1、 中考数学 （北京专用） 2.3 不等式（组） 北京中考题组 1.(2019北京,7,2分)用三个不等式ab,ab0,b,ab0,那么b,ab0,a-b0.0. 整理得b,0. ,-0.b,b-a0.命题是真命题. 命题,如果ab0,b.,-0.0,b-a0.ba. 命题为真命题.综上,真命题的个数为3. 1 a 1 b ab ab 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b ba ab 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b ba ab 一题多解一题多解 命题参照上述解析,本题也可以借助函数观点来解决,由b,ab0可知点,在反比例函数图象的同一支上,所以命题可由反
2、比例函数 的性质:“当k0时,在同一象限内y随x的增大而减小”来证明;命题同理可证. 1 a 1 b 1 x 1 , a a 1 , b b 2.(2018北京,11,2分)用一组a,b,c的值说明命题“若ab,则ac0时,命题才是真命题,所以当c0时,命题为假命题,答案不唯一,例如: 1;2;-1. 3.(2020北京,18,5分)解不等式组: 532 , 21 . 32 xx xx 解析解析 解不等式,得x1.(2分) 解不等式,得x2.(4分) 原不等式组的解集为1x2.(5分) 532 , 21 . 32 xx xx 4.(2019北京,18,5分)解不等式组: 4(1)2, 7 .
3、3 xx x x 解析解析 原不等式组为 解不等式,得x2.解不等式,得x. 原不等式组的解集为x-4,解得x-2,由得-3x-9,解得x3. 所以不等式组的解集为-2x3. 3(1)1, 9 2 , 2 xx x x 6.(2017北京,18,5分)解不等式组: 2(1)57, 10 2 . 3 xx x x 解析解析 解不等式,得x3;解不等式,得x2, 原不等式组的解集为x2. 2(1)57, 10 2 . 3 xx x x 7.(2016北京,18,5分)解不等式组: 253(1), 7 4. 2 xx x x 解析解析 原不等式组为 解不等式,得x1. 原不等式组的解集为1x8. 2
4、53(1), 7 4. 2 xx x x 8.(2019北京,23,6分)小云想用7天的时间背诵若干首诗词,背诵计划如下: 将诗词分成4组,第i组有xi首,i=1,2,3,4; 对于第i组诗词,第i天背诵第一遍,第(i+1)天背诵第二遍,第(i+3)天背诵第三遍,三遍后完成背诵,其他天 无需背诵,i=1,2,3,4; 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1 x1 x1 第2组 x2 x2 x2 第3组 第4组 x4 x4 x4 每天最多背诵14首,最少背诵4首. 解答下列问题: (1)填入x3补全上表; (2)若x1=4,x2=3,x3=4,则x4的所有可能取值为
5、 ; (3)7天后,小云背诵的诗词最多为 首. 解析解析 (1) 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1 x1 x1 第2组 x2 x2 x2 第3组 x3 x3 x3 第4组 x4 x4 x4 (2)4,5,6. 根据上表可列不等式组:将x1=4,x2=3,x3=4代入可得4x46, x1=4,x2=3,x3=4时,x4的所有可能取值为4,5,6. (3)23. 根据上表可列不等式组: +2+得203(x1+x2+x3+x4)70, x1+x2+x3+x4, 134 24 4 414, 414, 414, xxx xx x 12 23 134 24 414, 4
6、14, 414, 414, xx xx xxx xx 20 3 70 3 可取x1+x2+x3+x4的最大整数值为23,即小云最多背诵诗词23首. 思路分析思路分析 根据表中的规律即可得到(1)的结论;本题需要借助不等式与不等式组解决(2)(3)两问. 解题关键解题关键 解决本题的关键有两个,一个是要读懂题意;另外一个是要借助不等式(组)表示每天背诵诗 词的数量限制:最多背诵14首,最少背诵4首. 教师专用题组 考点一 一元一次不等式(组) 1.(2020贵州贵阳,8,3分)已知ab,下列式子不一定成立的是( ) A.a-1-2b C.a+1mb 1 2 1 2 答案答案 D 在不等式ab的两
7、边同时减去1,不等号的方向不变,即a-1b-1正确,A选项不符合题意;在不等 式a-2b正确,B选项不符合题意;在不等式ab的两边同时乘, 再同时加上1,不等号的方向不变,即a+1b+1正确,C选项不符合题意;在不等式amb,mamb或ma=mb,故D选项符合题意.故选D. 1 2 1 2 1 2 2.(2020山东潍坊,11,3分)若关于x的不等式组有且只有3个整数解,则a的取值范围是( ) A.0a2 B.0a2 C.0a2 D.0a2 351, 28 x xa 答案答案 C 解不等式得x2, 解不等式得x, 因为不等式组有且只有3个整数解, 所以解只能是2、3、4,故解得0”向右拐,“”
