1、 中考数学 （安徽专用） 第八章 热点题型探究 8.1 选择、填空压轴题的题型探究 题型一 判断函数图象 1.(2020新疆,8,5分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平 面直角坐标系中的图象可能是( ) c x 答案答案 D 由抛物线开口向上可得a0. 抛物线的对称轴x=-在y轴右侧,-0,而a0,b0. 当a0,b0时,反比例函数y=的图象经过第 一、三象限,故选D. 2 b a2 b a c x 2.(2018安徽合肥瑶海一模,9)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m0)的 图象可能是(
2、) 答案答案 D 当m0时,函数y=mx+m单调递增,且在y轴上的截距为正,函数y=-mx2+2x+2的图象开口向下,其 对称轴在y轴右侧.当m0时,函数y=mx+m单调递减,且在y轴上的截距为负,函数y=-mx2+2x+2的图象开口 向上,其对称轴在y轴左侧.满足上述条件的只有D选项. 3.(2018安徽合肥庐阳一模,10)反比例函数y1=的图象与以y轴为对称轴的二次函数y2=ax2+bx+c的图象 如图所示,则函数y=ax2+(b-k)x+c的图象可能是( ) k x 答案答案 A 反比例函数y1=的图象在第二、四象限,k0,b=0,c0,函数y=ax2+(b-k)x+c的图象开口向上,且
3、对称轴在y轴的左侧,并与y轴的 负半轴相交,故选A. k x 4.(2020安徽志诚教育十校联盟二模,10)如图,已知ABC和DEF均为等腰直角三角形,AB=2,DE=1,E、 B、F、C在同一条直线上,开始时点B与点F重合,让DEF沿直线BC向右移动,最后点C与点E重合,设两 三角形重合部分的面积为y,点F移动的距离为x,则y关于x的大致图象是( ) 答案答案 A 当0x1时,重合部分为等腰直角三角形,直角边长为x, 则y=x x=x2; 当1x2时,重合部分为等腰直角三角形,直角边长为1, 则y=11=; 当2x3时,重合部分为等腰直角三角形,直角边长为1-(x-2)=3-x, 则y=(3
4、-x)2=x2-3x+4.5. 由以上分析可知,y关于x的图象:左边为开口向上的抛物线一部分,中间为直线的一部分,右边为开口向上 的抛物线一部分. 故选A. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5.(2018安徽蚌埠六中联考,10)如图,正方形ABCD中,AB=4 cm,点E、F同时从C点出发,以1 cm/s的速度分 别沿CBA、CDA运动,到点A时停止运动.设运动时间为t(s),AEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t (s)的函数关系可用图象表示为( ) 答案答案 D 当0t4时,S=S正方形ABCD-SADF-SABE-SCEF=44-4(4-t)-4 (4-t)- t
5、 t=-t2+4t=-(t-4)2+8; 当4t8时,S= (8-t)2=(t-8)2,故选D. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 题型二 线段的最值问题 1. (2020安徽合肥五十中二模,10)如图,等边ABC的边长为4,点D是边AC上的一动点,连接BD,以BD为斜 边向上作等腰RtBDE,连接AE,则AE的最小值为( ) A.1 B. C.2 D.2-1 22 答案答案 B 如图,过点B作BHAC于H点,作射线HE, ABC是等边三角形,BHAC,AH=2=CH, BED=BHD=90,B、D、H、E四点共圆, BHE=BDE=45,点E在AHB的角平分线上运动,
6、当AEEH时,AE最小, AHE=45,AH=AE=2,AE的最小值为.故选B. 22 思路分析思路分析 过点B作BHAC于H点,作射线HE,可证B、D、H、E四点共圆,可得BHE=BDE=45,则 点E在AHB的角平分线上运动,故当AEEH时,AE最小,由此求解. 2.(2020新疆,15,5分)如图,在ABC中,A=90,B=60,AB=2,若D是BC边上的动点,则2AD+DC的最小 值为 . 答案答案 6 解析解析 作ABC关于BC对称的EBC,则ACB=ECB=30,过A作AFCE于F,交BC于D,则DC=DF. 此时AD+DC最小,即为AF的长度. 易求得AC=2,因此AF=3, 2
7、AD+DC的最小值为23=6. 1 2 1 2 3 解后反思解后反思 此题主要考查了利用特殊角的三角函数求线段长以及线段和的最值问题,难度较大.如何将 DC转化为DF的长是难点,充分利用含30角的直角三角形的性质,将AD+DC转化为AD+DF,然后利 用“垂线段最短”的性质巧妙解决. 1 2 1 2 一题多解一题多解 如图所示,作点A关于BC的对称点A,连接AA交BC于点H,连接AD,过D作DEAC于E. 在RtABH中,B=60,AB=2, AH=,AA=2, 在RtCDE中,DE=CD,即2DE=DC, 2AD+DC=2(AD+DE). A与A关于BC对称, AD=AD,AD+DE=AD+
