1、 中考数学 （北京专用） 7.5 几何压轴综合题 1.(2020北京,27,7分)在ABC中,C=90,ACBC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作 DFDE,交直线BC于点F,连接EF. (1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示); (2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)D,E分别是AB,AC的中点, DEBC, DEDF, EDF=90, DFB=90. C=90, DFAC. BD=DA, =1. BF=FC, AE=a,BF=b
2、, 在RtECF中,EF=.(2分) (2)依题意补全图形,如图. BF FC BD DA 22 CECF 22 AEBF 22 ab 线段AE,EF,BF之间的数量关系:AE2+BF2=EF2. 证明:延长ED至点G,使得DG=DE,连接BG,FG. DEDF,FE=FG.D为AB的中点,AD=BD,ADE=BDG, ADEBDG,AED=BGD,AE=BG.CEBG,GBF=ACB=90.在RtGBF中,BG2+BF2=GF2, AE2+BF2=EF2.(7分) 一题多解一题多解 (2)过点D作BC的垂线,垂足为H,可知H为BC的中点,过点D作AC的垂线,垂足为G,可知G为AC 的中点,
3、可得EF2=DE2+DF2=DG2+EG2+DH2+FH2 =+ =BC2+AC2+AE AC-BF BC+AE2+BF2, EF2=EC2+CF2=(AE+AC)2+(BF-BC)2=AC2+2AE AC+BC2-2BF BC+AE2+BF2, 2-可得EF2=AE2+BF2. 2 1 2 BC 2 1 2 AEAC 2 1 2 AC 2 1 2 BFBC 1 2 1 2 2.(2020北京西城一模,27)如图,在等腰直角ABC中,ACB=90.点P在线段BC上,延长BC至点Q,使得CQ =CP,连接AP,AQ.过点B作BDAQ于点D,交AP于点E,交AC于点F.K是线段AD上的一个动点(与
4、点A,D不 重合),过点K作GNAP于点H,交AB于点G,交AC于点M,交FD的延长线于点N. (1)依题意补全图1; (2)求证:NM=NF; (3)若AM=CP,用等式表示线段AE,GN与BN之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)补全图形,如图1. (2)证明:CQ=CP,ACB=90, AP=AQ.APQ=Q. BDAQ, QBD+Q=QBD+BFC=90. Q=BFC. 图1 图2 MFN=BFC,MFN=Q. 同理,NMF=APQ. MFN=FMN.NM=NF. (3)BN=AE+GN. 证明:连接CE,如图2. 由(1)可得PAC=FBC, ACB=90,AC=BC, APCB
5、FC.CP=CF. AM=CP,AM=CF. CAB=CBA=45. EAB=EBA.AE=BE. 又AC=BC,CE所在直线是AB的垂直平分线. ECB=ECA=45.GAM=ECF=45. 由(1)可得AMG=CFE, AGMCEF.GM=EF. BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN. BN=AE+GN. 解题关键解题关键 第(3)问的关键是根据等腰三角形的条件,发现相等的边与角,能够根据两组相等的线段AC= BC,AE=BE得到线段的垂直平分线的结论,进而找到与AGM全等的三角形CEF. 3.(2020北京西城二模,27)在正方形ABCD中,E是CD边上一点(CEDE),AE,BD交
6、于点F. (1)如图1,过点F作GHAE,分别交边AD,BC于点G,H. 求证:EAB=GHC; (2)AE的垂直平分线分别与AD,AE,BD交于点P,M,N,连接CN. 依题意补全图形; 用等式表示线段AE与CN之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)证明:在正方形ABCD中,ADBC,BAD=90, AGH=GHC. GHAE,EAB=AGH. EAB=GHC. (2)补全图形,如图所示. AE=CN. 证明:连接AN,连接EN并延长,交AB边于点Q. 2 四边形ABCD是正方形, 点A,点C关于直线BD对称. NA=NC,1=2. PN垂直平分AE,NA=NE. NC=NE.3=4.
