1、 中考数学 （河北专用） 2.4 一元一次不等式(组) 考点一 一元一次不等式 1.(2020贵州贵阳,8,3分)已知ab,下列式子不一定成立的是( ) A.a-1-2b C.a+1mb 1 2 1 2 答案答案 D 在不等式ab的两边同时减去1,不等号的方向不变,即a-1b-1正确,A选项不符合题意;在不等 式a-2b正确,B选项不符合题意;在不等式ab的两边同时乘, 再同时加上1,不等号的方向不变,即a+1b+1正确,C选项不符合题意;在不等式amb,ma”向右拐,“7的解集为 . 答案答案 x2 解析解析 3x+17,不等式两边同时减1得3x6,不等式两边同时除以3得x2. 5.(201
2、7山东烟台,15,3分)运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否18”为一次程序操作, 若输入x后程序操作仅进行了一次就停止,则x的取值范围是 . 答案答案 x8 解析解析 由题意,得3x-618,解得x1,解得x1.(5分) (2)B.(7分) 理由:由(1)知x-1,-x+21, 又(-x+2)-(-2x+3)=x-10, -x+2x-1. (1)当m=1时,求该不等式的解集; (2)m取何值时,该不等式有解?并求出解集. 2 - 2 m mx1 2 解析解析 (1)当m=1时,-1, 2-xx-2, 2x4, xx-1, 2m-mxx-2, (m+1)x-1时,原不等式的解集为x2
3、; 当m2. 2- 2 x 2 x 2 - 2 m mx1 2 思路分析思路分析 (1)将m=1代入不等式,解这个不等式即可; (2)解关于x的不等式,对(m+1)的符号进行讨论. 8.(2020河北,20,8分)已知两个有理数:-9和5. (1)计算:; (2)若再添一个负整数m,且-9,5与m这三个数的平均数仍小于m,求m的值. (-9)5 2 解析解析 (1)=-2. (2)由题意得-2, m为负整数,m的值为-1. (-9)5 2 -4 2 -95 3 m 考点二 一元一次不等式组 1.(2019山西,6,3分)不等式组的解集是( ) A.x4 B.x-1 C.-1x4 D.x3,得x
4、4,解不等式2-2x-1, 所以原不等式组的解集为x4,故选A. 2.(2018海南,8,3分)下列四个不等式组中,解集在数轴上表示如图所示的是( ) A. B. C. D. 2 -3 x x 2 -3 x x 2 -3 x x 2 -3 x x 答案答案 D 从数轴上表示的解集来看,-3处是空心圈,且方向向右,可得x-3;2处是实心点,且方向向左,可 得x2.故选D. 3.(2020河南,12,3分)已知关于x的不等式组其中a,b在数轴上的对应点如图所示,则这个不等式组 的解集为 . , , xa xb 答案答案 xa 解析解析 根据数a,b在数轴上的位置可知ab,所以原不等式组的解集为xa
5、. 4.(2019内蒙古包头,14,3分)已知不等式组的解集为x-1,则k的取值范围是 . 29-61, -1 xx x k 答案答案 k-2 解析解析 原不等式组可化为 其解集为x-1, k+1-1,解得k-2. -1, 1, x xk 5.(2018内蒙古包头,14,3分)不等式组的非负整数解有 个. 273(1), 2342 - 363 xx x x 答案答案 4 解析解析 解不等式2x+73(x+1),得x4;解不等式x-,得x8.所以不等式组的解集为x4,非负整 数解为0、1、2、3,共4个. 2 3 34 6 x 2 3 6.(2018贵州贵阳,14,4分)已知关于x的不等式组无解
6、,则a的取值范围是 . 5-3-1, -0 x a x 答案答案 a2 解析解析 由5-3x-1得,x2, 由a-xa, 因为不等式组无解,所以a2. 考点三 一元一次不等式(组)的应用 1.(2016四川宜宾,7,3分)宜宾市某化工厂,现有A种原料52千克,B种原料64千克,现用这些原料生产甲、乙 两种产品共20件.已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克,B种原料2千克;生产1件乙种产品需要A种原 料2千克,B种原料4千克,则生产方案的种数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案答案 B 设生产甲产品x件,则生产乙产品(20-x)件,根据题意得 解得8x12, x为整数,x=8,9,1
7、0,11,12, 有5种生产方案,故选B. 32(20- )52, 24(20- )64, xx xx 2.(2018山西,13,3分)2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的宽为20 cm,长与高的比为811,则符合此规定的行 李箱的高的最大值为 cm. 答案答案 55 解析解析 设行李箱的长为8x cm,高为11x cm, 则20+8x+11x115, 解得x5, 11x55, 所以高的最大值为55 cm. 3.(2020江苏苏州,21,6分)如图,“开心”农场准备用50 m的护栏围成一块靠墙的矩形
