1、 中考数学 （安徽专用） 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系 考点一 圆的有关概念及性质 20162020年全国中考题组 1.(2020吉林,6,2分)如图,四边形ABCD内接于O.若B=108,则D的大小为( ) A.54 B.62 C.72 D.82 答案答案 C 根据圆内接四边形的性质得B+D=180,B=108,D=180-108=72,故选C. 2.(2019吉林,5,2分)如图,在O中,所对的圆周角ACB=50,若P为上一点,AOP=55,则POB 的度数为( ) A.30 B.45 C.55 D.60 AB AB 答案答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100.P
2、OB=100-55=45.故选B. 3.(2020海南,10,3分)如图,已知AB是O的直径,CD是弦,若BCD=36,则ABD等于( ) A.54 B.56 C.64 D.66 答案答案 A 根据圆周角定理的推论得BCD=A,BCD=36,A=36,根据直径所对的圆周角是 直角可得ADB=90,ABD=90-36=54,故选A. 4.(2020安徽,9,4分)已知点A,B,C在O上,则下列命题为真命题的是( ) A.若半径OB平分弦AC,则四边形OABC是平行四边形 B.若四边形OABC是平行四边形,则ABC=120 C.若ABC=120,则弦AC平分半径OB D.若弦AC平分半径OB,则半
3、径OB平分弦AC 答案答案 B 对于选项A,虽然半径OB平分弦AC,但AC不一定平分OB,故四边形OABC不一定是平行四边 形,故A为假命题;对于选项B,四边形OABC是平行四边形,且OA=OB=OC,OAB,OBC均为等边三 角形,ABO=60,ABC=2ABO=120,则B为真命题;对于选项C,虽然ABC=120,但点B不一定 是劣弧AC的中点,四边形OABC不一定是平行四边形,因而弦AC不一定平分半径OB,故C为假命题;对 于选项D,虽然弦AC平分半径OB,但过半径OB中点的弦有无数条,只有当ACOB时,弦AC被半径OB平 分,D选项中没有说明此条件,故D为假命题. 思路分析思路分析 先
4、根据各选项的条件画出草图,然后根据平行四边形的判定定理或者运用平行四边形的性 质来判断选项是否正确,判断时不能只注意特殊情况. 5.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m, 点C是的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为( ) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m AB AB 答案答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD=AB=20 m,设OB=x m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10
5、)2+202=x2,解得x=25,故选A. 1 2 思路分析思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三 角形中,然后由勾股定理求出. 6.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于 点D,连接BD,则DBC的大小为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案答案 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50 ,根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50,所以DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A. 7.(202
6、0宁夏,12,3分)我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆 材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁 中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).这根圆柱形木材的直径是 寸. 答案答案 26 解析解析 由垂径定理可知OE垂直平分AB,AD=5寸,设半径OA=x寸,则OD=(x-1)寸.在RtAOD中,AD2+ OD2=OA2,52+(x-1)2=x2,解得x=13,直径为26寸. 8.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDA
7、B于点D.若O的半径为2,则 CD的长为 . 答案答案 2 解析解析 如图,连接OC、OB,则COB=2CAB=60,OC=OB, COB为等边三角形,BC=2. CBA=45,CDAB, CB=CD,CD=. 22 解题关键解题关键 连接OC、OB,得到COB是等边三角形是解答本题的关键. 9.(2019内蒙古包头,24,10分)如图,在O中,B是O上一点,ABC=120,弦AC=2,弦BM平分ABC交 AC于点D,连接MA,MC. (1)求O半径的长; (2)求证:AB+BC=BM. 3 解析解析 (1)ABC=120,BM平分ABC, MBA=MBC=ABC=60. 易知ACM=ABM=
8、60,MAC=MBC=60, AMC是等边三角形. 如图,连接OA,OC, AO=CO,AOC=2AMC=120, OAC=OCA=30.作OHAC于点H, AH=CH=AC=. 在RtAOH中,cosOAH=, 即=,AO=2. O的半径为2.(4分) 1 2 1 2 3 AH AO 3 AO 3 2 (2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE, MBC=60,BE=BC,EBC为等边三角形, CE=CB=BE,BCE=60,BCD+DCE=60. ACM=60,ECM+DCE=60,ECM=BCD. AMC为等边三角形,AC=MC,ACBMCE,AB=ME. ME+EB=BM,AB+BC
