1、 中考数学 （安徽专用） 第六章 图形与变换 6.2 图形的形似 考点一 相似与位似的有关概念 20162020年全国中考题组 1.(2020河北,8,3分)在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是( ) A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 答案答案 A 根据“两个位似图形一定是相似图形”以及四边形ABCD是菱形可知选A. 2.(2020山西,5,3分)泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命题的证明,泰勒斯曾通 过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们
2、所学的( ) A.图形的平移 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的相似 答案答案 D 根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例,得到两个三角形相似,进 而推算出金字塔的高度,测量原理是图形的相似.故选D. 3.(2019浙江杭州,6,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DEBC,M为BC边上一点(不与点B, C重合),连接AM交DE于点N,则( ) A.= B.= C.= D.= AD AN AN AE BD MN MN CE DN BM NE MC DN MC NE BM 答案答案 C DEBC,ADNABM,ANEAMC, =,=,=,故选C. A
3、N AM DN BM AN AM NE MC DN BM NE MC 4.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23, 则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为( ) A.49 B.25 C.23 D. 23 答案答案 A 由位似图形的性质知=,所以=.故选A. AB AB OA OA 2 3 ABCD ABCD S S 四边形 四边形 2 AB AB 4 9 5.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网 格线的交点. (1)在给定的网格中,以点O为位似中心,
4、将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为 A1,B1).画出线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1; (3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位. 解析解析 (1)线段A1B1如图所示.(3分) (2)线段A2B1如图所示.(6分) (3)20.(8分) 提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为=2,以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1 A2的面积为(2)2=20(个平方单位). 22 425 5 考点二 相似三角形的性质与判定 1.(2020广西
5、北部湾经济区,9,3分)如图,在ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分 别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为( ) A.15 B.20 C.25 D.30 答案答案 B 在正方形EFGH中,EFHG,EF=EH,易证ANEF,所以EH=ND,令AN=x,则EF=EH=ND=60-x, 由EFHG可得AEFABC,故=,即=,解得x=20,故选B. AN AD EF BC60 x60- 120 x 2.(2019安徽,7,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12.点D在边BC上,点E在线段AD上,EF AC于点F,EGEF交
6、AB于点G.若EF=EG,则CD的长为( ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 答案答案 B 解法一:如图,作DNCA交AB于点N, ACB=90,EFEG,EFAC,EGDN,EFBC. =. EF=EG,DN=DC. DNCA,=,=, 解得DC=4,故选B. 解法二:过点G作GMAC,垂足为M,交AD于点N. 易知四边形EFMG为正方形,设EG为x,则GM为x. EG DN AE AD EF CD DN AC BD BC6 DC12- 12 DC tanBAC=2, AM=x, EGAC, EGNAMN,=2. GN=x,MN=x, 易证AMNACD, =, CD=4. BC AC
