1、 中考数学 （安徽丏用） 第二章 方程(组)与不等式(组) 2.2 分式方程 考点一 分式方程及其解法 20162020年全国中考题组 1.(2020四川成都,8,3分)已知x=2是分式方程+=1的解,那么实数k的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 k x -3 -1 x x 答案答案 B x=2是+=1的解, +(-1)=1,解得k=4.故选B. k x -3 -1 x x 2 k 2.(2019四川成都,7,3分)分式方程+=1的解为( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2 -5 -1 x x 2 x 答案答案 A 原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x
2、-1),解得x=-1,检验:当x=-1时,x(x-1)0,所以x=-1是原分式方 程的解,故选A. 3.(2017河南,4,3分)解分式方程-2=,去分母得( ) A.1-2(x-1)=-3 B.1-2(x-1)=3 C.1-2x-2=-3 D.1-2x+2=3 1 -1x 3 1-x 答案答案 A 分式方程两边同乘(x-1),得1-2(x-1)=-3.故选A. 4.(2016安徽,5,4分)方程=3的解是( ) A.- B. C.-4 D.4 21 -1 x x 4 5 4 5 答案答案 D 去分母得,2x+1=3x-3,x=4,经检验,x=4是原方程的根,故选D. 5.(2018四川成都,
3、8,3分)分式方程+=1的解是( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 1x x 1 -2x 答案答案 A +=1, (x+1)(x-2)+x=x(x-2), x2-x-2+x=x2-2x, x=1, 检验,当x=1时,x(x-2)0. 所以x=1是原分式方程的解.故选A. 1x x 1 -2x 6.(2020内蒙古包头,14,3分)分式方程+=1的解是 . 3- -2 x x2- x x 答案答案 x= 5 3 解析解析 方程两边同时乘(x-2)得,3-x-x=x-2,解得x=,经检验,x=是分式方程的解. 5 3 5 3 7.(2019黑龙江齐齐哈尔,14,3分)关于x的
4、分式方程-=3的解为非负数,则a的取值范围为 . 2 - -1 x a x 1 1-x 答案答案 a4且a3 解析解析 方程两边同乘(x-1),得2x-a+1=3(x-1),解得x=4-a, 由题意得x0且x1, 解得a4且a3. 4-0, 4-1, a a 思路分析思路分析 先解关于x的分式方程,求得x的值,再依据“解为非负数,分母不为0”建立不等式组求a的取 值范围. 8.(2017陕西,16,5分)解方程:-=1. 3 -3 x x 2 3x 解析解析 (x+3)2-2(x-3)=(x-3)(x+3),(2分) x2+6x+9-2x+6=x2-9, x=-6.(4分) 经检验,x=-6是
5、原方程的根.(5分) 考点二 分式方程的应用 1.(2020福建,8,4分)我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几 株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每 株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株 椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( ) A.3(x-1)= B.=3 C.3x-1= D.=3 6 210 x 6 210 -1x 6 210 x 6 210 x 答案答案 A 根据题意可列出方程=3(x-1).故选A. 6 210 x
6、 2.(2020云南昆明,12,4分)某校举行“停课不停学,名师陪你在家学”活动,计划投资8 000元建设几间直 播教室,为了保证教学质量,实际每间建设费用增加了20%,并比原计划多建设了一间直播教室,总投资追 加了4 000元,根据题意,原计划每间直播教室的建设费用是( ) A.1 600元 B.1 800元 C.2 000元 D.2 400元 答案答案 C 设原计划每间直播教室的建设费用是x元,则实际每间直播教室的建设费用为(1+20%)x元,根 据题意得, -=1,解得x=2 000,经检验,x=2 000是分式方程的解,且符合题意,故原计划每间直播教室 的建设费用是2 000元,故选C
7、. 8 0004 000 (120%)x 8 000 x 3.(2018山东淄博,10,4分)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了 迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实 际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是( ) A.-=30 B.-=30 C.-=30 D.-=30 60 x 60 (125%)x 60 (125%)x 60 x 60(125%) x 60 x 60 x 60(125%) x 答案答案 C 实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则原计划每天绿化的面积为 万平
