1、 中考数学 （福建专用） 第六章 空间与图形 6.1 图形的轴对称、平移与旋转 20162020年全国中考题组 考点一 图形的轴对称 1.(2020福建,4,4分)下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中,既是轴对称图形又是中心对称 图形的是( ) 答案答案 C A.等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形; B.平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形; C.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形; D.扇形是轴对称图形,不是中心对称图形.故选C. 2.(2020山西,2,3分)自新冠肺炎疫情发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识.下面是科 学防控知识的图片,图片上有图案和文字
2、说明,其中的图案是轴对称图形的是( ) 答案答案 D 根据轴对称图形的定义知只有D选项正确,故选D. 3.(2019福建,3,4分)下列图形中,一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形 答案答案 D A中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;B中的图形不一定是轴对称图形,不是中心对 称图形;C中的图形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形,故选D. 4.(2017福建,5,4分)下列关于图形对称性的命题,正确的是( ) A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 B.正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形 C.线段是轴对称图形,但不
3、是中心对称图形 D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形 答案答案 A 圆是轴对称图形,每一条经过圆心的直线都是它的对称轴,圆又是中心对称图形,对称中心是 圆心,故选A. 5.(2016漳州,6,4分)下列图案属于轴对称图形的是( ) 答案答案 A A.能找出一条对称轴,故A是轴对称图形;B、C、D不能找出对称轴,故B、C、D不是轴对称 图形.故选A. 6.(2016龙岩,8,4分)如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的 最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案 C 作F点关于BD的对称点F,则PF=PF,连接EF交BD
4、于点P,EP+FP=EP+FP. 由两点之间线段最短可知当E、P、F在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+FP=EF. 四边形ABCD为菱形,周长为12, AB=BC=CD=DA=3,ABCD. AF=2,AE=1,DF=AE=1, 四边形AEFD是平行四边形, EF=AD=3. EP+FP的最小值为3.故选C. 思路分析思路分析 作F点关于BD的对称点F,则PF=PF,由两点之间线段最短可知当E、P、F在一条直线上时, EP+FP的值最小,然后求得EF的长度即可. 7.(2019河北,9,3分)如图,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形
5、, 使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为( ) A.10 B.6 C.3 D.2 答案答案 C 正三角形恰有三条对称轴,所以联想把图中的三个小正三角形涂黑,而当n=1或2时,不能出现 符合题意的新图案,所以n的最小值为3,故选C. 8.(2016南平,16,4分)如图,等腰ABC中,CA=CB=4,ACB=120,点D在线段AB上运动(不与A、B重合),将 CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ,给出下列结论: CD=CP=CQ; PCQ的大小不变; PCQ面积的最小值为; 当点D是AB的中点时,PDQ是等边三角形. 其中所有正确结论的序号是
6、 . 4 3 5 答案答案 解析解析 将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ, CD=CP=CQ, 正确; 将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ, ACP=ACD,BCQ=BCD, ACP+BCQ=ACD+BCD=ACB=120, PCQ=360-(ACP+BCQ+ACB)=360-(120+120)=120, PCQ的大小不变, 正确; 如图,过点Q作QEPC交PC的延长线于E, PCQ=120, QCE=60, 在RtQCE中,sinQCE=. QE=CQsinQCE=CQsin 60=CQ, CP=CD=CQ, QE CQ 3 2 SPCQ=CP