7、在正方形ABCD中,BACE,BCD=90, AQE=4. 1+AQE=2+3=90. ANE=ANQ=90. 在RtANE中,AE=NE,故AE=CN. 22 4.(2020北京海淀一模,27)已知MON=,A为射线OM上一定点,OA=5,B为射线ON上一动点,连接AB,满足 OAB,OBA均为锐角.点C在线段OB上(与点O,B不重合),满足AC=AB,点C关于直线OM的对称点为D, 连接AD,OD. (1)依题意补全图1; (2)求BAD的度数(用含的代数式表示); (3)若tan =,点P在OA的延长线上,满足AP=OC,连接BP,写出一个AB的值,使得BPOD,并证明. 3 4 解析解
8、析 (1)补全图形如图1所示. (2)AB=AC,1=2. 点C,D关于直线OM对称,A在OM上, AC=AD,OC=OD. OA=OA,ACOADO, 3=D,4=AOC. 1+3=180,2+D=180. 图1 图2 BAD+DOB=180, AOC=4=,BAD=180-2a. (3)如图2中,不妨设ODPB. 作AHBC于H,BJOA于J. 在RtAOH中,OA=5,tanAOH=, AH=3,OH=4, 设CH=BH=x,则BC=2x, 3 4 ODBP,DOA=OPB, DOA=AOB, AOB=OPB, PB=OB=4+x, BJOP,OP=OA+AP=5+4-x=9-x, OJ
9、=JP=(9-x), cosAOH=, =, 解得x=1,BH=1, AB=. 证明如下:过点A作AHON于H. 1 2 OH OA OJ OB 4 5 1 (9) 2 4 x x 22 AHBH 22 3110 tanAOH=tan =,=, RtAOH中,AO=5,AH2+OH2=AO2, AH=3,OH=4. AB=,BH=1. OB=OH+BH=5,OA=OB. BAO=ABO. AB=AC,ACB=ABO. BAO=ACB. BAP+OAB=180,ACO+ACB=180, BAP=ACO. AC=AB,AP=OC,APBCOA.APB=AOB. 3 4 AH OH 3 4 10 2
10、2 ABAH 点C,D关于直线OM对称,AOB=AOD,APB=AOD,PBOD. 思路分析思路分析 本题第(3)问需要先假设PBOD,求出AB的值再证明. 5.(2020北京通州一模,27)已知线段AB,过点A的射线lAB.在射线l上截取线段AC=AB,连接BC,点M为BC 的中点,点P为AB边上一动点,点N为线段BM上一动点,以点P为旋转中心,将BPN逆时针旋转90得到 DPE,B的对应点为D,N的对应点为E. (1)当点N与点M重合,且点P不是AB中点时, 据题意在图中补全图形; 证明:以A,M,E,D为顶点的四边形是矩形. (2)连接EM.若AB=4,从下列3个条件中选择1个: BP=
11、1,PN=1,BN=, 当条件 (填入序号)满足时,一定有EM=EA,并证明这个结论. 2 解析 (1)补全的图形如图所示. 证明:如图,连接AE,AM. 由题意可知:D在BC上,ABC是等腰直角三角形,AMBC,AM=BC. DPEBPN, 1 2 DE=BN=BC,EDP=PBD. EDB=EDP+PDB=PBD+PDB=90, EDBC, DEAM,且ED=AM. 四边形AMDE是平行四边形. 又AMBC, 四边形AMDE是矩形.(4分) (2)当条件BN=满足时,一定有EM=EA.(5分) 证明:与(1)同理,此时仍有DPEBPN, DE=BN=,DEBC. 取AM的中点F,连接FE.