7、 12 6 1 2 GN MN EG AM 1 2 x x 2 3 1 3 CD AC MN AM 1 3 1 2 x x 2 3 解题关键解题关键 作平行线,利用对应线段成比例或相似比建立等式是解答本题的关键. 3.(2016安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为( ) A.4 B.4 C.6 D.4 23 答案答案 B 由AD是中线可得DC=BC=4. B=DAC,C=C, ADCBAC, =, AC2=BC DC=84=32, AC=4, 故选B. 1 2 AC BC DC AC 2 评析评析 本题考查了相似三角形的判定与性质,及三角形的中线,
8、属容易题. 4.(2018内蒙古包头,18,3分)如图,在ABCD中,AC是一条对角线,EFBC,且EF与AB相交于点E,与AC相 交于点F,3AE=2EB,连接DF.若SAEF=1,则SADF的值为 . 答案答案 5 2 解析解析 3AE=2EB,=,又EFBC,AEFABC, =,SAEF=1,SABC=. 在ABCD中,SACD=SABC=,SADF=SACD=. AE AB 2 5 AEF ABC S S 2 AE AB 4 25 25 4 25 4 2 5 5 2 5.(2019湖北武汉,23,10分)在RtABC中,ABC=90,=n,M是BC边上一点,连接AM. (1)如图1,若
9、n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直.求证:BM=BN; (2)过点B作BPAM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q. 如图2,若n=1,求证:=; 如图3,若M是BC的中点,直接写出tanBPQ的值(用含n的式子表示). AB BC CP PQ BM BQ 解析解析 (1)证明:延长AM交CN于点H, AM与CN垂直,ABC=90, BAM+N=90,BCN+N=90, BAM=BCN. n=1,ABC=90, AB=BC,ABC=CBN. ABMCBN, BM=BN. (2)证明:过点C作CDBP交AB的延长线于点D, 则AM与CD垂直. 由(1)得BM=BD. CDBP,=,即
10、=. tanBPQ=. 详解:过点C作CKBP交AB的延长线于点K,延长AM,交CK于点E, 设BC=a, CP PQ DB BQ CP PQ BM BQ 1 n PBCK,QPB=QCK,AECK, tanBPQ=tanQCK=. PMBBMA,=. tanBPQ=. PE CE PE PB 2PM PB PM PB BM AB 2 a na 1 2n 1 n 6.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,AB=AC=20,tan B=,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C 重合).以D为顶点作ADE=B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFAD交射线DE于点F,连接CF. (
11、1)求证:ABDDCE; (2)当DEAB时(如图2),求AE的长; (3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请 说明理由. 3 4 解析解析 (1)证明:AB=AC, B=ACB. ADE+CDE=B+BAD,ADE=B, BAD=CDE.ABDDCE. (2)过点A作AMBC于点M. 在RtABM中,设BM=4k,则AM=BM tan B=4k=3k, 由勾股定理,得AB2=AM2+BM2. 202=(3k)2+(4k)2.k=4. AB=AC,AMBC,BC=2BM=2 4k=32. DEAB,BAD=ADE. 又ADE=B
12、,B=ACB, BAD=ACB. 又ABD=CBA,ABDCBA.=. 3 4 AB CB DB AB DB=. DEAB,=. AE=. (3)D点在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF. 2 AB CB 2 20 32 25 2 AE AC BD BC AC BD BC 25 20 2 32 125 16 过点F作FHBC于点H.过点A作AMBC于点M,ANFH于点N. 易知NHM=AMH=ANH=90, 四边形AMHN为矩形, MAN=90,MH=AN. AB=AC,AMBC,BM=CM=BC=32=16. 在RtABM中,由勾股定理,得AM=12. ANFH,AMBC,
13、ANF=90=AMD. DAF=90=MAN,NAF=MAD. AFNADM. =tanADF=tan B=. AN=AM=12=9. 1 2 1 2 22 -AB BM 22 20 -16 AN AM AF AD 3 4 3 4 3 4 CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7. 当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知DFC为等腰三角形. 又FHDC, CD=2CH=14. BD=BC-CD=32-14=18, 点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18. 7.(2019安徽,23,14分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC.P为ABC内部一点,