7、QE=CPCQ=CD2, 当CD最短时,SPCQ最小,此时CDAB, 过点C作CFAB于点F,此时CF的长就是CD长度的最小值, AC=BC=4,ACB=120, ABC=30, CF=BC=2, CD最短为2, (SPCQ)最小值=C=22=, 错误; 将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ, AD=AP,DAC=PAC, DAC=30, 1 2 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 2 D最小值 3 4 3 PAD=60, APD是等边三角形, PD=AD,ADP=60, 同理,BDQ是等边三角形, DQ=BD,BDQ=60, PDQ=60, 当点D是AB的中点时,
8、AD=BD, PD=DQ, PDQ是等边三角形, 正确.故答案为. 9.(2018乌鲁木齐,15,4分)如图,在RtABC中,C=90,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一 动点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点F.若ABF为直角三角形,则AE的长 为 . 3 答案答案 3或2.8 解析解析 易知BAF不可能为直角. 当BFA是直角时,如图1, 图1 C是直角,ABC=DBF,BCABFD,=,又BC=2,且易知BD=,AB=4,BF= 2=,由翻折可知DBEDBE,BE=BE,EBF=ABD=30,BE=EB=2EF,BE=BF=1, AE=4-1=
9、3. BF BC BD BA 33 3 4 3 3 2 2 3 当FBA是直角时,如图2, 图2 连接BC、AD、BB,由翻折可知DBEDBE,BD=BD=BC=CD,BBC=90,FBA = ACD=90,AD=AD,BD=CD, RtACDRtABD,AC=AB,又易证DBB =CBA, DBBABC,=,又=,故可证BBCDCA,CDA=BBC,ADBB, 1 2 BB B C BD CA 3 2 DC CA 3 2 延长DE交BB于M,可得= (*),易知DM垂直平分BB,BM=BB,在直角三角形BBC中,由 BB2+BC2=BC2=12,=,可求得BB=,BM=.在直角三角形DCA中
10、,DA=,将 BM=,AD=代入(*)可得AE=2.8. 综上,AE=3或2.8. AD BM AE BE4 AE AE 1 2 BB B C 3 2 6 7 7 3 7 7 22 2( 3)7 3 7 7 7 疑难突破疑难突破 本题的难点是FBA为直角时如何求AE,突破方法是作出辅助线BC、AD、BB,并根据翻折 证明BBCDCA,然后利用相似比求出AE. 10.(2017江西,12,3分)已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D在边AC上,将边OA沿 OD折叠,点A的对应点为A,若点A到矩形两对边的距离之比为13,则点A的坐标为 . 较长 答案答
11、案 (,3)或(,1)或(2,-2)(每答对一个得1分) 7153 解析解析 点A(0,4),B(7,0),C(7,4), BC=OA=4,OB=AC=7. 分两种情况进行讨论: (1)当点A在矩形AOBC的内部时,过A作OB的垂线交OB于F,交AC于E,如图1所示: 图1 当AEAF=13时,AE+AF=OA=4,AE=1,AF=3,由折叠可得OA=OA=4,在RtOAF中,OF= =,A(,3). 22 OAA F 22 4377 当AEAF=31时,同理,得A(,1). (2)当点A在矩形AOBC的外部时,此时点A在第四象限,过A作OB的垂线交OB于F,交AC于E,如图2所示: 图2 A
12、FAE=13,则AFEF=12,AF=EF=BC=2,由折叠可得OA=OA=4, 在RtOAF中,OF=2, A(2,-2). 15 1 2 1 2 22 OAA F 22 423 3 综上,点A的坐标为(,3)或(,1)或(2,-2). 7153 易错警示易错警示 解此题时,需分类讨论点A的位置,学生往往只画出点A在第一象限的情况而漏解. 考点二 图形的平移 1.(2020四川成都,4,3分)在平面直角坐标系中,将点P(3,2)向下平移2个单位长度得到的点的坐标是( ) A.(3,0) B.(1,2) C.(5,2) D.(3,4) 答案答案 A 将点P(3,2)向下平移2个单位长度,横坐标
13、不变,纵坐标减2,平移点P后得到的点的坐标为(3, 0).故选A. 方法指导方法指导 将点向左平移n个单位长度,纵坐标不变,横坐标减n;将点向右平移n个单位长度,纵坐标不变, 横坐标加n;将点向上平移n个单位长度,横坐标不变,纵坐标加n;将点向下平移n个单位长度,横坐标不变, 纵坐标减n. 2.(2019北京,4,2分)在数轴上,点A,B在原点O的两侧,分别表示数a,2,将点A向右平移1个单位长度,得到点 C.若CO=BO,则a的值为( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.1 答案答案 A 因为CO=BO,且点B表示的数为2,所以点C表示的数为2.所以点A表示的数为-3或1,因为点A, B在
14、原点O的两侧,所以a=1不合题意,舍去,所以a=-3.故选A. 3.(2018河北,15,2分)如图,点I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移使其顶点与I重合,则图中 阴影部分的周长为( ) A.4.5 B.4 C.3 D.2 答案答案 B 如图,连接AI,BI, 点I为ABC的内心, AI平分BAC,BI平分ABC, ACIE, CAI=AIE, EAI=AIE, AE=EI.同理,BF=FI, 阴影部分的周长=EI+FI+EF=AE+BF+EF=AB, AB=4, 阴影部分的周长为4,故选B. 4.(2018云南昆明,5,3分)如图,点A的坐标为(4,2).将点A绕坐