8、方米,依题 意得-=30,即-=30.故选C. 125% x 60 125% x 60 x 60(125%) x 60 x 4.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙两船从相距300 km的A,B两地同时出发相向而行,甲船从A地顺流航行18 0 km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6 km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h,则 求两船在静水中的速度可列方程为( ) A.= B.= C.= D.= 180 6x 120 -6x 180 -6x 120 6x 180 6x 120 x 180 x 120 -6x 答案答案 A 甲船航行的速度为(x+6)km/h,则航行180
9、 km用时 h,乙船航行的速度为(x-6)km/h,航行了 300-180=120 km,则用时 h,两船航行时间相同,则可列方程为=,故选A. 180 6x 120 -6x 180 6x 120 -6x 5.(2019江西,11,3分)斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明 程度.如图,某路口的斑马线路段ABC横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11 秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.2倍,求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速 度是x米/秒,根据题意列方程得: . 答案答案 +=11 6 x 6 1.2x
10、解析解析 因为通过AB时的速度为x米/秒, 所以通过BC时的速度为1.2x米/秒. 易知,通过AB所用的时间为秒,通过BC所用的时间为秒,结合题意得+=11. 6 x 6 1.2x 6 x 6 1.2x 6.(2019湖北黄冈,20,7分)为了对学生进行革命传统教育,红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生 从学校同时出发,步行4 000米到达烈士纪念馆.学校要求九(1)班提前到达目的地,做好活动的准备工作. 行走过程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍,结果比其他班提前10分钟到达.分别求九(1)班、 其他班步行的平均速度. 解析解析 设其他班步行的平均速度为x米/分,则九(1
11、)班步行的平均速度为1.25x米/分,依题意得- =10, 解得x=80. 经检验,x=80是所列方程的解且符合题意. 此时,1.25x=1.2580=100. 答:九(1)班步行的平均速度为100米/分,其他班步行的平均速度为80米/分. 4 000 x 4 000 1.25x 思路分析思路分析 可设其他班的平均速度,然后根据九(1)班比其他班提前10分钟到达建立方程. 7.(2018山西,20,7分)2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车.与“和谐号”相比,“复兴号”列车时 速更快,安全性更好.已知“太原南北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某 列“和谐号
12、”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时 间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐 “复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多少时间. 4 5 解析解析 解法一:设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要x小时,(1分) 由题意,得=+40.(4分) 解得x=.(5分) 经检验,x=是原方程的根,且符合题意.(6分) 答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时.(7分) 解法二:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x小时,(1分) 由题意,得=+40.(3分)
13、 解得x=.(4分) 500 1 - 6 x 500 51 - 46 x 8 3 8 3 8 3 500 x 500 5 4 x 5 2 经检验,x=是原方程的根,且符合题意.(5分) +=(小时).(6分) 答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时.(7分) 5 2 5 2 1 6 8 3 8 3 考点一 分式方程及其解法 教师丏用题组 1.(2020海南,8,3分)分式方程=1的解是( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=5 D.x=2 3 -2x 答案答案 C 方程两边都乘(x-2)得3=x-2,解得x=5. 经检验,x=5是原分式方程的解,故选C. 2.(2019重庆A
14、卷,11,4分)若关于x的一元一次不等式组的解集是xa,且关于y的分式方程 -=1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为( ) A.0 B.1 C.4 D.6 11 -(4 -2), 42 3 -1 2 2 xa x x 2 - -1 y a y -4 1- y y 答案答案 B 解不等式x-(4a-2),得xa,解不等式x+2,得x5.解集是xa,a5. 解分式方程 -=1,得y=. 关于y的分式方程有非负整数解, 0,a-3,-3a1 B.a1 C.a1且a2 2 1 xa x 答案答案 D 去分母得2x+a=x+1,解得x=1-a. 分式的分母不为0,x+1=1-a+10,解得a2.
