1、 中考数学 （北京专用） 7.2 尺规作图题 1.(2020北京房山二模,16)下面是“作一个30角”的尺规作图过程. 已知:平面内一点A. 求作:A,使得A=30. 作法:如图, (1)作射线AB; (2)在射线AB上取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C; (3)以C为圆心,OC为半径作弧,与O交于点D,作射线AD. 则DAB即为所求的角. 请回答:该尺规作图的依据是 . 答案答案 同圆或等圆半径相等,直径所对的圆周角是直角,正弦的定义,三角函数值(或三边相等的三角形 是等边三角形,等边三角形的内角是60,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半) 解析解析 连接CD,由
2、题意可知AO=CO=CD,ADC=90,AC=2CD,由正弦的定义可知A=30. 一题多解一题多解 连接CD,OD,可知OCD为等边三角形,再由同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半,可 证明A=30. 2.(2017北京,16,3分)下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程. 已知:RtABC,C=90. 求作:RtABC的外接圆. 作法:如图. (1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点; (2)作直线PQ,交AB于点O; (3)以O为圆心,OA长为半径作O.O即为所求作的圆. 请回答:该尺规作图的依据是 . 1 2 答案答案 到线段两端点距离相等的
3、点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线;直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半;圆的定义 3.(2018北京东城一模,16)已知正方形ABCD. 求作:正方形ABCD的外接圆. 作法:如图, (1)分别连接AC,BD,交于点O; (2) 以点O为圆心,OA长为半径作O. O即为所求作的圆. 请回答:作图的依据是 . 答案答案 正方形的对角线相等且互相平分和圆的定义 解析解析 圆是由到定点的距离等于定长的点构成的图形, 而正方形的对角线交点到四个顶点的距离相等, 所以作图依据为正方形的对角线相等且互相平分和圆的定义. 解题关键解题关键 解决本题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的定义. 4.(2
4、018北京西城一模,16)阅读下面材料: 在复习课上,围绕一道作图题,老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法,并交流其中 蕴含的数学原理. 已知:直线l和直线外的一点P. 求作:过点P且与直线l垂直的直线PQ,垂足为点Q. 某同学的作图步骤如下: 步骤 作法 推断 第一步 以点P为圆心,适当长度为半径作弧,交直线l于A,B两点,连接PA,PB PA=PB 第二步 作APB的平分线,交直线l于点Q APQ= 直线PQ即为所求作 PQl 请你根据该同学的作图方法完成以下推理:PA=PB,APQ= ,PQl .(依据: ) 答案答案 BPQ;等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合 解析
5、解析 PA=PB,PAB为等腰三角形,PQ为APB的平分线,根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的 高重合可以得到PQl. 5.(2018北京海淀一模,16)下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程. 已知:O和O上一点P. 求作:O的切线MN,使MN经过点P. 作法:如图, (1)作射线OP; (2)以点P为圆心,小于OP的长为半径作弧,交射线OP于A,B两点; (3)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧交于M,N两点; (4)作直线MN.则MN就是所求作的O的切线. 请回答:该尺规作图的依据是 . 1 2 答案答案 到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;经
6、过半径的外端点并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线;两点确定一条直线 解析解析 作切线需要用到切线的判定定理:经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;同 时一定是作两个点,两点确定一条直线;根据“到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直 平分线上”获得垂直,进而证明了MN就是所求作的切线. 6.(2020北京西城一模,21)先阅读下列材料,再解答问题. 尺规作图 已知:ABC,D是边AB上一点,如图. 求作:四边形DBCF,使得四边形DBCF是平行四边形. 小明的做法如下: (1)设计方案 先画一个符合题意的草图,如图, 再分析实现目标的具体方法. 依据:两组对边分别平行的
7、四边形是平行四边形. (2)设计作图步骤,完成作图 作法:如图, 延长BC至点E; 分别作ECP=EBA,ADQ=ABE; DQ与CP交于点F. 四边形DBCF即为所求. (3)推理论证 证明:ECP=EBA, CPBA. 同理,DQBE. 四边形DBCF是平行四边形. 请你参考小明的做法,再设计一种尺规作图的方法(与小明的方法不同),使得画出的四边形DBCF是平行 四边形,并证明. 解析解析 答案不唯一,如: (1)依据:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (2)如图.以D为圆心,BC长为半径画弧,再以C为圆心,BD长为半径画弧,两弧交于点F,连接DF、CF,四边 形DBCF即为所求.