8、花园,设矩形花园的 长为a(m),宽为b(m). (1)当a=20时,求b的值; (2)受场地条件的限制,a的取值范围为18a26,求b的取值范围. 解析解析 (1)由题意得a+2b=50, 当a=20时,20+2b=50. 解得b=15. (2)18a26,a=50-2b, 解这个不等式组,得12b16. 答:b的取值范围为12b16. 50-218, 50-226. b b 4.(2019河南,20,9分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品 共需120元;购买5个A奖品和4个B奖品共需210元. (1)求A,B两种奖品的单价; (2)学校准备购买A,
9、B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的.请设计出最省钱的购买方 案,并说明理由. 1 3 解析解析 (1)设A奖品的单价为x元,B奖品的单价为y元,(1分) 根据题意,得解得 所以A奖品的单价为30元,B奖品的单价为15元.(4分) (2)设购买A奖品a个,则购买B奖品(30-a)个,共需w元, 根据题意,得w=30a+15(30-a)=15a+450.(6分) 150,当a取最小值时,w有最小值. 由a(30-a),解得a7.5. 而a为正整数,当a=8时,w取得最小值,此时30-8=22. 所以当购买A奖品8个,B奖品22个时最省钱.(9分) 32120, 54210. xy
10、 xy 30, 15. x y 1 3 5.(2018广东广州,21,12分)友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近,该商店对A型号笔记本电脑 举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售;方案二:若购买不超过5台,每台按售价 销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x 台. (1)当x=8时,应选择哪种方案,该公司的购买费用最少?最少费用是多少元? (2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围. 解析解析 (1)当x=8时,方案一的费用为0.9a 8=7.2a元,方案二的费用为5a+0.8a(8-5)=7.4a元
11、, a0,7.2a5,则方案一的费用为0.9ax元, 方案二的费用为5a+0.8a(x-5)=(0.8ax+a)元, 由题意得0.9ax0.8ax+a,解得x10, 所以若该公司采用方案二购买更合算,则x的取值范围是x10且x为正整数. 教师专用题组 考点一 一元一次不等式 1.(2020海南,4,3分)不等式x-21的解集是( ) A.x3 B.x3 D.x2 答案答案 A 由不等式的基本性质,不等式两边都加2得xb,则( ) A.a-1b B.b+1a C.a+1b-1 D.a-1b+1 答案答案 C A.若a=0.5,b=0.4,ab,但a-1b,但b+1b,a+1b+1,b+1b-1,
12、a+1b-1,故C中结论正确;D.若a=0.5,b=0.4,ab,但a-15x+2(m+x)成立,则m的取值范围是( ) A.m- B.m- C.m- 25 3 x 3 5 1 5 3 5 1 5 答案答案 C 解不等式-12-x得x,解关于x的不等式3(x-1)+55x+2(m+x)得x ,解得my,则下列不等式中不一定成立的是( ) A.x+1y+1 B.2x2y C. D.x2y2 2 x 2 y 答案答案 D A.在不等式xy两边都加上1,不等号的方向不变,故A正确; B.在不等式xy两边都乘2,不等号的方向不变,故B正确; C.在不等式xy两边都除以2,不等号的方向不变,故C正确;
13、D.当x=1,y=-2时,xy,但x2b,ab0,b,ab0,那么b,ab0,a-b0.0.整理得b,0.,-0.b,b-a0.命题是真命 题.命题,如果ab0,b.,-0.0,b-a0.ba.命题为真命 题.综上,真命题的个数为3. 1 a 1 b -a b ab 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b -b a ab 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b -b a ab 一题多解一题多解 命题参照上述解析,本题也可以借助函数观点来解决,由b,ab0可知点,在反比例函数图象的同一支上,所以命题可由反比例函数 的性质:“当k0时,在同一象限内y随x的增大而减小
14、”来证明;命题同理可证. 1 a 1 b 1 x 1 , a a 1 , b b 7.(2018湖南湘西,8,4分)对于任意实数a、b,定义一种运算:ab=ab-a+b-2.例如,25=25-2+5-2=11.请根 据上述的定义解决问题:若不等式3x2,则不等式的正整数解是 . 答案答案 1 解析解析 3x=3x-3+x-22,x-1,由得,x3,所以不等式组的解集是-1x3,故选B. 10, 31 2 -1, 2 x x x 2.(2020山东潍坊,11,3分)若关于x的不等式组有且只有3个整数解,则a的取值范围是( ) A.0a2 B.0a2 C.0a2 D.0a2 3 -51, 2 -8