9、=BM.(10分) 10.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. BC 解析解析 (1)尺规作图如图所示.(4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以=, 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为.(10分) BE EC 30 思
10、路分析思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得=,可推出OEBC,最后 利用勾股定理求出CE的长. BE EC 11.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=,DH=1,O- HD=80,求BDE的大小. 3 解析解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF,F=PB
11、C. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB,PC=PB. (2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90, 又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC. 又由(1)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形, BC=DH=1. 在RtABC中,AB=,tanACB=, ACB=60,CAB=30. 从而BC=AC=OD,DH=OD. 在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60. NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40,
12、CBD=OAD=20. BCDE,BDE=CBD=20. 3 AB BC 3 1 2 一题多解一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且=1,PB=PC. (2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=DH=1,AB=, CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=2(90-x), 解得x=20,即BDE=20. PC PB CD BF 3
13、考点二 与圆有关的位置关系 1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.70 C.110 D.125 答案答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线, OAAP,OBPB. OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B. 方法总结方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在 圆中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法. 2.(
14、2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD 等于( ) A.40 B.50 C.60 D.80 答案答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得BAC= 40,由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD= ODA+OAD=80. 3.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= . 答案答案 60 解析解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在
15、菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中 点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE =360-90-90-120=60. 1 2 1 2 解题关键解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键. 4.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C, CAB=90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 . 答案答案 2 6 解析解析 连接CD,BD是直径,DCB=90, 又CAB=90,ABC=CBD, CABDCB, =,即=, BC=2. BD B
16、C BC AB 6 BC4 BC 466 5.(2020安徽,20,10分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于 点F,BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E. (1)求证:CBADAB; (2)若BE=BF,求证:AC平分DAB. 证明证明 (1)因为AB为半圆O的直径,所以ACB=BDA=90. 在RtCBA与RtDAB中,因为BC=AD,BA=AB, 所以CBADAB.(5分) (2)证法一:因为BE=BF,又由(1)知BCEF, 所以BC平分EBF. 因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB. 于是,DAC=DB
