1、 专题专题 16 不等式（组）不等式（组） 阅读与思考阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系 的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主 要体现在： 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似， 但解题时要注意两者之间的重要区别； 等式两边都乘 （或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但 要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减” 式的加工，
2、但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求 公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想” ，而解不等式组时只能“分而治之”. 例题与求解例题与求解 【例【例 1】已知关于x的不等式组 xt x x x 2 3 5 3 52 恰好有 5 个整数解，则 t 的取值范围是（ ） A、 2 11 6t B、 2 11 6t C、 2 11 6t D、 2 11 6t (2013 年全国初中数学竞赛广东省试题） 解题思路：解题思路：把x的解集用含 t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析 t 的取值范围. 【 例【 例 2 】 如 果 关 于x的 不 等 式 7
3、10 05)2(xnmxnm的解集为那 么 关 于x的 不 等 式 )0(mnmx的解集为 . （黑龙江省哈尔滨市竞赛试题） 解题思路：解题思路：从已知条件出发，解关于x的不等式，求出 m，n 的值或 m，n 的关系. 【例【例 3】已知方程组 6 2 ymx yx 若方程组有非负整数解，求正整数 m 的值. （天津市竞赛试题） 解题思路解题思路：解关于x，y 的方程组，建立关于 m 的不等式组，求出 m 的取值范围. 【例【例 4】已知三个非负数 a，b，c 满足 3a2bc5 和 2ab3c1，若 m3ab7c，求 m 的最大 值和最小值. （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：本例综合
4、了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示 m，通 过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求 m 的最大值与最小值. 【例【例 6】设 765, 4321 ,xxxxxxx是自然数， 7654321 xxxxxxx， 654543432321 ,xxxxxxxxxxxx， 2010, 7654321765 xxxxxxxxxx又，求 321 xxx的最大值. （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口. 【例【例 6】已知实数 a，b 满足, 10 , 41baba且 a2b 有最大值，求 8a2003
5、b 的值. 解题思路：解题思路：解法一：已知 ab 的范围，需知b 的范围，即可知 a2b 的最大值得情形. 解法二：设 a2bm（ab）n（ab)（mn)a（mn)b 能力训练能力训练 A 级级 1、已知关于 x 的不等式 4 3 2 14 3 2 x mxxm 的解集是那么 m 的值是 （ “希望杯”邀请赛试题） 2、不等式组 52 42 bx ax 的解集是20 x，那么 ab 的值为 （湖北省武汉市竞赛试题） 3、若 ab0，ab0，ab，则bbaa,的大小关系用不等式表示为 （湖北省武汉市竞赛试题） 4、若方程组 3654 2 myx myx 的解 x，y 都是正数，则 m 的取值范
6、围 是 （河南省中考试题） 5、关于 x 的不等式xaax33的解集为3x，则 a 应满足（ ） A、a1 B、a1 C、1a D、1a (2013 年全国初中数学竞赛预赛试题） 6、适合不等式21414312xxx的 x 的取值的范围是（ ） 7、已知不等式0)2)(1(xmx的解集23x那么 m 等于（ ） A、 3 1 B、 3 1 C、3 D、3 8、已知0a，下面给出 4 个结论：01 2 a；01 2 a；1 1 1 2 a 1 1 1 2 a ，其中，一 定成立的结论有（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 （江苏省竞赛试题） 9、当 k 为何整数值时，方程组 k
7、yx yx 39 62 有正整数解？ （天津市竞赛试题） 10 、 如 果 2 1 y x 是 关 于 x ， y 的 方 程08)12( 2 byaxbyax的 解 ， 求 不 等 式 组 33 1413 xax b x ax 的解集 11、已知关于 x 的不等式组 2 03 b x ax 的整数解有且仅有 4 个：1，0，1，2 那么，适合这个不等式 组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？ （江苏省竞赛试题） B 级级 1、如果关于 x 的不等式03ax的正整数解为 1，2，3 那么a的取值范围是 （北京市”迎春杯“竞赛试题） 2、若不等式组 221 0 xx ax 有解， 则a的取值
8、范围是_. （海南省竞赛试题） 3、已知不等式03ax只有三个正整数解，那么这时正数 a 的取值范围为 . （”希望杯“邀请赛试题） 4、已知1121x则1 2 x 的取值范围为 . (“新知杯”上海市竞赛试题） 5、若正数 a，b，c 满足不等式组 bcab acba cbac 4 11 2 5 3 5 2 3 2 6 11 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A、abc B、 bca C、cab D、不确定 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 6、一共（ ）个整数 x 适合不等式99992000 xx A、10000 B、20000 C、9999 D、80000 （五羊杯“竞赛试题） 7、已知
9、 m，n 是整数，3m25n3，且 3m230，5n340，则 mn 的值是（ ） A、70 B、72 C、77 D、84 8、不等式5 xx的解集为（ ） A、 2 5 x B、 2 5 x C、 2 5 x D、 2 5 x （山东省竞赛试题） 9、31, 2 35 1 3 12 xx x x x 求已知的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题） 10、已知 x，y，z 是三个非负有理数，且满足 3x2yz5，xyz2，若 s2xyz，求 s 的取值 范围. （天津市竞赛试题） 11、求满足下列条件的最小正整数 n，对于 n 存在正整数 k 使 13 7 15 8 kn n 成立. 12、已知正整数 a，b，c 满足 abc，且1 111 cba ，试求 a，b，c 的值.