14、且APB=BPC= 135. (1)求证:PABPBC; (2)求证:PA=2PC; (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:=h2 h3. 2 1 h 证明证明 (1)在ABP中,APB=135,ABP+BAP=45, 又ABC为等腰直角三角形,ABC=45, 即ABP+CBP=45,BAP=CBP. 又APB=BPC=135,PABPBC.(4分) (2)证法一:由(1)知PABPBC,=. 于是,=2,即PA=2PC.(9分) 证法二:APB=BPC=135,APC=90, CAP45,故APCP.如图,在线段AP上取点D,使AD=CP. 又CAD+P
15、AB=45,且PBA+PAB=45, CAD=PBA, 又CBP+BCP=CBP+PBA=45, PBA=BCP,CAD=BCP.AC=CB, ADCCPB,ADC=CPB=135,CDP=45, PDC为等腰直角三角形, PA PB PB PC AB BC 2 PA PC PA PB PB PC CP=PD,又AD=CP,PA=2PC.(9分) (3)如图,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,PR=h2,PS=h3,在RtCPR中,=tan PCR=tanCAP=,=,即h3=2h2.又PABPBC,且=,=,即h1=h2,于是=h2 h3.(14分) PR
16、 CR CP AP 1 2 2 3 h h 1 2 AB BC 2 1 2 h h 22 2 1 h 思路分析思路分析 (1)结合题意易求ABC=45,从而得出PBA+PBC=45,进而求出PAB=PBC,结合 APB=BPC=135,即可证明;(2)证法一:由ABC是等腰直角三角形,即可得出AB和BC之间的关系,再利 用(1)中的相似得到=,问题解决;证法二:由已知易推APC=90,在线段AP上取点D,使 得AD=CP,然后证明CAD=BCP,从而证明ADCCPB,进一步得出PDC是等腰直角三角形,问 题解决;(3)h1,h2分别为第(1)问中的两个相似三角形中AB和BC边上的高,根据相似三
17、角形的性质可得h1= h2.在RtCPR中,CR=h3,=tanPCR=tanCAP=.易证=h2 h3. PA PB PB PC AB BC 2 2 2 3 h h CP AP 1 2 2 1 h 难点突破难点突破 第(3)问的突破口是h2h3=tanPCR=tanCAP=,结合APBBPC可证=h2 h3. 1 2 2 1 h 考点一 相似与位似的有关概念 教师专用题组 1.(2020重庆A卷,8,4分)如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点 为位似中心,在原点的同侧画DEF,使DEF与ABC成位似图形,且相似比为21,则线段DF的
18、长度 为( ) A. B.2 C.4 D.2 55 答案答案 D 由题可知:AB=1,BC=2,AC=,因为DEF与ABC成位似图形,且相似 比为21,则DF=2AC=2,故选D. 22 ABBC 22 12 5 5 2.(2019甘肃兰州,8,4分)已知ABCABC,AB=8,AB=6,则=( ) A.2 B. C.3 D. BC BC 4 3 16 9 答案答案 B 由相似三角形的性质可得=,故选B. BC BC AB AB 8 6 4 3 3.(2019重庆A卷,3,4分)如图,ABOCDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案答案 C
19、 ABOCDO,=. OB=6,OD=3,CD=2,=,AB=4,故选C. AB CD OB OD 2 AB6 3 4.(2017河北,7,3分)若ABC的每条边长增加各自的10%得ABC,则B的度数与其对应角B的度数 相比( ) A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%) D.没有改变 答案答案 D ABC的每条边长增加各自的10%即变为原来的1.1倍,得到ABC,根据相似三角形的判定 方法可得ABCABC,所以B=B,故选D. 5.(2016河北,15,2分)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角 形与原三角形的是( )
20、不相似 答案答案 C 选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三 角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23,且两边的夹角相等,所以两个三 角形也是相似的,故选C. 评析评析 本题考查相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键. 6.(2020云南昆明,14,4分)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格 点三角形.如图,ABC是格点三角形,在图中的66正方形网格中作出格点三角形ADE(不含ABC),使 得ADEABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个),这样的格点三角形一共有( )