8、向左拐)和实心点与空 心圈的使用(有等号用实心点,无等号用空心圈). 4.(2018重庆,12,4分)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且使关于y的方程 +=2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为( ) A.-3 B.-2 C.1 D.2 11 , 23 52 xx xxa 1 ya y 2 1 a y 答案答案 C 解不等式组得 由不等式组有且只有四个整数解,得到01, 解得-20的解集分别为x3和x-4,不等式组的解集为-4-1的正整数解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 x 22 3 x 答案答案 D 解不等式-1得x5,所以不等式的解集为xa 解析解
9、析 根据数a,b在数轴上的位置可知ab,所以原不等式组的解集为xa. 8.(2018河南,13,3分)不等式组的最小整数解是 . 52, 43 x x 答案答案 -2 解析解析 解不等式x+52,得x-3;解不等式4-x3,得x1,所以不等式组的解集为-33(x+1),得x4;解不等式x-,得x8.所以不等式组的解集为x8,所以m35, 依题意得,30+8m+12(35-m)=370,解得m=20. 故该车间的日废水处理量为20吨. (2)设该厂一天产生的工业废水量为x吨. 当020时,依题意得,12(x-20)+208+3010 x, 解得x25,所以20x25.综上所述,15x25.故该厂
10、一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之 间. 37030 35 68 7 易错警示易错警示 在解第(1)问时,要判断m与35的大小关系.在解第(2)问时,要考虑到00,当a取最小值时,w有最小值. 由a(30-a),解得a7.5.而a为正整数,当a=8时,w取得最小值,此时30-8=22. 所以当购买A奖品8个,B奖品22个时最省钱.(9分) 32120, 54210. xy xy 30, 15. x y 1 3 5.(2018贵州贵阳,19,10分)某青春党支部在精准扶贫活动中,给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树 苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元,用480元购买乙种树
11、苗的棵数恰好与用360元购买 甲种树苗的棵数相同. (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元; (2)在实际帮扶中,他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵.此时,甲种树苗的售价比第一次购买时降低 了10%,乙种树苗的售价保持不变.如果此次购买两种树苗的总费用不超过1 500元,那么他们最多可购买 多少棵乙种树苗? 解析解析 (1)设甲种树苗每棵的价格是x元,则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元. 根据题意,得=,解得x=30. 经检验,x=30是原方程的解且符合题意, 当x=30时,x+10=40. 答:甲、乙两种树苗每棵的价格分别是30元、40元. (2)设他们再次购买乙种树苗y棵, 则购
12、买甲种树苗(50-y)棵. 由题意得30(1-10%)(50-y)+40y1 500,解得y.y是整数,他们最多可以购买11棵乙种树苗. 480 10 x 360 x 150 13 A组 20182020年模拟基础题组 考点一 一元一次不等式(组) 1.(2020北京门头沟一模,5)不等式组的解集为( ) A.-2x2 B.-22 2(3)4, 354 xx xx 答案答案 A 由得x-2,由得x2,则不等式组的解集为-2x2.故选A. 2(3)4, 354, xx xx 2.(2019北京朝阳一模,5)把不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示出来,正确的是( ) 14, 1 1 2 x x
13、答案答案 C 由不等式可得x-3,由不等式可得x1.故选C. 14, 1 1, 2 x x 3.(2020北京朝阳一模,14)用一个a的值说明命题“若a为实数,则a2a”是错误的,这个值可以是a= . 答案答案 答案不唯一,如0 解析解析 要说明命题“若a为实数,则a2a”是错误的,需要举出反例,当a=0时,a=2a,命题是错误的,故a可以为0. 一题多解一题多解 本题也可以用不等式的性质解决.由a为实数,知a可以为正数、0和负数.命题可以看成,“已 知12,若a为实数,则a2a”.根据不等式的性质,当a是正数时,不等号的方向不改变;当a是负数时,不等号 的方向改变,故当a为负数(或0)时,此
