n=12. 360 30 2.(2019福建,5,4分)已知正多边形的一个外角是36,则该正多边形的边数为( ) A.12 B.10 C.8 D.6 答案答案 B 设该正多边形的边数为n,则n=10,故选B. 3.(2020河北,18,3分
2、)正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍,则n= . 答案答案 12 4.(2020福建,15,4分)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则ABC等于 度. 答案答案 30 解析解析 六边形花环由六个全等的直角三角形构成,故为正六边形,所以每个内角为=120. 所以ABC=120-90=30. 5.(2018上海,16,4分)通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果 从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是 度. 答案答案 540 解析解析 从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,则将多边形分割为3个三角形,所
3、以该多边形的 内角和是3180=540. 6.(2018陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则AFE的度数为 . 答案答案 72 解析解析 五边形ABCDE是正五边形, EAB=ABC= =108, BA=BC,BAC=BCA=36, 同理可得ABE=36,AFE=ABF+BAF=36+36=72. 7.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和=(n-2)180. (1)甲同学说,能取360;而乙同学说,也能取630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由; (2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360,用列方程的方法确定x.
4、解析解析 (1)甲对,乙不对.(2分) =360,(n-2)180=360. 解得n=4.(3分) =630,(n-2)180=630, 解得n=. n为整数,不能取630.(5分) (2)依题意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180.(7分) 解得x=2.(9分) 11 2 评析评析 本题是一道典型的把方程思想与多边形的内角和结合在一起的题目,解题的关键是熟练掌握多 边形的内角和公式,以及隐含的一个重要条件多边形的边数是不小于3的正整数,另外,还要知道一 个常识性的结论:多边形边数每增加1,它的内角和增加180. 考点二 平行四边形的性质与判定 1.(2020河北,10,3分)如
5、图,将ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180.嘉淇发现,旋转后的CDA与ABC 构成平行四边形,并推理如下: 小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“CB=AD,”和“四边形”之间作补充.下列正确的 是( ) A.嘉淇推理严谨,不必补充 B.应补充:且AB=CD, C.应补充:且ABCD, D.应补充:且OA=OC, 答案答案 B 根据平行四边形的判定方法:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形,可知应补充AB=CD或CBAD,故选B. 2.(2020浙江温州,5,4分)如图,在ABC中,A=40,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作BCDE,
6、则E 的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 答案答案 D AB=AC,ABC=ACB, A=40,A+ABC+ACB=180, ACB=(180-40)2=70. 四边形BCDE是平行四边形, E=ACB=70.故选D. 思路分析思路分析 利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出ACB的度数,再利用平行四边形对角 相等可求出E的度数. 3.(2018山东东营,7,3分)如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F, AB=BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形,你认为下面四个条件中可选择的是( ) A.AD=BC B.CD=BF
7、 C.A=C D.F=CDF 答案答案 D F=CDF,CED=BEF,EC=BE, CDEBFE,CDAF,CD=BF, BF=AB,CD=AB,四边形ABCD是平行四边形.故选D. 4.(2018江苏苏州,9,3分)如图,在ABC中,延长BC至D,使得CD=BC,过AC中点E作EFCD(点F位于点E 右侧),且EF=2CD,连接DF.若AB=8,则DF的长为( ) A.3 B.4 C.2 D.3 1 2 32 E是AC的中点, EG是ABC的中位线, EGAB,EG=AB, 1 2 答案答案 B 取BC的中点G,连接EG, AB=8,EG=4, CG=BC,CD=BC,EF=2CD,EFC
