1、 中考数学 （福建专用） 3.4 二次函数 20162020年全国中考题组 考点一 二次函数的概念 1.(2020广东,7,3分)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为( ) A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3 答案答案 C 根据抛物线的平移规律,知把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数 解析式为y=(x-1)-12+2=(x-2)2+2,故选C. 解题关键解题关键 本题考查二次函数图象的平移,解答的关键在于熟练掌握抛物线的平移规律“左加右减、 上加下减”. 2.
2、(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 答案答案 B y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9(x-4)2-25,故选B. 3.(2016南平,14,4分)写出一个y关于x的二次函数的解析式,且它的图象的顶点在y轴上: . 答案答案 y=x2(答案不唯一) 解析解析 根据二次函数的图象的顶点在y轴上,可得解析式的一次项系数为0,进而得出答案. 4.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,
3、0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b- bx的解是 . 答案答案 x1=-2,x2=5 解析解析 解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的 横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以 将函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的解为x1=-2,x2 =5. 解法二:依题意,得解得 所以关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为
4、a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x, 化简得x2-3x-10=0, 解得x1=-2,x2=5. 930, 1640, abc abc , 12 . ba ca 考点二 二次函数的图象与性质 1.(2020福建,10,4分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是( ) A.若|x1-1|x2-1|,则y1y2 B.若|x1-1|x2-1|,则y10时,如图所示: 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离小于x2到1的距离. 由图
5、知y1y2. 当a|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|y2. 综上所述,A、B不正确. 由图可知,D不正确. 若|x1-1|=|x2-1|,则x1,x2到1的距离相等,所以y1=y2,故选C. 方法指导方法指导 解决二次函数中a不确定的问题时,一定要分a0和a0,2=b2-80, a24,b464, c2=与16无法比较大小, 无法判断3=c2-16与0的大小,故A错误. B.若M1=1,M2=0,则1=a2-4=0,2=b2-80, a2=4,0b464, 0c2=16, 3=c2-160, M3=0,故B正确. C.若M1=0,M2=2,则1
6、=a2-40, 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 0a264, c2=16, 3=c2-160,M3=2,故C错误. D.若M1=0,M2=0,则1=a2-40,2=b2-80, 0a24,0b40时,方程有两个不相等的实数根,函数图象与x轴有两个交点; (2)b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,函数图象与x轴有一个交点; (3)b2-4ac0时,方程没有实数根,函数图象与x轴无交点.这些结论反过来也成立. 4.(2019福建,10,4分)若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,
7、y3), 则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2y1 D.y2y30,抛物线的开口向上. 抛物线过A(m,n)和C(3-m,n), 抛物线的对称轴为直线x=. 作出二次函数的大致图象,如图. 由图可知y2y30,确定抛物线的开口方向.观察点的坐标可知A和C两点的纵坐标相同,说明点A与点C 关于对称轴对称,由此得到对称轴为直线x=.根据抛物线的开口方向及对称轴画出大致图象, 由图象比较大小. 3 2 mm3 2 5.(2016福州,11,3分)已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一个函数图象上,这个函数图象可以是( ) 答案答案
8、 C 点A(-1,m),B(1,m), 点A与B关于y轴对称,故A,B错误; B(1,m),C(2,m+1),m+1m, C正确,D错误.故选C. 6.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4 答案答案 B 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,解得故选B. 424, 1644, nb nb 2, 4. b n 一题多解一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x=1,即=1,b=2,n= -(-2)2+2(-2)+4=-4. 24 2 2 b 7.(2019天津
9、,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表: x -2 -1 0 1 2 y=ax2+bx+c t m -2 -2 n 且当x=-时,与其对应的函数值y0.有下列结论: abc0; -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根; 0m+n0,b0,c0,正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=的对称点为 (3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x=,-=,b=-a,当x =-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx+c的
