1、 专题专题 11 设元的技巧设元的技巧 阅读与思考阅读与思考 应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一应用题联系实际，反映现实生活 中的数量关系，通过解应用题可以培养运用数学知识去分析和解决问题的能力 列方程解应用题，一般有审题、设元、布列方程、解方程、作答等几个步骤恰当地设元是列方 程解应用题的关键步骤之一，常见的设元技巧有： 1直接设元 题目要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量为未知数 2间接设元 即所没的不是所求的，适当地选择与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题 意的数量关系，从而列出方程 3辅助设元 有些应用题中隐含一些未
2、知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在， 则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是辅助设元 4整体设元 有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这 一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这就是整体设元 例题与求解例题与求解 【例【例 1】某编辑用 09 这 10 个数字给一本书的各页标上页码，若共写了 636 个数字，则该书有 _页. 解题思路：解题思路：依题意可知该书页码的数字组成有三种：一个数字、两个数字、三个数字.一共有 636 个数字，可设直接未知数，列方程求解 找出能够表示应用题全部含义的
3、一个相等关系是列方程解应用题又一关键寻找相等关系常用 方法有： 从关键词中寻找相等关系； 利用基本公式寻找相等关系； 利用不变量寻找相等关系； 对一种“量” ，从不同的角度进行表述（即计算两次） ，形成一种相等关系 行程问题、工程问题、劳力分配问题、浓度问题、数字问题等是列方程解应用题的基本类型， 此外，还有趣味问题（如年龄、时钟等） 、经济问题（如银行存款、销售利润等） ，尽管形式多变，但是 解题实质未变，需要我们用数学观点，理清数量关系，恰当设未知数，准确列方程 【例【例 2】某服装厂生产某种定型冬装，9 月份销售冬装的利润（每件冬装的利润出厂价一成 本）是出厂价的 25%，10 月份将每
4、件冬装的出厂价调低 10%（每件冬装的成本不变） ，销售件数比 9 月 份增加 80%，那么该厂 10 月份销售这种冬装的利润总额比 9 月份的利润总额增长( )。 A. 2% B8% C. 40. 0% D62% （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：设出与总额相关的量：出厂价、销售件数 解决以实际生活为情景的应用题时，需要具备一定的优化意识和估算决策能力. 【例【例 3】某音乐厅决定月初在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其 中团体票占总票数的 3 2 ，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张 12 元，共售 出团体票数的 5 3 ；零售票每张 16
5、 元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张 16 元出 售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持 平？ （北京市东城区中考试题） 解题思路：解题思路：票款与票数、票价有关，故既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数 与商品利润相关的基本知识： 利润率 进货价 利润 100%； 利润售出价一进货价； 售出价利润进货价进贷价(1利润率) 【例【例 4】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的， 该市自来水收费价格见价目表 价 目 表 每月用水量 单 价 不超过 6m3的部分 2 元/m3 超过
6、 3m3不超出 10m3的部分 4 元/m3 超出 10m3的部分 8 元/m3 注：水费按月结算 若某居民 1 月份用水 8 m3，则应收水费 264(86) 20（元） (1)若该户居民 2 月份用水 12. 5 m3，则应收水费_元 (2)若该户居民 3，4 月份共用水 15 m3（4 月份用水量超过 3 月份） ，共交水费 44 元，则该居民 3，4 月份各用水多少立方米？ （江苏省扬州市中考试题） 解题思路：解题思路：第(1)问须分段计费；第(2)问设 3 月份用水量为xm3，则 4 月份用水量为)15(xm3，分 两种情况进行讨论 【例【例 5】A，B，C 三个微型机器人围绕一个圆
7、形轨道高速运动，它们顺时针同时同地出发后， A 在 2 秒钟时追上 B，2.5 秒钟时追上 C，当 C 追上 B 时，C 和 B 的运动路程之比是 3：2，问第 1 分钟 时，A 围绕这个圆形轨道运动了多少圈？ （ “华罗庚金杯”竞赛试题） 解题思路：解题思路：要充分运用问题中的等量关系，需设出 A，B，C 三个微型机器人的速度、圆形轨 道长等多个未知数 【例【例 6】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等） ，如果放牧 24 头牛， 则 6 天吃完牧草；如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完牧草. 设每头牛每天吃草的量是相等的，问： (1)如果放牧 16 头牛，几天可以吃完牧草
8、？ (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ （全国数学通讯赛试题） 解题思路：解题思路：此题可采取设定多个间接未知数的解决方法. 能力训练能力训练 A 组组 1光明中学七年级一、二、三班，向希望学校共捐书 385 本，一班与二班捐书的本数之比为 4：3， 一班与三班捐书的本数之比为 6：7，那么二班捐书_本 （北京市“迎春杯”竞赛试题） 2一个六位数abcde1的 3 倍等于1abcde，则这个六位数为_ （黑龙江省竞赛试题） 3某种电器产品，每件若以原定价的 9.5 折销售，可获利 150 元，若以原定价的 7.5 折销售，则亏 损 50 元该种商品每件的进价为_元 （ “希望杯”竞赛试
