1、 中考数学 （安徽专用） 第八章 热点题型探究 8.4 二次函数综合应用型 题型一 最大利润问题 1.(2020安徽中考全真模拟一,22)在今年“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活 动,他们购进一批单价为20元的“文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲.经试验发 现,每件按24元的价格销售时,每天能卖出36件;每件按29元的价格销售时,每天能卖出21件.假定每天销 售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数. (1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少时,才能使每
2、天获得的利润P最大?并求出这 个最大利润. 解析解析 (1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,根据题意,得解得y与x满足的函数 关系式为y=-3x+108. (2)P=(x-20)(-3x+108)=-3x2+168x-2 160=-3(x-28)2+192, -30, 当x=28时,P取得最大值,最大值为192. 答:销售价格定为28元/件时,才能使每天获得的利润P最大,最大利润为192元. 2436, 2921, kb kb -3, 108, k b 2.(2020安徽九年级结束新课测试,22)小红大学毕业后选择自主创业,经营体育用品,其中一个专柜销售 的一款篮球,其成本为每个50元
3、,当售价为每个90元时,每月可销售100个,为了吸引顾客,该专柜采取降价 措施.据市场调查反应,销售单价每降价1元,则每月可多销售10个.设每个篮球的售价为x(x为正整数)元, 每月的销售量为y个. (1)降价后每个篮球的利润是 .(用含x的式子表示) (2)直接写出y与x的函数关系式(不需要写自变量的取值范围). (3)设该款篮球每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大?最大利润是多 少? 解析解析 (1)(x-50)元.(2分) (2)y=100+10(90-x)=1000-10 x.(5分) (3)W=(-10 x+1000)(x-50) =-10 x2+1 50
4、0 x-50 000 =-10(x-75)2+6 250.(9分) -100, w有最大值,当x=75时,w最大=6 250.(11分) 此时降价90-75=15元.(12分) 3.(2018安徽合肥、安庆大联考,20)“白马服饰城”某服装柜的某款裤子每条的成本价是50元,经市场调 查发现,当销售单价是100元时,每天可以卖掉50条,每降低1元,可多卖5条. (1)要使每天的利润为4 000元,裤子的定价应该是多少元? (2)如何定价可以使每天的利润最大?最大利润是多少? 解析解析 (1)设裤子的定价为每条x元, 依题意得(x-50)50+5(100-x)=4 000, 解得x1=70,x2=
5、90,均符合题意. 答:裤子的定价应该是每条70元或90元. (2)设每天的利润为y元,裤子的定价为每条a元, 依题意得y=(a-50)50+5(100-a)=-5a2+800a-27 500=-5(a-80)2+4 500(50a100), -5q时,x+10-x+40,解得x20, 10 x30, 20x30, 当200, 当x=20时,y取最大值, 为(20+5)2-=200. 答:销售价格定为20元/千克时,每天获得的利润最大,最大利润为200元.(12分) 1 2 1 2 225 2 1 2 1 2 225 2 5.(2020四川成都,26,8分)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成
6、城,同心抗疫”,某商家决定将一个月 获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为10元/件,拟采取线上和线下两种 方式进行销售.调查发现,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/件,12x24)满足一次函数的关 系,部分数据如下表: x(元/件) 12 13 14 15 16 y(件) 1 200 1 100 1 000 900 800 (1)求y与x的函数关系式; (2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,线上和线下月 利润总和达到最大?并求出此时的最大利润. 解析解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k0
7、), 将(12,1 200)和(13,1 100)代入y=kx+b, 得解得 y与x的函数关系式为y=-100 x+2 400. (2)设线上和线下月利润总和为w元,则 w=y(x-10)+400(x-2-10) =(-100 x+2 400)(x-10)+400 x-4 800 =-100(x-19)2+7 300. 12x24,当x=19时,wmax=7 300. 答:当x为19时,线上和线下月利润总和最大,为7 300元. 121 200, 131 100, kb kb -100, 2 400. k b (2018浙江衢州,23,10分)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周