10、图象过点 (-1,m),(2,n),m=n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a, 4a-4,错误.故选C. 01 2 1 2 1 2 1 22 b a 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 8 3 1 2 8 3 20 3 方法指导方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标 特征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键. 8.(2019黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-, 结合图象分析下列结论: abc0;3
11、a+c0;当x0时,y随x的增大而增大;一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-,x2=; 0;若m,n(mn)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则m2. 其中正确的结论有( ) 1 2 1 3 1 2 2 4 4 bac a A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案答案 C 抛物线开口向下,a0, 对称轴为直线x=-, -=-, b=a0, abc0,正确. 抛物线经过点(-3,0), 9a-3b+c=0, 又b=a, c=-6a, 3a+c=3a-6a=-3a0,正确. 1 2 2 b a 1 2 抛物线开口向下,对称轴为直线x=-, 当x-时,y随x的增大而减
12、小, 错误. b=a,c=-6a, 一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0, 即6x2-x-1=0,解得x1=-,x2=, 正确. 抛物线与x轴有2个交点, b2-4ac0, 0,正确. 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 4 4 bac a 点(-3,0)关于直线x=-的对称点为(2,0), y=a(x+3)(x-2), 方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m2, 正确.故选C. 1 2 解后反思解后反思 本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解 析式与函数
13、图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐 标等都是解题的突破口. 9.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为( ) A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 答案答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a +1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而 减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a
14、=-1或a=1(舍去);当0a0). (1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴; (2)试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标; 将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式; (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值. 备用图 解析解析 (1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5.(1分) 令y=0,则x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5, 抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),(2分) 对称轴为直线x=2.(3分) (2)由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0),
15、可得其对称轴为直线x=-=2.(4分) 令x=0,有y=-5. 抛物线C1过定点(0,-5).(5分) 易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5), 由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,-5)和(4,-5).(6分) y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).(7分) (3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5,当x=2时,y=4a-5, 抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5),(8分) 4 2 a a |4a-5|=2,解得a1=,a2=.(9分) 7 4 3 4 考点三 二次函数综合 1.(2020山西,9,3分)竖直上
16、抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2 +v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地 面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( ) A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m 答案答案 C 由已知可得v0=20 m/s,h0=1.5 m,则h=-5t2+20t+1.5(t0),其图象的对称轴方程为t=-=2,图 象开口向下,当t=2时,h最大,为-522+202+1.5=21.5,故选C. 20 2( 5) 2.
17、(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m1)沿y轴向下平移3个单位,则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 D 解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3= +,平移后得到的抛物线的顶点坐标为.m1,0, -m2+6m-13=-(m-3)2-40,即1,=b2-4ac=-(m-1)2-4(m-3)=(m-3)2+40. m1,0,对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,顶点在第四象限.故选D. 2 1 2 m x 2 6
