1、专题专题 06 有理数的计算有理数的计算 阅读与思考阅读与思考 在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后， 数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有 很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代 数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善 于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度 有理数的计算常用的技巧与方法有： 1利用运算律 2以符代数 3裂项相消 4分解相约
2、5巧用公式等 例题与求解例题与求解 【例【例 1 1】 已知 m，n 互为相反数，a，b 互为负倒数，x 的绝对值等于 3，则 2002200123 )()()1 ( -abxnmxabnmx+的值等于_ （湖北省黄冈市竞赛试题） 解题思路： 解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算 【例【例2 2】 】 已知整数dcba,满足25abcd，且dcba，那么dcba等于 （） A 0 B 10 C2 D12 （江苏省竞赛试题） 解题思路： 解题思路：解题的关键是把 25 表示成 4 个不同的整数的积的形式 【例【例3 3】 】 计算： （1）; 100321 1 321 1 2
3、1 1 1 （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2） 1998432 77777 ； （江苏省泰州市奥校竞赛试题） （3） 90 1 9 72 71 8 56 1 7 42 41 6 30 1 5 20 19 4 12 1 3 6 5 2 2 1 1 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般 情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是 7，考虑用字母表示和式； （3）中裂项相消，简化计算 【例【例4 4】 】 nm, 都是正整数，并且) 1 1)( 1 1 () 3 1 1)( 3 1 1)( 2 1 1)( 2 1
4、 1 ( mm A ， ) 1 1)( 1 1 () 3 1 1)( 3 1 1)( 2 1 1)( 2 1 1 ( nn B (1)证明： m m A 2 1 ， n n B 2 1 ； (2)若 26 1 BA，求m和n的值 （“华罗庚金杯”少年邀请赛试题） 解题思路： 解题思路：（1）对题中已知式子进行变形（2）把（1）中证明得到的式子代入，再 具体分析求解 【例【例5 5】 】 在数学活动中，小明为了求 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 432 的值（结果用n表示）， 设计了如图，所示的几何图形 （1）请你用这个几何图形求 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 432
5、的值 （2）请你用图，在设计一个能求 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 432 的值的几何图形 （辽宁省大连市中考试题） 解题思路： 解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键 【例【例 6 6】 】 记，令 n SSS T n n 21 称 n T为 n aaa , 21 这列数的“理想数”，已知 50021 ,aaa 的“理想数”为2004求 50021 , 8aaa 的“理想数” （安徽省中考试题） 解题思路： 解题思路：根据题意可以理解为 n S为各项和， n T为各项和的和乘以 n 1 能力训练能力训练 A级级 1若 yx, 互为相反数， nm,
6、互为倒数1=a， 201220112 )()(mnyxa的值为_ _ （湖北省武汉市调考试题） 2若 2 1) 1(2 2) 1(1 ) 1( 3 2 M，则M=_ （“希望杯”邀请赛试题） 3计算：（1） 19991997 1 97 1 75 1 53 1 _； （2） 2 434 3 1 622825. 0_ 4将 1997 减去它的 2 1 ，再减去余下的 3 1 ，再减去余下的 4 1 ，再减去余下的 5 1 ， ，依 次类推，直至最后减去余下的 1997 1 ，最后的答案是_ （“祖冲之杯”邀请赛试题） 5右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着 1，
7、2，3，4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是_ （湖北省仙桃市中考试题） 6如果有理数cba,满足关系式cba0，那么代数式 32 - cab acbc 的值（） A 必为正数 B必为负数 C可正可负 D可能为 0 （江苏省竞赛试题） 7已知有理数 zyx, 两两不相等，则 zy x - y- ， x-z z-y ， y- - x xz 中负数的个数是（） A 1个 B 2 个 C 3 个 D0个或2 个 （重庆市竞赛试题） 8若a与)- ( b互为相反数，则 ab ba 1997 991898 22 + （） A 0 B 1 C 1 D1997 （重庆市竞赛试题） 9如果(
8、)-1 2001 =+ba ，() 1- 2002 =ba ，则 20032003 ba+ 的值是（） A2 B 1 C 0 D-1 （“希望杯”邀请赛试题） 10若dcba,是互为不相等的整数，且9=abcd ，则dcba+等于（） A0 B 4 C 8 D无法确定 11 把 5 1 1，3.7， 2 1 6，2.9，4.6 分别填在图中五个 内，再在每个中填上和它相连的 三个 中的数的平均数，再把三个中的平均数填在中找出一种填法，使中的数尽 可能小，并求这个数 （“华罗庚金杯”少年邀请赛试题） 12已知cba,都不等于零，且 abc abc c c b b a a +的最大值为m，最小值为
9、n，求 )1( 1998 +nm 的值 B 级级 1计算：) 98 97 98 3 98 1 () 6 5 6 3 6 1 () 4 3 4 1 ( 2 1 +_ （“五羊杯”竞赛试题） 2计算： 1098765432 22-2-2-2-2-2-2-2-2+ _ （“希望杯”邀请赛试题） 3计算： 2 ) 931862931 42842421 ( nnn nnn + + _ 4据美国詹姆斯马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到 2020 年甚至要达每 73 翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识， 而是让一切人学会学习” 已知 2000 年底，人类知识总
10、量a，假入从 2000 年底 2009 年底每 3 年翻一翻；从 2009 年底到2019 年底每1 年翻一番；2020年是每 73天翻一翻 （1）2009年底人类知识总量是：_； （2）2019年底人类知识总量是：_； （3）2020年按 365天计算，2020 年底类知识总量会是_ （北京市顺义区中考试题） 5你能比较 2002 2001 和 2001 2002 的大小吗？ 为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较 1+n n 与 n n) 1(+的大小（n 是 自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3中发现规律，经归纳、猜想得出结论 （1）通过计算，比较下列各组中两数的大
11、小：（在横线上填写“”“=”“”） 12 2_1， 23 3_2； 34 4_3； 45 5_4； 56 6_5 （2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出 1+n n 与 n n) 1(+的大小关系是_ _； （3）根据以上归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小 2002 2001 _ 2001 2002 ： （福建省龙岩市中考试题） 6有 2009 个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和若 第一个数是1，第二个数是1，则这个2009 个数的和是（ ） A 2 B1 C0 D2 （全国初中数学竞赛海南省试题） 7如果 1 3 3 2 2 1 1 =+ t
12、 t t t t t ，那么 321 321 tt t tt t 的值为（） A 1 B1 C1 D不确定 （河北省竞赛试题） 8三进位制数 201 可用十进制数表示为19109 213032 12 =+=+ ；二进制数 1011 可用十进制法表示为111208121 2021 123 =+=+ 前者按 3 的幂降幂 排列，后者按 2 的幂降幂排列，现有三进位制数221=a，二进位制数10111=b，则a与 b的大小关系为（ ） Aba Bba= Cba+，则（ ） Adcba+11- B 2222 dcba+ C 3333 dcba+ D 4444 dcba+ （“希望杯”邀请赛试题） 10
13、有 1998 个互不相等的有理数，每 1997 个的和都是分母为 3998 的既约真分数，则这个 1998 个有理数的和为（） A 1997 999 B 1997 997 C 1998 998 D 1998 999 （学习报公开赛试题） 11观测下列各式： 223 21 4 1 11=， 2233 32 4 1 921=+， 22333 43 4 1 36321=+ 223333 54 4 1 1004321=+ 回答下面的问题： （1）猜想 33333 ) 1-(321nn+_（直接写出你的结果） （2）利用你得到的（1）中的结论，计算 33333 10099321+ 的值 （3）计算 3333 100991211+ 的值； 33333 10098642+ 的值