15、 x x a 答案答案 C 解不等式得x2, 解不等式得x, 因为不等式组有且只有3个整数解, 所以解只能是2、3、4, 故解得0a,则a的取值范围是( ) A.a2 D.a2 2( -1)2, -0 x a x 答案答案 D 解不等式,得x2, 解不等式,得xa. 原不等式组的解集为xa, 在数轴上表示如下, 利用数轴可知,a2. 经检验,当a=2时,满足题意. a的取值范围是a2.故选D. 2( -1)2, -0, x a x 易错警示易错警示 “a=2”这种特殊情况易被忽视,检验等号是否满足题意在解题时必不可少. 4.(2018湖南株洲,7,3分)下列哪个选项中的不等式与不等式5x8+2
16、x组成的不等式组的解集为x5 ( ) A.x+510 C.3x-150 8 3 答案答案 C 解不等式5x8+2x得x,由不等式组的解集为x5可得另一个不等式的解集应为x5,选项 C的解集为x5,故选C. 8 3 8 3 5.(2018重庆,12,4分)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且使关于y的方程+ =2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为( ) A.-3 B.-2 C.1 D.2 -11 , 23 5 -2 xx xxa -1 ya y 2 1- a y 答案答案 C 解不等式组得 由不等式组有且只有四个整数解,得到01, 解得-2a2,即整数a=-1,0,1,2, 分
17、式方程+=2,去分母得,y+a-2a=2(y-1), 解得y=2-a, 由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件,可得a为-1,0,2,所以符合条件的所有整数a的和为1.故 选C. -11 , 23 5 -2, xx xxa 5, 2 , 4 x a x 2 4 a -1 ya y 2 1- a y 6.(2016山东泰安,14,3分)当x满足时,方程x2-2x-5=0的根是( ) A.1 B.-1 C.1- D.1+ 24 -4, 11 ( -6)( -6) 32 xx xx 6666 答案答案 D 解不等式组得2x6, 方程x2-2x-5=0,x=1, 2x0成立,则a 的取值范围是 .
18、 20, 1 -1 24 xa a x 答案答案 a-6 解析解析 由不等式组可知x-+2.解不等式x-50得x5,由题意可知-+25,解得a-6. -, 2 -2, 2 a x a x 2 a 2 a 8.(2019天津,19,8分)解不等式组 请结合题意填空,完成本题的解答. (1)解不等式,得 ; (2)解不等式,得 ; (3)把不等式和的解集在数轴上表示出来: (4)原不等式组的解集为 . 1-1, 2 -1 1. x x 解析解析 (1)x-2. (2)x1. (3) (4)-2x1. 考点三 一元一次不等式(组)的应用 1.(2020宁夏,15,3分)西游记三国演义水浒传红楼梦是中
19、国古典文学瑰宝,并称为中国 古典小说四大名著.某兴趣小组阅读四大名著的人数同时满足以下三个条件: (1)阅读过西游记的人数多于阅读过水浒传的人数; (2)阅读过水浒传的人数多于阅读过三国演义的人数; (3)阅读过三国演义的人数的2倍多于阅读过西游记的人数. 若阅读过三国演义的人数为4,则阅读过水浒传的人数的最大值为 . 答案答案 6 解析解析 设阅读过西游记的人数为a,阅读过水浒传的人数为b,阅读过三国演义的人数为c, 由已知可得abc,2ca.若c=4,则ab4,a8,4ba8,所以m35, 依题意得,30+8m+12(35-m)=370,解得m=20. 故该车间的日废水处理量为20吨. (
20、2)设该厂一天产生的工业废水量为x吨. 当020时,依题意得,12(x-20)+208+3010 x, 解得x25,所以20x25. 综上所述,15x25. 故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间. 370-30 35 68 7 5.(2018浙江宁波,24,10分)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2 000元,乙种商品共用了2 400 元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同. (1)求甲、乙两种商品的每件进价; (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元. 销售过程中发现甲
21、种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单 价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2 460元,问甲种商 品按原销售单价至少销售多少件? 解析解析 (1)设甲种商品的每件进价为x元,则乙种商品的每件进价为(x+8)元.根据题意,得=, (2分) 解得x=40.(3分) 经检验,x=40是所列方程的解,且符合题意.(4分) x+8=48. 答:甲种商品的每件进价为40元,乙种商品的每件进价为48元.(5分) (2)设甲种商品按原销售单价销售a件. 由(1)可得,购进的甲、乙两种商品的件数都为50,(6分) 根据题意,得(60-
