1、 专题专题 29 归纳与猜想归纳与猜想 阅读与思考阅读与思考 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简 单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种 研究问题的方法叫归纳猜想法. 归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解 题中的观察活动主要有三条途径： 1数与式的特征观察 2几何图形的结构观察 3通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况. 需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败 的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把
2、它写成无懈可击的证明 【例【例 1】下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中 A，B，C 三种状态所显示的数字，推出“？”处的数 字是_. （ “东方航空杯”上海市竞赛试题） (A) (B) (C) 解题思路：解题思路：认真观察 A，B，C 三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断。 【例【例 2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各 边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为 1，则第 n 个正方形的面积是 _ （湖北省武汉市竞赛试题） 解题思路解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察 n1，2，3，4 时的简单情形，进而作出猜想
3、 【例【例 3】如图，平面内有公共端点的六条射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线 OA 开始按逆 时针方向依次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7， (1)“17”在射线_上 (2) 请任意写出三条射线上数字的排列规律 (3)“2 007”在哪条射线上？ （贵州省贵阳市中考试题） 解题思路：解题思路：观察发现每条射线上的数除以 6 的余数相同 【例 4】观察按下列规则排成的一列数： 1 1， 1 2， 2 1， 1 3， 2 2， 3 1， 1 4， 2 3， 3 2， 4 1， 1 5， 2 4， 3 3， 4 2， 5 1， 1 6，() (1)在()中，从左起第 m
4、个数记为 F(m)，当 F(m) 2 2001时，求 m 的值和这 m 个数的积 (2)在()中，未经约分且分母为 2 的数记为 c它后面的一个数记为 d，是否存在这样的两个数 c 和 d，使 cd2 001 000? 如果存在，求出 c 和 d；如果不存在，请说明理由 （湖北省竞赛试题） 解题思路解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的 关系、未经约分且分母为 2 的数在每组中的位置，这是解本例的关键， 【例【例 5】 在 2,3 两个数之间， 第一次写上23 1 5， 第二次在 2.5 之间和 5， 3 之间分别写上25 2 7 2和 53 2
5、 4，如图所示： 第 k 次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的1 k (1)请写出第 3 次操作后所得到的 9 个数，并求出它们的和 (2)经过 k 次操作后所有的数的和记为 Sk，第 k1 次操作后所有数的和记为 Sk1，写出 Sk1与 Sk之间的关系式 (3)求 S6的值 （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：(1)先得出第 3 次操作后所得到的 9 个数，再把它们相加即可 (2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数 2 和 3 之外，中间的 n2 个数均重复计算了 2 次，用 Sk表示出 Sk1 (3)根据(1)，(2)可算出 S6的值
6、 能力训练能力训练 1有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，则第 100 组的三个数之和为 （广东省广州市竞赛试题） 2如图有一长条型链子，其外形由边长为 1 cm 的正六边形排列而成其中每个黑色六边形与 6 个 白色六边形相邻，若链子上有 35 个黑色六边形，则此链子有_个白色六边形 （2013 年“实中杯”数学竞赛试题） 3按一定规律排列的一串数： 1 1 1 3， 2 3， 3 3， 1 5， 2 5， 3 5， 4 5， 5 5， 1 7， 2 7， 3 7，中，第 98 个数是_. （山东省竞赛试题） 4给出下列丽列数 2，4，6，8，10,，1 994 6，13,
7、 20, 27, 34,，1 994 则这两列数中，相同的数的个数是( ) A142 B143 C284 （浙江省竞赛试题） 5如图，AOB45，对 OA 上到点的距离分别为 1，3，5，7，9，11，的点作 OA 的垂线 且与 OB 相交，得到并标出一组黑色梯 形，面积分别为 S1，S2，S3，则 S10 . 6一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为 4 部分，设五条直线最多分平面为 部分，则 n 等于( ) A16 B18 24 D31 （北京市“迎春杯”竞赛试题） 7观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律那么 2013 这个数标在( ) A第 503 个正方形的左下角 B第
8、 503 个正方形的右下角 C第 504 个正方形的左下角 D第 504 个正方形的右下角 （2013 年浙江省衢江市竞赛试题） 8自然数按下表的规律排列： (1)求上起第 10 行，左起第 13 列的数 (2)数 127 应在上起第几行，左起第几列 （北京市“迎春杯”竞赛试题） 9一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1，从第三个数开始，每一个数都是前 两个数的和，也就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 问：这串数的前 100 个数中（包括第 100 个数）有多少个偶数？ （ “华罗庚金杯”竞赛试题） 10.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分
9、成不少于 50 个小纸片，至少要 画多少条直线？请说明理由 （ “五羊杯”竞赛试题） 11.下面是按一定规律排列的一列数： 第 1 个数： 1 2(1 1 2 )； 第 2 个数： 4 1 1 3 1 1 2 1 1 3 1 32 ； 第 3 个数： 6 1 1 5 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 4 1 5432 ； 第 n 个数： nn n 2 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1232 那么，在第 10 个数，第 11 个数，第 12 个数，第 13 个数中，最大的数是哪一个？ 12.有依次排列的 3 个数：3，9，8对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之 差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操 作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，10,1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串 3，9，8 开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？