8、(3)证明:CF=BD,DF=BC, 四边形DBCF是平行四边形. 思路分析思路分析 根据平行四边形的判定方法结合题目中给定的条件,确定自己的作图方案. 7.(2020北京西城二模,20)下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点,使得这点到这个三角形的 另外两边的距离相等”的尺规作图过程: 已知:ABC. 求作:点D,使得点D在BC边上,且到AB,AC边的距离相等. 作法:如图, 作BAC的平分线,交BC于点D. 则点D即为所求. 根据小明设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:作DEAB于点E,作DFAC于点F, AD平分BA
9、C, = ( )(填推理的依据). 解析解析 (1)如图. (2)DE;DF;角平分线上的点到角两边的距离相等. 8.(2020北京海淀二模,19)下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程. 已知:直线l及直线l外一点P. 求作:直线PQ,使得PQl. 作法:如图, 在直线l外取一点A,作射线AP与直线l交于点B, 以A为圆心,AB为半径画弧与直线l交于点C,连接AC, 以A为圆心,AP为半径画弧与线段AC交于点Q, 则直线PQ即为所求. 根据小王设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:AB=AC, ABC=AC
10、B( )(填推理的依据). AP= ,APQ=AQP. ABC+ACB+A=180,APQ+AQP+A=180,APQ=ABC. PQBC( )(填推理的依据).即PQl. 解析解析 (1)补全图形如图所示: (2)等边对等角;AQ;同位角相等,两直线平行. 9.(2020北京朝阳二模,19)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程. 已知:直线l及直线l外一点P. 求作:直线PQ,使得PQl. 作法:如图, 任意取一点K,使点K和点P在直线l的两侧; 以P为圆心,PK长为半径画弧,交l于点A,B,连接AP; 分别以点P,B为圆心,以AB,PA长为半径画弧,两弧相交于点
11、Q(点Q和点A在直线PB的两侧); 作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:连接BQ,PQ= ,BQ= , 四边形PABQ是平行四边形( )(填推理依据).PQl. 解析解析 (1)补全的图形如图所示: (2)AB;PA;两组对边分别相等的四边形是平行四边形 10.(2020北京密云一模,19)下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程. 已知:ABC中,ACBC. 求作:ADB,使得ADB=2C. 作法:如图, 分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两
12、弧交于M、N点,作直线MN; 分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于P、Q点,作直线PQ,MN和PQ交于点D; 连接AD和BD; 以点D为圆心,AD的长为半径作D. 所以ADB=2C. 根据小菲设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:连接CD, MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线, CD=AD= . D是ABC的外接圆. 点C是D上的一点, 1 2 1 2 ADB=2C( )(填推理的依据). 解析解析 (1)补全的图形如图所示: (2)BD;一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半. 解题关键解题关键 根据线
13、段的垂直平分线的性质得到相应的结论;ADB和C分别是所对的圆心角和圆 周角,所以这两个角之间存在2倍关系. AB 11.(2020北京石景山一模,19)下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知:如图1,直线l及直线l上一点P. 求作:直线PQ,使得PQl. 作法:如图2. 以点P为圆心,任意长为半径作弧,交直线l于点A,B; 分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧在直线l上方交于点Q; 作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的直线.根据小石设计的尺规作图过程, 1 2 (1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:连接
14、QA,QB. QA=( ),PA=( ), PQl( )(填推理的依据). 解析解析 (1)补全的图形如图所示: (2)QB;PB;等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合. 12.(2020北京丰台二模,17)下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程. 已知:O和圆外一点P. 求作:过点P的O的切线. 作法:连接OP; 以OP为直径作M,交O于点A,B; 作直线PA,PB. 所以直线PA,PB为O的切线. 根据小文设计的作图过程,完成下面的证明. 12.(2020北京丰台二模,17)下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程. 已知:O和圆外一点P. 求作:过点P的O的切