14、命题是错误的. 4.(2020北京朝阳一模,18)解不等式组: 2(1)2, 1 . 2 xx x x 解析解析 原不等式组为 解不等式,得x1. 原不等式组的解集为1x4. 2(1)2, 1 . 2 xx x x 5.(2020北京西城一模,18)解不等式组: 3(2)22, 25 . 4 xx x x 解析解析 原不等式组为 解不等式,得x. 原不等式组的解集为x2, 不等式组的解集为21. 解不等式,得x2. 原不等式组的解集为1x2x-1,并把解集在数轴上表示出来. 31 2 x 解析解析 去分母,得3x+1-64x-2,移项,得3x-4x-2+6-1,合并同类项,得-x3, 系数化为
15、1,得x-3. 不等式的解集在数轴上表示如下: 9.(2018北京朝阳一模,18)解不等式组: 12(3), 61 2 . 2 xx x x 解析解析 解不等式,得x, 原不等式组的解集为xb,cd,a+cb+d中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作 为结论组成一个命题,组成真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案答案 B 根据题意可知一共有三种命题组合方式: “如果ab,cd,那么a+cb+d”是真命题. “如果ab,a+cb+d,那么cd”是假命题. “如果cd,a+cb+d,那么ab”是假命题.故选B. 思路分析思路分析 本题从结论出发,有三个命题,需要逐一借助不等
16、式的性质来分析. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要用好不等式的性质,“大数+小数”与“小数+大数”是不能比较大小 的. 二、填空题(每小题2分,共10分) 2.(2020北京平谷一模,13)用一组a,b的值说明命题“若ab,则a2b2”是错误的,这组值可以是 . (按顺序分别写出a、b的值) 答案答案 -1、-2(答案不唯一) 解析解析 当a=-1,b=-2时,满足ab,但是a2b,则a2b2”是错误的.答案不唯一. 3.(2020北京通州一模,15)一笔总额为1 078元的奖金,分为一等奖、二等奖和三等奖,奖金金额均为整数, 每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍,每个二等奖的奖金是每个
17、三等奖奖金的两倍.若把这笔奖 金发给6个人,评一、二、三等奖的人数分别为a,b,c,且0abc,那么三等奖的奖金金额是 元. 答案答案 98或77 解析解析 a+b+c=6,0abc,且a,b,c均为整数, 或或 设三等奖的奖金金额为x元,则二等奖的奖金金额为2x元,一等奖的奖金金额为4x元,依题意,得4x+2x+4x= 1 078或4x+22x+3x=1 078或24x+22x+2x=1 078,解得x=107.8(不合题意,舍去)或x=98或x=77.故答案为 98或77. 1, 1, 4 a b c 1, 2, 3 a b c 2, 2, 2. a b c 思路分析思路分析 本题需要先根
18、据人数要求分别确定一、二、三等奖的人数,然后再依次验证. 解题关键解题关键 解决本题的关键是分别确认获奖人数,进而列出一元一次方程解决. 4.(2019北京西城一模,13)用一组a,b的值说明命题“对于非零实数a,b,若a”是错误的,这组值 可以是a= ,b= . 1 a 1 b 答案答案 答案不唯一,如-1;1 解析解析 当a0时,命题错误,答案不唯一,如a=-1,b=1. 5.(2019北京海淀一模,12)用一组a,b的值说明命题“若ab,则a2b2”是错误的,这组值可以是a= ,b= . 答案答案 -1,-2(答案不唯一) 解析解析 当ab且|a|b|时,a2A,且C-A=70;同理可知
19、BD,且B-D=30;EC,且E-C=60;DA,且D-A=120;BE,且B-E=20.所以每20 分钟通过小客车数量最多的收费出口为B. 思路分析思路分析 本题可以观察题表中两列数的“异同”来发现不等关系. 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过等量关系发现不等关系. 一题多解一题多解 由已知可列方程组: 可得A+B+C+D+E=745, 通过消元可得所以每20分钟通过小客车数量最多的收费出口为B. 260, 330, 300, 360, 240, AB BC CD DE EA 55, 205, 125, 175, 185, A B C D E 三、解答题(共38分) 7.(2020北京东
20、城一模,18)解不等式组: 263 , 21 0. 54 xx xx 解析解析 不等式组可以转化为 在数轴上表示如图: 不等式组的解集为-6-1.解不等式,得x2. 原不等式组的解集为-1x2. 原不等式组的所有非负整数解为0,1,2. 352(3), 4 , 3 xx x x 9.(2020北京顺义一模,21)小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭,如图为此快餐厅的菜单.若他们所点的餐食 总共为10份盖饭,x杯饮料,y份凉拌菜. A套餐:一份盖饭加一杯饮料 B套餐:一份盖饭加一份凉拌菜 C套餐:一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜 (1)他们点了 份A套餐, 份B套餐, 份C套餐(均用含x或y的代数式表示)