21、A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 答案答案 C 如图的6个三角形和ABC相似,其中相似比为12的三角形有4个,相似比为2的三角形 有2个,故选C. 2 思路分析思路分析 ABC是等腰三角形,三边长分别为2,2,2,所以新的三角形也是等腰三角形,观察图 形,由三角形的中位线,易得有4个和ABC相似比为12的三角形;由BC=2,可以得到2个和ABC相 似比为2的三角形. 552 2 2 7.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,=,则= . OE OA 3 5 FG BC 答案答案 3 5 解析解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似, O
22、EFOAB,OFGOBC, =,=. OF OB OE OA 3 5 FG BC OF OB 3 5 考点二 相似三角形的性质与判定 1.(2018新疆乌鲁木齐,7,4分)如图,在ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,则BEF与DCB的面积 比为( ) A. B. C. D. 1 3 1 4 1 5 1 6 答案答案 D 四边形ABCD是平行四边形,E是AB的中点, =, =,=,=. EF CF BE DC 1 2 BEF DCF S S 1 4 BEF BCF S S 1 2 BEF DCB S S 1 6 2.(2017四川绵阳,6,3分)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物
23、理学中平面镜成像的原理.她拿出 随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗 杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距旗 杆底部D的距离为4 m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4 cm, 则旗杆DE的高度等于( ) A.10 m B.12 m C.12.4 m D.12.32 m 答案答案 B 由题意可得ACB=ECD,ABC=EDC, ABCEDC, =,=,ED=12 m,故选B. ED AB CD BC1.54-0.04 ED4 0.5 3
24、.(2018吉林,12,3分)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,B=C=90.测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求得河宽AB= m. 答案答案 100 解析解析 易知ABDECD,=,又BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,AB=100 m. BD CD AB EC 4.(2020吉林,13,3分)如图,在ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.若ADE的面积为,则四边形DBCE 的面积为 . 1 2 答案答案 3 2 解析解析 D,E分别是边AB,AC的中点,DE是ABC的中位线, DEBC,DE=BC,ADEABC,=. SADE=,SABC=
25、2,四边形DBCE的面积为2-=. 1 2 ADE ABC S S 2 2 DE BC 1 4 1 2 1 2 3 2 5.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB=,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连 接BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH= . 7 答案答案 1 3 解析解析 延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE, BHD=60,BHE是等边三角形,BH=BE=HE,BEH=60, ABC是等边三角形,AB=BC,ABC=60,ABH=CBE,ABHCBE,BEC=BHA= 120,HEC=60, CHAD,CHE=90,设BH=x(x
26、0),则HE=x,CH=x, 过点B作BGHE于G,则BG=x,EG=,BGD=CHD=90,又BDG=CDH,BDGCDH, 3 3 22 x =, BC=,CD= ,又DH=GH=HE=,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即+(x)2=, 解得x=1, DH=. BD CD BG CH DG DH 1 2 7 2 3 7 2 3 2 3 1 23 x 2 3 x 3 2 2 7 3 1 3 6.(2017四川绵阳,18,3分)如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC 的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM=AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若