15、线. 作法:连接OP; 以OP为直径作M,交O于点A,B; 作直线PA,PB. 所以直线PA,PB为O的切线. 根据小文设计的作图过程,完成下面的证明. 证明:连接OA,OB.OP为M的直径, OAP= = ( )(填推理的依据). OAAP, BP. OA,OB为O半径,直线PA,PB为O的切线( )(填推理的依据). 解析解析 OBP;90;直径所对的圆周角是直角; 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 13.(2020北京顺义二模,20)下面是小东设计的“以线段AB为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程. 已知:线段AB. 求作:菱形ACBD. 作法:如图, 以点A为圆心
16、,AB长为半径作A; 以点B为圆心,AB长为半径作B,交A于C,D两点; 连接AC,BC,BD,AD. 所以四边形ACBD就是所求作的菱形. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:点B,C,D在A上, AB=AC=AD( )(填推理的依据). 同理点A,C,D在B上, AB=BC=BD. = = = . 四边形ACBD是菱形( )(填推理的依据). 解析解析 (1)补全的图形如图所示. (2)同圆的半径相等(或圆的定义);AC;BC;BD;AD;四条边相等的四边形是菱形. 14.(2019北京西城一模,19)下面是小东设计
17、的“作圆的一个内接矩形,并使其对角线的夹角为60”的尺 规作图过程. 已知:O. 求作:矩形ABCD,使得矩形ABCD内接于O, 且其对角线AC,BD的夹角为60. 作法:如图, 作O的直径AC; 以点A为圆心,AO长为半径画弧,交直线AC上方的圆弧于点B; 连接BO并延长交O于点D; 连接AB,BC,CD,DA. 所以四边形ABCD就是所求作的矩形. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:点A,C都在O上, OA=OC. 同理OB=OD. 四边形ABCD是平行四边形. AC是O的直径, ABC=90.( )(填推理的依据
18、) 四边形ABCD是矩形. AB= =BO, AOB=60.四边形ABCD是所求作的矩形. 解析解析 (1)补全的图形如图所示: (3分) (2)直径所对的圆周角是直角;(4分) AO.(5分) 15.(2019北京东城一模,17)下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程. 已知:如图,直线BC及直线BC外一点P. 求作:直线PE,使得PEBC. 作法:如图, 在直线BC上取一点A,连接PA; 作PAC的平分线AD; 以点P为圆心,PA长为半径画弧,交射线AD于点E; 作直线PE. 所以直线PE就是所求作的直线. 根据小明设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全
19、图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:AD平分PAC, PAD=CAD. PA=PE, PAD= . PEA= . PEBC.( )(填推理的依据) 解析解析 (1) (2分) (2)PEA;CAD;内错角相等,两直线平行.(5分) 16.(2019北京海淀一模,19)下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程. 已知:直线l及直线l外一点P. 求作:直线PQ,使PQl. 作法:如图, 在直线l上取一点O,以点O为圆心,OP长为半径画半圆,交直线l于A,B两点; 连接PA,以B为圆心,AP长为半径画弧,交半圆于点Q; 作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的
20、直线. 根据小明设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:连接PB,QB,PA=QB, = , PBA=QPB,( )(填推理的依据) PQl.( )(填推理的依据) PA 解析解析 (1)补全的图形如图所示: (作弧交半圆于Q点得1分,作直线PQ得1分) (2);(3分) 等弧所对的圆周角相等;(4分) 内错角相等,两直线平行.(5分) QB 17.(2019北京顺义一模,19)下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过 程. 已知:直线l及直线l外一点P. 求作:直线PQ,使得PQl. 作法:如图, 在直线l
21、上取一点A,以点P为圆心,PA长为半径画弧,与直线l交于另一点B; 分别以A,B为圆心,PA长为半径在直线l下方画弧,两弧交于点Q; 作直线PQ. 所以直线PQ为所求作的直线. 根据小明设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:连接PA,PB,QA,QB. PA=PB=QA=QB, 四边形APBQ是菱形.( )(填推理的依据) PQAB.( )(填推理的依据) 即PQl. 解析解析 (1)补全的图形如图所示: (2分) (2)四条边都相等的四边形是菱形;(4分) 菱形的对角线互相垂直.(5分) 18.(2020北京,20,5分)已知:
22、如图,ABC为锐角三角形,AB=AC,CDAB. 求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且ABP=BAC. 作法:以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点; 连接BP. 线段BP就是所求作的线段. (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹); 1 2 (2)完成下面的证明. 证明:CDAB, ABP= . AB=AC, 点B在A上. 又点C,P都在A上, BPC=BAC( )(填推理的依据). ABP=BAC. 1 2 1 2 解析解析 (1)补全的图形如图所示. (2分) (2)BPC;(3分) 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(5分) 教师专用题组 1.