8、边有一圈喷水头,喷出的 水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物 处汇合,如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系. 题型二 抛物线型 (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式; (2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离 水池中心多少米以内? (3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径 扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后 水柱的最大高度. 解析
9、解析 (1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5, 得25a+5=0,解得a=-,水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-(x-3)2+5(0x8). (2)当y=1.8时,即-(x-3)2+5=1.8,解得x1=-1(舍),x2=7,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离 水池中心7米以内. (3)当x=0时,y=-(x-3)2+5=. 原抛物线与y轴的交点为. 装饰物高度不变, 新抛物线也过点. 喷出水柱的形状不变,a=-. 1 5 1 5 1 5 1 5 16 5 16 0, 5 16 0
10、, 5 1 5 设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-x2+bx+. 直径扩大到32米,新抛物线过点(16,0),将(16,0)代入解析式得0=-162+16b+, 解得b=3,改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-x2+3x+=-+, 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米. 1 5 16 5 1 5 16 5 1 5 16 5 1 5 2 15 - 2 x 289 20 289 20 1.(2015安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米 的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域,而且这三块矩形区域
11、的面积相等.设BC的长度 是x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米. (1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围; (2)x取何值时,y有最大值?最大值是多少? 题型三 二次函数与几何图形的结合型 解析解析 (1)设AE=a米,由题意,得AE AD=2BE BC,AD=BC,BE=a,AB=a. 由题意,得2x+3a+2a=80,a=20-x.(4分) y=AB BC=a x=x, 即y=-x2+30 x(0x40).(8分) (2)y=-x2+30 x=-(x-20)2+300, 当x=20时,y有最大值,最大值是300.(12分) 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3
12、2 1 20- 2 x 3 4 3 4 3 4 2.(2020安徽沿淮教育联盟联考,23)如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于 C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t. (1)求抛物线的表达式; (2)如图1,连接BC,PB,PC,设PBC的面积为S,求S关于t的函数表达式,并求出当t为何值时,PBC的面积S 有最大值; (3)如图2,设抛物线的对称轴为直线l,l与x轴的交点为D,在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平 行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解析解析 (1)将A(-1,0
13、)、B(3,0)代入y=-x2+bx+c, 得解得 抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)过点P作PFy轴,交BC于点F. 设直线BC的解析式为y=mx+n(m0), 将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,得 -1-0, -930, bc bc 2, 3, b c 30, 3, mn n 解得直线BC的解析式为y=-x+3. 点P的坐标为(t,-t2+2t+3),点F的坐标为(t,-t+3), PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t, S=PF OB=-t2+t=-+. -0,m=-6. 抛物线的函数表达式是y=x2-4x+4. (2)过点C作CEAB交y轴于点E,