12、 由AB=4,易得AM=2,FM=. EDFM,且ED=FM, 1 2 2 2 22 四边形FMDE是平行四边形.又FMBC,四边形FMDE是矩形.FEAM且FA=FM=. EA=EM.(7分) 2 6.(2020北京石景山一模,27)如图,点E是正方形ABCD内一动点,满足AEB=90且BAE45,过点D作 DFBE交BE的延长线于点F. (1)依题意补全图形; (2)用等式表示线段EF,DF,BE之间的数量关系,并证明; (3)连接CE,若AB=2,请直接写出线段CE长度的最小值. 5 解析解析 (1)依题意补全图形,如图1.(1分) (2)线段EF,DF,BE之间的数量关系为EF=DF+
13、BE.(2分) 证明:过点A作AMFD交FD的延长线于点M,如图2.(3分) 图1 图2 AEF=F=M=90, 四边形AEFM是矩形.3+2=90. 四边形ABCD是正方形, 1+2=90,AB=AD,1=3. 又AEB=M=90, AEBAMD. BE=DM,AE=AM. 矩形AEFM是正方形.EF=MF. MF=DF+DM, EF=DF+BE.(5分) (3)如图3,取AB的中点O,连接OC, 图3 AB=2,OB=, OC=5, AEB=90, 点E在以O为圆心,OB为半径的圆上, 当点E在OC上时,CE有最小值, CE的最小值为5-.(7分) 55 22 OBBC520 5 解题关键
14、解题关键 解决本题第(3)问的关键是通过90角发现点E是在以AB的中点O为圆心,OB为半径的圆上,进 而借助圆的有关知识解决. 7.(2020北京朝阳二模,27)已知AOB=40,M为射线OB上一定点,OM=1,P为射线OA上一动点(不与点O 重合),OP1,连接PM,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转40,得到线段PN,连接MN. (1)依题意补全图1; (2)求证:APN=OMP; (3)H为射线OA上一点,连接NH.写出一个OH的值,使得对于任意的点P总有OHN为定值,并求出此定 值. 解析解析 (1)补全图形,如图所示. (2)证明:根据题意可知,MPN=AOB=40,MPA=AOB+
15、OMP=MPN+APN,APN=OMP. (3)OH的值为1.在射线PA上取一点G,使得PG=OM,连接GN. 根据题意可知,MP=NP,由(1)知APN=OMP, OMPGPN. OP=GN,AOB=NGP=40. PG=OH=1. OP=HG.NG=HG. NHG=70.OHN=110. 8.(2020北京平谷一模,27)ABC中,AB=BC,ABC=90,将线段AB绕点A逆时针旋转(00),则CM=3-x, EF=BM=, AE=AD=3,AF=AM=, AFAE, 当AEF为等腰三角形时,只能有两种情况:AE=EF,或AF=EF, 当AE=EF时,有=3,解得x=3, tanDAM=1
16、; 当AF=EF时,有=,解得x=, tanDAM=. 综上,tanDAM的值为1或.(7分) 22 CMBC 2 618xx 22 DMAD 2 9x 2 618xx DM DA 3 3 2 618xx 2 9x 3 2 DM DA 3 2 3 1 2 1 2 解题关键解题关键 解决本题的关键是熟练掌握正方形的性质,轴对称的性质,全等三角形的性质与判定,等腰三 角形的性质,勾股定理等,同时要关注分类思想和方程思想的使用. 10.(2020北京朝阳一模,27)四边形ABCD是正方形,将线段CD绕点C逆时针旋转2(045),得到线段 CE,连接DE,过点B作BFDE交DE的延长线于F,连接BE.
17、 (1)依题意补全图1; (2)直接写出FBE的度数; (3)连接AF,用等式表示线段AF与DE的数量关系,并证明. 解析解析 (1)补全图形,如图所示. FBE=45. (2)DE=AF. 证明:如图,作AHAF,交BF的延长线于点H,设DF与AB交于点G, 2 根据题意可知,CD=CE,ECD=2,ABC=BCD=CDA=DAB=90. EDC=90-,CB=CE,BCE=90-2. CBE=45+,ADF=.ABE=45-. BFDE,BFD=90.AGD=FGB, FBG=ADF=. FBE=FEB=45.FB=FE. AHAF,BAD=90, HAB=FAD. HABFAD. HB=
18、FD,AH=AF. HF=DE,H=45. HF=AF.DE=AF. 22 思路分析思路分析 本题第(3)问需要构造一个全等三角形,将不在同一个三角形中的线段转化到同一个三角形 中去解决. 解题关键解题关键 求线段之间的关系时经常利用全等、旋转、轴对称等变换,将不在同一个三角形的线段转 化到同一个三角形中,然后找出关系. 11.(2020北京密云一模,27)已知MCN=45,点B在射线CM上,点A是射线CN上的一个动点(不与点C重 合).点B关于CN的对称点为点D,连接AB、AD和CD,点F在直线BC上,且满足AF=AB.小明在探究图形运 动的过程中发现:AFAD始终成立. (1)如图1,当0