8、D,EFGD, 四边形EGDF是平行四边形, DF=EG=4. 1 2 1 2 5.(2017山东青岛,7,3分)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AEBC,垂足为E,AB=,AC=2,BD= 4,则AE的长为( ) A. B. C. D. 3 3 2 3 2 21 7 2 21 7 答案答案 D 四边形ABCD为平行四边形,OA=AC=1,OB=BD=2.在AOB中,12+()2=22,即OA2+ AB2=OB2,OAB=90,BC=. AEBC,OAB=90, SABC=AB AC=BC AE, AE=.故选D. 1 2 1 2 3 22 ABAC 22 ( 3)27 1 2 1
9、 2 AB AC BC 2 3 7 2 21 7 6.(2019云南,6,3分)在平行四边形ABCD中,A=30,AD=4,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于 . 3 答案答案 16或8 33 解析解析 当ABD为锐角时,过D点作DEAB于点E.如图1. 图1 在RtADE中,A=30,AD=4, DE=AD=4=2, AE=AD=4=6. 在RtBDE中,由勾股定理得BE=2, 3 1 2 1 2 33 3 2 3 2 3 22 -BD DE 22 4 -(2 3) AB=AE+BE=6+2=8, SABCD=AB DE=82=16. 当ABD为钝角时,如图2,同理可得DE=2,AE=
10、6,BE=2, 图2 AB=AE-BE=6-2=4, SABCD=AB DE=42=8. 综上所述,平行四边形ABCD的面积为16或8. 33 3 33 33 方法点拨方法点拨 本题的难点在于平行四边形形状的不确定性.根据平行四边形的面积公式,需要知道平行四 边形的一边长及该边上的高,高线可能在平行四边形的内部,也可能在外部,进而画出图形,其他问题便迎 刃而解了. 7.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在ABCD中,分别以边BC,CD为边作等腰BCF,CDE,使BC=BF,CD= DE,CBF=CDE,连接AF,AE. (1)求证:ABFEDA; (2)延长AB与CF相交于点G.若AFAE
11、,求证:BFBC. 证明证明 (1)四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=DE,BF=BC=AD,ABC=ADC,又CBF=CDE, ABF=ADE,在ABF与EDA中,AB=ED,ABF=EDA,BF=DA,ABFEDA. (2)由(1)知EAD=AFB, GBF=AFB+BAF=EAD+BAF, 易知ADBC,DAG=CBG,AFAE,EAF=90, FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90,BFBC. 1.(2019北京,3,2分)正十边形的外角和为( ) A.180 B.360 C.720 D.1 440 教师专用题组 考点一 多边形的概念及性质 答案答案 B 任
12、何凸多边形的外角和都为360.故选B. 2.(2020陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则BDM的度数是 . 答案答案 144 解析解析 在正五边形ABCDE中,C=108,BC=CD, CDB= =36, BDM=180-CDB=180-36=144. 3.(2020江苏南京,14,2分)如图,在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则PEF的面积为 cm2. 答案答案 2 3 解析解析 连接BF,BE,过点A作ATBF于T, 六边形ABCDEF是正六边形, CBEF,AB=AF,BAF=120, SPEF=SBEF. ATBF,
13、AB=AF, BT=FT,BAT=FAT=60, BT=FT=AB sin 60=(cm), BF=2BT=2(cm), 3 3 AFE=120,AFB=ABF=30, BFE=90, SPEF=SBEF=EF BF=22=2(cm2). 1 2 1 2 33 解后反思解后反思 本题考查正多边形中三角形面积的求解,解题的方法是运用正六边形对边平行的性质、等 积法,把要求的三角形面积转化为直角三角形面积,再根据锐角三角函数求得边长即可. 4.(2018山东聊城,16,3分)如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是 . 答案答案 540或360或180 解析解析 若所
14、得新的多边形的边数增加1,则新的多边形的内角和是(4+1-2)180=540, 若所得新的多边形的边数不变,则新的多边形的内角和是(4-2)180=360, 若所得新的多边形的边数减少1,则新的多边形的内角和是(4-1-2)180=180, 新多边形的内角和是540或360或180. 5.(2018山西,12,3分)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消 融,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形, 则1+2+3+4+5= 度. 图1 图2 答案答案 360 解析解析 任意n(n3,n为整数)边形的外角和为3
15、60,图中五条线段组成五边形,1+2+3+4+5 =360. 6.(2018贵州贵阳,13,4分)如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点,且AM=BN,点O是正五 边形的中心,则MON的度数是 度. 答案答案 72 解析解析 解法一:连接OA,OB,O为正五边形ABCDE的中心, OAM=OBN,又OA=OB,AM=BN,OAMOBN,AOM=BON,MON=AOB= =72. 解法二:特殊位置法,当OMAB,ONBC时,MON=180-B=72. 解法三:作OPAB,OQBC,如图所示. 易证RtOPMRtOQN,则POM=QON, MON=POQ=180-B=72.