22、40)a+(600.7-40)(50-a)+(88-48)502 460,(8分) 解得a20. 答:甲种商品按原销售单价至少销售20件.(10分) 2 000 x 2 400 8x 6.(2016湖南长沙,23,9分)2016年5月6日,中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营,该 线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽,沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中,届时 将会给乘客带来美的享受.星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务,拟派出大、小两种型号的 渣土运输车运输土方.已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨,5辆大型渣土 运输车与6辆小型渣土
23、运输车一次共运输土方70吨. (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨? (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方.若每次运输土方总量不 小于148吨,且小型渣土运输车至少派出2辆,则有哪几种派车方案? 解析解析 (1)设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨,一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨, 则 2得4x+6y=62, -得x=8, 将x=8代入得28+3y=31,3y=15,y=5. 答:一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方8吨和5吨. (2)设派出大型渣土运输车a辆,则派出小型渣土运输车(20-a)辆,由题意得 解得
24、16a18. a可取16,17,18,相应的20-a可取4,3,2,有三种派车方案. 方案一:派大型渣土运输车16辆,小型渣土运输车4辆; 2331, 5670, xy xy 85(20- )148, 20-2, aa a 16, 18, a a 方案二:派大型渣土运输车17辆,小型渣土运输车3辆; 方案三:派大型渣土运输车18辆,小型渣土运输车2辆. 思路分析思路分析 (1)根据题意可以得到二元一次方程组,从而可以求得一辆大型渣土运辆车和一辆小型渣土 运输车一次各运输土方多少吨; (2)根据题意可以列出一元一次不等式组,从而可以求得有几种方案. 解题关键解题关键 本题考查一元一次不等式组的应
25、用、二元一次方程组的应用,解题的关键是明确题意,找出 所求问题需要的条件. A组 20182020年模拟基础题组 时间:20分钟 分值:34分 一、选择题(每小题3分,共21分) 1.(2020邯郸永年一模,3)在函数y=中,自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是( ) 36x 答案答案 A 由题意得3x+60,解得x-2. 将自变量x的取值范围表示在数轴上,如图所示. 2.(2020保定线上模拟,6)不等式2x-14(x+1)的解集表示在如图所示的数轴上,则阴影部分盖住的数是 ( ) A.-1 B.-2 C.-1.5 D.-2.5 答案答案 D 原不等式去括号得2x-14x+4, 移项、合并
26、同类项得-2x-2.5,阴影部分盖住的数是-2.5,故选D. 3.(2020唐山乐亭毕业生学业考试,6)若ab,则下列不等式不成立的是( ) A.-3a-3b B.a-3b-3 C. D.-a-b 3 a 3 b 答案答案 A 两边同时乘-3,不等号的方向要改变,即-3ab-3,B选项成立;两边同时除以3,不等号的方向不变,即,C 选项成立;两边同时乘-1,不等号的方向要改变,即-a0,得x-2,由2x-60,得x3, 则不等式组的解集为-21 C.1x2 D.1x2 答案答案 D 由数轴可知不等式组的解集为1x2.故选D. 6.(2018张家口宣化模拟,4)如图所示,运行程序后,输出的结果不
27、小于2,则输入x的取值范围是( ) A.x1 B.x3b=4,即a2;由题图2可得c=62a,即a3.所以a的取值范围在数轴上表示正 确的是C. 二、填空题(共3分) 8.(2020石家庄新华模拟,18)不等式-30的最大整数解是 . 2 -1 3 x 答案答案 4 解析解析 由不等式-30解得x5,所以不等式的最大整数解是4. 2 -1 3 x 三、解答题(共10分) 9.(2018唐山路南一模,22)有n个方程:x2+2x-8=0;x2+22x-822=0;x2+2nx-8n2=0.小静同学解第一个方 程x2+2x-8=0的步骤为: x2+2x=8; x2+2x+1=8+1; (x+1)2