9、题） 4. 某出租汽车的车费是这样计算的：路程在 4 公里以内（含 4 公里）为 10.40 元；达到 4 公里以后， 每增加 1 公里加 1. 60 元； 达到 15 公里后， 每增加 1 公里加 2.40 元 增加不足 1 公里时按四舍五人计算 则 乘坐 15 公里该种出租车应交车费_元 某乘客乘坐该种出租车交了车费 95.20 元， 则这个乘客乘该出 租车行驶的路程为_公里 （精确到两位小数） （ “希望杯”邀请赛试题） 5甲、乙两种茶叶，以yx:（重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每千克 50 元，乙 种茶叶的价格每千克 40 元，现在甲种茶叶的价格上调了 10%，乙种茶叶的
10、价格下调了 10%，但混合茶 的价格不变，则yx:等于( ). A1:1 B4:5 C5:4 D. 6:5 （北京市竞赛试题） 6某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过 60 立方米按每立方米 0.8 元收费；如 果超过 60 立方米， 超过部分接每立方米 1.2 元收费 已知某用户 4 月份的煤气费平均每立方米 0. 88 元， 那么，4 月份这用户应交煤气费( ) A60 元 B66 元 C75 元 D. 78 元 （全国初中数学联赛试题） 7植树节时，某班平均每人植树 6 棵，如果只由女同学完成，每人应植树 15 棵；如果只由男同学 完成，每人应植树( )棵 A.9 B10 C
11、12 D14 （四川省竞赛试题） 8某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖 168 元，以成本计算，其中一套盈利 20%，另一套亏 本 20%，则这次出售中商贩( ) A不赚不赔 B赚 37.2 元 C赚 14 元 D赔 14 元 9从两块重量分别为 6 千克和 4 千克且含银的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切 下的每块分别和另一块切剩的合金放在一起，熔炼后，两块合金的含银的百分数相同，求所切下的合金 的重量是多少？ 10.陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说： “我买了两种书，共 105 本， 单价分别为 8 元和 12 元，买书前我领了 1500 元，现在还
12、余 418 元， ”王老师算了一下，说： “你肯定弄 错了 ” (1)王老师为什么说他弄错了？试用方程的知识加以解释； (2)陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊 不清，只能辨认出应是小于 10 的整数，笔记本的单价可能为多少元？ （四川省资阳市中考试题） B 级级 1一幢楼房内住有 6 家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这幢楼住户共订有 A，B，C，D， E，F 六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵、钱、孙、李、周分别订了其中 2，2，4，3,5 种报纸而 A，B，C，D，E 五种报纸在这幢楼里分别有 1，4，2，2，2 家订户，那么吴姓
13、住户订有_种报纸， 报纸 F 在这幢楼里有_家订户 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 2某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的 2 倍，付款时，发现所买两种笔 的数量是颠倒了，因此，比计划支出增加了 50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为_ . （天津市竞赛试题） 3为使某项工程提前 20 天完成任务，需将原定工作效率提高 25%，则原计划完成这项工程需要 _天 （ “希望杯”邀请赛试题） 4右边算式中，每个汉字代表 1 个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”o，那么被乘 数是_. 神舟十号飞天 神 飞天神舟五号 5一艘轮船从 A 港到 B 港顺水航行，需 6 小时，
14、从 B 港到 A 港逆水需 8 小时，若在静水条件下， 从 A 港到 B 港需( )小时 A7 B 2 1 7 C 7 6 6 D 2 1 6 （五城市联赛试题） 6 某商品连续两次提价 10%， 又提价 5%， 要恢复原价， 至少应降价x% （x为整数） ， 则x( ) A20 B21 C22 D. 23 7如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由 6 个不同颜色的正方形组成，已知中间最小 的一个正方形的边长为 1，那么这个长方形色块图的面积为多少？ （山东省济南市中考试题） 8自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶 3 000km 就要报废，安装在前轮上，则行驶 5 000km 才 报废为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮调整， 这样安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？ （ 时代学习报数学文化节试题） 9山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流 淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台 A 型抽水机，1 小时后正好能把池塘中的水抽宪，若用两台 A 型抽水机 20 分钟正好把池塘中水抽完。问若用三台 A 型抽水机同时抽水，则需要多长时间恰好把池塘 中的水抽完？ （江苏省竞赛试题）