17、C=CBE=90-E=CAB, 故AC平分DAB.(10分) 证法二:因为BE=BF,所以E=BFE. 因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB. 于是,CAB=90-E=90-BFE=90-AFD=CAD. 故AC平分DAB.(10分) 思路分析思路分析 (1)根据直径所对的圆周角是直角并依据HL证明两个直角三角形全等;(2)两个思路:根据 直径所对的圆周角是直角得BCEF,由BE是切线可得BEAB,再由同弧所对的圆周角相等可得DAC =DBC,利用BE=BF及互余性质可证DAC=CAB,问题解决;先根据BE=BF得E=BFE,根据BE 是切线可得BEAB,再利用互余性质可证CAB=
18、CAD,问题解决. 6.(2020云南昆明,20,8分)如图,点P是O的直径AB延长线上的一点(PB0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在RtAOM 中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=(舍负),半径OA=,O的周长为13. 1 2 13 2 方法规律方法规律 如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知 其中任意两个量即可求出其余两个量. 2 2 a 5.(2017陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的一点,在 ABP中,PB=AB,则PA的
19、长为( ) A.5 B. C.5 D.5 5 3 2 23 答案答案 D 连接OB、OA、OP, C=30,AOB=60, OA=OB,OAB是等边三角形,AB=5. PB=AB=OA=OP,OBAP, AP=2AB cos 30=25cos 30=25=5.故选D. 3 2 3 6.(2018山东青岛,9,3分)如图,点A、B、C、D在O上,AOC=140,点B是的中点,则D的度数是 ( ) A.70 B.55 C.35.5 D.35 AC 答案答案 D 如图,连接OB.点B是的中点,=, AOB=AOC=140=70,D=AOB=70=35. AC AB BC 1 2 1 2 1 2 1
20、2 7.(2020四川成都,13,4分)如图,A,B,C是O上的三个点,AOB=50,B=55,则A的度数为 . 答案答案 30 解析解析 如图所示,设AC与OB交于点D. AOB与ACB所对的弧为同弧, ACB=AOB=50=25, 又B=55, CDB=180-ACB-B=100, ODA=CDB=100, A=180-AOD-ODA=30. 1 2 1 2 8.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 . 答案答案 1 2 解析解析 设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为r,内接正三角形的边心距为r,故rr=1. 2 2 1 2 2 2 1 2
21、2 9.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD= 6,则AC= . 答案答案 2 3 解析解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD= 30,因为=cos 30,所以AB=4.在RtABC中,AC=ABcos 60=4=2. AD AB 6 3 2 3 3 1 2 3 10.(2019福建,24,12分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=AC,ACBD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且 DF=DC,连接AF,CF. (1)求证:BAC=2CAD; (2)若AF=1
22、0,BC=4,求tanBAD的值. 5 解析解析 (1)证明:ACBD,AED=90, 在RtAED中,ADE=90-CAD. AB=AC,=, ACB=ABC=ADE=90-CAD. 在ABC中,BAC+ABC+ACB=180, BAC=180-(ABC+ACB)=180-2(90-CAD), 即BAC=2CAD. (2)DF=DC,FCD=CFD. BDC=FCD+CFD, BDC=2CFD. BDC=BAC,且由(1)知BAC=2CAD, CFD=CAD, CAD=CBD,CFD=CBD,CF=CB. ACBF,BE=EF,故CA垂直平分BF, AB AC AC=AB=AF=10. 设A
23、E=x,则CE=10-x. 在RtABE和RtBCE中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2, 又BC=4,102-x2=(4)2-(10-x)2,解得x=6. AE=6,CE=4,BE=8. DAE=CBE,ADE=BCE, ADEBCE,=, DE=3,AD=3. 过点D作DHAB,垂足为H. 55 22 -AB AE AE BE DE CE AD BC 5 SABD=AB DH=BD AE,BD=BE+DE=11, 10DH=116,故DH=. 在RtADH中,AH=, tanBAD=. 1 2 1 2 33 52 2 -AD DH 6 5 DH AH 11 2 11.(2019山西,
24、21,8分)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务: 莱昂哈德 欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公 式和定理.下面就是欧拉发现的一个定理:在ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别 为其外心和内心,则OI2=R2-2Rr. 图1 如图1,O和I分别是ABC的外接圆和内切圆,I与AB相切于点F,设O的半径为R,I的半径 为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d, 则有d2=R2-2Rr. 下面是该定理的证明过程(部分): 延长AI交O于点D,过点I作O的直径MN,连接D