15、标原点O旋转90后,再向左平移1个单位长度 得到点A,则过点A的正比例函数的解析式为 . 答案答案 y=-4x或y=-x 4 3 解析解析 设所求正比例函数的解析式为y=kx(k0).分情况讨论:当点A绕原点O顺时针旋转90时,旋转 后得点A(2,-4),向左平移1个单位长度得点(1,-4),代入y=kx(k0)中,得k=-4,所以y=-4x;当点A绕原点O 逆时针旋转90时,旋转后得点A(-2,4),向左平移1个单位长度得点(-3,4),代入y=kx(k0)中,得k=-,所以y =-x.所以过点A的正比例函数的解析式为y=-4x或y=-x. 4 3 4 3 4 3 思路分析思路分析 点A绕坐
16、标原点O旋转90,要分顺时针和逆时针两种情况分别求旋转后所得点的坐标,从而 得平移后的点的坐标,再将平移后的点的坐标代入y=kx(k0)求解即可. 易错警示易错警示 本题考查了点在平面直角坐标系内的旋转和平移、正比例函数解析式的求法,题中旋转未 指出旋转方向,需分情况讨论,若考虑不全,则易造成错误,导致失分. 5.(2019四川成都,24,4分)如图,在边长为1的菱形ABCD中,ABC=60.将ABD沿射线BD的方向平移得 到ABD,分别连接AC,AD,BC,则AC+BC的最小值为 . 答案答案 3 解析解析 作直线AA,并作点C关于直线AA的对称点E,连接EA,AC,AE. 四边形ABCD为
17、菱形,ABC=60,AB=1, AC=1,ACBD,由平移得BCBDAD,AABD, AD=BC. 又EA=AC, AC+BC=EA+AD, 当E,A,D三点共线时,EA+AD的值最小. AC=AE=AD=1,DAC=DCA=60, E=DAC=30, EDC=180-E-ACD=90, ED=EC cos E=2=, 即AC+BC的最小值为. 1 2 3 2 3 3 方法总结方法总结 求不在同一条直线上的两条线段长的和的最小值,一般是通过轴对称转化为求一条直线上 的两条线段的长度和. 6.(2018福建,21,8分)如图,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8.线段AD由线段AB绕点
18、A按逆时针方向旋 转90得到,EFG由ABC沿CB方向平移得到,且直线EF过点D. (1)求BDF的大小; (2)求CG的长. 解析解析 (1)线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到, DAB=90,AD=AB=10. ABD=45. EFG由ABC沿CB方向平移得到, ABEF, BDF=ABD=45. (2)由平移的性质可得AECG,ABEF,且AE=CG. DEA=DFC=ABC,ADE+DAB=180. DAB=90, ADE=90. ACB=90, ADE=ACB, ADEACB, =. AD AC AE AB AC=8,AB=AD=10, AE=, CG=AE=. 25
19、2 25 2 解后反思解后反思 本题考查图形的平移与旋转、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角 形、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查运算能力、推理能力、数形结合思想. 考点三 图形的旋转 1.(2016莆田,8,4分)规定:在平面内,将一个图形围绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重 合,则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形,且有一个旋转角为60的是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十边形 答案答案 C 正三角形的最小旋转角是120,故此选项不符合题意;B.正方形的最小旋转角是90,故此选项 不符合题意;C.正六边形的最小旋转角是
20、60,故此选项符合题意;D.正十边形的最小旋转角是36,故此选 项不符合题意.故选C. 思路分析思路分析 分别求出各旋转对称图形的最小旋转角,进而可作出判断. 思路分析思路分析 本题考查了旋转对称图形,解答本题的关键是掌握旋转角的定义,求出旋转角. 2.(2017福建,10,4分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋 转,分别得到线段AB和点P,则点P所在的单位正方形区域是( ) A.1区 B.2区 C.3区 D.4区 答案答案 D 连接AA,BB,分别作AA,BB的垂直平分线,两条直线相交于点O,点O就是旋转中心,旋转角为 90,连接OP,OP绕点O逆