28、=9; x+1=3; x=13; x1=4,x2=-2. (1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的; (2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0.(用含n的式子表示方程的根) 解析解析 (1). (2)x2+2nx-8n2=0, 移项,得x2+2nx=8n2, 配方,得(x+n)2=9n2, 所以x+n=3n,所以x1=2n,x2=-4n. B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:41分 一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2020邯郸、邢台复学考试改编)设“、”分别表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况 如图,那么“、”这三种物体的质量从大到小排列为(
29、) A.、 B.、 C.、 D.、 答案答案 B 根据题图可得,的质量的质量,的质量3,那么a的取值范围为( ) A.a3 B.a4,得x3,解不等式a-xa, 不等式组的解集为x3,a3,故选D. 方法规律方法规律 解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用 数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不 到. 3.(2019唐山路北二模,6)下面是测量一物体体积的过程(1 mL=1 cm3). 步骤一:将180 mL的水装进一个容积为300 mL的杯子中; 步骤二:将三个相同的玻璃球放入水中,结果水没有
30、满; 步骤三:同样的玻璃球再加一个放入水中,结果水满溢出. 根据以上过程,推测一颗玻璃球的体积范围是在( ) A.10 cm3以上,20 cm3以下 B.20 cm3以上,30 cm3以下 C.30 cm3以上,40 cm3以下 D.40 cm3以上,50 cm3以下 答案答案 C 设玻璃球的体积为x cm3,根据题意可得解得30x40,故选C. 3300-180, 4300-180, x x 思路分析思路分析 设玻璃球的体积为x cm3,根据题意列出不等式组求出解集即可得出结论. 4.(2018唐山丰南一模,16)某KTV的两种计费方案说明如下.晓莉和朋友们打算在此KTV的一间包厢里 连续欢
31、唱6小时,经服务生试算后,告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜,则他们至少有 ( ) 某KTV 包厢计费方案: 包厢每间每小时900元,每人须另付入场费99元 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 人数计费方案: 欢唱3小时每人540元,续唱每人每小时80元 A.6人 B.7人 C.8人 D.9人 答案答案 C 设晓莉和朋友共有x人,若选择包厢计费方案需付(9006+99x)元,若选择人数计费方案需付 540 x+(6-3)80 x=780 x元.根据题意得9006+99x,x取整数,x8,故选C. 1 800 227
32、二、填空题(每小题3分,共9分) 5.(2020保定清苑一模,18)现定义一种新的运算:=ad-bc,若 18,则x的取值范围为 . ac bd 答案答案 x8 解析解析 根据新定义知-10-4(1-x)18,即-10-4+4x18,即4x18+10+4,即4x32,x8. 思路分析思路分析 根据新定义列出不等式,解不等式得出x的取值范围. 6.(2019廊坊广阳一模改编)关于x的不等式组有三个整数解,则a的取值范围是 . 23( -3)1, 32 4 xx x xa 答案答案 -a8,由得x2-4a, 不等式组的解集是8x2-4a, 关于x的不等式组有三个整数解,即9,10,11, 112-
33、4a12, 解得-a-. 23( -3)1, 32 . 4 xx x xa 23( -3)1, 32 4 xx x xa 5 2 9 4 思路分析思路分析 先求出不等式组的解集为8x2-4a,然后根据不等式组有三个整数解得出112-4a12,求解 即可. 解题关键解题关键 根据不等式组有三个整数解得出112-4a12是解题的关键. 7.(2018沧州模拟,18)若关于x的方程=1的解是x=3,则关于y的不等式(a-3)y6 解析解析 把x=3代入方程=1, 得=1,解得a=2,经检验,a=2符合题意,解不等式(2-3)y6. 1 x a 3 1a 三、解答题(共20分) 8.(2020邢台一模