15、 方程的解为负数,1-a1. a的取值范围是a1且a2.故选D. 6.(2017重庆A卷,12,4分)若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数,且使关于y的不等式组 的解集为y0且1, a6且a2. 解不等式,得y-2. 解不等式,得ya. 不等式组的解集为y-2, a-2, -2a0,y随a的增大而增大. 当a=22时,y取最大值,为10 520. 答:最大费用为10 520元.(8分) 60 x 60 -2x 3 5 45 2 思路分析思路分析 (1)设每个A类摊位占地面积为x平方米,则每个B类摊位占地面积为(x-2)平方米,根据“用60 平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个
16、数的”列分式方程求解即可. (2)设建造A类摊位a个,则建造B类摊位(90-a)个,列出总费用y关于a的表达式,根据一次函数的性质和a的 取值范围进行求解即可. 3 5 7.(2020新疆,21,11分)某超市销售A、B两款保温杯,已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元,用 480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同. (1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元? (2)由于需求量大,A、B两款保温杯很快售完,该超市计划再次购进这两款保温杯共120个,且A款保温杯 的数量不少于B款保温杯数量的两倍.若A款保温杯的销售单价不变,B款保温杯的销售单价降低10%,两 款保
17、温杯的进价每个均为20元,应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大,最大利润是多少元? 解析解析 (1)设A款保温杯的销售单价为x元,则B款保温杯的销售单价为(x+10)元. 由题意得=, 解得x=30. 经检验,x=30是原分式方程的解且符合题意. x+10=30+10=40. 答:A款保温杯的销售单价为30元,B款保温杯的销售单价为40元. (2)设购进A款保温杯a个,则购进B款保温杯(120-a)个. 由题意得a2(120-a),即a80, 设销售利润为W元, 则W=(30-20)a+(4090%-20)(120-a) =-6a+1 920(80a120). -60,W随a的增大而减小.
18、 当a=80时,W有最大值,最大值为-680+1 920=1 440. 即购进A款保温杯80个,B款保温杯40个才能使这批保温杯的销售利润最大,最大利润为1 440元. 480 10 x 360 x 思路分析思路分析 (1)找准等量关系:用480元购买B款保温杯的数量=用360元购买A款保温杯的数量; (2)根据题意确定出自变量的取值范围,列出一次函数关系式,利用一次函数的增减性确定最值. 8.(2018贵州贵阳,19,10分)某青春党支部在精准扶贫活动中,给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树 苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元,用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买
19、甲种树苗的棵数相同. (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元; (2)在实际帮扶中,他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵.此时,甲种树苗的售价比第一次购买时降低 了10%,乙种树苗的售价保持不变.如果此次购买两种树苗的总费用不超过1 500元,那么他们最多可购买 多少棵乙种树苗? 解析解析 (1)设甲种树苗每棵的价格是x元,则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元. 根据题意,得=,解得x=30. 经检验,x=30是原方程的解且符合题意, 当x=30时,x+10=40. 答:甲、乙两种树苗每棵的价格分别是30元、40元. (2)设他们再次购买乙种树苗y棵, 则购买甲种树苗(50-y)棵. 由
20、题意得30(1-10%)(50-y)+40y1 500,解得y. y是整数,他们最多可以购买11棵乙种树苗. 480 10 x 360 x 150 13 9.(2018云南,18,6分)某社区积极响应正在开展的“创文活动”,组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一 些区域进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2 倍,并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时.乙工程队 每小时能完成多少平方米的绿化面积? 解析解析 设乙工程队每小时能完成的绿化面积为x m2,则甲工程队每小时能完成的绿化面积为2x m2, 根据题意得