25、M,AN. D=N,DMI=NAI(同弧所对的圆周角相等), MDIANI.=. IA ID=IM IN. 图2 IM IA ID IN 如图2,在图1(隐去MD,AN)的基础上作O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF. DE是O的直径, DBE=90. I与AB相切于点F, AFI=90.DBE=IFA. BAD=E(同弧所对的圆周角相等),AIFEDB. =. IA BD=DE IF. IA DE IF BD 任务:(1)观察发现:IM=R+d,IN= (用含R,d的代数式表示); (2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由; (3)请观察式子和式子,并利用任务(1)(2)的结论,按照
26、上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分; (4)应用:若ABC的外接圆的半径为5 cm,内切圆的半径为2 cm,则ABC的外心与内心之间的距离为 cm. 解析解析 (1)R-d.(1分) (2)BD=ID.(2分) 理由如下:点I是ABC的内心, BAD=CAD,CBI=ABI.(3分) DBC=CAD,BID=BAD+ABI,DBI=DBC+CBI, BID=DBI.(4分) BD=ID.(5分) (3)证明:由(2)知BD=ID, IA ID=DE IF. 又IA ID=IM IN, DE IF=IM IN.(6分) 2R r=(R+d)(R-d). R2-d2=2Rr. d2=R2-2
27、Rr.(7分) (4).(8分) 5 思路分析思路分析 (1)根据线段的差易得IN=R-d;(2)根据点I是ABC的内心,推出BAD=CAD,CBI=ABI, 进而根据外角知识及圆周角定理得到BID=DBI,即可得到BD=ID;(3)利用任务(1)(2)的结论得出DE IF=IM IN,进而得出d2=R2-2Rr;(4)运用(3)中推出的公式计算得解. 12.(2018湖北黄冈,18,7分)如图,AD是O的直径,AB为O的弦,OPAD,OP与AB的延长线交于点P,过B 点的切线交OP于点C. (1)求证:CBP=ADB; (2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长. 解析解析 (1)证明:连接
28、OB,则OBBC,OBD+DBC=90,又AD为O的直径,DBA=90, DBP=DBC+CBP=90,OBD=CBP, 又OD=OB,OBD=ODB,ODB=CBP,即ADB=CBP. (2)在RtADB和RtAPO中,DAB=PAO, RtADBRtAPO,=, AB=1,AO=2,AD=4,AP=8,BP=7. AB AO AD AP AO AD AB 13.(2016宁夏,23,8分)已知ABC,以AB为直径的O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC. (1)求证:AB=AC; (2)若AB=4,BC=2,求CD的长. 3 解析解析 (1)证明:ED=EC, CDE=C, 又
29、四边形ABED是O的内接四边形, CDE=B, B=C, AB=AC.(4分) (2)连接AE,则AEBC, BE=EC=BC, 在ABC与EDC中,C=C,CDE=B, ABCEDC,(6分) =,得DC=, 由AB=4,BC=2,得DC=.(8分) 1 2 AB DE BC DC BC DE AB 2 2 BC AB 3 2 (2 3) 24 3 2 思路分析思路分析 (1)由ED=EC可得CDE=C,由圆内接四边形的性质可得CDE=B,进而求得AB=AC;(2) 连接AE,则AEBC,证明ABCEDC,进而求得CD的长. 14.(2017湖北武汉,21,8分)如图,ABC内接于O,AB=
30、AC,CO的延长线交AB于点D. (1)求证:AO平分BAC; (2)若BC=6,sinBAC=,求AC和CD的长. 3 5 解析解析 (1)证明:连接BO. AB=AC,OB=OC, A、O在线段BC的中垂线上,AOBC. 又AB=AC,AO平分BAC. (2)如图,延长AO交BC于点H,过点D作DKAO,交AO于点K. 由(1)知AOBC,OB=OC,BC=6, BH=CH=BC=3,COH=BOC, BAC=BOC,COH=BAC. 1 2 1 2 1 2 在RtCOH中,OHC=90,sinCOH=sinBAC=. CH=3,sinCOH=,CO=AO=5, OH=4, AH=AO+O
31、H=5+4=9,tanCOH=tanDOK=. 在RtACH中,AHC=90,AH=9,CH=3, tanCAH=,AC=3, 由(1)知CAH=BAH,tanBAH=tanCAH=. 设DK=3a(a0),在RtADK中,tanDAK=, 在RtDOK中,tanDOK=, CH CO 3 5 3 CO 3 5 22 -OC CH 22 5 -3 3 4 CH AH 3 9 1 3 22 AHCH 22 9310 1 3 1 3 3 4 OK=4a,DO=5a,AK=9a,AO=OK+AK=13a=5, a=,DO=5a=,CD=OC+DO=5+=. 5 13 25 13 25 13 90 1
32、3 一题多解一题多解 (1)证明:连接OB. AO=AO,BO=CO,AB=AC, AOBAOC,BAO=CAO. 即AO平分BAC. (2)过点C作CEAB,交AB于点E, sinBAC=,可设AC=5m(m0),则EC=3m, AE=4m,BE=m. 在RtCBE中,BE2+EC2=BC2,即m2+(3m)2=36, 解得m=(舍负),AC=3. 延长AO交BC于点H,则AHBC,且BH=CH=3, 过点O作OFAH,交AB于点F, EC AC 3 5 3 10 5 10 BOC=2BAC,BOC=2HOC, BAC=HOC, sinHOC=sinBAC=,又HC=3, OC=5,OH=4