27、AC=2,AMH的面积是 ,则的值是 . 1 3 1 12 1 tanACH 答案答案 8- 15 解析解析 过H作HGAC于点G,如图. AF平分EAC,EAF=CAF. DEBF,EAF=AFC, CAF=AFC,CF=CA=2. AM=AF, AMMF=12. 1 3 DEBF, =, AH=1,SAHC=3SAHM=, 2GH=, GH=, 在RtAHG中,AG=, GC=AC-AG=2-=, =8-. AH CF HM MC AM MF 1 2 1 4 1 2 1 4 1 4 22 -AHGH 15 4 15 4 8- 15 4 1 tanACH GC GH 15 7.(2018湖北
28、武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB的值. 2 5 5 3 5 AD AC 2 5 解析解析 (1)证明:M=N=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N, 则PMNAPB. =tanPAC=,设
29、PN=2t,则AB=t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BP BC,(t)2=BP (BP+4t), BP=t,BC=5t,tan C=. PN AB PM AP 2 5 5 5 5 5 5 (3)在RtABC中,sinBAC=, tanBAC=. 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, =, 同(1)的方法得,ABGBCH, BC AC 3 5 BC AB 3 4 GH EG AC AD 5 2 =, 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=
30、BG+BH=4m+3n, AB=AE,AGBE,EG=BG=4m, =,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB=. BG CH AG BH AB BC 4 3 GH EG 43 4 mn m 5 2 CH EH 3 14 8.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河 对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖 起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线. 已知:CBAD,EDA
31、D,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图所示. 请根据相关测量信息,求河宽AB. 解析解析 CBAD,EDAD, ABC=ADE=90. BAC=DAE, ABCADE,(3分) =.(5分) BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m, =, AB=17 m. 河宽AB为17 m.(7分) AB AD BC DE 8.5 AB AB 1 1.5 9.(2018四川资阳,23,11分)已知:如图,在RtABC中,ACB=90,点M是斜边AB的中点,MDBC,且MD= CM,DEAB于点E,连接AD、CD. (1)求证:MEDBCA; (2)求证:AMDCM
32、D; (3)设MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2=S1时,求cosABC的值. 17 5 解析解析 (1)证明:MDBC,DME=CBA, ACB=MED=90,MEDBCA. (2)证明:ACB=90,点M是斜边AB的中点, MB=MC=AM,MCB=MBC, DMB=MBC,MCB=DMB=MBC, AMD=180-DMB,CMD=180-MCB-MBC+DMB=180-MBC, AMD=CMD, 在AMD与CMD中, AMDCMD(SAS). (3)MD=CM,AM=MC=MD=MB,MD=AB. 由(1)可知MEDBCA,=, , , , MDMD AMDCMD A
33、MCM 1 2 1 ACB S S 2 MD AB 1 4 SACB=4S1, CM是ACB斜边AB上的中线,SMCB=SACB=2S1, SEBD=S2-SMCB-S1=S1,=, =,=, 设ME=5x,则EB=2x,MB=7x,AB=2MB=14x, =,即=,BC=10 x, cosABC=. 1 2 2 5 1 EBD S S ME EB 1 1 2 5 S S ME EB ME EB 5 2 MD AB ME BC 7 14 x x 5x BC BC AB 10 14 x x 5 7 评析评析 本题考查相似三角形的综合问题,涉及直角三角形斜边中线的性质,全等三角形的性质与判定,相
34、似三角形的判定与性质,三角形面积的比,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高. 10.(2017湖北武汉,23,10分)已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线相交于点E. (1)如图1,若ABC=ADC=90,求证ED EA=EC EB; (2)如图2,若ABC=120,cosADC=,CD=5,AB=12,CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积; (3)如图3,另一组对边AB,DC的延长线相交于点F,若cosABC=cosADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出 AD的长(用含n的式子表示). 3 5 3 5 解析解析 (1)证明:ADC=90,EDC+ADC=180, EDC