19、BAC90时. 求证:AFAD; 用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系,并证明; (2)当90BAC135时,直接用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系是 . 解析解析 (1)点B关于CN的对称点为点D, ABCADC, ABC=ADC,ACB=ACD=45, BCD=90, AF=AB,ABC=AFB. AFB=ADC, AFB+AFC=180, ADC+AFC=180. 在四边形AFCD中,FAD=90, FAD=90,AFAD, CD+CF=AC. 证明:过点A作AC边的垂线交CB延长线于点P, APC是等腰直角三角形,PAC=90,AP=AC, PAF+FAC=DAC+F
20、AC=90, 2 PAF=DAC, AFB=ADC, APFACD,PF=CD, 在等腰RtAPC中,PF+CF=AC, CD+CF=AC. (2)CD-CF=AC. 过点A作AC边的垂线交CD于点P, 2 2 2 ACP=45,CAP=90,APC=45, APC=ACP,AP=AC. CAP=FAD=90,CAF=PAD, DPA=ACF=135,APDACF,DP=CF, 在RtACP中,ACP=45,CP=AP, CD-DP=CP=AC.即CD-CF=AC. 2 22 解题关键解题关键 当90BAC135时,就是点A位于过点B向AC作垂直得到的垂足与点C之间的任意一点,由于AB =AF
21、,则ABF=AFB45,所以点F在BC的延长线上,通过将三角形ACF绕着点A逆时针旋转90,将CD,CF转 换到同一条直线上,CF旋转后与AC同在等腰直角三角形上,能够比较明显地找到边与边的关系. 12.(2020北京丰台二模,27)如图,在RtABC中,ABC=90,将CA绕点C顺时针旋转45得到CP,点A关于 直线CP的对称点为D,连接AD交直线CP于点E,连接CD. (1)根据题意补全图形; (2)判断ACD的形状并证明; (3)连接BE,用等式表示线段AB,BC,BE之间的数量关系,并证明. 温馨提示:在解决第(3)问的过程中,如果你遇到困难,可以参考下面几种解法的主要思路. 解法1的
22、主要思路: 延长BC至点F,使CF=AB,连接EF,可证ABECFE,再证BEF是等腰直角三角形. 解法2的主要思路: 过点A作AMBE于点M,可证ABM是等腰直角三角形,再证ABCAME. 解法3的主要思路: 过点A作AMBE于点M,过点C作CNBE于点N,设BN=a,EN=b,用含a或b的式子表示出AB,BC. 解析解析 (1)补全图形如图. (2分) (2)ACD是等腰直角三角形.(3分) 证明:将CA绕点C顺时针旋转45,ACP=45. 点D与A关于直线CP对称, DCP=ACP=45,AC=CD.ACD=90. ACD是等腰直角三角形.(4分) (3)AB+BC=BE.(5分) 解法
23、1证明:延长BC至点F,使CF=AB,连接DF,EF. ACD是等腰直角三角形,AE=DE,AE=CE,AEC=90. ABC=90,BAE+BCE=180. FCE+BCE=180,BAE=FCE. ABECFE.(6分) 2 BE=FE,1=2.2+3=1+3=90. 即BEF=90. BEF是等腰直角三角形.(7分) BC+CF=BE.即AB+BC=BE.(8分) 解法2证明:过点A作AMBE于点M,取AC中点G,连接GB,GE. 设GBE=,ABG=, ABC=AEC=90, 22 AG=BG=EG=AC. ABG=BAC=,GBE=GEB=. 在BGE中,GBE+BGE+BEG=18
24、0, 2+2+90=180.+=45. 即ABE=45.(6分) (或根据圆的定义判断A,B,C,E在以点G为圆心的圆上,根据同弧CE所对圆周角相等,证明ABE=45) AMB=90,BAM=CAE=45. BAC=MAE.ABC=AME=90, ABCAME.(7分) =.BC=ME,又AB=BM. 1 2 AB AM BC ME AC AE 2 2 2 AB+BC=(BM+ME)=BE.(8分) 解法3证明:过点A作AMBE于点M,过C作CNBE于点N, AME=CNE=90,即MAE+AEM=90. MEC+AEM=90,MAE=MEC. AE=CE,AMEENC.(6分) AM=EN.
