1、 专题专题 16 16 相似三角形的性质相似三角形的性质 阅读与思考阅读与思考 相似三角形的性质有： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例； 3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4. 周长之比等于相似比； 5. 面积之比等于相似比的平方. 性质 3 主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质 5 进一步丰富了面积的有关知识，拓展 了我们研究面积问题的视角. 如图，正方形 EFGH 内接于ABC，ADBC，设BCa，ADh，试用 a、h 的代数式表示正方 形的边长. H G E FD C B A 例例题与求解题与求解 【例【例 1】如图，已知ABCD 中，过点 B 的直线
2、顺次与 AC，AD 及 CD 的延长线相交于 E，F，G， 若5BE ，2EF ，则 FG 的长是 . （ “弘晟杯”上海市竞赛试题） 解题思路解题思路：由相似三角形建立含 FG 的关系式，注意中间比的代换. G E F D C B A 【例【例 2】如图，已知ABC 中，DEGFBC，且:1:2:3AD DF FB ， 则: ADEDFGE SS 四边形 : FBCG S 四边形 （ ） （黑龙江省中考试题） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36 解题思路解题思路： ADE， AFG 都与ABC 相似， 用ABC 面积的代数式分别表示ADE、 四边形 DFG
3、E、 四边形 FBCG 的面积. G E F D C B A 【例【例 3】如图，在ABC 的内部选取一点 P，过 P 点作三条分别与ABC 的三边平行的直线，这样所得 的三个三角形 t1，t2，t3的面积分别为 4，9 和 49，求ABC 的面积. （第二届美国数学邀请赛试题） 解题思路解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑 应用相似三角形的性质. t1 t2 t3 I P HG E F D C B A 如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形） ，我们可以得到： FDP IPE PHG ABC； 1 HGIEDF BCACAB
4、 ； 2 DEFGHI BCACAB ； 2 123 () ABC Sttt . 上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心 独运，请读者给出证明. 【例【例 4】如图，ABC 中，O 是三角形内一点，满足BAOCAOCBOACO. 求证： 2 BCAC AB. （北京大学自主招生考试试题） 解题思路解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题. 设 P 是ABC 内一点，满足 PABPBCPCA，称点 P 是ABC 的布洛卡点，则有 cotcotcotcotBACABCACB. O C B A 【例【例 5】如图，在梯形 ABCD 中，ADBC
5、，3AD ，5DC ，4 2AB ，45B. 动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动； 动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每 秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动，设运动的时间为 t 秒. （1）求 BC 的长； （2）当 MNAB 时，求 t 的值； （3）试探究：t 为何值时，MNC 为等腰三角形. （济南市中考试题） 解题思路解题思路：对于（2） ，由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对 于（3） ，需要分情况讨论. 在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：勾股定理；相似三角形面积比等于相 似比
6、的平方. N M D C B A 【例【例 6】 设A1B1C1的面积为 S1，A2B2C2的面积为 S2 12 ()SS，当A1B1C1A2B2C2，且 1 2 0.30.4 S S 时，则称A1B1C1与A2B2C2有一定的“全等度”. 如图，已知梯形 ABCD，ADBC， 30B，60BCD，连接 AC. （厦门市中考试题） （1）若 AD=DC，求证：DAC 与ABC 有一定的“全等度” ； （2）你认为：DAC 与ABC 有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举 出一个反例说明. 解题思路解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断
7、，并举例 说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障. E D C B A 能力训练能力训练 A 级级 1. 如图，在ABC 与BED 中，若 5 3 ABBCAC BDBEDE ，且ABC 与BED 的周长之差为 10cm， 则ABC 的周长为 cm. F E C A D B E C A D B E D C B A （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 2. 如图， ABC 中，:1:2CE EB ， DEAC. 若ABC 的面积为 S， 则ADE 的面积为 . （苏州市中考试题） 3. 如图， 在ABC 中， DEBC， DE， CD 交于 F， 且3
8、 E F CF E D SS ， 则: A D EA B C SS . 4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为 3cm 和 4cm，则此正方形的边长为 cm. （武汉市中考试题） 5. 如图，ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 是 AD 的中点，EF 交 AC 于点 O，FE 的延长线交 CB 的 延长线于 G 点，那么: AOFCOG SS （ ） A.1:4 B.1:9 C.2:5 D.1:2 O N M F M G O F E C A D B E C AD B E D C BA （第 5 题） （第 6 题） （第 7 题） 6. 如图，直
9、角梯形 ABCD 中，90BCD，ADBC，BC=CD，E 为梯形内一点，且90BEC. 将BEC 绕点 C 旋转 90使 BC 与 DC 重合， 得到DCF， 连接 EF 交 CD 于点 M. 已知5BC ，3CF ， 则:DM MC的值为（ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 （荆州市中考试题） 7. 如图， ABC 中，DEBC，BE 与 CD 交于点 O，AO 与 DE，BC 分别交于点 N，M，则下列结 论错误的是（ ） A. ANON AMOM B. 2 2 ONE OMB SAN SAM C. ANOE AMOC D. 2 2 ADE ABC SON OMS 8.