18、13 4 mm 2 1613 , 24 mmm 1 2 m 2 613 4 mm 1 2 m A.y= x2 B.y=-x2 C.y=x2 D.y=-x2 3.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛 物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象抛 物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78 米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则 此抛物线型钢拱的函数表达式为(
19、 ) 图1 图2 26 675 26 675 13 1 350 13 1 350 答案答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2, 将B(45,-78)代入得-78=a 452, a=-, 抛物线型钢拱的函数表达式为y=-x2,故选B. 26 675 26 675 思路分析思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式. 方法指导方法指导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下: 步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到 关于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待
20、定系数的值 代入所设表达式,写出表达式. 4.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线 的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a 0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后 飞行到最高点时,水平距离为( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m 答案答案 B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对 称性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为
21、(20,54.0),而54.0 x25时,总有y1y2. (1)求二次函数的表达式; (2)若直线l2:y=mx+n(n10),求证:当m=-2时,l2l1; (3)E为线段BC上不与端点重合的点,直线l3:y=-2x+q过点C且交直线AE于点F,求ABE与CEF面积之和 的最小值. 解析解析 本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知 识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识,考查函数与方程思想、数形结合思 想、化归与转化思想及分类与整合思想. (1)对于l1:y=-2x+10, 当x=0时,y=10,所以A(0,10); 当y=0时,
22、-2x+10=0,x=5,所以B(5,0). 又因为BC=4,所以C(9,0)或C(1,0), 若抛物线过C(9,0),则当5x3时,必有y随x的增大而增大,符合题意. 故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+10(a0), 依题意,二次函数的图象过B(5,0),C(1,0)两点, 所以 解得 255100, 100, ab ab 2, 12. a b 所以二次函数的表达式为y=2x2-12x+10. (2)证明:当m=-2时,直线l2:y=-2x+n(n10)与直线l1:y=-2x+10不重合, 假设l1和l2不平行,则l1和l2必相交,设交点为P(x0,y0), 由得-2x0+10=-2
23、x0+n, 解得n=10,与已知n10矛盾,所以l1与l2不相交, 所以l2l1. (3)如图,因为直线l3:y=-2x+q过C(1,0),所以q=2, 00 00 210, 2 yx yxn 又因为直线l1:y=-2x+10, 所以l3l1,即CFAB, 所以FCE=ABE,CFE=BAE, 所以FCEABE,所以=, 设BE=t(0t4),则CE=4-t, SABE=BE OA=t10=5t, 所以SFCE=SABE=5t=, 所以SABE+SFCE=5t+=10t+-40=10+40-40. 所以当t=2时,SABE+SFCE取最小值,且最小值为40-40. FCE ABE S S 2
24、CE BE 1 2 1 2 2 CE BE 2 2 (4) t t 2 5(4) t t 2 5(4) t t 80 t 2 2 2 t t 2 22 一题多解一题多解 (2)设直线l2:y=-2x+n与x轴交于M,与y轴交于N, M,N(0,n). tanOMN=2. tanOBA=2, tanOMN=tanOBA,OMN=OBA, MNBA,l1l2. ,0 2 n ON OM | 2 n n OA OB 10 5 疑难突破疑难突破 (1)求抛物线的表达式,可利用待定系数法列方程组解答,本题点A、B的坐标很容易就可以求 得,点C的坐标要通过所给的条件进行判断. (2)证明两条直线平行的方法
25、:利用反证法;通过证同位角相等,进而得到两直线平行. (3)先根据题意设BE=t,用含t的式子表示出所求三角形的面积,可用配方法求面积和的最小值. 7.(2020广东广州,25,14分)平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=ax2+bx+c(0a12)过点A(1,c-5a),B(x1,3),C(x2, 3),顶点D不在第一象限,线段BC上有一点E,设OBE的面积为S1,OCE的面积为S2,S1=S2+. (1)用含a的式子表示b; (2)求点E的坐标; (3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3,求y=ax2+bx+c在1x6时的取值范围(用含a的 式子表示). 3 2 6 a 解
26、析解析 (1)将A(1,c-5a)代入y=ax2+bx+c,得c-5a=a+b+c,b=-6a. (2)设点E的坐标为(xE,3). 若x1x2,即C在B的左侧,则BE=x1-xE,CE=xE-x2, 此时S1=(x1-xE),S2=(xE-x2), (x1-xE)=(xE-x2)+, xE=,E. 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 12 1 2 xx 5 2 5 ,3 2 (3)y=ax2+bx+c=ax2-6ax+c=a(x-3)2+c-9a, D(3,c-9a). 把xF=+3代入y=a(x-3)2+c-9a,得yF=+c-9a, F.F点在D点右侧,E. 分别过点E,F作y轴的平
