1、 专题专题 02 乘法公式乘法公式 阅读与思考阅读与思考 乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数 式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意： 1熟悉每个公式的结构特征； 2正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3逆用 即将公式反过来逆向使用； 4变用 即能将公式变换形式使用； 5活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 1，2，3，98 共 98 个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 （全国初中数字联赛试题） 解题思路：解题思
2、路：因 22 ()()abab ab，而abab的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差 的数，要么为奇数，要么能被 4 整除 【例【例 2】 （1）已知, a b满足等式 22 20,4(2)xabyba，则, x y的大小关系是( ) Axy Bxy Cxy Dxy （山西省太原市竞赛试题） （2）已知, ,a b c满足 222 27,21,617abbcca ，则abc 的值等于（ ） A2 B3 C4 D5 （河北省竞赛试题） 解题思路：解题思路：对于（1） ，作差比较, x y的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性； 对于（2） ，由条件等式联想到完全平方式，解题的
3、切入点是整体考虑 【例【例 3】计算下列各题： （1） 248 6(7 1)(71)(71)(71) 1； （天津市竞赛试题） （2） 22 1.234 50.765 52.469 0.765 5； （ “希望杯”邀请赛试题） （3） 22222222 (13599 )(246100 ) 解题思路：解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形， 使之符合乘法公式的结构特征 【例【例 4】设 22 1,2abab，求 77 ab的值 （西安市竞赛试题） 解题思路：解题思路：由常用公式不能直接求出 77 ab的结构，必须把 77 ab表示相关多项式的运算形
4、式，而 这些多项式的值由常用公式易求出其结果 【例【例 5】观察： 2 2 2 1 2 3 4 15 ; 2 3 4 5 111 ; 3 4 5 6 119 ; （1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； （2）根据（1） ，计算2000 2001 2002 2003 1的结果（用一个最简式子表示） （黄冈市竞赛试题） 解题思路：解题思路：从特殊情况入手，观察找规律 【例【例 6 6】设, ,a b c满足 222333 1,2,3,abcabcabc 求： （1）abc的值； （2） 444 abc的值 （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运
5、用 能力训练能力训练 A 级级 1已知 2 2(3)9xmx是一个多项式的平方，则m （广东省中考试题） 2数 48 31能被 30 以内的两位偶数整除的是 3已知 222 246140,xyzxyz那么xyz （天津市竞赛试题） 4若 33 10,100,xyxy则 22 xy 5已知, , ,a b x y满足3,5,axbyaxby则 2222 ()()abxy的值为 （河北省竞赛试题） 6若n满足 22 (2004)(2005)1,nn则(2005)(2004)n n等于 7 2222 1111 (1)(1)(1)(1) 2319992000 等于（ ） A 1999 2000 B 2
6、001 2000 C 1999 4000 D 2001 4000 8若 2222 10276,251MabaNaba，则MN的值是（ ） A正数 B负数 C非负数 D可正可负 9若 22 2,4,xyxy则 19921992 xy的值是（ ） A4 B19922 C21992 D41992 （ “希望杯”邀请赛试题） 10某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个 8 列的长方形队列如果原队列中增加 120 人，就能 组成一个正方形队列；如果原队列中减少 120 人，也能组成一个正方形队列问原长方形队列有多少 名同学？ （ “CASIO”杯全国初中数学竞赛试题） 11设 93 10382a ，
7、证明：a是 37 的倍数 （ “希望杯”邀请赛试题） 12观察下面各式的规律： 2222 2222 2222 (1 2 1)1(1 2)2 ; (2 3 1)2(2 3)3 ; (3 4 1)3(3 4)4 ; 写出第 2003 行和第n行的式子，并证明你的结论 B 级 1()nab展开式中的系数，当n1，2，3时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图） ，借助“杨辉三角” 求出 9 01. 1的值为 （ 学习报公开赛试题） 2如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果 13，9，3 的对面的数分别为, ,a b c，则 222 abcabbcac的值为 （天
8、津市竞赛试题） 3已知, ,x y z满足等式 2 5,9,xyzxyy则234xyz 4一个正整数，若分别加上 100 与 168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 （全国初中数学联赛试题） 5已知19992000,19992001,19992002axbxcx，则多项式 222 abcabbcac的 值为（ ） A0 B1 C2 D3 6把 2009 表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ） A16 种 B14 种 C12 种 D10 种 （北京市竞赛试题） 7若正整数, x y满足 22 64xy，则这样的正整数对( , )x y的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 （山
9、东省竞赛试题） 8已知3ab，则 33 9abab的值是（ ） A3 B9 C27 D81 （ “希望杯”邀请赛试题） 9满足等式 22 1954mn的整数对( , )m n是否存在？若存在，求出( , )m n的值；若不存在，说明理由 3 9 13 第 2 题图 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 10数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方 数，求所有这样的两位数 （天津市竞赛试题） 11若xyab，且 2222 xyab， 求证： 2003200320032003 xyab 12如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如 222222 420 ,1242 ,2064 ,因此 4，12，20 这三个数都是神秘数 （1）28 和 2012 这两个数是神秘数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为22k 和2k（其中k取非负整数） ，由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数 吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）