25、 同解法2,可证ABM=CBM=45.(7分) 22 设BN=a,EN=b, BC=a,AB=b. AB+BC=(BN+EN)=BE.(8分) (说明:三条线段数量关系写为(AB+BC)2=2BE2等其他等式,如果正确也给分) 22 22 13.(2020北京平谷二模,27)如图,在ABM中,ABC=90,延长BM使BC=BA,线段CM绕点C顺时针旋转90 得到线段CD,连接DM,AD. (1)依据题意补全图形; (2)当BAM=15时,AMD的度数是 ; (3)小聪通过画图、测量发现,当AMB是一定度数时,AM=MD. 小聪把这个猜想和同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
26、想法1:通过观察图形可以发现,如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE,就易证ABMAED,因此易 得当AMB是特殊值时,AM=MD,问题得证; 想法2:要证AM=MD,通过第(2)问,可知只需要证明AMD是等边三角形,通过构造平行四边形CDAF,易 证AD=CF,通过ABMCBF,易证AM=CF,从而解决问题; 想法3:通过BC=BA,ABC=90,连接AC,易证ACMACD,易得AMD是等腰三角形,因此当AMD 是特殊值时,AM=MD,问题得证. 请你参考上面的想法,帮助小聪证明当AMB是一定度数时,AM=MD.(一种方法即可) 解析解析 (1)补全图形如图. (2)60. (3)当AMB
27、=75时结论成立. 证明:想法1: 过A作AECD交CD的延长线于E. B=C=E=90,AB=BC, 四边形ABCE是正方形. AB=AE,B=E,BC=CE. MC=DC,BM=DE. ABMAED.AM=AD. AMB=75,CMD=45, AMD=60,AMD是等边三角形.AM=DM. 14.(2016北京,28,7分)在等边ABC中. (1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,BAP=20,求AQB的度数; (2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为 M,连接AM,PM. 依题意将图2补全; 小茹通过观察、实
28、验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行 交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法1:要证PA=PM,只需证APM是等边三角形. 想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证ANPPCM. 想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK. 请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM.(一种方法即可) 解析解析 (1)ABC为等边三角形,B=60.APC=BAP+B=80. AP=AQ,AQB=APC=80. (2)补全的图形如图所示. 想法1: 证明:过点A作AHBC于点
29、H,如图. 由ABC为等边三角形,AP=AQ,可得PAB=QAC. 点Q,M关于直线AC对称,QAC=MAC,AQ=AM.PAB=MAC,AM=AP. PAM=BAC=60.APM为等边三角形.PA=PM. 想法2: 证明:在BA上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,如图. 由ABC为等边三角形,可得BNP为等边三角形. AN=PC,ANP=120. 由AP=AQ,可得APB=AQC. 又B=ACB=60,ABPACQ.BP=CQ. 点Q,M关于直线AC对称, ACM=ACQ=60,CM=CQ.NP=BP=CQ=CM. PCM=ACM+ACQ=120, ANPPCM. PA=PM. 想法3
30、: 证明:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到BK,连接KP,CK,MC,如图. BPK为等边三角形.KB=BP=PK,KPB=KBP=60. KPC=120.由ABC为等边三角形, 可得ABPCBK.AP=CK. 由AP=AQ,可得APB=AQC. AB=AC,ABC=ACB=60, ABPACQ. BP=CQ. 点Q,M关于直线AC对称, BCM=2ACQ=120,CQ=CM=PK. MCPK. 四边形PKCM为平行四边形. CK=PM,PA=PM. 思路分析思路分析 (1)由等边对等角知求AQB的度数,即求APC的度数,根据三角形外角的性质求APC的 度数. (2)需要准确画出图形;三种
31、想法都是正确的,借助等边三角形的性质和判定进行证明. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要熟练应用相关几何知识,另外,要理解题目给出的三种想法,无论是平 移、旋转还是轴对称,都是全等变换,从三种全等变换的角度都可以解决. 15.(2019北京西城一模,27)如图,在ABC中,ABC=90,BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90得到线 段AD,E是边BC上的一动点,连接DE交AC于点F,连接BF. (1)求证:FB=FD; (2)点H在边BC上,且BH=CE,连接AH交BF于点N. 判断AH与BF的位置关系,并证明你的结论; 连接CN.若AB=2,请直接写出线段CN长度的最小值. 解析解析
32、(1)证明:ABC=90,BA=BC, BAC=ACB=45. AB绕点A逆时针旋转90得到AD, BAD=90,AB=AD. DAF=BAD-BAC=45. BAF=DAF.(1分) AF=AF,BAFDAF. FB=FD.(2分) (2)AH与BF的位置关系:AHBF.(3分) 证明:连接DC,如图. ABC+BAD=180,ADBC. AB=BC=AD,四边形ABCD是菱形. ABC=90,四边形ABCD是正方形. AB=DC,ADC=DCB=90.ABH=DCE. BH=CE,ABHDCE.BAH=CDE. BAFDAF,ABF=ADF. BAH+ABF=CDE+ADF=ADC=90.