21、时针旋转90即可得到OP,可知点P落在4区,故选D. 3.(2020河北,10,3分)如图,将ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180.嘉淇发现,旋转后的CDA与ABC 构成平行四边形,并推理如下: 小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“CB=AD,”和“四边形”之间作补充.下列正确的 是( ) A.嘉淇推理严谨,不必补充 B.应补充:且AB=CD, C.应补充:且ABCD, D.应补充:且OA=OC, 答案答案 B 根据平行四边形的判定方法:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形,可知应补充AB=CD或CBAD,故选B. 4.(2019河北,16,2分
22、)对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的 内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.” 甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n. 图1 甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13. 图2 乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14. 图3 丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取n=13. 2 2 图4 下列正确的是( ) A.甲的思路错,他的n值对 B.乙的思路和他的n值都对 C.甲和丙的n值都
23、对 D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对 答案答案 B 当x为矩形对角线长时,根据勾股定理得x=13,最小整数n应为14,所以甲的思 路正确,他的n值错误;当x为矩形外接圆直径长(即矩形对角线长)时,x=13,最小整数n应为14,所以 乙的思路正确,他的n值正确;根据丙的思路,x=(6+12)=913,所以丙的思路 错误,他的n值错误.故选B. 22 612 180 180 2 2 2 思路分析思路分析 分别按甲、乙、丙三人的思路求出各自x的值,根据题意确定各自所取n的值并与矩形对角 线长进行比较即可得解. 易错警示易错警示 三者思路的正误及n值的判断取决于x值不能小于矩形对角线长. 5.(20
24、17上海,16,4分)一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C与F重合,边CA与边FE叠合,顶点B、C、D在 一条直线上).将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n后(0n180),如果EFAB,那么n的值是 . 答案答案 45 解析解析 三角尺DEF绕点F顺时针旋转后, EFAB, AFE=BAC, BAC=45, AFE=45,n=45. 6.(2020福建,24,12分)如图,ADE由ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到,且点B的对应点D恰好落在 BC的延长线上,AD,EC相交于点P. (1)求BDE的度数; (2)F是EC延长线上的点,且CDF=DAC. 判断DF和PF的数量关系,并证明;
25、求证:=. EP PF PC CF 解析解析 本题考查旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性 质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识,考查推理能力,考查化归与转化思想. (1)由旋转的性质可知,AB=AD,BAD=90,ABCADE, 在RtABD中,B=ADB=45, ADE=B=45, BDE=ADB+ADE=90. (2)DF=PF. 证明:由旋转的性质可知,AC=AE,CAE=90, 在RtACE中,ACE=AEC=45, CDF=CAD,ACE=ADB=45, ADB+CDF=ACE+CAD, 即FPD=FDP,DF=PF. 证明:过点P作
26、PHED交DF于点H, HPF=DEP,=, EP PF DH HF DPF=ADE+DEP=45+DEP, DPF=ACE+DAC=45+DAC, DEP=DAC,又CDF=DAC, DEP=CDF,HPF=CDF, 又FD=FP,F=F,HPFCDF, HF=CF,DH=PC, 又=, =. EP PF DH HF EP PF PC CF 一题多解一题多解 (2)设5=6=, 由(1)知A、C、D、E四点共圆, 1=2. 又AC=AE,CAE=90, 3=2=45, 1=2=45, PDF=1+5=45+, DPF=3+6=45+, PDF=DPF, PF=DF. 证法一:EPD=APC,
27、EDP=45=ACP, DEP=CAP, 又FDC=CAD,DEP=FDC, 在FDC和FED中,FDC=DEP,CFD=DFE, FDCFED,=, FE FD FD FC =, 又DF=PF,=,=. 证法二:A、C、D、E四点共圆, 4=6. 又5=6,4=5, 又F是公共角,DEFCDF, =, =,=,=. FEFD FD FDFC FC EP FD PC FC EP PF PC CF EF DF DF CF EF PF PF CF EFPF PF PFCF CF PE PF PC CF 7.(2019北京,27,7分)已知AOB=30,H为射线OA上一定点,OH=+1,P为射线OB