23、(2018河北,6,3分)尺规作图要求:.过直线外一点作这条直线的垂线;.作线段的垂直平分线;.过直 线上一点作这条直线的垂线;.作角的平分线. 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: 则正确的配对是( ) A., B., C., D., 答案答案 D 根据尺规作图的方法可知正确的配对是,.故选D. 2.(2018河南,9,3分)如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:以点 O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径 作弧,两弧在AOB内交于点F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为
24、( ) A.(-1,2) B.(,2) C.(3-,2) D.(-2,2) 1 2 55 55 答案答案 A 如图,设AC与y轴交于点H. 在AOBC中,ACOB,AHy轴, A(-1,2),AO=, 由作图知OF平分AOB, AOF=BOF=AGO, AG=AO=,HG=AG-AH=-1, 点G的坐标为(-1,2). 故选A. 22 ( 1)25 55 5 思路分析思路分析 根据作图方法可知OF平分AOB,在AOBC中判定AOG为等腰三角形,用勾股定理可求 相关边的长度,进而求得点G的坐标. 方法总结方法总结 本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定理,主要载体为一种数学模型,如图,若存
25、 在3个条件:ABCD,CB平分ACD,AC=AB.取任意两个作条件,一定能得出第三个. 3.(2018陕西,17,5分)如图,已知:在正方形ABCD中,M是BC边上一定点,连接AM.请用尺规作图法,在AM上 求作一点P,使DPAABM.(不写作法,保留作图痕迹) 解析解析 如图所示,点P即为所求. (5分) 思路分析思路分析 过D点作DPAM于点P,进而可利用APD=B,DAP=AMB判断DPAABM. 4.(2017甘肃兰州,22,6分)在数学课上,同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的 尺规作图过程: 已知:直线l和l外一点P. 求作:直线l的垂线,使它经过点P. 作法
26、:如图. (1)在直线l上任取两点A,B; (2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径画弧,两弧相交于点Q; (3)作直线PQ. 所以直线PQ就是所要求作的垂线. 参考以上材料作图的方法,解决以下问题: (1)以上材料作图的依据是: . (2)已知:直线l和l外一点P. 求作:P,使它与直线l相切.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) 解析解析 (1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;或线段垂直平分线的性质 (2)如图: 提示:在直线l上任取两点A,B,分别以A,B为圆心,AP,BP长为半径画弧,两弧相交于点Q; 作直线PQ交AB于点C; 以P为圆心,PC长为半径作圆. P就
27、是所要求作的图形. 5.(2015北京,16,3分)阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图:作一条线段的垂直平分线. 已知:线段AB. 求作:线段AB的垂直平分线. 小芸的作法如下: 如图, (1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点; 1 2 (2)作直线CD. 所以直线CD就是所求作的垂直平分线. 老师说:“小芸的作法正确.” 请回答:小芸的作图依据是 . 答案答案 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,两点确定一条直线 解析解析 由小芸的作法可知,AC=BC,AD=BD, 所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知点C、D在线段AB的垂直平 分线上, 再由“两点确定一条直线”可知直线CD就是所求作的垂直平分线. 思路分析思路分析 可以从为什么直线CD是线段AB的垂直平分线来考虑,即需要思考如何证明、如何连线.