33、 ANB=180-(BAH+ABF)=90. AHBF.(5分) -1.(7分) (提示:如图,在点E的运动过程中,ANB始终保持90,所以点N始终在以AB中点为圆心O,AB为直径的圆 上,最短距离为OC的长减去O的半径长,为-1.) 5 5 解题关键解题关键 解决本题最后一问的关键是发现AHBF可转化为点N在以AB为直径的圆上,那么CN长度 的最小值就为线段OC的长减去半径的长. 16.(2019北京西城二模,27)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点,点F在边BC的延长线上,且CF= AE,连接DE,DF,EF.FH平分EFB交BD于点H. (1)求证:DEDF; (2)求证:D
34、H=DF; (3)过点H作HMEF于点M,用等式表示线段AB,HM与EF之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, AD=CD,EAD=BCD=ADC=90, EAD=FCD=90. CF=AE, AEDCFD.(1分) ADE=CDF. EDF=EDC+CDF=EDC+ADE=ADC=90, DEDF.(2分) (2)证明:AEDCFD, DE=DF. EDF=90, DEF=DFE=45. ABC=90,BD平分ABC, DBF=45. FH平分EFB, EFH=BFH, DHF=DBF+BFH=45+BFH,DFH=DFE+EFH=45+EFH, DHF=D
35、FH,DH=DF.(4分) (3)EF=2AB-2HM.(5分) 证明:过点H作HNBC于点N,如图. 正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90, BD=AB. FH平分EFB,HMEF,HNBC,HM=HN. HBN=45,HNB=90, BH=HN=HM. DH=BD-BH=AB-HM. EF=DF=DH,EF=2AB-2HM.(7分) 22 ABAD 2 sin45 HN 22 22 cos45 DF 22 17.(2019北京石景山一模,27)如图,在等边ABC中,D为边AC的延长线上一点(CDAC),平移线段BC,使 点C移动到点D,得到线段ED,M为ED的中点,过点M作ED的垂线
36、,交BC于点F,交AC于点G. (1)依题意补全图形; (2)求证:AG=CD; (3)连接DF并延长交AB于点H,用等式表示线段AH与CG的数量关系,并证明. 解析解析 (1)补全的图形如图所示. (1分) (2)证明:ABC是等边三角形, AB=BC=CA,ABC=BCA=CAB=60. 由平移可知EDBC,ED=BC.(2分) ADE=ACB=60. GMD=90, DG=2DM=DE.(3分) DE=BC=AC, DG=AC.AG=CD.(4分) (3)线段AH与CG的数量关系为AH=CG.(5分) 证明:如图,连接BE,EF.ED=BC,EDBC, 四边形BEDC是平行四边形.BE=
37、CD,CBE=ADE=ABC. GM垂直平分ED,EF=DF. DEF=EDF.EDBC,BFE=DEF,BFH=EDF.BFE=BFH. BF=BF,BEFBHF.(6分) BE=BH=CD=AG.AB=AC,AH=CG.(7分) 解题关键解题关键 解决(3)的关键是通过连接BE借助平行四边形的性质,同时由连接EF发现BEFBHF,进 而寻找线段相等的关系. 18.(2019北京东城一模,27)如图,在正方形ABCD中,E是边BC上一动点(不与点B,C重合),连接DE,点C关于 直线DE的对称点为C,连接AC并延长交直线DE于点P,F是AC中点,连接DF. (1)求FDP的度数; (2)连接
38、BP,请用等式表示AP,BP,DP三条线段之间的数量关系,并证明; (3)连接AC,若正方形的边长为,请直接写出ACC的面积最大值. 2 解析解析 (1)由对称可知CD=CD,CDE=CDE. 在正方形ABCD中,AD=CD,ADC=90, AD=CD. 又F为AC中点, DFAC,ADF=CDF.(1分) FDP=FDC+EDC=ADC=45.(2分) (2)结论:BP+DP=AP.(3分) 如图,作APAP交PD延长线于点P, PAP=90. 1 2 2 在正方形ABCD中,DA=BA,BAD=90,DAP=BAP. 由(1)可知APD=45,P=45.AP=AP.(4分) 在BAP和DA