16、7.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图 所示,则AOB等于 度. 答案答案 108 解析解析 如图,正五边形中每一个内角都是108, OCD=ODC=180-108=72.COD=36. AOB=360-108-108-36=108. 考点二 平行四边形的性质与判定 1.(2020陕西,8,3分)如图,在ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是ABCD内一点,且BFC=90.连 接AF并延长,交CD于点G.若EFAB,则DG的长为( ) A. B. C.3 D.2 5 2 3 2 答案答案 D 延长EF交AD于
17、H.EFAB,ABCD,EHCD,AHF=D,AH=HD.DAG=HAF, AFHAGD.=. BFC=90,E为BC的中点,EF=BE=EC=BC=4.由题意易得四边形ABEH为平行四边形,AB=EH= 5,AH=BE=BC,HF=EH-EF=5-4=1.又AH=HD,AH=AD,DG=2FH=2.故选D. AH AD FH DG 1 2 1 2 1 2 解后反思解后反思 已知直角+斜边中点,联想到斜边上的中线等于斜边的一半.由两直线平行可知角之间 的关系,联想到相似三角形. 2.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,不能得出四边形AECF一定为
18、平行四边形的是( ) A.BE=DF B.AE=CF C.AFCE D.BAE=DCF 答案答案 B 当BE=DF时,如图1, 易证AFDCEB,ABECDF, 从而AF=CE,AE=CF, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意; 当AFCE时,如图1, 则AFE=CEF,从而AFD=CEB, 又因为ADF=CBE,AD=BC, 所以AFDCEB,则AF=CE, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意; 当BAE=DCF时,如图1,易证ABECDF, 可得AEB=CFD,AE=CF, 所以AEF=CFE, 所以AECF, 则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题
19、意; 如图2,其中AE=CF, 但显然四边形AECF不是平行四边形,故B符合题意. 图1 图2 思路分析思路分析 依据平行四边形的定义或判定定理进行判断. 3.(2020湖北武汉,14,3分)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是 ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,D=102,则BAC的大小是 . 答案答案 26 解析解析 D=102,四边形ABCD是平行四边形,DAB =180-D=78,AD=BC,DAC=ACB,AD =BE,BC=BE,CEB=ACB,AE=BE,EAB=EBA,EAB=DAC,EAB=DAB=26. 1 2 1 3 解题关键
20、解题关键 根据四边形ABCD是平行四边形及AD =BE判断CEB是等腰三角形是解答本题的关键. 4.(2019四川成都,14,4分)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:以点A为圆心, 以任意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC于点M;以点 M为圆心,以MN长为半径作弧,在COB内部交前面的弧于点N;过点N作射线ON交BC于点E.若AB= 8,则线段OE的长为 . 答案答案 4 解析解析 由作图方法可得COE=CAB,OEAB.在ABCD中,AO=CO,线段OE为ABC的中位线, 线段OE的长为线段AB长的一半,为4. 思路分
21、析思路分析 根据作图方法判断得出COE=CAB,由平行四边形的性质以及平行线的判定定理得出线 段OE是ABC的中位线,进而求得线段OE的长度. 5.(2017湖北武汉,13,3分)如图,在ABCD中,D=100,DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE= AB,则EBC的度数为 . 答案答案 30 解析解析 四边形ABCD是平行四边形, BCAD,ABDC,ABC=D, DAB+D=180, D=100, DAB=80,ABC=100. 又DAB的平分线AE交DC于点E, EAD=EAB=40. AE=AB, ABE=(180-40)=70, EBC=ABC-ABE=100-70=30
22、. 1 2 6.(2019湖北武汉,14,3分)如图,在ABCD中,E,F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,ADF=90,BCD=63, 则ADE的大小是 . 答案答案 21 解析解析 设ADE=x,AE=EF,ADF=90,DE=AE=EF. DAE=x.DEC=2x. 又AE=EF=CD,DC=DE.DCE=2x. ADBC,BCA=DAE=x. BCD=3x=63. x=21.即ADE=21. 7.(2019江苏扬州,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10. (1)求证:BEC=90; (2)求cosDAE. 解析解析 (1)证