8、DE, 当A,D,E在同一直线上时,AD+DE的最小值等于AE的长, 在RtAAE中,AE=sin 60 AA=2=3, AD+DE的最小值为3,即2AD+DC的最小值为6, 故答案为6. 33 1 2 3 2 3 3.(2019湖北黄冈,16,3分)如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若CMD=120, 则CD的最大值为 . 答案答案 14 解析解析 如图,设点A关于CM的对称点为A,点B关于DM的对称点为B,当A,B都在CD上时,CD有最大值.连 接MA,MB,则MACMAC,MBDMBD,CA=CA=2,BD=BD=8,AMC=AMC,BMD=
9、BMD,M为AB的中点,MA=MA=MB=MB=4,CMD=120,AMC+BMD=60, AMC + BMD=60,AMB=60,AB=4,CD的最大值=CA+AB+BD=14. 4.(2018江苏苏州,18,3分)如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱 形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,DAP=60.M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段 AB上移动时,点M,N之间的距离最短为 (结果保留根号). 答案答案 2 3 解析解析 连接PD、DF、PF, 在菱形APCD和菱形PBFE中,M,N分别是对角线AC,BE的中点,
10、PD经过点M,PF经过点N,且M,N分别是PD,PF的中点, MN是PDF的中位线, MN=FD, 当FD最短时,MN最短, ADBF,DAP=60,AB=8, FD的最小值为AB sin 60=8=4, MN的最小值为FD=2. 1 2 3 2 3 1 2 3 5.(2018贵州贵阳,15,4分)如图,在ABC中,BC=6,BC边上的高为4,在ABC的内部作一个矩形EFGH,使 EF在BC边上,另外两个顶点分别在AB,AC边上,则对角线EG长的最小值为 . 答案答案 12 13 13 解析解析 如图,作AMBC于点M,交HG于点N,设HE=x.由题意知,AM=4,BC=6. 四边形EFGH是
11、矩形,HGEF, AHGABC, =,即=,HG=, EG2=HG2+HE2=+x2 AN AM HG BC 4- 4 x 6 HG12-3 2 x 2 12-3 2 x =+(0x2或m0, m2或mAC时,如图, 取BC的中点E,连接AE,DE,则AE=DE=BC,即BC=2AE=2DE, 又BC=2AD,AD=AE=DE, ADE是等边三角形,AED=60, 又BC垂直平分AD,AEC=30, 又BE=AE,ABC=AEC=15, 1 2 1 2 ABD=2ABC=30. 当ABAC时,如图,同理可得ACD=30, 又BAC=BDC=90,ABD=150, 故答案为30或150. 思路分
12、析思路分析 分两种情况,取BC的中点E,连接AE,DE,依据直角三角形斜边上中线的性质,即可得到ADE 是等边三角形,进而得出ABD的度数. 4.(2018安徽巢湖三中二模,14)如图,ABC中,C=90,AC=20,BC=15,点D在AC上(D与点A,C不重合),点E 在BC上(E与点B,C不重合),且DEAB.在AB上找一点P,使得PDE为等腰直角三角形,则PDE的斜边 长为 . 答案答案 或 300 37 2 600 49 解析解析 当EDP=90时,如图1,设PD=DE=x, DEAB,CDECAB, 在RtACB中,AC=20,BC=15, AB=25,则ABC的AB边上的高为12,
13、 =,解得x=,即DE=, PDE的斜边长为; 当DEP=90时,如图2,设EP=DE=x,同理可得,PDE的斜边长为; 当DPE=90时,如图3,由等腰直角三角形的性质得P到DE的距离为DE,设DE=x,DEAB,CDE CAB,=,解得x=,即PDE的斜边长为. 25 x12- 12 x300 37 300 37 300 37 2 300 37 2 1 2 25 x 1 12- 2 12 x 600 49 600 49 综上,PDE的斜边长为或. 300 37 2 600 49 思路分析思路分析 分EDP=90、DEP=90、DPE=90三种情况进行讨论,求解即可. (2020浙江丽水,1
14、6)图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为AC,BD(点A与点B重 合),点O是夹子转轴位置,OEAC于点E,OFBD于点F,OE=OF=1 cm,AC=BD=6 cm,CE=DF,CEAE= 23.按图示方式用手指按夹子,夹子两边绕点O转动. (1)当E,F两点的距离最大时,以点A,B,C,D为顶点的四边形的周长是 cm. (2)当夹子的开口最大(即点C与点D重合)时,A,B两点的距离为 cm. 题型四 多空题 答案答案 (1)16 (2) 60 13 解析解析 (1)当E,F两点的距离最大时,E,O,F三点共线,四边形ACDB是矩形, OE=OF=1 cm,EF=2 cm,AB=CD=2 cm, 四边形ABCD的周长为2+2+6+6=16 cm. (2)如图,连接EF交OC于H. 由题意CE=CF=6= cm, 又OE=OF=1 cm,CO垂直平分线段EF, 2 5 12 5 OC= cm, OE EC= CO EH,EH= cm, EF=2EH= cm, EFAB,=,AB= cm. 22 CEOE 2 2 12 1 5 13 5 1 2 1 2 12 1 5 13 5 12 13 24 13 EF AB CE CA 2 5 5 2 24 13 60 13