21、; (2)若x=6,且A、B、C套餐均至少点了1份,则最多有 种点餐方案. 解析解析 (1)B,C套餐都包含一份盖饭和一份凉拌菜,他们点了(10-y)份A套餐; A,C套餐都包含一份盖饭和一杯饮料,他们点了(10-x)份B套餐; 他们点了10-(10-y)-(10-x)=(x+y-10)份C套餐.故答案为(10-y);(10-x);(x+y-10). (2)依题意,得解得5y9.又y为整数,y=5,6,7,8,9,最多有5种点餐方案. 101, 6101, y y 思路分析思路分析 (1)由三种套餐包含的食物,可用含x或y的代数式分别表示出所点三种套餐的份数; (2)由x=6及A、B、C套餐均
22、至少点了1份,即可得出关于y的一元一次不等式组,解之即可得出y的取值范 围,再结合y为整数即可得出结论. 解题关键解题关键 解决本题第(2)问的关键是借助“至少点了1份”列出不等式组,进而转化为求不等式组整数 解的问题. 10.(2019北京西城一模,18)解不等式组 4(21)31, 38 . 5 xx x x 解析解析 原不等式组为 解不等式,得x-4.(4分) 原不等式组的解集为-4x-2,由得,x1, 不等式组的解集为-2x1.所有整数解为-1,0,1. 46, 2 , 3 xx x x 12.(2018北京西城一模,18)解不等式组并求该不等式组的非负整数解. 3(2)4, 1 1,
23、 2 xx x 解析解析 解不等式,得x-1,解不等式,得x3, 该不等式组的解集为-1x2的解集为x,写出一个满足条件的a的值: . 2 a 答案答案 -1(答案不唯一) 解析解析 由题目可知,不等号方向改变,所以abc,那么请你写出一个 符合题意的实数c的值:c= . 答案答案 答案不唯一,如-1 解析解析 通过数轴可知abc,则需要借助c改变不等号的方向,所以c0,答案不唯一,如c=-1. 6.(2015北京,14)关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的 值:a= ,b= . 1 4 答案答案 1;1(满足a=b2(a0)即可) 解析解析
24、 方程为一元二次方程,且有两个相等的实数根,a0,=b2-a=0.a=b2(a0).例如a=1,b=1.答 案不唯一. 7.(2017北京丰台一模,15)众所周知,中华诗词博大精深,集大量的情景、情感于短短数十字之间,或豪放, 或婉约,或思民生疾苦,或抒发己身豪情逸致,文化价值极高.而数学与古诗词更是有着密切的联系.古诗 中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一本诗集,其中五言绝句 比七言绝句多13首,总字数反而少了20个字.问两种诗各多少首?设七言绝句有x首,根据题意,可列方程为 . 答案答案 28x-20(x+13)=20 解析解析 七言绝句有x首,则五
25、言绝句有(x+13)首.五言绝句每首有45个字,七言绝句每首有47个字,根据 五言绝句比七言绝句少了20个字,可列方程为28x-20(x+13)=20. 8.素养题(2016北京顺义二模,13)小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏,各投5支飞镖,规定在同一圆环内 得分相同,中靶和得分情况如图,则小亮的得分是 . 答案答案 21分 解析解析 由题意可设投中内环得x分,投中外环得y分,所以可列方程组为解得所以小亮 的得分是53+32=21分. 2319, 423, xy xy 5, 3. x y 思路分析思路分析 先列方程组求出投中内环和外环的得分情况,再计算小亮的得分. 三、解答题(第916题,每小题
26、6分,第1720题,每小题7分,共76分) 9.(2015北京,19)解不等式组并写出它的所有非负整数解. 4(1)710, 8 5, 3 xx x x 解析解析 解不等式,得x-2. 解不等式,得x. 原不等式组的解集为-2x. 原不等式组的所有非负整数解为0,1,2,3. 4(1)710, 8 5. 3 xx x x 7 2 7 2 10.(2017北京海淀一模,18)解不等式3(x-1),并把它的解集在数轴上表示出来. 4 2 x 解析解析 去分母,得6(x-1)x+4, 去括号,得6x-6x+4, 移项、合并同类项,得5x10, 系数化为1,得x2. 将解集表示在数轴上如图. 11.解
27、方程:1+=. 3 2 x x 6 2x 解析解析 方程两边同时乘(x-2),得 (x-2)+3x=6,4x-2=6,x=2. 检验:当x=2时,x-2=0, x=2不是原分式方程的解, 原分式方程无解. 12.(2017北京顺义二模,20)解方程:-=1. 25 2 x x 1 24x 解析解析 去分母,得2(2x+5)-1=2x+4, 去括号,得4x+10-1=2x+4, 移项,合并同类项得2x=-5,系数化为1,得x=-, 经检验,x=-是原方程的解. 5 2 5 2 13.(2017北京海淀二模,20)若关于x的方程-=1的根是2,求(m-4)2-2m+8的值. 4 x2 m x 解析