34、,20)嘉淇在解一道运算题时,发现一个数“”被污染,这道题是: 计算(-1)2 020+(-4)8. (1)若被污染的数为0,请计算(-1)2 020+0(-4)8; (2)若被污染的数是不等式组的整数解,求原式的值. 213, 7-31 x x 解析解析 (1)(-1)2 020+0(-4)8 =1+0 =1. (2)解不等式组得1x2,其整数解为2, 则(-1)2 020+2(-4)8 =1-4 =-3. 213, 7-31, x x 9.(2019邯郸一模,22)如图,C是线段AB上一点,AC=5 cm,点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B运动, 点Q从点C出发沿CB以1 cm
35、/s的速度向点B运动,两点同时出发,结果点P比点Q先到3 s. (1)求AB的长; (2)设点P,Q出发的时间为t s,求点P没有超过点Q时,t的取值范围. 解析解析 (1)设AB的长为x cm. 由题意,得-=3,(3分) 解得x=12. AB的长为12 cm.(5分) (2)由题意,得(7分) 解得0t. 当0t时,点P没有超过点Q.(9分) -5 1 x 3 x 0, 35, t tt 5 2 5 2 思路分析思路分析 (1)设AB的长为x cm,根据题意列出方程,求解即可.(2)根据题意列出不等式组,不等式组的解 集即为所求. 一、根据系数的关联条件确定一元二次方程根的情况一、根据系数
36、的关联条件确定一元二次方程根的情况 1.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x= -1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 答案答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应 该为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-4a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( ) A.有两个相等的实数
37、根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 答案答案 B 由(a-c)2a2+c2,得a2-2ac+c2a2+c2,即-2ac0,所以-4ac0.又因为b20,所以=b2-4ac0,所以方程 有两个不相等的实数根. 思路分析思路分析 利用完全平方公式将(a-c)2展开,即可得出-4ac0,再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式=b2-4 ac,即可得出0,由此即可得出结论. 解题关键解题关键 本题考查完全平方公式以及根的判别式,解题的关键是得到=b2-4ac0. 3.(2019石家庄藁城一模改编)若5k+200,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( ) A.
38、没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断 答案答案 A 5k+200,k-4, =16+4k0,则方程没有实数根.故选A. 思路分析思路分析 根据已知不等式求出k的范围,进而判断出根的判别式的值的正负,即可得到方程根的情况. 方法规律方法规律 此题考查了一元二次方程根的判别式.根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根; 根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0,方程没有实数根. 二、新定义型解方程二、新定义型解方程(组组)或不等式或不等式 4.(2019石家庄十八县一模,19)对于符号“”,我们作如下规定:ab=a2+b2-1,
39、如45=42+52-1=16+25-1= 40,因此,(-1)(-2)= ;若3x=12,则x= . 答案答案 4;2 解析解析 根据题意可得(-1)(-2)=(-1)2+(-2)2-1=4. 由3x=32+x2-1=12,得x=2. 5.(2019保定高阳模拟,20)定义新运算:对于任何非零实数a、b都有ab=ax-by. (1)若22=-3,求x2-2xy+y2的值; (2)若3(-2)=3,(-2)3=8,求x、y的值. 解析解析 (1)ab=ax-by, 22=2x-2y=2(x-y)=-3,x-y=-, x2-2xy+y2=(x-y)2=. (2)3(-2)=3x+2y=3,(-2)
40、3=-2x-3y=8, 3 2 9 4 323, -2 -38, xy xy 5, -6. x y 思路分析思路分析 (1)由22=2x-2y=2(x-y)=-3,求得x-y=-,将x-y=-代入所求式子即可;(2)根据新定义确定方 程组然后求解. 3 2 3 2 323, -2 -38, xy xy 6.(2013河北,21,9分)定义新运算:对于任意实数a,b,都有ab=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及 乘法运算,比如:25 =2(2-5)+1 =2(-3)+1 =-6+1 =-5. (1)求(-2)3的值; (2)若3x的值小于13,求x的取值范围,并在如图所示的数轴上表示