39、P中, , , , BADA BAPDAP APAP BAPDAP(SAS),(5分) BP=DP. DP+BP=PP=AP. (3)-1.(7分) 提示:当C在对角线BD上时ACC的面积最大,设对角线AC,BD交于点O,则此时ACC的面积为 AC CO=2(-1)=-1. 2 2 1 2 1 2 22 解题关键解题关键 解决本题(2)的关键是借助全等,将条件集中;解决(3)的关键是发现C在DB上时与AC的距离 最大. 19.(2019北京通州一模,27)如图,在等边ABC中,点D是线段BC上一点.作射线AD,点B关于射线AD的对 称点为E.连接CE并延长,交射线AD于点F. (1)设BAF=
40、,用表示BCF的度数; (2)用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)连接AE. 点B关于射线AD的对称点为E, AE=AB,BAF=EAF=. ABC是等边三角形, AB=AC,BAC=ACB=60. EAC=60-2,AE=AC.(1分) ACE=180-(60-2)=60+. BCF=ACE-ACB=60+-60=.(2分) (2)AF-EF=CF. 证明:如图,作FCG=60交AD于点G,连接BF.(3分) 1 2 BAF=BCF=,ADB=CDF,ABC=AFC=60. FCG是等边三角形.GF=FC.(4分) ABC是等边三角形,BC=AC,ACB=
41、60.ACG=BCF=.在ACG和BCF中, , , , CACB ACGBCF CGCF ACGBCF.AG=BF.(5分) 点B关于射线AD的对称点为E,BF=EF.(6分) AF-AG=GF,AF-EF=CF.(7分) 20.(2019北京房山二模,27)如图,在ABC中,ACB=90,B=4BAC.延长BC到点D,使CD=CB,连接AD, 过点D作DEAB于点E,交AC于点F. (1)依题意补全图形; (2)求证:B=2BAD; (3)用等式表示线段EA,EB和DB之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)补全图形如图.(2分) (2)证明:ACB=90,CD=CB, AD=AB. B
42、AD=2BAC. B=4BAC, B=2BAD.(4分) (3)EA=EB+DB.(5分) 证明证明:在EA上截取EG=EB,连接DG. DEAB,DG=DB. DGB=B. B=2BAD,DGB=2BAD. DGB=BAD+ADG, BAD=ADG.GA=GD.GA=DB. EA=EG+AG=EB+DB.(7分) 21.(2019北京燕山一模,27)如图,在ABC中,AB=BC,B=90,点D为线段BC上一个动点(不与点B,C重 合),连接AD,将线段AD绕点D顺时针旋转90得到线段DE,连接EC. (1)依题意补全图1; 求证:EDC=BAD; (2)小方通过观察、实验,提出猜想:在点D运
43、动的过程中,线段CE与BD的数量关系始终不变,用等式表 示为 ; 小方把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法1:过点E作EFBC,交BC的延长线于点F,只需证ADBDEF. 想法2:在线段AB上取一点F,使得BF=BD,连接DF,只需证ADFDEC. 想法3:延长AB到F,使得BF=BD,连接DF,CF,只需证四边形DFCE为平行四边形. 请你参考上面的想法,帮助小方证明中的猜想.(一种方法即可) 解析解析 (1)补全的图形如图所示. (1分) 证明:ADE=B=90, EDC+ADB=BAD+ADB=90, EDC=BAD.(3分) (2)CE=BD.(4分