35、=90, 又ABC=90,EDC=ABC, 又E为公共角,EDCEBA, =,ED EA=EC EB. (2)过点C作CFAD,交AE于点F,过点A作AGEB,交EB的延长线于点G. 在RtCDF中,cosFDC=,=, ED EB EC EA 3 5 DF CD 3 5 又CD=5,DF=3,CF=4, 又SCDE=6,ED CF=6,ED=3,EF=ED+DF=6. ABC=120,G=90,G+BAG=ABC, BAG=30, 在RtABG中,BG=AB=6,AG=6, CFAD,AGEB,EFC=G=90, 又E为公共角,EFCEGA, =,=,EG=9,BE=EG-BG=9-6, S
36、四边形ABCD=SABE-SCED =BE AG-6=(9-6)6-6 =75-18. 22 -CD DF 1 2 12 CF 1 2 22 -AB BG3 EF EG CF AG 6 EG 4 6 3 33 1 2 1 2 33 3 (3)AD=. 详解:过点C作CHAD,交AE于点H,则CH=4,DH=3, EH=n+3,tan E=. 过点A作AGDF,交DF于点G, 设AD=5a,则DG=3a,AG=4a, FG=FD-DG=5+n-3a, 由CHAD,AGDF,E=F知AFGCEH, 5(5) 6 n n 4 3n =,=, =, a=, AD=. AG CH FG EH AG FG
37、 CH EH 4 5-3 a na 4 3n 5 6 n n 5(5) 6 n n 时间:40分钟 分值:45分 A组 20182020年模拟基础题组 一、选择题（每小题4分，共8分） 1.(2019安徽合肥四十五中第六次段考,4)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3)、B(6,0),以原点O为位似中 心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为( ) A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1) 1 3 答案答案 A 由相似比可得OD=OB=2,CD=AB=1,所以点C的坐标为(2,1),故选A. 1 3 1 3 2.(2020安徽中考模拟押题卷
38、一,7)九章算术中记载:“今有邑方不知大小,各开中门,出北门四十步有 木,出西门八百一十步见木,问:邑方几何?”译文:如图,一座正方形城池北、西边正中A,C处各开一道门, 从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处,若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到 此树,则正方形城池的边长为( ) A.360步 B.270步 C.180步 D.90步 答案答案 A 设正方形城池的边长为x步,则AE=CE=x步, AECD, BEA=EDC,又BAE=ECD=90,RtBEARtEDC, =,即=, x=360或x=-360(舍), 经检验,x=360是分式方程的解. 正方形城池的边长为36
39、0步,故选A. 1 2 AB EC AE CD 40 1 2 x 1 2 810 x 思路分析思路分析 先根据平行线的性质得出BEA=EDC,得RtBEARtEDC,再根据相似三角形的性质 得=,最后求解即可. AB EC AE CD 3.(2020安徽阜阳临泉第二次调研,9)两个相似三角形的周长之比等于14,那么它们的面积之比等于 . 二、填空题(共5分) 答案答案 116 解析解析 两个相似三角形的周长之比为14, 这两个相似三角形的边长之比为14, 则它们的面积之比为=. 2 1 4 1 16 4.(2020安徽安庆一模,17)如图,在平面直角坐标系中,给出了格点ABC(顶点是网格线的交
40、点),已知点B 的坐标为(1,2). (1)画出ABC关于y轴对称的A1B1C1,并写出点B1的坐标; (2)在给定的网格中,以点O为位似中心,将A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到A2B2C2,画出 A2B2C2;并写出点B2的坐标. 三、解答题(共32分) 解析解析 (1)如图所示,A1B1C1即为所求作.B1(-1,2). (2)如图所示,A2B2C2即为所求作.B2(2,-4). 5.(2019安徽淮南西部第五次联考,18)如图,在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1)、 B(-3,2)、C(-1,4). (1)以原点O为位似中心,在第二象限内画出ABC放