23、明:四边形ABCD是平行四边形, DC=AB,AD=BC,DCAB, DEA=EAB, AE平分DAB, DAE=EAB, DAE=DEA, AD=DE=10, BC=10,AB=CD=DE+CE=16, CE2+BE2=62+82=100=BC2, BCE是直角三角形,BEC=90. (2)ABCD, ABE=BEC=90, AE=8, 22 ABBE 22 1685 cosDAE=cosEAB=. AB AE 16 8 5 2 5 5 8.(2019安徽,20,10分)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEADF; (2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面
24、积为T,求的值. S T 解析解析 (1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M, ADBC,FAD=M, 又AFBE,M=EBC, FAD=EBC. 同理得FDA=ECB. 在BCE和ADF中, EBC=FAD, BC=AD,ECB=FDA,BCEADF.(5分) (2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知BCEADF,AF=BE,又AFBE, 四边形ABEF为平行四边形, SAEF=SAEB. 同理SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC, 又T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T.=2.(10分) 解法二:BCEADF,T=S
25、AED+SBCE. S T 如图2,过点E作HGBC交BC于G,交AD于H,则EGBC,EHAD.于是,T=SAED+SBCE=BC (EG+EH)= BC GH=S,即=2.(10分) 1 2 1 2 1 2 S T 图1 图2 思路分析思路分析 (1)延长FA与CB的延长线交于M,根据平行四边形ABCD的性质可以证明EBC=FAD, ECB=FDA,从而证明BCEADF(ASA);(2)解法一:连接EF,易证四边形ABEF、CDFE都是平行四 边形,从而得T=S四边形AEDF=SAEF+SDEF=SAEB+SDEC,再证得T=SAED+SBCE,即可得出结果.解法二:利用BCE ADF可证
26、T=SAED+SBCE,然后作HGBC,由三角形的面积公式及AD=BC得出结果. 方法总结方法总结 求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟 悉易求的图形面积. 一、选择题(每小题3分,共21分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:37分 1.(2020唐山路南一模,13)如图,在五边形ABCDE中,A+B+E=300,DP,CP分别平分EDC,BCD, 则P的度数是( ) A.60 B.55 C.50 D.45 答案答案 A 在五边形ABCDE中,A+B+E=300,EDC+BCD=240, 又DP、CP分别平分EDC、BCD,
27、PDC+PCD=120, P=180-(PDC+PCD)=180-120=60.故选A. 2.(2020石家庄新华模拟,11)连接正八边形的三个顶点,得到如图所示的图形,下列说法错误的是( ) A.ACF是等边三角形 B.连接BF,则BF分别平分AFC和ABC C.整个图形是轴对称图形,但不是中心对称图形 D.四边形AFGH与四边形CFED的面积相等 答案答案 A 易得AFC=90-45=45, ACF不是等边三角形,选项A错误; 直线BF是正八边形的一条对称轴,BF分别平分AFC和ABC, 选项B正确;易得选项C正确;四边形AFGH与四边形CFED关于直线BF对称, 四边形AFGH与四边形C
28、FED的面积相等,选项D正确.故选A. 3.(2020唐山开平复学考试,7)在ABCD中,若BAD与CDA的角平分线交于点E,则AED的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 答案答案 B 如图,四边形ABCD是平行四边形,ABCD, BAD+ADC=180,BAD与CDA的角平分线交于点E, EAD=BAD,ADE=ADC,EAD+ADE=(BAD+ADC)=90, E=90,ADE是直角三角形,故选B. 1 2 1 2 1 2 4.(2019邯郸一模,6)已知一个正多边形的内角和是540,则这个正多边形的一个外角是( ) A.36 B.45 C.60
29、D.72 答案答案 D 正多边形的内角和是540, (n-2) 180=540,解得n=5, 多边形的外角和都是360,这个正多边形的每个外角=3605=72.故选D. 5.(2018保定一模,12)如图,在ABCD中,AB=8,BC=5,以点A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AD,AB于点 P,Q,再分别以P,Q为圆心,大于PQ的长为半径作弧,两弧在DAB内交于点M,连接 AM并延长交CD于 点E,则CE的长为( ) A.3 B.5 C.2 D.6.5 1 2 答案答案 A 由尺规作图可知,AE平分BAD,DAE=BAE, ABCD,BAE=AED,DAE=AED, AD=DE,AD=BC=