21、-=3.(3分) 由-=3得=1,解得x=50. 经检验,x=50是-=3的解,且符合题意. 所以,乙工程队每小时能完成的绿化面积为50 m2.(6分) 300 x 300 2x 300 x 300 2x 50 x 300 x 300 2x 方法技巧方法技巧 找到等量关系是列出方程的关键,而本题的等量关系是甲工程队完成300平方米的绿化面积 比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时. 10.(2019内蒙古包头,23,10分)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租,每辆货车的日租金实行淡 季、旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨.据统计,淡季该公司平均每天有10辆货车 未租
22、出,日租金总收入为1 500元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为4 000元. (1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡季每辆货车的日租金是多少元? (2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元,每天租出去的货车就会减少1辆,不考虑 其他因素,每辆货车的日租金上涨多少元时,该出租公司的日租金总收入最高? 1 3 解析解析 (1)设该出租公司这批对外出租的货车共有x辆. 根据题意,得=, 解得x=20. 经检验,x=20是所列方程的解. 1 500(20-10)=150(元). 答:该出租公司这批对外出租的货车共有20辆,淡季每辆货车的日租金是150元.(5分
23、) (2)设当旺季每辆货车的日租金上涨a元时,该出租公司的日租金总收入为w元. 根据题意,得w=, w=-a2+10a+4 000, w=-(a-100)2+4 500. 1 500 -10 x 1 1 3 4 000 x 1 1501 3 a 20- 20 a 1 20 1 20 -0,a随m的增大而增大, 1m2, 当m=1时,a取最小值,且最小值为120. 1 150 11 150 x 1 3 1 5 1 10 15 x 1 3 1m aa 2 3 此时,乙队的最大工作效率是=.(9分) =. 答:乙队的最大工作效率是原来的倍.(10分) 1 a 1 120 1 120 1 450 15
24、 4 15 4 时间:35分钟 分值:45分 A组 20182020年模拟基础题组 一、选择题（每小题4分，共16分） 1.(2020安徽宿州模拟,6)分式方程=的解为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x= D.x=- 1 3x 2 -2x 2 5 2 5 答案答案 D 去分母,得x-2=6x,解得x=-,经检验,x=-是分式方程的解,原方程的解为x=-,故选D. 2 5 2 5 2 5 2.(2019安徽合肥十校第一次联考,5)方程-=2的解为x=( ) A.-3 B.3 C.5 D.无解 1 -2x2- x x 答案答案 C 两边同乘x-2得1+x=2(x-2),解得x=5,经检验,x
25、=5是原分式方程的解,故选C. 3.(2019安徽合肥二模,6)分式方程=-1的解是( ) A.x=-6 B.x=6 C.x=- D.x= 1-3 25 x x 6 5 6 5 答案答案 B 原方程可化为1-3x=-(2x+5),解得x=6.经检验,x=6是原分式方程的解.故选B. 4.(2019安徽名校联考三模,7)为了抵消美国关税提高带来的损失,某厂商不得不将出口到美国的A类产 品的单价提高3美元,结果发现:现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的 数量相同.设A类商品出口的原价为m美元/件,根据题意可列分式方程为( ) A.= B.= C.= D.= 900
26、m 750 3m 900 3m 750 m 900 m 750 -3m 900 -3m 750 m 答案答案 B 由购买的数量相同可列分式方程为=,故选B. 900 3m 750 m 5.(2018安徽太和一中教育联盟联考,13)关于x的分式方程-=的解是 . 2 -1x 1 1x 1 1-x 二、填空题(共5分) 答案答案 x=-2 解析解析 方程两边同乘(x+1)(x-1),得2(x+1)-(x-1)=-x-1,解得x=-2,经检验,x=-2是原分式方程的解. 6.(2020安徽合肥五十中二模,16)解方程:=-1. 2 2 -4x-2 x x 三、解答题(共24分) 解析解析 去分母,得
27、2=x2+2x-x2+4,解得x=-1, 经检验,x=-1是分式方程的解. 7.(2020安徽名校联盟试卷二,15)解方程:=+5. 2 -1 x x 1 1-x 解析解析 =+5,2x=-1+5(x-1), 2x-5x=-1-5, x=2.(6分) 检验,当x=2时,x-10, 分式方程的解为x=2.(8分) 2 -1 x x 1 1-x 8.(2019安徽合肥三十八中一模,16)解分式方程:+=. 2 1x 3 -1x 2 6 -1x 解析解析 原方程可化为2(x-1)+3(x+1)=6, 解得x=1.(6分) 经检验:x=1是方程的增根,原方程无解.(8分) B组 20182020年模拟