41、大为原来的2倍后的A1B1C1; (2)画出ABC绕C点逆时针旋转90后得到的A2B2C. 解析解析 (1)如图,A1B1C1为所作.(4分) (2)如图,A2B2C为所作.(8分) 6.(2019安徽蚌埠期末联考,17)如图,在边长为1的小正方形网格中,已知A,B,C三点的坐标分别是A(1,0),B (2,-1),C(3,1). (1)请在网格中画出平面直角坐标系; (2)以原点O为位似中心,在给出的网格中将ABC放大2倍,画出放大后的ABC; (3)写出ABC各顶点的坐标:A ,B ,C ; (4)求ABC的面积. 解析解析 (1)(2)如图所示. (3分) (3)由图可知:A(-2,0)
42、,B(-4,2),C(-6,-2).(6分) (4)SABC=3(2+2)=6.(8分) 1 2 7.(2020安徽合肥瑶海一模,20)如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,点P是边AB上一点. (1)若PADCBP,请用尺规作图,作出满足条件的所有点P(保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下,若AB=8,AD=3,BC=4,求AP的长. 解析解析 (1)如图所示,点P1和点P2即为所求作. (2)PADCBP, =,即=,AP2-8AP+12=0,(AP-2)(AP-6)=0, 解得AP=2或AP=6. AP的长为2或6. AD BP AP BC 3 8-AP4 AP B组 2
43、0182020年模拟提升题组 时间:50分钟 分值:70分 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.(2020安徽名校三模,9)如图,ABC中,AB=AC=2,点D、E都在边BC上,且BD=DE=EC,过点C作CFAB 交AE延长线于点F,连接FD并延长交AB于点G,若ADG=B,则CD的长是( ) A. B. C. D. 3 2 32 6 2 答案答案 C 如图,BD=DE=EC,BE=2CE, CFAB,ABEFCE , ABCF=BECE=2,AB=2FC,又AB=AC=2, CF=1,B=5, 1=B, B+2=1+2=5+6,2=6,又2=3,3=6, CFAB,4=B,4=5,AC
44、DDCF, CDCF=ACCD,即CD2=AC CF=2,CD=,CD的长是. 22 2.(2020安徽安庆宿松一模,7)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OA=2,OB=OD=3,OC=4.5, 那么下列结论中,正确的是( ) A.OAD=OBC B.= C.= D.= AB CD 1 2 AOB COD S S 1 2 AOD BOC S S 1 9 答案答案 A OA=2,OB=OD=3,OC=4.5,=, AOD=BOC,OADOBC,OAD=OBC,=,故A正确,D错误; 同理可得AOBDOC, =,=,故B、C错误,故选A. OA OB OD OC 2 3 AOD
45、BOC S S 2 OA OB 4 9 AB CD AO OD 2 3 AOB COD S S 4 9 思路分析思路分析 由已知条件可证明OADOBC,AOBDOC,根据相似三角形的性质即可判断各选 项的结论是否正确. 3.(2019安徽淮南寿县中学第5次月考,5)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=8,AD=3,BC= 4,点P为AB边上一动点,若PAD与PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案答案 B 如图所示,连接PD,PC.因为PAD=PBC=90,且PAD与PBC是相似三角形,所以PDA =PCB或PDA=CPB.
46、当PDA=PCB时,在PAD和PBC中,PAD=PBC=90,PDA= PCB,所以PDAPCB,根据相似三角形的性质,可得=,即=,整理得,4PA=24-3PA,解得 PA=.当PDA=CPB时,在DAP和PBC中,PAD=PBC=90,PDA=CPB,所以DAP PBC,根据相似三角形的性质,可得=,即=,整理得,PA2-8PA+12=0,因式分解可得(PA-2) (PA-6)=0,解得PA=2或PA=6.综上所述,满足条件的点P的个数为3,故选B. PA PB AD BC8- PA PA 3 4 24 7 DA PB PA CB 3 8-PA4 PA 思路分析思路分析 连接PD、PC,因
47、为两个相似三角形的对应点没有确定,所以有两种情况:当PDA=PCB 时,PDAPCB;当PDA=CPB时,DAPPBC.根据相似比求出PA. 4.(2020安徽亳州校际联考二模,14)如图,在ABC中,C=90,AC=8,BC=16,点D在边BC上,沿DE将 ABC折叠,使点B与点A重合,连接AD,点P在线段AD上,当点P到ABC的直角边距离等于5时,AP的长为 . 二、填空题(共5分) 答案答案 或 25 3 15 4 解析解析 设BD=x,由折叠知AD=BD=x,CD=16-x, 在RtACD中,由勾股定理得,x2=82+(16-x)2, 解得x=10,BD=10,CD=6. 分两种情况:点P到AC边的距离等于5时,过点P作PFAC于点F, PF=5,PFCD,APFADC,=,即=,AP=; 当点P到BC边的距离等于5时,过点P作PGBC于点G, AP AD PF DC10 AP5 6 25 3 PG=5,PGAC,DPGDAC,=,即=,DP=, AP=10-=. 综上,AP的长为或. DP DA PG A