28、上一点,M为线段OH上 一动点,连接PM,满足OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150,得到线段PN,连接ON. (1)依题意补全图1; (2)求证:OMP=OPN; (3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明. 3 解析解析 (1)补全图形,如图. (2)证明:MPN=150, OPN=150-OPM, AOB=30, OMP=180-(AOB+OPM)=150-OPM. OMP=OPN. (3)OP的值为2. 证明:任取满足条件的点M,过点P作PSOA于点S,在OA上取一点T,使得ST=SM,连接TP,如图. PT=P
29、M. PTM=PMT,PT=PN. PTQ=PMO. PTQ=NPO. 点M关于点H的对称点为Q, MH=HQ. 当点T在点H的左侧时, QT=HQ+HT=HM+HT=2ST+HT+HT=2(ST+HT)=2HS. 在RtOPS中,OS=OP cos 30=. OH=+1, HS=OH-OS=+1-=1. QT=2. 当点T在点H的右侧或与点H重合时,同理可求QT=2. QT=OP. OPNQTP. ON=QP. 3 3 33 思路分析思路分析 本题第(3)问需要关注线段OH对QP的影响,同时要构造全等三角形来解决. 教师专用题组 考点一 图形的轴对称 1.(2020广东广州,5,3分)对于如
30、图所示的圆锥,下列说法正确的是( ) A.该圆锥的主视图是轴对称图形 B.该圆锥的主视图是中心对称图形 C.该圆锥的主视图既是轴对称图形,又是中心对称图形 D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形,又不是中心对称图形 答案答案 A 圆锥的主视图是等腰三角形,等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,该圆锥的主 视图是轴对称图形.故选A. 2.(2018河北,3,3分)图中由“”和“”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线( ) A.l1 B.l2 C.l3 D.l4 答案答案 C 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形,由 此知该图形的对称轴是直线l3,故选C.
31、 3.(2017内蒙古呼和浩特,3,3分)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是ABC这个图形进行了一 次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是 ( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 答案答案 A 根据轴对称的性质可知,序号(1)对应的三角形与ABC的对应点所连的线段被一条直线(对 称轴)垂直平分,故选A. 4.(2019山西,22,11分)综合与实践 动手操作: 第一步:如图1,正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠,展开铺平.再沿过点C的直线折叠,使点B, 点D都落在对角线AC上.此时,点B与点D重合,记为点N,且点E,点N,点F三点在同一条直线
32、上,折痕分别为 CE,CF,如图2. 第二步:再沿AC所在的直线折叠,ACE与ACF重合,得到图3. 第三步:在图3的基础上继续折叠,使点C与点F重合,如图4,展开铺平,连接EF,FG,GM,ME,如图5.图中的虚 线为折痕. 问题解决: (1)在图5中,BEC的度数是 ,的值是 ; (2)在图5中,请判断四边形EMGF的形状,并说明理由; (3)在不增加字母的条件下,请你以图5中的字母表示的点为顶点,动手画出一个菱形(正方形除外),并写 出这个菱形: . AE BE 图1 图2 图3 图4 图5 解析解析 (1)67.5;.(4分) (2)四边形EMGF是矩形.(5分) 理由如下:四边形AB
33、CD是正方形,B=BCD=D=90. 由折叠可知,1=2=3=4,CM=CG, BEC=NEC=NFC=DFC,1=2=3=4=22.5. BEC=NEC=NFC=DFC=67.5. 由折叠可知,MH,GH分别垂直平分EC,FC, MC=ME,GC=GF. 5=1=22.5,6=4=22.5, MEF=GFE=90.(7分) MCG=90,CM=CG,CMG=45. 又BME=1+5=45, EMG=180-CMG-BME=90.(8分) 四边形EMGF是矩形.(9分) 2 90 4 (3)答案不唯一,画出正确图形(一个即可).(10分) 菱形FGCH(或菱形EMCH).(11分) 思路分析思
34、路分析 (1)根据题意易得三角形AEF为等腰直角三角形,求出AEF=45,进而得出BEC的度数,根 据45度角的三角函数值易得=;(2)根据折叠的性质得出MEF=GFE=90,进而判断EMG= 180-CMG-BME=90,得出四边形EMGF是矩形;(3)根据菱形的定义易得菱形FGCH或菱形EMCH. AE BE 2 解后反思解后反思 折叠的性质:位于折痕两侧的图形关于折痕对称;折叠前后的两部分图形全等,对应边、 角、线段、周长、面积等均相等;折叠之后,对应点的连线被折痕垂直平分. 考点二 图形的平移 1.(2018江西,5,3分)小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个