14、设直线AB交y轴于点H. 由直线AB:y=x+2,得点H(0,2). 设直线CE:y=x+b. y=x2-4x+4=(x-2)2,C(2,0), 2+b=0,则b=-2.HE=4. 2 2 m 由SPAB=2SABC,可在y轴上且在点H上方取一点F,使FH=2HE,则F(0,10).过点F作P1P2AB交抛物线于点P 1、P2.当点P与P1或P2重合时,SPAB=2SABC,设直线P1P2的函数表达式为y=x+k. F(0,10)在直线P1P2上,k=10. 直线P1P2的函数表达式为y=x+10,联立解得 综上,满足条件的点P的坐标是(-1,9),(6,16). (3)过点M作MEx轴,交A
15、B于点E, 直线y=x+2与抛物线交于A,B两点,令x+2=x2-4x+4,得x2-5x+2=0, x=,|xB-xA|=,设点M(n,n2-4n+4), 2 10, -44, yx yxx 1 1 -1, 9, x y 2 2 6, 16. x y 517 2 17 则Q(n,n+2), QM=n+2-(n2-4n+4)=-+,SMAB=, SMANB=2SMAB, 当SMAB的值最大时,平行四边形MANB的面积最大, 当n=时,平行四边形MANB的面积S最大,为,此时,点M. 2 5 - 2 n 17 4 1 2 17 2 517 - 24 n 5 2 17 17 4 5 1 , 2 4
16、5.(2020福建,25,14分)已知直线l1:y=-2x+10交y轴于点A,交x轴于点B,二次函数的图象过A,B两点,交x轴于 另一点C,BC=4,且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1x25时,总有y1y2. (1)求二次函数的表达式; (2)若直线l2:y=mx+n(n10),求证:当m=-2时,l2l1; (3)E为线段BC上不与端点重合的点,直线l3:y=-2x+q过点C且交直线AE于点F,求ABE与CEF面积之和 的最小值. 解析解析 本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础 知识,考查运算能力、推理
17、能力、空间观念与几何直观、创新意识,考查函数与方程思想、数形结合思 想、化归与转化思想及分类与整合思想. (1)对于l1:y=-2x+10, 当x=0时,y=10,所以A(0,10); 当y=0时,-2x+10=0,x=5,所以B(5,0). 又因为BC=4,所以C(9,0)或C(1,0), 若抛物线过C(9,0),则当5x3时,必有y随x的增大而增大,符合题意. 故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+10(a0), 依题意,二次函数的图象过B(5,0),C(1,0)两点, 所以解得 所以二次函数的表达式为y=2x2-12x+10. (2)证明:当m=-2时,直线l2:y=-2x+n(n1
18、0)与直线l1:y=-2x+10不重合, 255100, 100, ab ab 2, -12. a b 假设l1和l2不平行,则l1和l2必相交,设交点为P(x0,y0), 由得-2x0+10=-2x0+n, 解得n=10,与已知n10矛盾,所以l1与l2不相交, 所以l2l1. (3)如图,因为直线l3:y=-2x+q过C(1,0),所以q=2, 又因为直线l1:y=-2x+10, 所以l3l1,即CFAB, 00 00 -210, -2 yx yxn 所以FCE=ABE,CFE=BAE, 所以FCEABE,所以=, 设BE=t(0t0),则HC=OC-OH=3-m, HB=3-m, 在Rt
19、BOH中,OH2+OB2=BH2, m2+12=(3-m)2,解得m=, H. 设直线BH的解析式为y=k2x+b2,k20, 解得 直线BH的解析式为y=x-. 令x-3=x-,解得x=-5, 当x=-5时,y=-5-3=-8, P2(-5,-8). 4 3 4 0,- 3 22 2 0, 4 -, 3 kb b 2 2 4 , 3 4 - . 3 k b 4 3 4 3 4 3 4 3 综上所述,存在点P,使PBC=BCO,满足条件的点P的坐标为(1,-2),(-5,-8).(12分) M.(14分) 提示:PAB=BCO,tanBCO=,A(-3,0), 直线AP与y轴的交点为(0,1)
20、, 直线AP的方程为y=x+1. 由抛物线的解析式和直线AP的解析式可求得交点N的坐标为. 连接AM,设AMN的外接圆圆心为Q(m,n),连接QA,QM,QN,过Q作EFx轴,交x轴于E,过M作MFEQ于 点F.由题意可知AQM=90,AQEQMF,QF=AE=m-(-3)=m+3,QE=-n=MF,点M的坐标为(m- (-n),n-(m+3),即(m+n,n-m-3).代入抛物线解析式中得n-m-3=(m+n)2+2(m+n)-3,又由AQ=NQ,得(m+3)2+n2 =+, 435 -,- 39 1 3 1 3 4 13 , 3 9 2 4 - 3 m 2 13 - 9 n 联立解得或(舍). 点M的坐标为. 2 -, 9 10 - 9 m n 14 -, 9 26 9 m n 435 -,- 39 思路分析思路分析 本题第(2)问需要借助平行线的判定或构造等腰三角形来解决,同时由于点P位置不确定, 要分类讨论.第(2)问需要借助45角在图中取特殊点从而构造90角,进而证明AQEQMF,则点M (m+n,n-m-3),借助点M在抛物线上和AQ=NQ列出方程组来解决.