33、, AH=OA+OH=9, tanBAH=, OF=OA=. 3 5 OF OA BH AH 1 3 1 3 5 3 OFBC, =,即=, 解得DC=. OF BC DO DC 5 3 6 -5DC DC 90 13 考点二 与圆有关的位置关系 1.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交O于点C.若AB=12,OA =5,则BC的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案答案 D 因为AB是圆O的切线,所以OAAB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=OB-OC= 13-5=8,故选D. 2.(2018重庆,9,4分)
34、如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的 垂线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为( ) A.4 B.2 C.3 D.2.5 3 答案答案 A 连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DOBC, PODPBC, =,=,PA=4,故选A. PO PB OD BC 4 8 PA PA 4 6 思路分析思路分析 利用切线的性质得出PDO=90,再利用相似三角形的判定和性质求出结果. 3.(2018浙江杭州,14,4分)如图,AB是O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DEAB,交O于D,E两 点,过点D
35、作直径DF,连接AF,则DFA= . 答案答案 30 解析解析 点C是半径OA的中点, OC=OA=OD, 又DEAB, CDO=30, DOA=60, DFA=DOA=30. 1 2 1 2 1 2 4.(2020辽宁营口,23,12分)如图,在ABC中,ACB=90,BO为ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半 径作O与线段AC交于点D. (1)求证:AB为O的切线; (2)若tan A=,AD=2,求BO的长. 3 4 解析解析 (1)证法一:过点O作OHAB于点H.(1分) ACB=90,OCBC, BO平分ABC,OHAB, OH=OC,即OH为O的半径.(3分) 又OHAB, A
36、B为O的切线.(5分) 证法二:过点O作OHAB于点H.(1分) OHB=90,ACB=90,OHB=ACB, BO平分ABC,HBO=CBO, BO=BO,HBOCBO, OH=OC,即OH为O的半径.(3分) 又OHAB,AB为O的切线.(5分) (2)解法一:设O的半径为3x(x0),则OH=OD=OC=3x.(6分) 在RtAOH中,tan A=, =,=,AH=4x, AO=5x,(7分) AD=2,AO=OD+AD=3x+2, 3 4 OH AH 3 4 3x AH 3 4 22 OHAH 22 (3 )(4 )xx 3x+2=5x,x=1,(9分) OA=3x+2=5,OH=OD
37、=OC=3x=3, AC=OA+OC=5+3=8. 在RtABC中,tan A=, BC=AC tan A=8=6, 在RtBCO中,BO=3.(12分) 解法二:设O的半径为3x(x0),则OH=OD=OC=3x.(6分) 在RtAOH中,tan A=,=,=,AH=4x. AD=2,OA=OD+AD=3x+2,(7分) 在RtAOH中,AO2=OH2+AH2, (3x+2)2=(3x)2+(4x)2,(8分) 整理得4x2-3x-1=0, BC AC 3 4 22 OCBC 22 365 3 4 OH AH 3 4 3x AH 3 4 解得x1=1,x2=-(舍),(9分) OA=3x+2
38、=5,OH=OD=OC=3x=3, AC=OA+OC=5+3=8. 在RtABC中,tan A=,BC=AC tan A=8=6, 在RtBCO中,BO=3.(12分) 1 4 BC AC 3 4 22 OCBC 22 365 5.(2020四川成都,20,10分)如图,在ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画O,O与边AB相 切于点D,AC=AD,连接OA交O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F. (1)求证:AC是O的切线; (2)若AB=10,tan B=,求O的半径; (3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由. 4 3 解析解析 (1)证明:连
39、接OD, O与边AB相切于D,ADO=90, OC=OD,AC=AD,AO=AO, ACOADO(SSS), ACO=ADO=90, OCAC, 又C为O上一点, AC是O的切线. (2)AB=10,tan B=,BCA=90, AC=8,BC=6, sin B=, 设CO=r,则DO=r, 4 3 AC AB 4 5 ODB=90,sin B=, OB=r, BC=OB+CO=r+r=6, r=.即O的半径为. (3)BD+CE=AF. 证明:连接ED,由(1)得CAE=DAE, 又AC=AD,AE=AE, ACEADE, CE=DE. F为AB的中点,ACB=90, AF=CF=BF. 4