28、提升题组 时间:35分钟 分值:42分 一、选择题(每小题4分,共8分) 1.(2019安徽合肥瑶海二模,9)甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作,两小时后,乙打字员协 助此项工作,且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍,结果提前6小时完成任务,则甲打字员原计划 完成此项工作的时间是( ) A.17小时 B.14小时 C.12小时 D.10小时 答案答案 C 设甲打字员原计划完成此项工作需x小时,总工作量为1,则工作效率为,由题意可得乙打字 员的工作效率为1.5=,则有x-6=2+,解得x=12,经检验,x=12是所列方程的解,且符合题意.故选 C. 1 x 1 x 3 2x 1
29、1-2 13 2 x xx 2.(2019安徽预测模拟卷四,8)合肥与北京两地间的路程约为960 km,现有甲、乙两列动车同时从两地以 相同的速度相向而行,相遇后,甲车以原速、乙车以每小时比原速快60 km的速度继续行驶,结果当乙车 到达终点24分钟后,甲车也到达终点,若设甲车的速度为x km/h,则下列方程正确的是(停靠车站时间忽略 不计)( ) A.-=24 B.-= C.-=24 D.-= 480 x 480 60 x 480 x 480 60 x 24 60 960 x 960 60 x 960 x 960 60 x 24 60 答案答案 B 以一半路程甲、乙相差24分钟到达终点作为等
30、量关系建立方程-=,故选B. 480 x 480 60 x 24 60 易错警示易错警示 本题有两个易错点:一是速度单位是km/h,所以24分钟应化成小时,若未注意容易错选A; 二是未注意到甲、乙是相遇后,乙比甲早到24分钟而错选D. 24 60 3.(2020安徽亳州中考模拟预测卷一,14)A, B两市相距200千米,甲车从A市到B市,乙车从B市到A市,两车 同时出发,已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时,且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速 度是x千米/小时,则根据题意,可列方程: . 二、填空题（每小题5分，共10分） 答案答案 -= 200 x 200 15x 1 2 解析解
31、析 根据题意,可列方程:-=. 200 x 200 15x 1 2 4.(2019安徽宿州泗县一模,13)某工程队依据城市规划轨道交通计划,为地铁二号线修建一条长4 800米 的隧道.在打通1 200米隧道后,为了减少施工对城市交通造成的影响,该工程队增加了人力,每天打通隧 道的长度是原来的1.2倍,最终40天完成任务.若设该工程队原来每天打通隧道x米,则列出的方程为 . 答案答案 +=40 1 200 x 4 800-1 200 1.2x 解析解析 以时间为等量关系建立方程+=40. 1 200 x 4 800-1 200 1.2x 解题关键解题关键 找准等量关系是列出方程的关键. 三、解答
32、题(共24分) 5.(2020安徽中考全真模拟一,16)中国古代数学著作九章算术方程篇中有这样一道题:“今有善行者 行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?”这是一道行程问题, 意思是说:走路快的人走100步的时候,走路慢的才走了60步.走路慢的人先走100步,然后走路快的人去 追赶,问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人? 解析解析 设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人, 根据题意,得x=+100,整理,得100 x=60 x+10 000,解得x=250. 答:走路快的人要走250步才能追上走路慢的人. 60 100 x 思路分析思路分析 设走路快的
33、人要走x步才能追上走路慢的人,根据走路快的人走100步的时候,走路慢的才走 了60步可得走路快的人与走路慢的人的速度比为10060,利用走路快的人追上走路慢的人时,两人所走 的步数相等列出方程,然后根据等式的性质变形即可求解. 6.(2020安徽芜湖二模,18)芜湖市某医院计划选购A,B两种防护服.已知A防护服每件价格是B防护服每件 价格的2倍,用80 000元单独购买A防护服比用80 000元单独购买B防护服要少50件.如果该医院计划购买 B防护服的件数比购买A防护服件数的2倍多8,且用于购买A,B两种防护服的总经费不超过320 000元,那 么该医院最多可以购买多少件B防护服? 解析解析
34、设B防护服的单价为x元,则A防护服的单价为2x元. 由题意,可得=-50, 解得x=800,经检验,x=800是所列方程的解,且符合题意. B防护服的单价为800元, A防护服的单价为1 600元. 设该医院买a件A防护服,(2a+8)件B防护服, 则1 600a+800(2a+8)320 000,解得a98. 2a+8204. 答:最多可以购买204件B防护服. 80 000 2x 80 000 x 7.(2018安徽合肥包河一模,16)某市计划建设一条总长为30 000米的轻轨线,已知甲工程队平均每天能比 乙工程队多建设20米,平均每天需要的经费比乙工程队多40%,经测算,两个工程队单独完成这项工程所 需总经费相同,求甲、乙两工程队平均每天各能建设多少米. 解析解析 设甲工程队平均每天能建设x米,则乙工程队平均每天能建设(x-20)米,所以甲、乙两工程队完成 这项工程所需天数分别为和, 由题意得(1+40%)=, 解得x=70,经检验,x=70是所列方程的解,且符合题意. x-20=50. 答:甲、乙两工程队平均每天各能建设70米、50米. 30 000 x 30 000 -20 x 30 000 x 30 000 -20 x