27、行线,过点D作x轴的平行线,依次交于点H,K,则tanFDK=tanEDH, 6 a 36 a 636 3,9ca aa 7 ,3 2 =,即=, 化简得c-9a=0.抛物线的解析式为y=a(x-3)2. 当1x6时,0y9a. FD FD yy xx ED ED yy xx 36 6 a a 39 7 3 2 ca 思路分析思路分析 (1)将点A的坐标代入抛物线G的解析式中化简即可. (2)由于题目没有明确点B、C之间的位置关系,故应对点B、C之间的位置关系进行分类讨论.设点E的坐 标为(xE,3),当x1x2时,同理可得点E的坐标. (3)由抛物线的解析式得点D的坐标为(3,c-9a),将
28、点F的横坐标代入解析式得点F的坐标为 .依据tanFDK=tanEDH可得方程=,化简得c-9a=0,从而进一步求出y=ax2 +bx+c在1x6时的取值范围. 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 12 1 2 xx 7 2 636 3,9ca aa 36 6 a a 39 7 3 2 ca 8.(2018福建,23,10分)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个 矩形菜园ABCD,其中ADMN.已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏. (1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长; (2)求矩形菜园A
29、BCD面积的最大值. 解析解析 (1)设AD的长为x米,则AB的长为米. 依题意,得=450. 解得x1=10,x2=90. 因为a=20,xa,所以x=90不合题意,舍去. 故所利用旧墙AD的长为10米. (2)设AD的长为x米,0xa,则矩形菜园ABCD的面积 S=-(x2-100 x)=-(x-50)2+1 250. 若a50,则当x=50时,S最大,S最大=1 250. 若0a50,则当0xa时,S随x的增大而增大. 故当x=a时,S最大,S最大=50a-a2. 综上,当a50时,矩形菜园ABCD面积的最大值是1 250平方米; 100 2 x (100) 2 xx (100) 2 x
30、x1 2 1 2 1 2 当0a50时,矩形菜园ABCD面积的最大值是平方米. 2 1 50 2 aa 解后反思解后反思 本题考查一元二次方程、二次函数等基础知识,考查运算能力、推理能力、应用意识、创 新意识,考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想. 9.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件) 与月份x(月)的关系式为y=每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表: 4(18,), 20(912,), xxx xxx 为整数 为整数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17
31、16 15 14 13 12 11 10 10 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式; (2)若月利润w(万元)=当月销售量y(元件)当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关 系式; (3)当x为何值时,月利润w有最大值?最大值为多少? 解析解析 (1)根据表格可知,当1x10且x为整数时,z=-x+20;当11x12且x为整数时,z=10. z与x的关系式为z= 或z= (2)当1x8且x为整数时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80; 当9x10且x为整数时,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40 x+400;
32、当11x12且x为整数时,w=10(-x+20)=-10 x+200, w与x的关系式为 w= 20(110,), 10(1112,). xxx xx 为整数 为整数 20(19,), 10(1012,) xxx xx 为整数 为整数 2 2 1680(18,), 40400(910,), 10200(1112,). xxxx xxxx xxx 为整数 为整数 为整数 2 2 1680(18,), 40400121(9), 10200(1012,) xxxx wxxx xxx 为整数 或 为整数 (3)当1x8且x为整数时,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144, 当x=8时,w有最
33、大值,为144; 当9x10且x为整数时,w=x2-40 x+400=(x-20)2, 当x=9时,w有最大值,为121; 当11x12且x为整数时,w=-10 x+200, 当x=11时,w有最大值,为90. 90121144, x=8时,w有最大值,为144. (或当1x8且x为整数时,w有最大值144;当x=9时,w=121;当x=10时,w=100;当x=11时,w=90;当x=12时,w =80) 10.(2019福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b0, 2 b a 2 1, 21 ykxk yxx 由抛物线的对称性,不妨设x1x2,则x1=,x2=, 所以x11x
34、2. 设直线AD的解析式为y=mx+n, 则有解得 2 24 2 kk 2 24 2 kk 1 0, 1, mn mxn 1 1 1 , 1 1 , 1 m x n x 所以直线AD的解析式为y=-x+. 因为y2-=(x2-1)2+ = =0, 即y2=-x2+, 所以点C(x2,y2)在直线AD上. 故对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线. 1 1 1x 1 1 1x 2 11 11 11 x xx 2 1 1 1 x x 212 1 (1)(1)(1)1 1 xxx x 22 2 1 44 (1)1 22 1 kkkk x x 1 1 1x 1 1 1x 11.(2018福建,2
35、5,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2). (1)若点(-,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式; (2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1x20;当0x1x2时,(x1-x2) (y1-y2) 0.以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且ABC有一个内角为60. 求抛物线的解析式; 若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:PA平分MPN. 2 解析解析 (1)因为抛物线过点A(0,2),所以c=2. 又因为点(-,0)也在抛物线上, 所以a(-)2+b(-)+c=0. 即2a-b+2=0(a0).