30、5,DE=5. AB=CD=8,CE=CD-DE=8-5=3,故选A. 6.(2019邯郸一模,4)在ABCD中,E、F分别在BC、AD上,若想要使四边形AFCE为平行四边形,需添加一 个条件,这个条件不可以是( ) A.AF=CE B.AE=CF C.BAE=FCD D.BEA=FCE 答案答案 B 四边形ABCD是平行四边形,AFEC, 若AF=EC,则四边形AECF是平行四边形,故选项A不符合题意; 根据AE=CF,可得四边形AECF可能是平行四边形,也有可能是等腰梯形,故选项B符合题意;由BAE= FCD,B=D,AB=CD可以推出ABECDF, BE=DF,AD=BC,AF=EC,A
31、FEC, 四边形AECF是平行四边形,故选项C不符合题意; BEA=FCE,AECF,AFEC, 四边形AECF是平行四边形,故选项D不符合题意.故选B. 7.(2018唐山滦南一模,15)如图,正三角形ABC(图1)和正五边形DEFGH(图2)的边长相同,点O为ABC的 中心,用5个相同的BOC拼入正五边形DEFGH中,得到图3,则图3中的五角星的五个锐角均为( ) A.36 B.42 C.45 D.48 答案答案 D 点O为ABC的中心, BOC=120,OBC=30, 又正五边形的每个内角为108, 用5个相同的BOC拼入正五边形DEFGH中, 五角星的锐角=108-302=48,故选D
32、. 二、填空题(每小题3分,共6分) 8.(2020唐山丰润一模改编)如图,在ABCD中,将ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E 处.若B=60,AB=3,则ADE的周长为 . 答案答案 18 解析解析 在ABCD中,DC=AB=3,D=B=60, 由折叠可得AE=AD,DC=CE,且D,C,E三点共线, ADE是等边三角形,又DE=DC+CE=6,ADE的周长为63=18. 9.(2019石家庄十八县二模,18)如图,直角三角形的两条直角边AC,BC分别经过正九边形的两个顶点,则图 中1+2的结果是 . 答案答案 190 解析解析 如图,正九边形的每一个内角为 (9-2)18
33、09=71809=140, 3+4=180-90=90, 1+2=1402-90=190. 三、解答题(共10分) 10.(2020石家庄线上模拟,21)在证明定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”时,小 明给出如下部分证明过程. 已知:在ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点. 求证: . 证明:如图,延长DE到点F,使EF=DE,连接CF, (1)补全求证; (2)请根据添加的辅助线,写出完整的证明过程; (3)若CE=3,DF=8,求边AB的取值范围. 解析解析 (1)DEBC,且DE=BC. (2)证明:如图,延长DE到点F,使EF=DE,连接CF, 点E是AC的中点
34、,AE=CE, 在ADE和CFE中, ADECFE(SAS),AD=CF,A=ECF, ADCF,ABCF, 点D是AB的中点,AD=BD,BD=CF, 四边形BDFC是平行四边形,DFBC,DF=BC, DE=FE,DE=BC.所以DEBC,且DE=BC. (3)DF=8,BC=8,CE=3,AC=6, BC-ACABBC+AC,即2AB14. 1 2 , , , AECE AEDCEF DEFE 1 2 1 2 一、选择题(每小题3分,共21分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:25分钟 分值:34分 1.(2020沧州青县毕业考试,15)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,
35、结合作图痕迹,下列说法不正确的 是( ) A.EF与BD垂直 B.AG=CH C.BD平分ADC D.若AGB的周长为4,则平行四边形ABCD的周长为8 答案答案 C 连接DH,设EF与BD交于点P,如图所示. 由作图痕迹可知,EF垂直平分BD,选项A正确; 四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,ADBC, GDP=HBP, EF垂直平分BD,DP=BP,DPG=BPH=90, 在GDP和HBP中, GDPHBP(ASA),DG=BH,AG=CH,四边形BGDH是平行四边形,选项B正确; EF垂直平分BD, BG=DG, 四边形BGDH是菱形, DB平分GDH,选项C错误; AGB的周长为4
36、, AB+BG+AG=4, , , , GDPHBP DPBP DPGBPH AB+DG+AG=AB+AD=4, 平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=8,选项D正确.故选C. 解题关键解题关键 熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解本题的关键. 2.(2020邢台沙河模拟,13)如图,在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH,连接AH,则tanHAB等于 ( ) A.3 B.+1 C.2 D.+1 3 2 答案答案 B 连接BD,如图所示. BC=CD,BCD=120, CBD=BDC=30, ABD=BDE=90, B、D、H三点共线, 设正六边形的边长为a, 则AB=BC=