41、出来. 解析解析 (1)(-2)3=-2(-2-3)+1 =-2(-5)+1 =10+1=11. (2)3x13,3(3-x)+113. 9-3x+113,-3x-1. 数轴表示如图所示. 三、纠错型解方程三、纠错型解方程(组组) 7.(2014河北,21,10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式时,对于b2-4ac 0的情况,她是这样做的: (1)嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是 ; (2)用配方法解方程:x2-2x-24=0. 解析解析 (1)四;(2分) x=.(4分) (2)由
42、x2-2x-24=0, 得x2-2x=24, x2-2x+=24+, 即(x-1)2=25,(8分) 故x-1=5, x1=6,x2=-4.(10分) 2 -4 2 bbac a 2 2 - 2 2 2 - 2 方法总结方法总结 用配方法解一元二次方程的步骤: (1)形如x2+px+q=0型: 第一步,移项,把常数项移到右边; 第二步,配方,左右两边同时加上一次项系数一半的平方; 第三步,左边写成完全平方式; 第四步,左右两边同时开方,求出x. (2)形如ax2+bx+c=0(a0)型:方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0的形式,然后按照(1)中的步 骤进行求解. 8.(201
43、9邢台一模,20)嘉淇准备完成题目:解二元一次方程组发现系数“”印刷不清楚. (1)他把“”猜成3,请你解二元一次方程组 (2)张老师说:你猜错了,我看到该题的标准答案x、y是一对相反数.通过计算说明原题中“”是几? -4, -8, x y xy -4, 3-8; x y xy 解析解析 (1) +得x=-1.(2分) 将x=-1代入得y=-5,所以(4分) (2)由于x、y是一对相反数,所以有2x=4, 解得x=2.(6分) 设“”为a,则有2a-2=-8,解得a=-3. 所以原题中“”是-3.(8分) -4, 3-8, x y xy -1, -5. x y 一、选择题(每小题4分,共40分
44、) 1.(2019湖南怀化,6)一元一次方程x-2=0的解是( ) A.x=2 B.x=-2 C.x=0 D.x=1 答案答案 A x-2=0,解得x=2.故选A. 2.(2020湖南长沙,7)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) 1-1, 1 2 x x 答案答案 D 解不等式组得-2xn,则下列不等式正确的是( ) A.m-2 C.6m-8n 4 m 4 n 答案答案 B A.在不等式mn两边同时减去2,不等号的方向不改变,故A错误;B.在不等式mn的两边同时 除以4,不等号的方向不改变,故B正确;C.在不等式mn的两边同时乘6,不等号的方向不改变,故C错误;D. 在不等式mn的两边同
45、时乘-8,不等号的方向改变,故D错误.故选B. 4.原创题一元二次方程x2-6x-5=0配方后可变形为( ) A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4 答案答案 A x2-6x=5,x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14,故选A. 5.(2019秦皇岛海港一模,11)关于x,y的方程组的解是其中y的值被盖住了,不过仍能求 出p,则p的值是( ) A.- B. C.- D. 0, 3 xpy xy 1, , x y 1 2 1 2 1 4 1 4 答案答案 A 根据题意,将x=1代入x+y=3,可得y=2, 将x=1,y=2代入x+py=0
46、,得1+2p=0, 解得p=-,故选A. 1 2 6.(2019保定竞秀一模,4)下列方程中,没有实数根的是( ) A.x2-6x+9=0 B.x2-2x+3=0 C.x2-x=0 D.(x+2)(x-1)=0 答案答案 B 选项A,=(-6)2-419=0,所以方程有两个相等的实数根;选项B,=(-2)2-413=-80,所以方程有两个不相等的实数根;选项D,方程的两个实数根为x1 =-2,x2=1.故选B. 7.素养题如图,数轴上表示的是某一不等式组的解集,则这个不等式组可能是( ) A. B. C. D. -10 20 x x -10 20 x x 10 -20 x x 10 -20 x x 答案答案 D 数轴上表示的不等式组的解集为-1x2,结合各选项知,D选项正确. 8.某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖 中,这家商店( ) A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.亏损30元 答案答案 C 设盈利衣服进价为x元,亏损衣服进价为y元, 根据题意得 解得 120+120-100-150=-10.故这家商店亏损10元.故选C. 120-20% , -12020%