36、 (2)x1x20时,x1-x20,得y1-y20, 即当x0时,y随x的增大而减小. 所以抛物线的对称轴为y轴且开口向下,则b=0. 因为以O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,所以ABC是等腰三角形,又因为ABC有一 个内角为60,故ABC为等边三角形. 设线段BC与y轴的交点为D,则BD=CD,且OCD=30, 又因为OC=OA=2,所以CD=OC cos 30=,OD=OC sin 30=1. 不妨设C在y轴右侧,则点C坐标为(,-1). 2 22 2 3 3 因为点C在抛物线上,且c=2,b=0,所以3a+2=-1,解得a=-1. 所以所求抛物线的解析式为y=-x2+2.
37、 证明:设点M的坐标为(x1,-+2),点N的坐标为(x2,-+2). 直线OM的解析式为y=k1x, 因为O,M,N三点共线,所以x10,x20,且=, 2 1 x 2 2 x 2 1 1 2x x 2 2 2 2x x 即-x1+=-x2+,化为x1-x2=-, 由x1x2,得x1x2=-2,即x2=-, 所以点N的坐标为, 设点N关于y轴的对称点为点N, 则点N的坐标为. 因为点P与点O关于点A对称, 所以OP=2OA=4,即点P坐标为(0,4). 设直线PM的解析式为y=k2x+4, 因为点M的坐标为(x1,-+2), 所以-+2=k2x1+4, 1 2 x 2 2 x 12 12 2
38、()xx x x 1 2 x 2 11 24 ,2 xx 2 11 24 ,2 xx 2 1 x 2 1 x 则k2=-, 即直线PM的解析式为y=-x+4. 因为-+4=-+2, 即点N在直线PM上, 所以PA平分MPN. 2 1 1 2x x 2 1 1 2x x 2 1 1 2x x 1 2 x 22 11 2 1 2(2)4xx x 2 1 4 x 解后反思解后反思 本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、圆的性质、等边三角形的判定与性质、解直 角三角形、角平分线的判定等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
39、 12.(2017福建,25,14分)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且ab. (1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示); (2)说明直线与抛物线有两个交点; (3)直线与抛物线的另一个交点记为N. (i)若-1a-,求线段MN长度的取值范围; (ii)求QMN面积的最小值. 1 2 解析解析 (1)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a. 所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a-, 所以抛物线顶点Q的坐标为. (2)因为直线y=2x+m经过点M(1,0), 所以0=21+m,解得m=-2. 把y=2x-2代入y
40、=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0, 所以=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4, 由(1)知b=-2a,又ab,所以a0. 所以0,所以方程有两个不相等的实数根, 故直线与抛物线有两个交点. (3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a, 得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+x-2+=0, 2 1 2 x 9 4 a 19 , 24 a 2 1 a 2 a 所以=,解得x1=1,x2=-2, 所以点N. (i)根据勾股定理得,MN2=+=-+45=20, 因为-1a-, 由反比例函数的性质知-2-1,所以-0, 所以MN=2=3-, 所以5
41、MN7. (ii)作直线x=-交直线y=2x-2于点E. 2 11 2 x a 2 13 2a 2 a 24 2,6 aa 2 2 21 a 2 4 6 a 2 20 a 60 a 2 13 2a 1 2 1 a 1 a 3 2 5 31 2a 5 2 5 a 55 1 2 把x=-代入y=2x-2得,y=-3,即E. 又因为M(1,0),N,且由(2)知a0, 所以QMN的面积S=SQEN+SQEM=-. 即27a2+(8S-54)a+24=0, 因为关于a的方程有实数根, 1 2 1 , 3 2 24 2,6 aa 1 2 2 21 a 9 ( 3) 4 a 27 4 3 a 27 8 a