35、图形所组成 的图形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后 的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.无数个 答案答案 C 如图所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射线AC或BD方向平移,平移后的两个 正方形组成轴对称图形.故选C. 2.(2019天津,24,10分)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,ABO=30.矩形 CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2. (1)如图1,求点E的坐标; (2)将矩形COD
36、E沿x轴向右平移,得到矩形CODE,点C,O,D,E的对应点分别为C,O,D,E.设OO=t,矩形C ODE与ABO重叠部分的面积为S. 如图2,当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时,CE,ED分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式 子表示S,并直接写出t的取值范围; 当S5时,求t的取值范围(直接写出结果即可). 33 解析解析 (1)由点A(6,0),得OA=6, 又OD=2,AD=OA-OD=4, 在矩形CODE中,有EDCO,得AED=ABO=30, 在RtAED中,AE=2AD=8, 由勾股定理,得ED=4, 点E的坐标为(2,4). (2)由平移知,OD=2,ED=4,ME=
37、OO=t, 由EDBO,得EFM=ABO=30, 在RtMFE中,MF=2ME=2t, 由勾股定理,得FE=t, SMFE=ME FE= tt=t2. S矩形CODE=OD ED=8, 22 AEAD3 3 3 22 MFME 3 1 2 1 2 3 3 2 3 S=S矩形CODE-SMFE=8-t2, S=-t2+8,其中t的取值范围是0t2. t6-. 提示:当0t2时,S=-t2+8, t=0时,Smax=8;t=2时,Smin=6,6S8,不在范围内. 当2t4时,如图,OA=6-t,DA=4-t, 根据勾股定理得ON=(6-t),DF=(4-t), 3 3 2 3 2 3 5 2 2
38、 3 2 3 3333 33 S=(6-t)+(4-t)2=-2t+10, 2S6. 当S=5时,t=,t4. 当4t6时,如图,OA=6-t, 根据勾股定理得ON=(6-t), S=(6-t)(6-t)=t2-6t+18, 0S2. 1 2 333 3 33 3 5 2 5 2 3 1 2 3 3 2 33 3 当S=时,t1=6+(舍去),t2=6-, 4t6-. 综上所述,t6-. 322 2 5 2 2 易错警示易错警示 此题为动态几何问题,需按矩形CODE与ABO重叠部分的形状变化分类讨论,若只画出其 中一种情况,则会因为考虑不全而产生错误. 考点三 图形的旋转 1.(2019内蒙古
39、呼和浩特,9,3分)已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A、B、C、D按逆时针依次排 列,若A点的坐标为(2,),则B点与D点的坐标分别为( ) A.(-2,),(2,-) B.(-,2),(,-2) C.(-,2),(2,-) D., 3 33 33 33 721 , 22 721 , 22 答案答案 B 如图所示,连接AO,DO,作AEx轴,DFy轴,垂足分别为E、F, 四边形ABCD为正方形, AO=DO,AOD=EOF=90,1=2, AEO=DFO=90, AOEDOF.OF=OE=2,DF=AE=, D(,-2), 点B与点D关于原点对称,B(-,2),故选B. 3 3 3 思路分
40、析思路分析 根据题意画出图形,分别过点A,D作AEx轴,DFy轴,证AOEDOF,根据点A的坐标求 出点D的坐标,再由中心对称求出点B的坐标. 2.(2019河南,10,3分)如图,在OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将OAB与正方形ABCD组成的图形绕 点O顺时针旋转.每次旋转90,则第70次旋转结束时,点D的坐标为( ) A.(10,3) B.(-3,10) C.(10,-3) D.(3,-10) 答案答案 D 由题意得,五边形AOBCD绕点O顺时针旋转,每次旋转90,经过4次旋转可回到初始位置,即每 4次旋转为一个循环.704=172,即第70次旋转结束时与第2次
41、旋转结束时位置相同.易得初始位置时 点D的坐标为(-3,10),又点D旋转2次,即顺时针旋转了180后的点D与点(-3,10)关于原点对称,所以第70 次旋转结束时,点D的坐标为(3,-10),故选D. 3.(2017河北,16,2分)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK 边与AB边重合,如图所示,按下列步骤操作: 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转, 使MN边与CD边重合,完成第二次旋转;在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是( ) A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0