44、) 想法1: 证明:如图,过点E作EFBC,交BC的延长线于点F, 2 F=90.在ADB和DEF中, B=F=90,EDC=BAD,AD=DE,ADBDEF, AB=DF,BD=EF.AB=BC,DF=BC,即DC+CF=BD+DC, CF=BD=EF, CEF是等腰直角三角形, CE=CF=BD.(7分) 想法2: 证明:在线段AB上取一点F,使得BF=BD,连接DF, B=90,BF=BD, DF=BD,AB=BC,BF=BD,AB-BF=BC-BD,即AF=DC. 22 2 在ADF和DEC中,AF=DC,FAD=CDE,AD=DE,ADFDEC,CE=DF=BD.(7分) 想法3:
45、证明:延长AB到F,使得BF=BD,连接DF,CF,ABD=90,DF=BD. 在RtABD和RtCBF中,AB=BC,ABD=CBF=90,BD=BF, 2 2 ABDCBF,AD=CF,BAD=BCF.AD=DE,DE=CF.EDC=BAD,EDC=BCF,DE CF,四边形DFCE为平行四边形, CE=DF=BD.(7分) 2 22.(2019北京海淀二模,27)已知C为线段AB中点,ACM=.Q为线段BC上一动点(不与点B重合),点P在射 线CM上,连接PA,PQ,记BQ=kCP. (1)若=60,k=1, 如图1,当Q为BC中点时,求PAC的度数; 直接写出PA、PQ的数量关系; (
46、2)如图2,当=45时.探究是否存在常数k,使得中的结论仍成立.若存在,写出k的值并证明;若不存在,请 说明理由. 图1 图2 解析解析 (1)在CM上取点D,使得CD=CA,连接AD. ACM=60, ADC为等边三角形. DAC=60. C为AB的中点,Q为BC的中点, AC=BC=2BQ. BQ=CP, AC=BC=CD=2CP. AP平分DAC. PAC=PAD=30. PA=PQ. (2)存在k=,使得中的结论成立. 证明:过点P作PC的垂线交AC于点D. ACM=45,PDC=PCD=45.PC=PD,PDA=PCQ=135. 2 CD=PC,BQ=PC, CD=BQ.AC=BC,
47、AD=CQ.PADPQC.PA=PQ. 22 23.(2018北京东城一模,27)已知在ABC中,AD是BAC的平分线,且AD=AB,过点C作AD的垂线,交 AD 的延长线于点H. (1)如图1,若BAC=60, 直接写出B和ACB的度数; 若AB=2,求AC和AH的长; (2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)B=75,ACB=45. 作DEAC交AC于点E. RtADE中,由DAC=30,AD=AB=2可得DE=1,AE=. RtCDE中,由ACD=45,DE=1,可得EC=1. AC=+1. RtACH中,由DAC=30,可得AH=. (2)
48、线段AH与AB+AC之间的数量关系为2AH=AB+AC. 证明: 延长AB和CH,交于点F,取BF的中点G,连接GH. 3 3 33 2 易证ACH AFH. AC=AF,HC=HF. GHBC. AB=AD, ABD=ADB, AGH=AHG, AG=AH. AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要通过构造三角形,借助中位线定理寻找边与边之间的数量关系. 教师专用题组 1.(2019内蒙古包头,25,12分)如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点, 连接AM,过点M作MNAM交边BC于N. (1)如图,求证:MA=MN; (2)如图,连接AN,O为AN的中点,MO的延长线交边AB于点P,当=时,求AN和PM的长; (3)如图,过点N作NHBD于H,当AM=2时,求HMN的面积. 1 0 2 DMBD AMN BCD S S 13 18 5 解析解析 (1)证明:如图,过点M作MFAB于F,作MGBC于G. AFM=NGM=90. 四边形ABCD为正方形,ABC=90, 又点M在BD上, 由此易得四边形FBGM为正方形, MF=MG,FMG=90, FMN+NMG