42、 所以=(8S-54)2-427240,即(8S-54)2(36)2, 又因为a,所以8S-540, 所以8S-5436, 即S+, 当S=+时,由方程可得a=-满足题意. 故当a=-,b=时,QMN面积的最小值为+. 2 27 4 3 a 27 8 a27 4 2 27 4 9 2 2 27 4 9 2 2 2 2 3 2 2 3 4 2 3 27 4 9 2 2 13.(2016三明,24,12分)如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),抛物线F:y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P. (1)当抛物线F经过点C时,求它的表达式; (2)设点P的纵坐标为yP,求
43、yP的最小值,此时抛物线F上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1x2-2,比较y1与y2的大小; (3)当抛物线F与线段AB有公共点时,直接写出m的取值范围. 解析解析 (1)抛物线F经过点C(-1,-2), -2=1+2m+m2-2, m=-1. 抛物线F的表达式是y=x2+2x-1. (2)当x=-2时,yP=4+4m+m2-2=(m+2)2-2, yP有最小值-2. 此时抛物线F的表达式是y=(x+2)2-2. 当x-2时,y随x的增大而减小. x1y2. (3)-2m0或2m4. 详解:抛物线F与线段AB有公共点,点A(0,2),B(2,2), 或 2 22 22, 22222
44、 m mm 2 22 22, 22222, m mm 解得-2m0或2m4. 14.(2016南平,24,12分)已知抛物线y=ax2(a0)经过点A(4,4). (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,抛物线上存在点B,使得AOB是以AO为直角边的直角三角形,请直接写出所有符合条件的点B 的坐标: ; (3)如图2,直线l经过点C(0,-1),且平行于x轴,若点D为抛物线上任意一点(原点O除外),直线DO交l于点E,过 点E作EFl,交抛物线于点F,求证:直线DF一定经过点G(0,1). 解析解析 (1)抛物线y=ax2(a0)经过点A(4,4), 16a=4,a=, 抛物线的解析式为y=x
45、2. (2)(-4,4)或(-8,16). 详解:AOB是以AO为直角边的直角三角形,直角顶点是点O或点A, 当直角顶点是点O时,过点O作OBOA,交抛物线于点B, 点A(4,4),直线OA的解析式为y=x,直线OB的解析式为y=-x, 由得或B(-4,4); 当直角顶点为点A时,过点A作ABOA,由得,直线OA的解析式为y=x,又A(4,4),直线AB的解析式 为y=-x+8, 1 4 1 4 2 1 , 4 yx yx 0, 0 x y 4, 4, x y 由得或B(-8,16). 满足条件的点B的坐标为(-4,4)或(-8,16). (3)证明:设点D,直线DO的解析式为y=x, lx轴
46、,C(0,-1),令y=-1,得x=-, 直线DO与l的交点E, EFl,lx轴,点F的横坐标为-, 点F在抛物线上,F. 设直线DF的解析式为y=kx+b(k0), 2 1 , 4 8 yx yx 4, 4 x y 8, 16, x y 2 1 , 4 mm 4 m 4 m 4 , 1 m 4 m 2 44 , m m 直线DF的解析式为y=x+1, 点G(0,1)满足直线DF的解析式, 直线DF一定经过点G. 2 2 44 , , 4 kb mm m mkb 2 4 , 4 1, m k m b 2 4 4 m m 15.(2016福州,27,13分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)
47、经过原点,顶点为A(h,k)(h0). (1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式; (2)若抛物线y=tx2(t0)也经过A点,求a与t之间的关系式; (3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2h1时,求a的取值范围. 解析解析 根据题意,抛物线的解析式可化为y=a(x-h)2+k(a0). (1)h=1,k=2, y=a(x-1)2+2, 该抛物线经过原点, a+2=0, 解得a=-2, y=-2(x-1)2+2,即y=-2x2+4x. (2)抛物线y=tx2(t0)经过点A(h,k), k=th2. y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+th2. 抛物线y=a(x-h)2+th2(a0)经过原点, ah2+th2=0. h0, a=-t. (3)点A(h,k)在抛物线y=x2-x上, k=h2-h. y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+h2-h. 抛物线y