28、解析 关于x的方程-=1的根是2,-=1.m=4.(m-4)2-2m+8=(4-4)2-24+8=0. 4 x2 m x 4 24 m 14.(2018湖北黄冈,16)在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子 24元/千克,若B型粽子的质量比A型粽子的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2 560元,求两种型号粽子 各多少千克. 解析解析 设A型粽子x千克,B型粽子y千克, 由题意得解得 答:A型粽子40千克,B型粽子60千克. 220, 28242 560, yx xy 40, 60. x y 15.素养题(2019内蒙古呼和浩特,19)用配方法求一元二
29、次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根. 解析解析 原方程可化为2x2-9x-34=0, x2-x-17=0,x2-x=17, x2-x+=17+,=, x-=,x1=,x2=. 9 2 9 2 9 2 2 9 4 2 9 4 2 9 4 x 353 16 9 4 353 4 9353 4 9353 4 16.(2019辽宁大连,21)某村2016年的人均收入为20 000元,2018年的人均收入为24 200元. (1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率; (2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年该村的人均收入 是多少元. 解
30、析解析 (1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x,由题意得20 000(1+x)2=24 200,解得x1=-2. 1(舍),x2=0.1=10%.答:2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%. (2)24 200(1+10%)=24 2001.1=26 620元. 答:预测2019年该村的人均收入为26 620元. 17.(2017北京东城一模,22)在某场CBA比赛中,某位运动员的技术统计如下表所示: 技术 上场时间 (分钟) 出手投 篮(次) 投中 (次) 罚球得 分(分) 篮板 (个) 助攻 (次) 个人总 得分(分) 数据 38 27 11 6 3
31、 4 33 注:(1)表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球; (2)总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分. 根据以上信息,求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个. 解析解析 设本场比赛中该运动员投中两分球x个,三分球y个.依题意有解得 答:本场比赛中该运动员投中两分球6个,三分球5个. 23633, 11. xy xy 6, 5. x y 18.素养题(2017北京怀柔二模,23)小明遇到这样一个问题.已知:=1.求证:b2-4ac0. 经过思考,小明的证明过程如下: =1,b-c=a.a-b+c=0.接下来,小明想:若把x=-1代入一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),恰好得
32、到a-b +c=0.这说明一元二次方程ax2+bx+c=0有根,且一个根是x=-1.所以,根据一元二次方程根的判别式的知识 易证b2-4ac0. 根据上面的解题经验,小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目: 已知:=-2.求证:b24ac.请你参考上面的方法,写出小明所编题目的证明过程. bc a bc a 4ac b 证明证明 =-2,4a+c=-2b. 4a+2b+c=0. x=2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根. b2-4ac0,b24ac. 4ac b 19.(2017北京石景山二模,21)某校的软笔书法社团购进一批宣纸,用720元购进的用于创作的宣纸与用12 0元
33、购进的用于练习的宣纸的数量相同,已知用于创作的宣纸的单价比用于练习的宣纸的单价多1元,求 用于练习的宣纸的单价. 解析解析 设用于练习的宣纸的单价是x元. 由题意,得=.解得x=0.2. 经检验,x=0.2是所列方程的解,且符合题意. 答:用于练习的宣纸的单价是0.2元. 720 1x 120 x 20.(2018北京东城一模,20)已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0. (1)求证:无论实数m取何值,方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根的平方等于4,求m的值. 解析解析 (1)证明:=-(m+3)2-4(m+2)=(m+1)2, (m+1)20, 无论实数m取何值,方程总有两个实数根. (2)由求根公式得x1=1,x2=m+2, 方程有一个根的平方等于4, (m+2)2=4. 解得m=-4或m=0.