40、 5 sin OD B 5 4 5 4 8 3 8 3 CAF=ACF, CFD=CAF+ACF=2ACF. ACB=90,BCF=90-ACF. OC=OE,BCF=OEC=90-ACF. ACEADE, AEC=AED,OEC=OED=90-ACF, DEF=180-OEC-OED =180-(90-ACF)-(90-ACF) =2ACF, CFD=DEF, DE=DF, BD+CE=BD+DF=BF, BD+CE=AF. 6.(2020内蒙古包头,24,10分)如图,AB是O的直径,半径OCAB,垂足为O,直线l为O的切线,A是切点, D是OA上一点,CD的延长线交直线l于点E,F是OB
41、上一点,CF的延长线交O于点G,连接AC,AG,已知O 的半径为3,CE=,5BF-5AD=4. (1)求AE的长; (2)求cosCAG的值及CG的长. 34 解析解析 (1)过点C作CHl于点H,AHC=90. 直线l为O的切线,A是切点,OCAB, AOC=OAH=90,四边形AOCH是矩形. OA=OC,四边形AOCH是正方形, AH=CH=OC=3. 在RtEHC中,EH2+HC2=CE2,CE=, EH=5,AE=EH-AH=2.(3分) (2)OCAB,AOC=BOC=90,AGC=CAB=45, 34 GCA=ACF,GCAACF,CAG=CFA. 在RtEAD和RtEHC中,
42、tanAED=tanHEC, =,AD=2=. 5BF-5AD=4,BF=2,OB=3,FO=1. 在RtCOF中,CF=, cosCAG=cosCFA=.(8分) GCAACF,=. 在RtAOC中,AC=3,CG=.(10分) AD AE HC HE 3 5 6 5 22 OCOF10 10 10 AC FC CG CA 22 OAOC2 9 10 5 思路分析思路分析 (1)过点C作直线l的垂线,垂足为H,通过AOC=OAH=CHA=90,OA=OC,判断出四边形 OAHC是正方形,从而得到CH=AH=3.再根据勾股定理,在RtCEH中求出EH=5,最后得到AE的长. (2)通过同弧所对
43、的圆周角是圆心角的一半,得到AGC=CAB=45,再通过GCA=ACF,证得GCA ACF,将CAG转化为CFA.通过(1)中线段的长度和tanAED=tanHEC,求出AD=,再根据5BF- 5AD=4,求出BF=2,OF=1.根据勾股定理,在RtCOF中,得到CF=,求出cosCAG=.由GCA ACF,根据相似比和AC=3,得到CG=. 6 5 10 10 10 2 9 10 5 7.(2019江西,19,8分)如图1,AB为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CDAB交 AF于点D,连接BC. (1)连接DO,若BCOD,求证:CD是半圆的切线; (2)如图2,当
44、线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断AED和ACD的数量关系,并证明你的结论. 解析解析 (1)证法一:连接OC. AF为半圆的切线,A=90. BCDO,CBO=AOD,BCO=COD. OC=BO,CBO=BCO. COD=AOD. 在OAD和OCD中, , , , AOCO DOADOC DODO OADOCD(SAS). OCD=A=90. CD是半圆的切线. 证法二:连接OC. CDAB,BCOD, 四边形BCDO是平行四边形,CD=BO. OB=OA,CD=OA. CDOA,四边形OADC是平行四边形. 又AF为半圆的切线,A=90. OADC是矩形,OCD=90. CD
45、是半圆的切线. (2)AED+ACD=90. 证法一:CDAB,ACD=BAC. 四边形ABCE是圆内接四边形, B+AEC=180. AED+AEC=180, AED=B. AB为半圆的直径,BCA=90. CAB+B=90.AED+ACD=90. 证法二:连接BE,则ACD=ABE. CDAB,AED=BAE. AB为半圆的直径,AEB=90, ABE+BAE=90, AED+ACD=90. 思路分析思路分析 (1)要证CD与半圆相切,由于点C为半圆上一点,所以必须连接OC并证明OCD=90,其中证 法一的思路是通过证明OCDOAD,从而得到OCD=A=90.证法二的思路是证明四边形OAD
46、C 是矩形,从而得到OCD=90. (2)通过观察,易得到AED+ACD=90.证法一的思路是由ABCD得DCA=CAB,由四边形ABCE 为圆内接四边形得到B=AED,由AB为直径得ACB=90,从而得到B+CAB=90,最终推出AED +ACD=90.证法二的思路是连接BE,易证DCA=EBA,由ABCD得EAB=AED,由AB为直径易 得EBA+EAB=90,最终推出AED+ACD=90. 8.(2019四川成都,20,10分)如图,AB为O的直径,C,D为圆上的两点,OCBD,弦AD,BC相交于点E. (1)求证:=; (2)若CE=1,EB=3,求O的半径; (3)在(2)的条件下,
47、过点C作O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQCB交O于F,Q两点(点F在线 段PQ上),求PQ的长. AC CD 解析解析 (1)证明:连接OD. OCBD, OCB=DBC, OB=OC, OCB=OBC, OBC=DBC, AOC=COD, =. (2)连接AC. =, CBA=CAD. 又BCA=ACE, CBACAE. AC CD AC CD =. CA2=CE CB=CE (CE+EB)=1(1+3)=4. CA=2. AB为O的直径, ACB=90. 在RtACB中,由勾股定理,得AB=2. O的半径为. CA CE CB CA 22 CACB 22 245 5 (3)如图,设AD与CO相交于点N, AB为O的直径, ADB=90, OCBD, ANO=ADB=90. PC为O的切线, PCO=90. ANO=PCO. PCAE. =. PA=AB=2=. PO=PA+AO=+=. 过点O作OHPQ于点H,则OHP=90=ACB. PQCB, BPQ=ABC. OHPACB. =. PA AB CE EB 1 3 1 3 1 3 5 2 5 3 2 5 3 5 5 5 3 OP AB OH AC PH BC OH=,PH=. 连接OQ.