42、.5 答案答案 C 在第一次旋转过程中,BM=1;在第二次旋转过程中,点M位置不变,BM=1;在第三次旋转过程中, BM的长由1逐渐变小为-1;在第四次旋转过程中,点M在以点E为圆心,为半径的圆弧上,BM的长由 -1逐渐变小为2-,然后逐渐变大为-1;在第五次旋转过程中,BM的长由-1逐渐变大为1;在第六 次旋转过程中,点M位置不变,BM=1.显然连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是0.8,故选C. 32 3233 解题关键解题关键 解决本题的关键是求出每个旋转过程中BM长的变化范围. 4.(2020重庆A卷,26,8分)如图1,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,点D是BC边上
43、一动点,连接AD,把AD绕 点A逆时针旋转90,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF. (1)求证:CF=AD; (2)如图2所示,在点D运动的过程中,当BD=2CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量 关系,并证明你猜想的结论; (3)在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值 时,AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长. 2 2 解析解析 (1)证明:BAC=DAE=90, BAD=CAE. 在ABD和ACE中, ABDACE, ABD=ACE. AB=AC,BAC=90, ABD=
44、ACB=45, ECD=ACB+ACE=90. F是DE的中点, CF=DE. AD=AE,DAE=90, , , , ABAC BADCAE ADAE 1 2 DE=AD. CF=AD.(3分) (2)=3.理由如下: 如图1所示,连接AF,DG,DG交AC于点M. 图1 由(1)知,AF=CF=DF=DE. 2 2 2 BC AG 2 1 2 FAC=FCA. GAC=90, FAG=FGA. AF=GF. GF=DF=CF. FGD=FDG,FDC=FCD. FDG+FDC=90. GDC=90. B=45,ACD=45, BD=GD,CD=MD,AMG=45. CAG=90. MG=A
45、G. BD=2CD, BD=DG=2CD=2MG. 2 BC=3MG=3AG. 即=3.(6分) (3)当ADBC时,在AD上存在点P,满足条件.此时,CE的长为m.(8分) 详解:如图2,将BPC绕点B顺时针旋转60得到BNM,连接PN, 图2 2 BC AG 2 33 2 BP=BN,PC=NM,PBN=60, BPN是等边三角形,BP=PN, PA+PB+PC=AP+PN+MN, 当点A,P,N,M共线时,PA+PB+PC的值最小,如图3,连接MC, 图3 将BPC绕点B顺时针旋转60得到BNM, BP=BN,BC=BM,PBN=60=CBM, BPN是等边三角形,CBM是等边三角形,
46、BPN=BNP=60,BM=CM. 又AB=AC, AM垂直平分BC. ADBC,BPD=60,BD=PD, AB=AC,BAC=90,AD=BD, PD=PD+AP,PD=m, BD=PD=m, 由(1)可知CE=BD=m. 3 3 31 2 3 33 2 33 2 A组 20182020年模拟基础题组 时间:60分钟 分值:80分 一、选择题（每小题4分，共36分） 1.(2020福州二检,2)下列用数学家名字命名的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 答案答案 C 赵爽弦图是中心对称图形,但不是轴对称图形,故A错误;笛卡儿心形线为轴对称图形,但不是 中心对称图形,故B错误;科
47、克曲线为轴对称图形,也是中心对称图形,故C正确;斐波那契螺旋线不是轴对 称图形,也不是中心对称图形,故D错误.故选C. 2.(2019南平适应性检测,2)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A.三角形 B.菱形 C.角 D.平行四边形 答案答案 B 三角形不一定是轴对称图形和中心对称图形;菱形既是轴对称图形又是中心对称图形;角是 轴对称图形,不是中心对称图形;平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形,故选B. 解后反思解后反思 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.判断是不是轴对称图形的关键是寻找 对称轴,轴对称图形沿着对称轴折叠后两部分图形可重合;判断是不是中心对称图形的关键是寻找对称 中心,中心对称图形绕着对称中心旋转180后与原图形重合. 3.(2020漳州二检,6)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),B(3,-1),平移线段AB,使点B落在点B1(-1,-2) 处,则点A的对应点A1的坐标为( ) A.(0,-2) B.(-2,0) C.(0,-4) D.(-4,0) 答案答案 B 由B(3,-1),B1(-1,-2)知点B向左平移4个单位,向下平移1个单位.根据平移的性质可知,A点也向 左平移4个单位,向下平移1个单位,故A