10、 如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，N 点在 CD 上. 若BMNMBC，则 CN ND 的值 为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 2 5 N M C A D B D CB A （第 8 题） （第 9 题） 9. 如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，ACDB . 求证： 2 2 ABBC CDAD . 10. 如图 1，在 RtABC 中，90BAC，ADBC 于点 D，点 O 是 AC 边上一点，连接 BO 交 AD 于 F，OEOB 交 BC 于点 E. A B C D E F OO F E D C B A 图 1 图 2 （1）求证：ABF
11、COE； （2）当 O 为 AC 边中点，2 AC AB 时，如图 2，求 OF OE 的值； （3）当 O 为 AC 边中点， AC n AB 时，请直接写出 OF OE 的值. （武汉市中考试题） 11. 如图，ABC 中，4AB ，D 在 AB 边上移动（不与 A，B 重合） ，DEBC 交 AC 于 E，连接 CD. 设 ABC SS ， 1DEC SS . （1）当 D 为 AB 中点时，求 1: SS的值； （2）当ADx， 1 S y S ，用 x 的代数式表示 y，并求 x 的取值范围； （3）是否存在点 D，使得 1 1 4 SS？若存在，求出 D 点位置；若不存在，请说明理
12、由. （福州市中考试题） E C A D B 12. 在等腰ABC 中，5ABAC，6BC . 动点 M，N 分别在两腰 AB，AC 上（M 不与 A，B 重合，N 不与 A，C 重合） ，且 MNBC. 将AMN 沿 MN 所在的直线折叠，使点 A 的对应点为 P . （1）当 MN 为何值时，点 P 恰好落在 BC 上； （2）设MNx，MNP 与等腰ABC 重叠部分的面积为 y，试写出 y 与 x 的函数关系式. 当 x 为何值 时，y 的值最大，最大值是多少？ （宁夏省中考试题） N P M C A B B 级级 1. 如图， 在ABC 中， DEFGBC， GIEFAB. 若ADE，
13、 EFG， GIC 的面积分别为 20cm2， 45 cm2，80 cm2，则ABC 的面积为 . A B C D P I F G E C A D B H （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，梯形 ABCD 中，ADBC，90ABC，对角线 ACBD 于 P 点，已知:3:4AD BC ， 则:BD AC的值是 . （绍兴市中考试题） 3. 如图， 正方形OPQR内接于ABC， 已知AOR， BOP和CRQ的面积分别是 1 1S ， 2 3S 和 3 1S ， 那么正方形 OPQR 的边长是（ ） （全国初中数学联赛试题） A.2 B.3 C.2 D.3 3 2 1 O R Q A B
14、C DP F E C A D B E C A B （第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） 4. 如图，梯形 ABCD 中，ABCD，且3CDAB，EFCD，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分， 则:AE ED （ ） （ “希望杯”邀请赛试题） A.2 B. 3 2 C. 51 2 D. 51 2 5. 如图，ABC 中，D，E 分别是边 BC，AB 上的点，且123 . 如果ABC，EBD， ADC 的周长依次是 m，m1，m2，证明： 12 5 4 mm m . （全国初中数学联赛试题） 6. 如图，P 是ABC 内的一点，等长的三条线段 DE，FG 和 HI 分别平行于
15、边 AB，BC 和 CA，并 且12AB ，8BC ，6CA. 求证：:1:5:3AI IF FB . （江苏省竞赛试题） P SR QIPF G C A D B E C A H B （第 6 题） （第 7 题） 7. 如图，锐角ABC 中，PQRS 是ABC 的内接矩形，且 ABCPQRS SnS 矩形 ，其中 n 为不小于 3 的 自然数. 求证： BS AB 为无理数. （上海市竞赛试题） 8. 如图，已知直线 l1的解析式为36yx，直线 l1与 x 轴，y 轴分别相交于 A，B 两点，直线 l2 经过 B，C 两点，点 C 的坐标为(8,0). 又已知点 P 在 x 轴上从点 A
16、向点 C 移动，点 Q 在直线 l2上从点 C 向点 B 移动，点 P，Q 同时出发，且移动的速度都为每秒 1 个单位长度. 设移动时间为 t 秒. （1）求直线 l2的解析式； （2）设PCQ 的面积为 S，请求出 S 关于 t 的函数关系式； （3）试探究：当 t 为何值时，PCQ 为等腰三角形？ （山西省中考试题） y x Q OCP B A 9. 如图，设ABC 三边上的 内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角 形的另两边上）的面积相等. 求证：ABC 为正三角形. （江苏省竞赛试题） FG ED CB A 10. 在矩形 ABCD 和矩形 CEFG 中，已知 A
17、DCG k ABCE ，连接 DE 与 AF 交于点 P，连接 CP. （1）如图 1，当1k 时，点 B，C，E 三点在同一条直线上，求 AF DE 的值. （2）如图 2，当1k 时，将图 1 中的矩形 CEFG 绕点 C 顺时针旋转一个角度. 求 AF DE 的值； 求证：CPAF. （3）如图 3，当1k 时，请直接写出用含 k 的式子表示的 AF DE 的值. AD B C E F G P G A B C P D E F F E D P C B A G 图 1 图 2 图 3 11. 在直角梯形 ABCD 中，CBOA，90COA，3CB ，6OA，3 5BA. 分别以 OA， OC 边所在的直线为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求点 B 的坐标； （2）已知 D，E 分别为线段 OC，OB 上的点，5OD ，2OEEB，直线 DE 交 x 轴于点 F，求直 线 DE 的解析式； （3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N，使以 O、D、 M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. （山西省中考试题） F E D y x M O C N B A