37、CD=DE=a, BCD=120,BD=a. BH=DB+DH=(+1)a. 在RtABH中,tanHAB=+1.故选B. 3 3 BH AB 3 解后反思解后反思 求一个角的三角函数值首先看它是否在一个直角三角形中,本题根据正六边形的特征可判 断B、D、H三点共线,也就明确了解决问题的方向,解题的关键是在正六边形中求出BD的长度. 3.(2020邢台一模,12)如图,以正六边形ABCDEF的对角线BD为边,向右作等边三角形BDG,若四边形 BCDG的面积为4,则五边形ABDEF的面积为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 答案答案 C 连接CG,六边形ABCDEF为正六边形,BC=CD
38、,BCD=120,BDG为等边三角形, CBD=CDB=30,点C是等边三角形BDG的中心,BCDGCBGCD,四边形BCDG 的面积为4,BCD的面积为2.取正六边形ABCDEF中心O,连接OB,OC,OD, ODBC,BCD和BCO的面积相等,即BCO的面积为2. 正六边形ABCDEF的面积为12,五边形ABDEF的面积为10,故选C. 4.(2019唐山滦南一模,16)如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这 一圆环还需正五边形的个数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案答案 D 正五边形的内角和为(5-2)180=540, 正五边形的每一个内角
39、为5405=108, 如图,延长正五边形的两边相交于点O, 则1=360-1083=360-324=36,36036=10, 10-3=7, 即完成这一圆环还需7个正五边形.故选D. 5.(2019保定定兴一模,15)如图,用四根长为5 cm的铁丝,首尾相接围成一个正方形(接点不固定),要将它 的四边按图中的方式向外等距离移动a cm,同时添加另外四根长为5 cm的铁丝得到一个新的正八边形, 则a的值为( ) A.4 B.5 C.5 D. 2 5 2 2 答案答案 D 如图,由题意可知ABC是等腰直角三角形,AB=5 cm,AC=BC=a cm. 则有a2+a2=52, a=或a=-(舍去).
40、故选D. 5 2 2 5 2 2 6.(2019保定南市一模,13)如图,已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点,线段CM交BD于点E,SBEM=2,则 图中阴影部分的面积为( ) A.5 B.4 C.8 D.6 答案答案 C 四边形ABCD为平行四边形,AB=CD,ABCD,BMEDCE,M为AB的中点, =,SEDM=SCEB=2SBEM=4,题图中阴影部分的面积为8,故选C. BM CD BE DE EM CE 1 2 7.(2018石家庄十八县一模,11)如图,已知点O是正六边形ABCDEF的中心,点M,N分别在AB,BC上,且 MON+B=180,若AM=2,CN=1,则点O到AB
41、的距离为( ) A.2 B. C.2 D.3 3 3 2 3 答案答案 B 连接OB,OC, MON+B=180,B=120,MON=60, BOC=60,MOB=CON, OB=OC,OCN=OBM=60, OBMOCN,BM=CN=1, AB=AM+BM=3. 过点O作OGAB,垂足为G, 易知OB=3, OG=OB sin 60=,故选B. 3 3 2 二、填空题(共3分) 8.(2020张家口一模改编)如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD=BC,CD=BC,点E,F分别是BD,CD的中点, 连接AE,EF,AF,若BC=2,AF=,则BD= . 1 2 8 5 答案答案 12 5
42、解析解析 点E,F分别是BD,CD的中点,EFBC,EF=BC.ADBC,AD=BC, ADEF,AD=EF, 四边形AEFD是平行四边形. F为CD的中点, DF=CD, CD=BC,EF=BC, EF=DF, 四边形AEFD是菱形, 则有AFDE,设AF和DE的交点为G, BC=2,AF=, EF=1,GF=,在RtEGF中,根据勾股定理得EG=,DE=. 1 2 1 2 1 2 1 2 8 5 4 5 3 5 6 5 BD=. 12 5 三、解答题(共10分) 9.(2020河北九地市一模,21)已知正n边形的周长为60,边长为a. (1)当n=3时,请直接写出a的值; (2)把正n边形的周长与边数同时增加7后,假设得到的仍是正多边形,它的边数为n+7,周长为67,边长为b. 有人分别取n等于3,20,120,再求出相应的a与b,然后断言:“无论n取任何大于2的正整数,a与b一定不相 等.”你认为这种说法对吗?若不对,请求出不符合这一说法的n的值. 解析解析 (1)a=20. (2)这种说法不对. 令a=b,得=, 60n+420=67n, 解得n=60,经检验,n=60是原分式方程的根. 当n=60时,a=b,即不符合这一说法的n的值为60. 60 n 67 7n 解后反思解后反思 寻找特例是解题方向,找到相应量的等量关系是解决问题的关键.
