1、 专题 27 数形结合 例 1 5 提示:作出 B 点关于 x 轴的对称点 B(2,-3)， 连结 AB交 x 轴于 C， 则 AB=AC 十 CB 为 所要求的最小值. 例2 D提示:设两直角边长为a， b， 斜边长为c， 由题意得a+b+c=x，xab 2 1 ,又 222 cba， 得 . 4 24 b b a .因 a,h 为边长且是整数.故当 , 04 , 02 b b 得 b4， 要使 a,b 为整数， 只有两种取法:若 b=5 时， a=12(或 b= 12,a=5);若 b=8 时，a=6(或 b=6,a=8). 例 3 设 AB=x， 则 BC=2x,AC=x3, BE=x
2、2 1 ,DF =DA=. 3 2 , 3 1 xBDx.在 RtAEB 中求得 AE=, 2 3 xBFx代入证明即可. 例 4 如图，作出函数xxy5 2 图象，由图象可以看出: 当 a=0 时，y=0 与xxy5 2 有且只有相异二个交点;当 4 25 0 a时，y=a 与xxy5 2 图象有四个不同交点; 当 4 25 a时，y=a 与xxy5 2 图象有三 个不同交点，当 4 25 a时，y=a 与xxy5 2 图象有且只有相异二个交点. 例 5 由L c s c b s b a s a 222 ,知正数cba,适合方程. 2 L x s x当0 x时， 有02 2 sLxx，故cb
3、a,是方程的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所 以cba,中的某两数必相同.设ba ,若ac ，由得ca ac s ac sca 211 2， 则 ac=2s=a a h，这样ABC 就是以B 为直角的直角三角形，ba，矛盾，故 a=c，得证. 例 6, ABCAOCBOCAOB SSSS , 34 2 1 120sin 2 1 32 1 150sin 32 1 xz y z y x 即 , 6 2 3 2 1 32 1 2 1 32 1 xz y z y x 化简得. 32432zxyzxy 能力训练 1.32 提示:构造含 15的 RtABC. 2.062，提示:如图，分别过点 A
4、,C 作 x 轴的垂线，垂足分别 为 E, F.设 OE=a, BF=b，则 AE=a3, CF=b3，所以点 A,C 的坐标为.3,2,3,bbaaa , 3323 , 333 2 bab a 解 得 . 36 , 3 b a 点 D 坐标为0 ,62. 3. 5 2 - 提示:当 R,P，Q 三点在一条直线上时，PR+RQ 有最小值. 4.axb 5. 36提示:由01 2 xx得 2 1xx1，则有 ABOB.在 OB 上截取 OC=AB=x，又由 01 2 xx得 xx x1 1 ，即 AB OA BC AB ，则OABABC,AB=AC=OC. 6. C 提示:由题所给的数据结合坐标
5、系可得， 55 A是第 14 个正方形上的第三个顶点，位于第 一象限，所以 55 A的横纵坐标都是 14. 7. A 8. B 提示：由条件, 22 babacaba即 b ca a b caab , 2 ，延长 CB 至 D， 使 BD=AB，易证ABCDAC，得ABC=D+BAD=2D=2BAC. 9. D 10. C 提示:设直角三角形的两条直角边长为,baba则abkbaba 2 1 22 (kba,均为正整数)，化简得 44 , 24 84 , 14 , 844 kb ka kb ka kbka或解得 8 , 6 , 1 4 , 3 , 2 12 , 5 , 1 b a k b a
6、k b a k 或或即有 3 组解. 11. (1)12 2 xxy (2)过 D 作 DM EH 于 M，连结 DG, 2,DODGtDM, .222 2 tMGFG若 EF+GH=FG 成立，则 EH= 2FG.由 EF/x 轴，设 H 为tx , 4 ，又 E,H 为抛 物线 上的两 个点 ，,12 3 2 3 txx,12 4 2 4 txx即 43,x x是 方程 txx12 2 的两个不相等的实数根，txxxx1, 2 4343 ， 2 43 2 4334 22222,224tttxxxxxxEH,解得 8 197 , 8 197 11 tt (舍去). 12.a 十 A=b+B=
7、c 十 C=k，可看作边长为 k 的正三角形，而从 2 k联想到边长为 k 的正方形的 面积.如图， 将 aB+bC+cA 看作边长分别为 a 与 B,b 与 C,c 与 A 的三个小矩形面积之和， 将三 个小矩形不重叠地嵌入到边长为 k 的正方形中，显然 aB+bC+cAk2. 13. AC=AG+GF+FC=16，由 AH AI=AG AF，得 AH (AH7)2(213)，解得 AH3，从而 HI7，BI6设 BDx，CEy，则由圆幂定理 得 CECDCFCG BDBEBIBH，即 y(16x)114 x(16y)613.解得 x10 22 y6 22 .故 DE16(xy)2 22.
8、14. t2 或 3t7 或 t8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想. 由题意知AMQ60，MN2当 t2 时，圆 P 与 AB 相切；当 3t7 时，点 P 到 AC 的距离为 3，圆 P 与 AC 相切；当 t8 时，圆 P 与 BC 相切 15设 AD2，DC1，作 BEAC，交 AC 于 E又设 EDx,则 BE 3x,BEEC 3x又 1x 3x,x 31 2 ,BE 33 2 ,AEADED2x3 3 2 ，AB2 AE2BE2 （3 3 2 ）2（ 33 2 ）26，而 ADAC6AB2 ADAC.故由切割线定理逆定理 知，AB 是BCD 的外接圆的切线
9、16设AD AB AE ACm(0m1). SABE SABC AE ACm，SABEm SABC又 SBDE SABE BD AB ABAD AB 1m，SBDE(1m) SABE m(1m) SABC即 K(1m)mS，整理得 Sm2 SmK0,由0 得 K1 4S. 17分以下几种情况： 若此等腰三角形以 OA 为一腰，且BAC 为顶角，则 AOAG 2设 C1（x,2x） ， 则 x2（2x2）222，解得 x8 5，得 C1（ 8 5， 16 5 ） 若此等腰三角形以 OA 为一腰，且 O 为顶角顶点，则 OC2OC3OA 2设 C2（x， 2x）, 则 x2（2x）222，解得 x2 5 5，得 C2（2 5 5，4 5 5） 又由点 C2与 C3关于原点对称，得 C3（2 5 5，4 5 5） 若等腰三角形以 OA 为底边，则 C4的纵坐标为 1，其横坐标为1 2，得 C4 ( 1 2，1) 所以， 满足题意的点 C 有 4 个， 坐标分别为： （8 5， 16 5 ） , （2 5 5， 4 5 5） , （2 5 5， 4 5 5） ,(1 2， 1).
